九年级数学圆几何综合中考真题汇编[解析版]

1、九年级数学圆几何综合中考真题汇编解析版一、初三数学圆易错题压轴题（难）1.如图，在直角体系中，直线AB交x轴于点A（5,0）,交y轴于点B,AO是。M的直径，其半 圆交AB于点C,且AO3.取B0的中点D,连接CD、MD和0C.（1）求证：CD是。M的切线；（2）二次函数的图象经过点D、M、A,其对称轴上有一动点P,连接PD、PM,求APDY的周长 最小时点P的坐标：（3）在（2）的条件下，当PDM的周长最小时，抛物线上是否存在点Q,使若 存在，求出点Q的坐标：若不存在，请说明理由.0A 为 0 M 直径，Z OCA=90°. /. Z OCB=90°.D 为 0B 中点,

2、/. DC=DO. /. Z DCO=Z DOC.M0=MC, J Z MC0=Z MOC.ZDai = ZDCO-ICO=zTOC4-ZlOC=ZDOXl=90c.又.,点C在。M上，.DC是0M的切线.(2),A点坐标(5, 0) , AC=3 ，在 RtZkACO 中，OC=JOA二-AC二=右-3二=4 .A=1(x_x_5),= 解得OD = ?又,.也为0B中点，J I外.D点坐标为（0,-）. 44连接AD,设直线AD的解析式为y=kx+b,则有:b = |k = "|,3解得, w .1 Sk + t =0b = 一3/.直线AD为y =-二x33.二次函数的图象过M

3、 (1, 0)、A(5, 0), 6/.抛物线对称釉x=t. 4丁点M、A关于直线x=?对称，设直线AD与直线x=交于点P, 44,PD+PM为最小.又丁 DM为定长，.满足条件的点P为直线AD与直线x=上的交点. 4I s45当 x=时，y = (x)(x-5).4152.P点的坐标为(：， 46(3)存在.$说m = $皿“一$处恒=AM - AM Vp = AAI| yD y? I, y = a(x )(x 5) 2乂由(2)知 D(0,二)，P (二,二)， 446-t由 S»Q4I = 嵬，得 J “ 下一，='解得 YQ=± -;二次函数的图像过M(0,

4、A(5, 0),6设二次函数解析式为y = a(x - ；Xx - 5),又.,该图象过点D (0. ?),. W = a(0-EX0-5),解得a=3. 4321245/.二次函数解析式为y = 讪(x-Q(x-5).又,Q点在抛物线上，且yQ=±3.,山 1° 用卜 54,5 /a2zq 15 -5-/2 -15 +一当丫、= 时，_ = _(工一一)(X一),解得x=或乂=；312 15244- 时'-卷=！(乂-|yx-5),解得 x=：.1212 1324. I,15-5点1015 + 57210155. 点Q的坐标为（，二，或（，h或（下，）.43434

5、12【解析】试题分析：（1）连接CM,可以得出CM=OM,就有NMOC=NMCO,由OA为直径，就有 Z ACO=90% D 为 OB 的中点，就有 CD二OD, Z DOC=Z DCO,由N DOC+N M0090。就可以 得出N DCO+Z MCO=90°而得出结论.（2）根据条件可以得出OC = JoN AC?=户至=4和tanNOAC = % =器, AC UA从而求出OB的值，根据D是OB的中点就可以求出D的坐标，由待定系数法就可以求出 抛物线的解析式，求出对称轴，根据轴对称的性质连接AD交对称轴于P,先求出AD的解 析式就可以求出P的坐标.（3）根据S“dm =S、dam

6、 -S”am，Sgqi 兄求出Q的纵坐标，求出二次函数解析 式即可求得横坐标.2.如图，NABC=45。，4ADE是等腰直角三角形，AE=AD,顶点A、D分别在NABC的 两边BA、BC上滑动（不与点B重合），AADE的外接圆交BC于点F,点D在点F的右 侧，O为圆心.（1）求证：ABDgZAFE （2）若AB=4点，8jTvBEW4jB,求。O的面积S的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2） 16兀VSW40H【解析】试题分析：（1）利用同弧所对的圆周角相等得出两组相等的角，再利用已知AE=AD,得出三角形全等：（2）利用ABDgZXAFE,和己知条件得出BF的长，利用勾股定理和8VBEW

7、4而，求出EF,DF的取值范围，-S=-DE2,所以利用二次函 4数的性质求出最值.试题解析：（1）连接EF,ADE是等腰直角三角形，AE=AD,A ZEAD=90°, ZAED=ZADE=45°,: AE = AE ,AZADE=ZAFE=45%VZABD=45°,，NABD=NAFE,V AF = AF ,，NAEF=NADB,VAE=AD,AAABDAAFE；(2) VAABDAAFE,，BD=EF, NEAF=NBAD,AZBAF=ZEAD=90c,V AB = 4y/2 ,.AB 4a/2 ° BF=-8,cosZABF cos45设 BD=x

8、,则 EF=x, DF=x-8,BEJeF+BF2, 8忘 VBEW 4A/17 , 128VEF+8 , W208, 8VEFW12,即 8<xW12,则 Su?。 =£-x2+(x-8)2-= q(x_4+8 乃，V->0, 2 抛物线的开口向上，又对称轴为直线x=4, .当8VXW12时，S随x的增大而增大，16 / VSW40 五.点睛：本题的第一问解题关键是找到同弧所对的圆周角，第二问的解题关键是根据第一问 的结论计算得出有关线段的长度，由于出现线段的取值范闱，所以在这个问题中要考虑勾 股定理的问题，还要考虑圆的而积问题，得出二次函数，利用二次函数的性质求出最值

9、.3.己知：如图，梯形48co中，AD/BC, AD = 2, AB = BC = CD = 6,动点尸在 射线BA上，以BP为半径的。P交边3c于点E （点E与点C不重合），联结PE、 PC,设8尸=犬，PC = y.(1)求证:PE/DC：(2)求y关于x的函数解析式，并写出定义域：(3)联结p。，当NPQC = NB时，以。为圆心半径为R的。与OP相交，求R的取 值范囿 【答案】(1)证明见解析；(2) y = 7x2-4x+36(0 < x < 9) ： <3) 0</?< 【解析】【分析】(1)根据梯形的性质得到ZB = ZDCB,根据等腰三角形的性质得

10、到NB = NPEB,根据 平行线的判定定理即可得到结论：(2)分别过p、八、。作8c的垂线，垂足分别为点H、人G.推出四边形AOGF是矩形，PHHAF,求得BF = FG = GC = 2,根据勾股定理得到AF = AB2-BF2 =后二F = 472，根据平行线分线段成比例定理得到711PH =五x, BH=-x,求得C”=6 x,根据勾股定理即可得到结论：333作EM HPD交DC于M.推出四边形pdme是平行四边形得到PE = DM=x,121 2即A/C = 6x,根据相似三角形的性质得到尸。=EC = 6 ( = 7,根据相切两圆的性 质即可得到结论.【详解】(1)证明：梯形 48

11、8, AB = CD,:.NB = NDCB,：PB = PE，:.NB = NPEB,NDCB = NPEB,:.PEIICDx (2)解：分别过P、4 D作8c的垂线，垂足分别为点H、F、G.梯形 A8CD 中，AD/ IBC ,，DGLBC. PH IBC,，四边形ADGF是矩形，PH 11AF ,*: AD = 2， BC = DC = 6»，BF = FG = GC = 2, 在RsABF中，AF = ylAB2 -BF2 = >/62 - 22 = 472，-PH/AF,PH BP BH Ilr. PH x BH=，即/= = - = AF AB BF 4V2 62

12、2 1./>”=0，BH =x ,3 3:. CH = 6 x，3在RmPHC中,PC = dPH、CH2，y =+(6-；x)2，即 y = /x2 -4x + 36(0 v x v 9) ,(3)解：作 EM/PD 交 DC 于M.PEI/DC,，四边形PDME是平行四边形.:.PE = DM =x,即/WC = 6x, :.PD = ME，NPDC = NEMC, 又: NPDC = NB, ZB = ZDCB,NDCB = /EMC = NPBE = /PEB.fPBEsECM，2PB BE x sA' = ,跳 z-= , EC MC6二 x 6-x解得：x = ,12

13、即 BE = ,.-.PD = EC = 6- = , 55当两圆外切时，PD =，+R，即R = 0（舍去）：当两圆内切时，PD = r-R,即与=。（舍去），&=：36即两圆相交时，0</?<二.【点睛】本题属于圆综合题，梯形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性 质，正确的作出辅助线是解题的关键.4.如图，已知直线AB经过。O上的点C,并且OA=OB, CA=CB,（1）求证：直线AB是。的切线：（2） OA, OB分别交。于点D, E, AO的延长线交。O于点F,若AB=4AD,求sinNCFE【答案】（1）见解析：（2）好5【解析】【分析】（1）

14、根据等腰三角形性质得出OCJ_AB,根据切线的判定得出即可：（2）连接OC、DC,证ADCs4ACF,求出AF=4x, CF=2DC,根据勾股定理求出g正八DF=3x,解直角三角形求出sinNAFC,即可求出答案.5【详解】（1）证明：连接OC,如图1,VOA=OB. AC=BC,AOC±AB,VOCilO,直线AB是。O的切线； (2)解：连接OC、DC,如图2,图2VAB = 4AD,设 AD=x,贝ljAB=4x, AC = BC = 2x,VDF为直径，AZ DCF = 90%VOC±AB,AZACO=ZDCF=90%，ZOCF= ZACD=900 - NDCO,V

15、OF = OC,AZAFC=ZOCF,AZACD=ZAFC,VZA=ZA,AAADCAACF,AC AD DC x 1 _= _# 一就一彳一八一5'，AF = 2AC=4x, FC=2DC,VAD=x,ADF=4x - x=3x,在 RtADCF 中，(3x) 2 = DC2+ (2DC) 2,解得：DC=3叵x,5VOA=OB. AC=BC,，NAOC=NBOC,DC = EC， ，/CFE=NAFC,DC 宜“ AsinZCFE = sinZAFC=5 非.DF仁一=3%5【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定，解直角三角形，圆心角、弧、弦之间的关 系，相似三角形的性质和

16、判定的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关 键，难度偏大.5.已知：在 ABC中，AB=6, BC=8, AC=10, 0为AB边上的一点，以0为圆心，OA长为 半径作圆交AC于D点，过D作。的切线交BC于E.（2）若OA<3时（如图2） , （1）中的关系是否还成立？为什么？（3）当00过BC中点时（如图3）,求CE长.【答案】（1）ED=EC： （2）成立；（3） 3【解析】试题分析：（1）连接0D,根据切线的性质可得NODE=90。，则NCDE+N ADO=90。，由 AB=6, BC=8, AC=10根据勾股定理的逆定理可证得N ABC=90°,则N A+N

17、 C=90°,根据圆的 基本性质可得N A=N ADO,即可得到NCDE=NC,从而证得结论：（2）证法同（1）;（3）根据直角三角形的性质结合圆的基本性质求解即可.（1）连接0DEO, DE为。0的切线.Z ODE=90°.Z CDE+Z ADO=90°AB=6, BC=8,AC=10.Z ABC=90°.Z A+Z C=90°A0=D0.Z A=Z ADO.Z CDE=Z C.ED=EC；（2）连接ODDB,DE为。0的切线.Z ODE=90°.Z CDE+Z ADO=90°AB=6, BC=8. AC=10.Z ABC

18、=90°.Z A+Z C=90°'AO=DO.Z A=Z ADO.Z CDE=Z C.ED=EC：(3) CE=3.考点：圆的综合题点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典 型.6.如图1,四边形ABCD中，AC. 80为它的对角线，E为AB边上一动点（点E不与点 A、B重合），EFII AC交BC于点F, FGII BD交DC于点G, GHII AC交AD于点H,连接 HE.记四边形EFGH的周长为P,如果在点E的运动过程中，P的值不变，则我们称四边形 ABCD为"惟四边形，此时P的值称为它的“推值经过探究，可得矩形

19、是"惟四边形如图2,矩形ABCD中,若AB=4, BC=3,则它的"惟值"为图1图2图3（1）等腰梯形 （填"是"或"不是"）"惟四边形"：（2）如图3, BD是。的直径，A是。上一点，AD = 3, AB =4,点。为国上的一动 点，将 D4B沿CD的中垂线翻折，得到。£户.当点C运动到某一位置时，以“、B、Q 0、E、尸中的任意四个点为顶点的“惟四边形最多，最多有一个.【答案】"惟值"为10； （1）是：（2）最多有5个.【解析】试题分析：仔细分析题中“惟四边形”的定义结

20、合矩形的性质求解即可；（1）根据题中“惟四边形”的定义结合等腰梯形的性质即可作出判断：（2）根据题中“惟四边形”的定义结合中垂线的性质、圆的基本性质即可作出判断.矩形ABCD中，若AB=4, BC=3,则它的“惟值”为10：（1）等腰梯形是“推四边形"：（2）由题意得当点C运动到某一位置时，以4 B、Q D、E、F中的任意四个点为顶点的 “推四边形”最多，最多有5个.考点：动点问题的综合题点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典 型.7.在平面直角坐标系xOy中，0C的半径为中1）,点P是圆内与圆心C不重合的点， 0C的“完美点”的定义如下：过圆

21、心C的任意直线CP与。C交于点4 8,若满足|%- P8|=2,则称点P为。C的“完美点”，如图点P为。C的一个“完美点”.当。0的半径为2时点0）。的“完美点”，点（-正，-）。的“完美点”；（填222“是”或者“不是”）3若的“完美点” P在直线y=x上，求PO的长及点P的坐标：4（2）设圆心C的坐标为（s, t）,且在直线y=-2x+l上，OC半径为r,若y轴上存在。C的 “完美点”，求t的取值范围.备用图4343【答案】（1）不是，是；PO的长为1，点P的坐标为（二，二）或（-一，-二）：（2）t的取值范围为-1WFW3.【解析】【分析】（1）利用圆的''完美点”的定义

22、直接判断即可得出结论.先确定出满足圆的“完美 点”的OP的长度，然后分情况讨论计算即可得出结论；（2）先判断出圆的“完美点”的 轨迹，然后确定出取极值时OC与y轴的位置关系即可得出结论.【详解】3解：二点0）,.设。与x轴的交点为4 B,的半径为2,工取4-2, 0）, 8（2, 0）, 33：,MA - MB = （-+2） - （2 - ,）|=3W2,*点M不是。的“完美点»同理：点（-g,-；）是。O的“完美点”.故答案为不是，是.如图1，图1根据题意，|%-P8|=2,，|OP+2-（2-OP）|=2,：.OP=1.若点P在第一象限内，作PQ_Lx轴于点Q,3丁点P在直线y

23、=x上，OP=1, 443。=不尸。=丁43若点P在第三象限内，根据对称性可知其坐标为（-=，-）.4 34 3综上所述，P。的长为1,点P的坐标为（二,三）或（一二，一） 对于0C的任意一个“完美点” P都有|%-P8|=2,：,CP+r- （r- CP）=2.ACP=1.I.对于任意的点P，满足CP=1,都有|CP+r-（r-CP）|=2, ：.PA-PB=2,故此时点P为0 c的“完美点”.因此，0C的“完美点”是以点C为圆心，1为半径的圆.设直线y= - 2x+l与y轴交于点D,如图2,当。c移动到与y轴相切且切点在点。的上方时，t的值最大. 设切点为&连接C&V OC

24、的圆心在直线y= - 2x+l上，此直线和y轴，x轴的交点d(o, 1),0),21 ，OF=，0。=1,2: CE/OF,:ADOFsADEC,OD OF -'DECE ',11''DE2 '：.DE=2,：,OE=3,t的最大值为3, 当。C移动到与y轴相切且切点在点。的下方时，t的值最小. 同理可得t的最小值为-L 综上所述，t的取值范闱为【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了新定义，相似三角形的性质和判定，直线和圆的位置关 系，解本题的关键是理解新定义的基础上，会用新定义，是一道比中等难度的中考常考题.8.如图，在AA8C中，NACB = 90。，

25、ZABC = 45°, BC = 2cm,半圆。的直径 OE = 12cm.点E与点C重合，半圆。以2cm/s的速度从左向右移动，在运动过程中， 点。、E始终在所在的直线上.设运动时间为x(s),半圆。与AABC的重登部分的 面积为S(C?2).(1)当x = 0时，设点M是半圆。上一点，点N是线段A8上一点，则的最大值为 ： MN的最小值为.(2)在平移过程中，当点。与3c的中点重合时，求半圆。与AA8C重叠部分的面积S；(3)当戈为何值时，半圆。与AA8C的边所在的直线相切？【答案】(1)24cm,6)cm： (2) (18 + 9尸)。?？ ； (3) X = 0或X = 6或

26、x = 9-3>/2【解析】【分析】（1）当N与点3重合，点M与点。重合时，MN最大，此时MN =。8 = £>石+8C = I2+12 = 24（。）如图，过点。作ON _L A3于N ,与半圆交于点M . 此时 MN 最小，MN = ONOM ,OB = OC + CB = 6 + 2 = 1 S（cm）ON = BN = OB = 9应（cm）,所以2MN = ON - OM = 9应-6（cm）；（2）当点。与8C的中点重合时，如图，点。移动了 12cm,设半圆与48交于点H, 连接OH、CH , OH=OC = OB = 6,90, 1S阴影=5后形“&

27、. +5丁。 =行、76 + 5x6x6 = 9万 +18：（3）当半圆。与直线4C相切时，运动的距离为。或12,所以x = 0 （秒）或6 （秒）： 当半圆0与直线A8相切时，如图，连接O“，则。“_LAB，OH = 6,OB = gH =6霹,OC = BC-OB = 12-6霹，移动的距离为6 + 12 = 18 6>/2（c/n）» 运动时间为 x =6y= 9 3>/2 （秒）.2【详解】解：解（1）当N与点4重合，点"与点。重合时，MN最大,此时MN = 08 =。石+ 8C = 12+ 12 = 24（。）如图，过点。作ON_L43于N,与半圆交于

28、点M，此时MN最小， MN=ONOM,图ZABC = 45°,，ZNOB = 45°,在 RtAONB 中，08 = OC + C8 = 6 +12 = 18（cm）万 一/. ON = BN = OB = 9y/2（cm） >2:MN = ON-OM =9&一6（0鹿），故答案为24e?, （9也-6）cm ；（2）当点。与8c的中点重合时，如图，点。移动了 12cm,if /C(D) o B 图设半圆与A3交于点H,连接OH、CH .8C为直径，ZCHB = 90°, / ZABC = 45° .NHC5 = 45。， .HC = HB

29、,：.OH ±BC. OH = OC = OB = 6,90、加影二%形hoc + S.oh = ttz / 6 + 3 x 6 x 6 = 9 +18 ；（3）当半圆。与直线AC相切时，运动的距离为。或12,.- x = 0 （秒）或 6 （秒）：当半圆O与直线A8相切时，如图，图连接O”，则0H_LA8, OH = 6N8 = 45。，NO期= 90°,，OB = ®H =6叵，OC = BC-OB = 2-6叵，移动的国:离为6 +12-6>/2 =18 6/T（c7）,运动时间为 =丑令2=9-3"（秒），综上所述，当x为。或6或9-3&q

30、uot;时，半圆。与AABC的边所在的直线相切.【点睛】本题考查了圆综合知识，熟练掌握勾股定理以及圆切线定理是解题的关键.要注意分类讨 论.9. A8是。直径，C。分别是上下半圆上一点，且弧BC =弧80,连接AC8C, 连接CO交A8于七，（1）如图求证：ZAEC = 90°；（2）如图/是弧AO一点，点M,N分别是弧AC和弧口的中点，连接FD，连接MN分别交AC, F。于RQ两点，求证：/MPC = 4NQD（3）如图在问条件下，A/N交A5于G,交BF于L，过点、G作GH LMN交AF 于H,连接8",若8G = "£AG = 6,AA8”的而积等

31、于8,求线段MN的长度【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） MN = = .5【解析】【分析】（1）由垂径定理即可证明；（2）利用等弧所对的圆周角相等和三角形外角性质即可得到结论；（3）由NMPC=/NQD 可得：ZBGL=ZBLG, BL=BG,作 BR_LMN, GT±AF, HK±AB,证 明：GH平分NAGT,利用相似三角形性质和角平分线性质求得AAGT三边关系，再求出HK 与GH, OS±MN,再利用相似三角形性质求出OS,利用勾股定理求MN即可.【详解】解：（1）证明：BC = BD，Ab为直径，AAB1CDA ZAEC=90°

32、 ；（2）连接 aw,ON,丁点M是弧AC的中点，点N是弧DF的中点,AM = CM，FN = DN，.0M 1AC,ON1FD,TOMON,A NA/ = N/V,: NM + 4Mpe = ZN + ANQB = 90°,4Mpe = ANQD ；(3)如图3,过G作GT_LAF于T,过H作HK_LAB于K,过B作BRJ_MN于R,过。作OSJ_MN 于 S,连接 OM,设 BG=m,3/(图3)/ABH的面积等于8, AG=6m + 6,: BC = BD，AZBAC=ZBFD,由(2)得NMPC=NNQD, ZAGM=ZFLNAZBGL=ZBLG，BL=BG,VBR1MN，Z

33、ABR=ZFBRVGH1MN，GHBR/. ZAGH=ZABRTAB是直径，GT±AF，ZAFB=ZATG=90°，GTBF,又,GHBR，ZTGH=ZFBR/. ZAGH=ZTGH,XVHK1AG, HT1GT,.16.HT=HK=,m + 6VFH=BG=m, 16(川+ 8)(l2). FT= m =,m + 6m + 6AG,万一说.6(？ + 8)(l2)6/Z-16 乙，“48 A / =, AH =, aG = /G =m(m + 6)m。 + 6)(3?-8),: at2+tg2=ag2>代入解得：m=4：248，AB= 10, OM=5, GK=，H

34、K=- , OG=1 55.r«8加 Un-,5VOS±MN AZOSG=ZGKH=90", GHOS AZHGK=ZGOS AAHGKAGOS, 0S _GK . 加 =，10. Mr 1nAi277 0410 MG = 7 OM OG =，10【点睛】本题考查了圆的性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形判定和性质，勾股定理等，综 合性较强，尤其是第（3）问难度很大，计算量大，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正 确作出辅助线，运用数形结合的思想进行解题.10.如图，二次函数y= - 1x2+bx+c与x轴的一个交点A的坐标为（-3, 0）,以点人为圆心作圆4与该

35、二次函数的图象相交于点8, C,点8, C的横坐标分别为-2, -5,连 接48, AC,并且满足A8J_AC.（1）求该二次函数的关系式;（2）经过点8作直线8DJ_A8,与x轴交于点。，与二次函数的图象交于点E,连接43 请判断4DE的形状，并说明理由：（3）若直线y=kx+l与圆月相切，请直接写出k的值.537【答案】（1） y=-二X- x-ll； （2） AADE是等腰三角形，理由见解析；（3）k的 66值为-或2【解析】【分析】（1）利用三垂线判断出“CN三坨4M（/L4S）,进而得出8（-2,-2）, C（-5,-l）,最后将点8, C坐标代入抛物线解析式中即可得出结论：（2）先判断出A44MsM。用，得出点。坐标，进而求出直线8。的解析式，求出点E 坐标，即可得出结论：（3）分两种情况，I、切点在“轴上方，利用三垂线判断出A4QG三AFPGMAS）,得出4。=刊"GQ = PG,设成点 G 坐标，进而得出 AQ = ? + 3, PF = km , PG = -m , GQ = km + f即可得出结论：II、切点在“轴下方，同I的方法即可得出结论.【详解】解：（1）如图1,过点3作轴于M