实验01讲评、参考答案-建立数学模型(4学时)

1、.实验01讲评、参考答案讲 评未交实验报告的同学名单数学：01边清水，09龚昱霏，14黄浦，34谭世韬信科：批改情况：不批改，同学们自己对照参考答案。附参考答案：数学建模实验王平实验01 建立数学模型（4学时）（第1章 建立数学模型）教材中给出原始数据，结合模型，得到结果。但如何求得结果这一过程没有给出，实际上要用MATLAB软件编写程序来求得，这应该交给实验课来完成。考虑到同学们刚学习MATLAB语言，编程能力不强，所以有关的程序给出来供同学们进行验证。要求同学们要读懂程序。1.（求解，编程）如何施救药物中毒p1011人体胃肠道和血液系统中的药量随时间变化的规律（模型）：其中，x(t)为t时

2、刻胃肠道中的药量，y(t)为t时刻血液系统中的药量，t=0为服药时刻。1.1（求解）模型求解p1011要求： 用MATLAB求解微分方程函数dsolve求解该微分方程（符号运算）。 用MATLAB的化简函数simplify化简所得结果。提示：dsolve和simplify的用法可用help查询。建议在命令窗口中操作。 求解的语句及运行结果（比较11式(3)、(4)）：>> x,y= dsolve('Dx=-a*x','Dy=a*x-b*y','x(0)=1100','y(0)=0');>> disp(x,y

3、) 1100*exp(-a*t), exp(-a*t)*exp(-b*t)*(1100*a*exp(a*t)/(a - b) - (1100*a*exp(b*t)/(a - b)>> disp(simplify(x,y); 1100*exp(-a*t), (1100*a*exp(-t*(a + b)*(exp(a*t) - exp(b*t)/(a - b)1.2（编程）结果分析p11已知=0.1386, =0.1155，将上题中得到x(t)和y(t)两条曲线画在同一个图形窗口内（见11图1）。提示：MATLAB命令：plot, fplot, hold on/off, grid on

4、/off, xlabel, ylabel, text。 编写的程序和运行结果（比较11图1）：程序1：用plotclc;clear;a=0.1386; b=0.1155;t=0:0.01:25;x=1100./exp(a*t);y=-(1100*a*(1./exp(a*t) -1./exp(b*t)/(a - b);plot(t,x,t,y);grid on;xlabel('itt /h'); ylabel('itx,ity /mg');text(2,1100/exp(a*2),' itx(itt)');text(3,-(1100*a*(1/ex

5、p(a*3) - 1/exp(b*3)/(a - b),' ity(itt)');程序2：用fplot和匿名函数clc;clear;a=0.1386; b=0.1155;fplot(t)1100/exp(a*t),-(1100*a*(1/exp(a*t) - 1/exp(b*t)/(a - b),0 25);grid on;xlabel('itt /h'); ylabel('itx,ity /mg');text(2,1100/exp(a*2),' itx(itt)');text(3,-(1100*a*(1/exp(a*3) - 1

6、/exp(b*3)/(a - b),' ity(itt)');2.（编程，验证）商人们怎样安全过河p89三名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行。随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。但是如何乘船的大权掌握在商人们手中。商人们怎样才能安全渡河呢？模型构成决策： 每一步（此岸到彼岸或彼岸到此岸）船上的人员。要求：在安全的前提下（两岸的随从数不比商人多），经有限步使全体人员过河。xk第k次渡河前此岸的商人数yk第k次渡河前此岸的随从数 xk , yk=0,1,2,3; k=1,2,¼过程的状态sk=(xk , yk)允许状

7、态集合S=(x, y)| x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2uk第k次渡船上的商人数vk第k次渡船上的随从数 uk , vk=0,1,2; k=1,2,¼决策dk=(uk , vk)允许决策集合D=(u , v)| u+v =1, 2状态转移律sk+1=sk+(-1)kdk多步决策问题求dkÎD(k=1, 2, ¼, n), 使skÎS, 并按转移律由 s1=(3,3) 到达sn+1=(0,0)。2.1（编程）求允许决策集合D和允许状态集合SD是2行多列矩阵，每一列是一个决策。S是2行多列矩阵，每一列是一种状态

8、。要求： 编写一个命令文件的程序求D和S，并输出。 S的第一列是3,3'，最后一列是0,0 '。 编写的程序和运行结果：程序：clear; clc;%求允许决策集合D（2×n1，n1种决策）D=;for u=0:2 for v=0:2 if u+v=1|u+v=2 D=D,u;v; end endend%求允许状态集合S（2×n2，n2种状态）S=;for x=3:-1:0 for y=3:-1:0 if x=0|x=3|x=y S=S,x;y; end endend%首列状态 ( 商人数, 仆从数)' = ( 3, 3 )'，末列为( 0,

9、 0 )'D, S运行结果：2.2（验证）给出一个商人们安全过河的方案程序（输入时，不必把注释也输入）：程序运行结果：要求： 读懂以上程序。 将题2.1的程序放到上面的程序中（去掉最后多余的输出语句），运行程序。对照答案，如不一致，请检查程序。 给出运行的完整程序和运行结果（参考9图1）：程序：function river()D,S1=DS(); S2=S1; SS=;%初始允许状态集合S1,S2s1=S1(:,1); S1(:,1)=;%始发状态s1=3;3，用过的状态移出i=1; SS(:,i)=s1;%SS存放有效状态转移的路径k=true;%k=true时，从此岸到彼岸；否则从

10、彼岸到此岸while isempty(S2)%目标状态集合非空 s2,S2=fun(s1,S2,k,D); if k&&s2(1)=0&&s2(2)=0%有解 SS(:,i+1)=s2; disp(1:i+1;SS(:,1:i+1); return; end if s2(1)=-1%新状态s2无效 if i=1%不能再回退 disp('无解！'); return; end i=i-1;%回退 s1=SS(:,i); else i=i+1; SS(:,i)=s2;%s1进入路径 s1=s2; end S=S1;S1=S2;S2=S; k=k;end

11、disp('无解！');end function s2,S2=fun(s1,S2,k,D)%k=true时，从此岸到彼岸；否则从彼岸到此岸for u=D %决策遍历 s2=s1+(-1)k*u; %状态转移s1->s2 for i=1:size(S2,2) if s2=S2(:,i)%是否新允许状态 S2(:,i)=; return; end endends2=-1;-1;%从s1走不通end function D,S=DS()%求允许决策集合D（2×n1，n1种决策）D=;for u=0:2 for v=0:2 if u+v=1|u+v=2 D=D,u;v;

12、end endend%求允许状态集合S（2×n2，n2种状态）S=;for x=3:-1:0 for y=3:-1:0 if x=0|x=3|x=y S=S,x;y; end endend%首列状态 ( 商人数, 仆从数)' = ( 3, 3 )'，末列为( 0, 0 )'end给出程序的运行结果：3.（求解）商人们怎样安全过河（修改）p9对第2题的问题改动，用类似的方法求解。3.1 在第2题中修改商人数和随从数有四名商人各带一个随从，其它同第2题。修改第2题中的程序求解。 修改的程序部分和完整程序的运行结果（安全过河的方案）：%求允许状态集合S（2×

13、;n2，n2种状态）S=;for x=4:-1:0 for y=4:-1:0 if x=0|x=4|x=y S=S,x;y; end endend%首列状态 (商人数, 仆从数)' = ( 4, 4 )'，末列为( 0, 0 )'3.2 在3.1题中修改船容纳的人数船能容纳3人。修改3.1题中的程序求解。 修改的程序部分和完整程序的运行结果（安全过河的方案）：%求允许决策集合D（2×n1，n1种决策）D=;for u=0:3 for v=0:3 if u+v>=1 && u+v<=3 D=D,u;v; end endend4.（编程

14、）安全过河问题（人、猫、鸡、米）p21习题5人带着猫、鸡、米过河，除需要人划船之外，船至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。试设计一个安全过河方案。模仿商人过河问题的程序编写程序解决本问题。 程序：function rive()%求允许决策集合D（2×n1，n1种决策）D=1,0,0,0',1,1,0,0',1,0,1,0',1,0,0,1'%求允许状态集合S（2×n2，n2种状态）S=;j=1;for a=23+22+21+1:-1:0 s=fix(a/23);mod(fix(a/22),2);mod(fix(a/2

15、),2);mod(a,2);%取二进制数字 if s(1)&&(s(2)&&s(4)|s(3)|s(1)&&(s(2)&&s(4)|s(3) S(:,j)=s; j=j+1; end%s=人，猫，鸡，米end%首列状态=(1,1,1,1)'，末列为(0,0,0,0)' S1=true(1,size(S,2);%S1为船在此岸时，当前未走过的状态集合标记。 S2=S1;%S2（船在彼岸）类同。S1(1)=false;%状态1做起始状态SB=1;SE=;SS=;sn=-1;%状态转移SBSE，走过的“状态转移对”存入S

16、Swhile isempty(SB)%回溯法 if sn=-1, SM=S2; else SM=S1; end%确定目标状态 for i=SB%状态转移SBSE for d=D sj=S(:,i)+sn*d; for j=1:size(S,2) if all(sj=S(:,j)&&SM(j)%有效的状态并且没走过 SS=SS,i;j;%将ij存入SS SE=SE,j;%到达的新状态存入SE SM(j)=false;%标记已走过的状态 if all(sj=S(:,end)%安全完成过河 show(SS,S); return;%输出，程序运行结束 end break; end en

17、d end end if sn=-1, S2=SM; else S1=SM; end %更新 sn=-sn; SB=SE; SE=; %准备走下一步enddisp('无解！');end function show(SS,S)%输出SD=SS(2,end); i=SS(1,end);for j=size(SS,2)-1:-1:1 if SS(2,j)=i SD=i,SD; i=SS(1,j); endendSD=1,SD;disp(1:length(SD);S(:,SD);end 程序的运行结果5.（选做，编程）商人们怎样安全过河（自编）2.3中的程序有一定难度，所以给出了参考程

18、序，初学MATLAB的同学可能想不到用其中的一些语句。第2题给出的是求解商人们安全过河问题的一种算法程序，还有其它的算法程序，比如回溯法、递归算法等。要求： 按照自己的理解和想法，改写2.3中的程序。 或用别的算法编写解决商人们安全过河的程序。 程序和运行结果：解1（递归）程序function river()global mark D SHOW;%全局变量mark=2*ones(4);mark(1,:)=0; mark(4,:)=0;%mark(i,j)=0为允许状态mark(2,2)=0; mark(3,3)=0;D=0 1; 0 2; 1 0; 1 1; 2 0;%允许决策集合mark(4

19、,4)=2; SHOW=;fun(3,3,-1);disp(3,3;SHOW);returnfunction f=fun(s,t)global mark D SHOW;%全局变量if s=0f=1; return;endfor k=1:5s1=s+t*D(k,:);i=s1(1)+1; j=s1(2)+1;if all(s1>=0) && all(s1<=3) && (mark(i,j)=0 | mark(i,j)=t)if mark(i,j)=0%标记状态(i-1,j-1)的使用情况mark(i,j)=-t;elsemark(i,j)=2;end

20、if fun(s1,-t)SHOW=s1;SHOW; f=1; return; endendendif s=3 disp('无解');endf=0;运行结果3 33 13 23 0 %船停靠彼岸，先把所有随从渡过彼岸3 11 12 20 2 %船停靠彼岸，再把所有商人渡过彼岸0 3 %船停靠此岸，此岸只有随从，彼岸只有商人0 10 20 0 %船停靠彼岸，最后把所有随从渡过彼岸三个阶段：(3,3,船停此岸)(3,0,船停彼岸)(0,3,船停此岸)(0,0,船停彼岸)第一阶段：所有随从渡过彼岸（商人不动）；第二阶段：使所有商人渡过彼岸，并将随从渡回此岸；第三阶段：所有随从渡过彼岸

21、（商人不动）。解2（借用栈）思路定义状态：此岸的商人数，随从数，小船停靠在此岸或彼岸。从初始状态开始，找到一个决策得到下一个状态，再从新状态开始，找到一个决策得到下一个状态，.。在这个过程中，出现过的状态将不可再用。若从某个状态开始，所有决策都得不到新状态，则返回上一状态，并从下一个决策开始，试探是否能得到新的状态。直到到达状态(0,0)，或无解。算法1. 给出允许状态集合；%用4阶方阵mark标记，其中mark(i,j)=0表示(i-1,j-1)为允许状态，mark(i,j)=2表示(i-1,j-1)为不可达状态2. 给出允许决策集合；% D=0 1; 0 2; 1 0; 1 1; 2 03

22、. 初始状态进栈；%包括：当前状态，出发标记（-1/1为从此岸/彼岸出发），选择第几个决策4. 初始状态标记；%mark(i,j)=-1/1表示从此岸/彼岸出发转移到状态(i-1,j-1)已走过，mark(i,j)=2表示上述两种情况都出现或不可达状态5. 循环直到栈空或到达状态(0,0) 5.1 出栈，将出栈的状态作为当前状态，并选择下一个决策；%原决策失败，回溯 5.2 循环直到决策都用过或到达最终状态 5.2.1 由当前状态、出发标记和决策得到转移到的新状态； 5.2.2 若新状态是允许状态且没走过，则执行5.2.2.1；否则选择下一个决策 5.2.2.1 标记新状态的访问信息；%mar

23、k(i,j)=-1/1/2 5.2.2.2 当前状态重新进栈（改变了决策）；%存储决策过程 5.2.2.4 将新状态作为当前状态，置出发标记，选择第1个决策；6. 若有解，则输出决策过程；否则输出“无解”；程序clear; clc;mark=2*ones(4);mark(1,:)=0; mark(4,:)=0;%mark(i,j)=0为允许状态mark(2,2)=0; mark(3,3)=0;D=0 1; 0 2; 1 0; 1 1; 2 0;%允许决策集合sp=1; st(sp,:)=3,3,-1,0; %进栈，(3,3)为当前状态，-1表示小船停靠此岸，决策0（未做决策）mark(4,4)

24、=2;%标记为不可达状态s0=3,3;while sp>0&& any(s0>0)%栈未空且s0中至少有一个元素>0s0=st(sp,1,2); ss=st(sp,3);%当前状态，ss=-1/1小船停靠此岸/彼岸d=st(sp,4);%之前用过的决策，该决策失败sp=sp-1;%出栈 d=d+1;%试探下一个决策 while d<6 && any(s0>0)s1=s0+ss*D(d,:);%下一个状态，不包括小船停靠状态i=s1(1)+1;j=s1(2)+1;%状态转换为下标if all(s1>=0) &&

25、all(s1<=3) && (mark(i,j)=0 | mark(i,j)=-ss)if mark(i,j)=0%标记状态(i-1,j-1)的使用情况mark(i,j)=ss;elsemark(i,j)=2;endsp=sp+1;%进栈st(sp,:)=s0,ss,d;%当前状态重新进栈，改变了决策s0=s1; ss=-ss; d=1;%下一个状态作当前状态，选择第1个决策else%决策d失败d=d+1;endendendif s0=0disp(1:sp+1',st(1:sp,1:2);s0);%有解elsedisp('无解'); end运行结果

26、 1 3 3 2 3 1 3 3 2 4 3 0 5 3 1 6 1 1 7 2 2 8 0 2 9 0 3 10 0 1 11 0 2 12 0 0解3clear; clc;%求允许状态集合SS=;for x=0:3 for y=0:3 if (x=0&&(y>=0&&y<=3). |(x=3&&(y>=0&&y<=3). |(x=1&&y=1|x=2&&y=2) S=S,x;y; end endendSA=S;%从此岸(A)到彼岸(B)渡河前此岸的允许状态集合SB=S;%

27、从彼岸(B)到此岸(A)渡河前此岸的允许状态集合%求允许决策集合DD=;for u=0:2 for v=0:2 if u+v=1|u+v=2 D=D,u;v; end endend k=1;%第1次渡河s=3;3;%第1次渡河前的状态Snum(1)=1;%第1次渡河前的状态总数SA(:,end)=; SB=SA;%去掉状态(3,3)while Snum(k)>0 Snum(k+1)=0;%第k+1次渡河前的状态总数初始化 k1=size(s,2)-Snum(k)+1;k2=size(s,2); for i=k1:k2 xk=s(1,i); yk=s(2,i); for d=D xk1=x

28、k+(-1)k*d(1); yk1=yk+(-1)k*d(2); if (-1)k=1 for j=1:size(SB,2) if xk1=SB(1,j)&&yk1=SB(2,j) s=s,SB(:,j); SB(:,j)=; Snum(k+1)=Snum(k+1)+1; break; end end else for j=1:size(SA,2) if xk1=SA(1,j)&&yk1=SA(2,j) s=s,SA(:,j); SA(:,j)=; Snum(k+1)=Snum(k+1)+1; break; end end end end end k=k+1;e

29、ndSnums(:,1:Snum(1)m=Snum(1);for k=1:11 disp(s(:,m+1:m+Snum(k+1); m=m+Snum(k+1);end解4i=1;S=;D=;S(:,i)=3;3;%开始S(:,1)=3,3'while S(1,i)=0|S(2,i)=0%当s(:,i)=0,0'完成 D(:,i)=round(2*rand(2,1);%随机取0,1,2给决策D(:,i) d=D(:,i); if d(1)+d(2)=1&&d(1)+d(2)=2%成立则不是允许决策 continue;%重新选取决策 end S(:,i+1)=S(:

30、,i)+(-1)i*D(:,i);%得到下一个状态S(:,i+1) s=S(:,i+1); if (s(1)=1&&s(2)=1)|(s(1)=2&&s(2)=2)|(s(1)>3|s(1)<0)|(s(2)>3|s(2)<0)%成立则不是允许状态 continue;%重新选取决策 end i=i+1; if i=105%等于此循环次数判无解 disp('无解');return; endendfor i=1:size(S,2)%添加状态的第3行元素，-1为船在此岸，1时在彼岸 SS(:,i)=S(:,i);(-1)i;en

31、d%区分过程中的不同状态for i=1:size(SS,2)-1%去掉状态转移过程中多余的状态 a=0; for j=i+1:size(SS,2)%找出与第i状态相同的最后一个状态 if any(SS(:,i)-SS(:,j)=0 a=j; end end if i<a%删除第i到a-1列，多余的状态转移 SS(:,i:a-1)=; endenddisp(1:size(SS,2);SS)%该程序运行效率含随机性，可能误判为无解！解5syms k;%定义一个关于k的，储存各个状态之间转化的符号矩阵as=3,2,1,0;ss=;%能够存在的状态集合for i=1:length(s)%计算ss

32、 for j=1:length(s) if i=length(s)|i=1|s(i)=s(j) sss=s(i),s(j); ss=ss;sss; end endendignore,p=sort(sum(ss,2),'descend');%按总数排序,便于计算状态矩阵ss=ss(p,:);a=sym(zeros(length(ss),length(ss);for i=1:length(ss) for j=i+1:length(ss) m=abs(sum(ss(i,:)-sum(ss(j,:); if m=1|m=2%两个状态的总人数之差只能是1或者2 if ss(i,:)>

33、;=ss(j,:)%保证总人数多的状态每个分量都要大 a(i,j)=2+(-1)k; a(j,i)=(-1)k; end end endenda(1,2)=0;%当第一次由(3,3)变到(3,2)时，下一次必为(3,2) 变到(3,3)，避免无用功k=1;dd=1;s0=ss(1,:);%初始状态S=ss(1,:);%储存总的状态转移方案D=;%每一步的决策集合while any(s0)&k<=100 b=eval(a);%确定此时的a矩阵 for i=1:length(ss)%判断s0处于s中的第几行 if s0(1,:)=ss(i,:) break end end m=fin

34、d(b(i,:)=1); %确定此时的方案集合 if k>1&length(m)>=2 m(find(m=dd(k-1)=;%避免走回头路 end ignore,p=sort(rand(1,length(m);%在剩下的状态中随机找一个可行状态 s0=ss(m(p(1),:); k=k+1; dd=dd;m(p(1);S=S;s0;D=D;abs(S(k,:)-S(k-1,:);endSD解6clear; clc;%求允许决策集合D（2×n1，n1种决策）D=;for u=0:2 for v=0:2 if u+v=1|u+v=2 D=D,u;v; end ende

35、nd%求允许状态集合S（2×n2，n2种状态）S=;for x=3:-1:0 for y=3:-1:0 if x=0|x=3|x=y S=S,x;y; end endend%首列状态 ( 商人数, 仆从数)' = ( 3, 3 )'，末列为( 0, 0 )'%动态允许状态集合SS（3×n3，n3种状态）%-1，从此岸渡河前此岸的允许状态%1，从彼岸渡河前此岸的允许状态SS=S;-ones(1,size(S,2),S;ones(1,size(S,2);SSnum=size(SS,2);%状态总数，SS中的列下标对应状态的编号%SS(:,1)=3,3,-

36、1'（起点），SS(:,end)=0,0,1'（终点）%状态转移矩阵A，A(i,j)=1表示存在决策使状态i转到j，其它为0A=zeros(SSnum);for i=1:SSnum for j=1:SSnum for d=D%顺序取D的每一列给d s=SS(1:2,i)+SS(3,i)*d;-SS(3,i); if all(s=SS(:,j)%所有元素不为0时为真 A(i,j)=1; break; end end endend%SK为多行SSnum列的矩阵，第i列对应SS的第i列的状态。%第i行表示第i次渡河前有那些状态，1表示有对应下标列号的状态，0则无。%第i+1行是第i行

37、状态转移过来的状态%当第SSnum状态出现时停止，表示有解。%或者新行的元素全0时停止，表示无解。%新行不允许出现之前出现过的状态。s=1,zeros(1,SSnum-1);%从状态3,3,-1'开始SK=s;while any(s) && s(SSnum)=1 k=find(s);%求最后一行为1的列下标 s=any(A(k,:),1);%得到新行，元素值为1或0 s=s&any(SK,1);%去掉新行中之前出现的状态 SK=SK;s;%新行加入，作为SK的末行end%多步决策，直到找到目标。有难度！if any(s)=0 %新行全0disp('无解！'); return;end%最后一行的第SSnum状态(j)开始往回找转换到它的状态(i)，直到状态1。%得到一个状态号的顺序sk（行向量），为一个解。sk=zeros(1,size(SK,1);sk(1)=1; sk(1,end)=SSnum; j=SSnum;for k=size(SK,1)-1:-1:2 for i=find(SK(k,:) if A(i,j)=1 sk(k)=i; j=i; break; end endenddisp(1:length(sk);S