江苏省苏北四市2020届高三上学期期末考试数学Word版含答案

1、2020届高三模拟考试试卷数 学(满分160分，考试时间120分钟)2020. 1参考公式：1 ni n1. 样本数据X1, X2,，xn的方差s2 =和斗(Xi X)2,一 1 一 2. 圆锥的体积V = §Sh，其中S是圆锥的底面圆面积，h是圆锥的高.一、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共70分.1. 已知集合 A = x|0<x<2 , B= x| 1<x<1)，贝U A U B =.S 0I 1While I v 6I I + 1S S+ IEnd WhilePrint S(第 4 题)2. 已知复数z满足z2= 4，且z的虚部小于0，则z=.

2、3. 若一组数据乙x, 6, 8, 8的平均数为7,则该组数据的方差是 .4. 执行如图所示的伪代码，则输出的结果为 .5. 函数f(x)=寸Iog2x 2的定义域为 .6. 某学校高三年级有 A , B两个自习教室，甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习，则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为 .7. 若关于x的不等式x2 mx + 3<0的解集是(1, 3)，则实数m的值为.8. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线 育y2= 1的右准线与渐近线的交点在抛物线y2 =2px上，则实数p的值为.9. 已知等差数列an的前n项和为Sn, a2 + a9= 8, S5= 5，贝U S1

3、5的值为.10. 已知函数y= .3sin 2x的图象与函数y = cos 2x的图象相邻的三个交点分别是A, B,。，则厶ABC的面积为.11. 在平面直角坐标系 xOy中，已知圆 M: x2+ y2 4x 8y + 12 = 0，圆N与圆M外切于点(0, m)，且过点(0, 2)，则圆N的标准方程为 .12. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x= 1对称，当x (0, 1时，f(x) = eax(其中e是自然对数的底数).若f(2 020 ln 2) = 8，则实数a的值为.(第 13 题)13. 如图，在 ABC中，D , E是BC上的两个三等分点，AB AD = 2

4、AC AE，贝V cos/ ADE的最小值为 .14. 设函数 f(x) = |x3 ax b|, x 1, 1,其中 a, b R若 f(x) < M 恒成立，则当 M取得最小值时， ab 的值为 二、 解答题：本大题共 6小题，共90分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤.15. (本小题满分14分)如图，在三棱锥 PABC中，AP = AB，点M , N分别为棱 PB, PC的中点，平面 PAB丄 平面PBC.求证：BC /平面AMN ;(2)平面 AMN丄平面PBC.16. (本小题满分14分)在厶ABC中，角A , B, C的对边分别为 a, b, c,且cos5(

5、1)若 a= 5, c= 2 5，求 b 的值；n若B=；，求tan 2C的值.417. (本小题满分 14 分)如图，在圆锥 SO 中，底面半径 R 为 3，母线长 l 为 5.用一个平行于底面的平面去截圆锥， 截面圆的圆心为01,半径为r.现要以截面为底面，圆锥底面圆心0为顶点挖去一个倒立的小 圆锥00i，记圆锥001的体积为V.(1) 将 V 表示成 r 的函数；求 V 的最大值18.(本小题满分16分)在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆2 2x y2 C: a2+ b2=1(a>b>0)的右顶点为A，过点A作直线I与圆O: x2+ y2= b2相切，与椭圆C交于另一点P,

6、与右准线交于点 Q.设直线I的斜率为k.(1)用k表示椭圆C的离心率；若op OQ = o,求椭圆c的离心率.19. (本小题满分16分)1已知函数 f(x) = (a2)ln x(a R). 若曲线y = f(x)在点(1, f(1)处的切线方程为x + y 1 = 0,求a的值；(2) 若f(x)的导函数f'存在两个不相等的零点，求实数a的取值范围；(3) 当a= 2时，是否存在整数 人使得关于x的不等式f(x) 入恒成立？若存在，求出入 的最大值；若不存在，请说明理由.20. (本小题满分16分)已知数列an的首项ai = 3,对任意的n N*，都有a“+i= kan 1(k工0

7、)，数列an 1是 公比不为1的等比数列.(1) 求实数k的值；4 n, n为奇数，S2m(2) 设bn=土/中*.数列bn的前n项和为Sn,求所有正整数m的值，使得 an 1, n为偶数，S2m-1恰好为数列b n中的项.2020届高三模拟考试试卷（四）数学附加题（满分40分，考试时间30分钟）21. 【选做题】 在A , B, C三小题中只能选做两题，每小题 10分，共20分.若多做, 则按作答的前两题计分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.A. （选修42 :矩阵与变换）2 3已知矩阵M =的一个特征值为 4，求矩阵M的逆矩阵Mt 1'B. （选修44:坐标系与参数方

8、程）在平面直角坐标系 xOy中，以坐标原点 O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直一x = 2/5cos 0,线I的极坐标方程为pCos 0 + sin 0 ） = 12,曲线C的参数方程为（ 0为参数,y= 2sin 00 R）.在曲线C上求点M，使点M到I的距离最小，并求出最小值.C. （选修45:不等式选讲）, 1 1已知正数x，y, z满足x+y+ z=1，求xy+三+卫；的最小值.1【必做题】第22, 23题，每小题10分，共20分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.22. 如图，在三棱柱 ABCAiBiCi中，侧面 AAiBiB为正方形，侧面 BBiCiC为菱形，/

9、 BBiCi= 60°，平面 AAiBiB 丄平面 BBiCiC.(1) 求直线ACi与平面AAiBiB所成角的正弦值；求二面角BACiC的余弦值.2020届高三模拟考试试卷（四）（苏北四市）数学参考答案及评分标准1. x| 1<x<22. 2i144所以 OO1= 4 3r，所以 V(r) = ?n r2(4 §r) = n (3r2 r3), 0<r<3.(7 分)3 4. 20 5. 4 ,+s)6. 17. 4 8. 49. 13510.曹5242n11. （x + 2）2+ y2= 8 12. 3 13. 4 14. 37415. 证明：（

10、1）在厶PBC中，因为点 M , N分别为棱PB, PC的中点，所以 MN / BC.（3 分）又MN?平面 AMN , BC?平面 AMN，所以BC /平面 AMN.（6分）（2）在厶PAB中，因为 AP = AB，点M为棱PB的中点，所以 AM丄PB.（8分）因为平面 PAB丄平面 PBC，平面 PAB门平面 PBC = PB, AM ?平面PAB，所以 AM丄平 面 PBC.（12 分）又AM ?平面 AMN，所以平面 AMN丄平面 PBC.（14分）16. 解：（1）在厶ABC中，由余弦定理 b2 + c2 2bccos A= a2,得b2 + 20 2X 2 5xfb = 25,即

11、b2 4b 5= 0, （4 分）解得b= 5或b = 1(舍)，所以b = 5.(6分)(2)由 cos A=学及 0<A< n,得 sin A = 1 coA =所以2= 255, (8 分)5n/2VT0cos C= cos (A + B) = cos(A + -4)=(cos A sin A) =.1 (因为0<C< n,所以 sin C = 1 cos2C =1 -()2 = ,3 10从而tan C=cs=3,(12 分)10所以tan 2C=2ta n C1 tan2C17. 解：(1)在厶 SAO 中，SO= SA2 AO2=52 32= 4.(2 分)

12、SO1 r4由厶 SNOiA SAO 可知 (2)由(1)得 V(r)=扌 n (3r2 r3), 0<r<3 ,所以 V (r=9 n (6r 3r2),令 V' (=0，得 r = 2, (9 分)°； =-，所以 SO1 = -r, (4 分) SO R3当 r (0, 2)时,当 r (2, 3)时,V' (r)>0，所以V' (r)<0，所以V（r）在（0, 2）上单调递增;V（r）在（2, 3）上单调递减.所以当r= 2时,V（r）取得最大值V(2)=16n9答：小圆锥的体积 V的最大值为 罟.(14分)18.解：(1)直线

13、 I 的方程为 y= k(x a), 即卩 kx y ak= 0.因为直线l与圆O: x2+ y2= b2相切，所以!严 =b，故k2=1八k2 + 1.(4 分 )a2所以椭圆C的离心率e=- . 1b2a2设椭圆C的焦距为2c,则右准线方程为 x =.cb2a2 b2.y = k (x a),a2x =云x2 y2 彳2+ 2= 1 ,a b得(b2+ a2/”2 2a3k2x+ a4k2 a2b2 = 0,y = k (x a)a3k2 ab2a3k2 ab2 2ab2k解得 Xp = . 22，贝廿yP= k(匕2十掠2 a)=匕2+掠2 ,2ab2k八齐五)-(10分)a2 a3k2

14、 ab2 , k (a2 ac) 2ab2k =所以c 丙丽+c bra迄=°,即 a&k2 b2)= 2b2k2(a c). (12 分)由(1)知 k2= 2b b2，所以 a(严-b2)= 2b,a ba ba bb2+ a2k2 'a3k2 ab2 所以P(b*,因为赤 O)Q = 0,_2_2 ac得 y= k(c a)= kc，所以 Q(;k ( a2 ac)(6分)b2+av所以a= 2a 2c,即a= 2c,所以c=1，故椭圆C的离心率为£(16分)a 22” ，1 1 119.解：(1) f=(列 x + (a J)】.因为曲线y= f(x

15、)在点(1, f(1)处的切线方程为x + y 1= 0,所以 f' (= a 1= 1,解得 a= 0.(2 分)(2)因为f ' (=)ax1 严 x存在两个不相等的零点，x所以当当1g(x) = ax 1 + In x存在两个不相等的零点，则g' (x=- + a.xa> 0时，g' (x)>0，所以g(x)单调递增，至多有一个零点.(4分)1a<0时，因为当x (0,一)时，g ' (x)>0 , g(x)单调递增；a1当 x ( 一，+ )时，g (x)<0 , g(x)单调递减,a1ii所以 X 1时,g(x)m

16、ax= g( a戸 In( 1)-2(6 分)一 1 因为g(x)存在两个零点，所以ln( ? 2>0 ,解得e 2<a<0.(7分) 1 因为一e 2<a<0,所以一->e2>1. a1因为g(1) = a- 1<0,所以g(x)在(0,扌)上存在一个零点.(8分) 11 因为一e 2<a<0 ,所以(一)2> a1111因为 g( -)2)= ln(-_)2+_ 1,设 t= -，则 y= 2ln t t 1(t>e2).aa aa2 t因为y=p<0，所以y= 2ln t t 1(t>e2)单调递减，11

17、1所以 y<2ln(e2) e2 1 = 3 e2<0,，aaa1 所以g(x)在(-，+s )上存在一个零点.a综上可知，实数a的取值范围是(e 2, 0). (10分)111 1 2x 1 + In x(2) 当 a= 2 时，f(x) = (2 ?ln x , f' (x) = /In x + (2 = 旷设 g(x) = 2x 1 + In x，则 g' (x> 1 + 2>0,所以 g(x)单调递增，x且 gg) = In 1<0 , g(1) = 1>0，所以存在 X0 g, 1)使得 g(x°) = 0.(12 分)

18、因为当x (0, x0)时，g(x)< 0,即f ' (x)<0所以f(x)单调递减; 当 x (x0,+m )时，g(x)>0,即 f ' (x)>0所以 f(x)单调递增， 所以X= x0时，f(x)取得极小值，也是最小值，此时12x0)= (4x0 + )+ 4.(14 分)1因为 X0 g, 1)，所以 f(x 0) ( 1, 0).因为f(x) > X,且入为整数，所以 疋一1, 即卩入的最大值为一1.(16分)20.解：(1)由 an+1 = kan 1, a1 = 3 可知，a2= 3k 1, a3= 3k2 k 1. 因为an 1为

19、等比数列，所以(a2 1)2= (a1 1)(a3 1),即(3k 2)2= 2X (3k2 k 2), 即卩 3k2 10k + 8 = 0，解得 k = 2 或 k = £.(2 分)344当 k= 3时，an+ 1 3 = 3(an 3)，所以 an= 3,贝y an 1 = 2,所以数列an 1的公比为1，不符合题意；an+11当 k= 2 时，an+1 1 = 2(an 1)，所以数列an 1的公比 q= 2,an 一 I4 n, n为奇数,2n, n为偶数，所以实数k的值为2.(4分)(2)由(1)知 an 1 = 2n,所以 bn = 则 S2m= (4 1) + 4+

20、 (4 3)+ 42+ 4 (2m 1) + 4m =(4 1)+ (4 3) + + 4 (2m 1) + 4+ 42+ 4m4m+1 4=m(4 m) +3, (6 分)4m 4则 S2m 1 = S2m b2m = m(4 m) +-.因为 b2m+ b2m+ 1 = 3 2m+ 4m，又(b2m+ 2+ b2m+ 3) (b2m+ b2m +1)= 3 X 4“一 2>0 , 且 b2 + b3= 5>0 , b1 = 3>0，所以 S2m-1>0，贝y S2m>0.设= bt>0, t N*, (8 分)S2m 1则t = 1, 3或t为偶数，因为

21、b3= 1不可能，所以t = 1或t为偶数.4m+1 4当严=b1时,S2m 1m (4 m) + 3m3= 3,化简得 6m2 24m + 8 = 4m< 4,4 4m (4 m) + 3即 m2 4m + 2< 0,验证 8=3,8=3,所以m可能取值为S5=鈴得当m =1，2, 3,2时，S4= bi成立.(12分)当t为偶数时,4m+1 4m (4 m)+ 3举=3 = 1 +S2m-14m 4 3m2 + 12m 4 'm ( 4 m) + - 3+ 14m设Cm =3m2+ 12m 4 “9m2 42m + 21，贝廿 Cm + 1 Cm=m + 14m由知m&

22、gt;3,一 3当 m=4 时，C5C4=孑 <0;当m>4时,19Cm + 1 Cm>0，所以C4>C5<C6<，所以Cm的最小值为 C5= 1024,所以0金<1 +- 193<5.+ 11 024S2m令矿=4= b2,则 1 + - 3m2+ 12m- 4 = 4，即曲+ 12m-4 = 0 无整数解.+ 1综上，正整数 m4m的值2.（16分）2020届高三模拟考试试卷（苏北四市）数学附加题参考答案及评分标准|2 . 3cos()+ 2sin $ 12|n4sin (0+ 3) 12n12 4sin ( 0+ 3),(6 分)入一2 3

23、21. A.解：矩阵M的特征多项式为f（ H t =（ 2）（1） 3t.（2分）因为矩阵M 的勺一个特征值为4,所以 f(4) = 6 3t= 0,所以 t= 2.(5分）1 31323-1_2X1 3X 22X1 3X 244所以M =2，所以M1-2 2 =11.(10 分)2X 1 3X 2 2X 1 3X 222B.解：由l:pcos 0+ psin0-12 = 0，及 x = pcos 0, y= pin0,所以I的直角坐标方程为 x + y 12 = 0. （2分）在曲线 C上取点 M（2_3cos 0, 2sin $ ），则点M到I的距离n当0= "6时，d取最小值4

24、,2, (8分)此时点M的坐标为(3, 1). (10分)C.解：因为x, y, z都为正数，且x+ y + z= 1,111所以由柯西不等式，得3( - + - + )x + 2y y + 2z z + 2x71 1 1=(x+2y+z+2x)【"+ 2y)+ (y+2z)+(z+2x)(5 分)(；x+?x+2y +y+2z+sz+xz+ 2x)2= 9，1当且仅当x= y = z= 3时等号成立，111所以+ + 的最小值为3.（10分） x+ 2y y+ 2z z+ 2x22.解：（1）因为四边形 AA1B1B为正方形，所以 AB丄BB1.因为平面 AA 1B1B丄平面 BB1C1C，平面 AA1B1B门平面 BB1C1C = BB1,AB?平面AA1B1B，所以 AB丄平面BB1C1C. （2分）以点B为坐标原点，分别以 BA , BBi所在的直线为x, y轴，以过点B且垂直于平面 AAiBiB的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz.不妨设正方形 AAiBiB的边长为2，贝V A（2，0，0），Bi（O，2，0）.在菱形BBiCiC中，因为/ BBiCi= 60°,所以 Ci(0, 1,3)，所以 ACi= ( 2, 1,3)因为平面AAiBiB的一个法向量