数学建模停车位规划与评价

1、承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的

2、全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 李 肯 2. 蔡春婷 3. 王 露 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期：2011年 08月 25 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：某停车场泊位规划与效度评价摘要 对于停车位规划问题我们引入了坡度因素，提出了三种模型，分别为“三排斜列坡度式”“斜列交错式”和“两排垂直式”，我们依据空间效率最大化的原则，精确作图，合理分区，最后发现“两排垂直式”能容纳的停车位最多，共100个。然后我们利用模糊分析法建立了停车场评价系统模型，其中使用了层次分析法确定权系数向量，并创造性地将停车场设计与评语相关联，建立了因素评语表，构建了模糊评

3、价矩阵。在求解一级、二级综合评价矩阵时，比较了“主因素决定型”“主因素突出型”和“加权平均型”三种计算方法后，发现用“加权平均型”所得的结果最为准确，并判断 “两排垂直式”模型的评价为：很好。由于为露天停车场，且不考虑车位的费用差异，那么车主对于车位的评价，其心理因素应包含防盗、防刮擦、距出入口距离、是否遮阴等。我们用目标规划的思路，用三个优先级依次递增的指标进行评价。在筛选车位时我们又使用了决策论中淘汰“次优方案”的思路，根据优先级逐渐把“次劣”泊车位排除，最后发现在我们选用的规划设计中，靠花坛停放的最右侧的两个车位是最劣车位，最不受欢迎。关键词坡度、两排垂直式、模糊综合评价、层次分析法、加

4、权平均型一 问题重述问题产生背景：自20世纪90年代以来, 我国经济呈现出持续高速发展态势, 家用小汽车更以惊人的发展速度进入普通居民家庭。但人们在享受汽车所带来的便利和快捷的同时, 又必须面对由此所引发的一系列问题, 其中停车问题就是越来越突出的问题之一。问题主体：停车位规划是指在有限的停车空间区域内，通过设计车位布局，尽可能多地发挥空间效率与时间效率。停车泊位设计考虑的因素较多，如平均车位占面积，车辆出入泊位难易程度，停车场内部道路畅通程度等等。请设计一个完整的指标体系对停车场效度进入评价。图1是某居民小区的一个露天停车场，请对该停车场泊车位进行规划设计。并应用你所建立的评价体系对停车场效

5、度进行评价，并指出哪些车位最不受欢迎。图1 露天停车场平面图二 模型假设1 停车场位置已经符合城市规划和交通管理的要求。2 停车场出入口已经应避开城市主要干道及其交叉口。3 停车场道路宽最小宽度为4米。4 泊车者驾驶技术合格且按规定停车，不超出车位线。5 假设本小区停车场只进出小型汽车，采用国家行业标准（附录一）。三 符号说明泊车倾斜角每排泊车数量最小道宽最小转弯半径最小转弯内径指标集合评语集合权系数向量模糊评价矩阵综合评价矩阵判断矩阵最大特征根特征向量四 模型的建立与求解1建立小区的停车位规划模型1.1 停车位规划目标分析由于小汽车数量迅猛增长，停车位配备资源有限，停车位服务出现了供不应求的

6、局面，因此在有限的空间中划分出合理的尽可能多的车位，提高空间效率是建立规划模型时考虑的主要目标。相比较之下，人们对停车服务的软性质量需求大大降低，因此，我们把时间效率，包括减少堵车率、缩短入库用时等作为本次规划的次要目标。1.2 规划的限制分析考虑到各方面的规划限制，我们主要选取其中刚性大、对规划产生直接作用的主要限制进行介绍。这里的限制主要有停车场格局限制和国家标准。根据公安部和建设部停车场设计规划规则（试行）简单列出重要指标如下：1）汽车库内的通车道宽度应大于或等于3.00米；2）小型汽车曲线半径不得小于6.00米；3）小型汽车车间纵向净距不小于2.00米、横向不小于1.00米；4）车背对

7、停车时车间尾距不小于1.00米；5）小型车，其外廓尺寸分别是总长为4.80米、总宽为1.80米；6）小型车位长宽标准各为5.30米、2.40米停车场格局限制：图1中的花坛处在接近出入口的位置，为了确保车辆正常转弯和流通行驶，出入车道只能被一分为二，处于花坛两侧。环绕整个停车场。车道宽度必须比根据最小旋转半径计算出的最小道路宽度大出一定的值，从而减少刮擦的可能。通过最小转弯半径求最小转弯通道宽，由图2得：根据余弦定理，在中：解得： 故最小道宽为3.771米。1.3 不同泊车格局的方案提出为了使停车场效度尤其是空间效率最大化，我们根据车辆排放方式的不同组合提出了三种规划。首先介绍一下车辆排放方式和

8、与之对应的停驶方式，并对其空间利用利弊和适用空间类型做出了简单分析。1）平行式（如图3）车辆停放方向和车道平行，这种方法可以使车宽方向上的车辆数目达到最多，但车头车尾要保留较长距离导致一定的车长方向上空间浪费，适合宽长比较大的区域。停车时转角较小，可节省转弯半径。 2）垂直式（如图4）车辆停放方向与车道垂直，与平行式相对的它可以使车长方向的车辆数目达到最多，车宽较少，适合长宽比较大的区域。停驶时转角至少为90°。3）斜列式（如图5）车辆停放方向与车道呈一定倾角（图中为45°倾角），纵横方向占有长度介于以上两种排放方式之间，适合场内有倾斜角度的区域，结合前进式停车或后退式停车

9、的选择，转角在090°之间。 图3 图4 图5对三种基本排放方式有了了解之后，我们向排放数目最大化靠拢，从两个角度出发：1）行数优先，即在保证行数最大化的前提下再考虑每行上车数最大化；2）行上的车数优先，即在考虑每行的车数最大化的前提下再对行数进行最大化的考虑。我们通过组合提出三种规划。由于停车场花坛上下两侧主要区域布局相同，所以我们只讨论下半部分。同时为了方便计算我们仅对停车场最大内接矩形所能排放的车辆进行计算，从而得出最佳方案。三排斜列坡度式为了最大化场宽方向上的空间利用率，我们设想车辆排成三排，在行数上扩大排车数目，考虑到车道宽度和底部不规则区域，因此底部车位排放应具有一定倾角

10、，而中部先设为平行式，在未考虑车道宽硬性要求的情况下，顶部可利用空间形状不确定，故也采用斜列式，在达标前提下求出最大倾斜角。在之前的问题假设和国家标准中，小型车长宽为5.3米和2.4米，最小道宽为4米。减去两条最小道宽和中部平行车位宽：得到上下两侧最大车位宽：由于4.24<5.3，在斜列有倾斜角的基础上，我们引入新的斜坡排放方式，即在垂直地面方向上形成一定坡度（出于技术考虑坡度在0°30°之间），进一步减少车位宽，提高空间利用率。同时扩大了出车视野，增大了安全系数。设置坡度为30°，则斜面上的最大停车位长度为：4.24cos=4.896设在斜面上车辆摆放倾角

11、为，则有关于的方程：解得：=32.94°此时，设底部可停辆车，则其满足关系式为：解得：=12.88因此采取该方案时，一排最多仅仅能够停12辆车。为简化运算我们暂时取停车场用于停车的形状为长61.76米的长方形则水平停车数目为：61.76÷5.3=11.65.则可知该方案最多可停放：12×4+11×2=70斜列交错式由于是交错排列，不考虑斜坡排放。设为图8中的长度，为的长度，为设可停辆车，则有：=18.88-4×2-2.4=8.48解得：°设可停靠辆车，则有式子：解得：=14.21.因此采取该方案，一排最多仅仅能够停14辆车，为简化运算

12、我们暂时取停车场用于停车的形状为长61.76米的长方形则水平停车数目为：61.76÷5.3=11.65则可知该方案最多可停放：14×4+11×2=78。两排垂直式由上图知在宽度足够大的情况下停车方向越接近90°，相同空间所能容纳的车位数越多。所以我们采用90°的停车方车式进行计算。设每排可停车辆，则有：2.4=61.76解得：=25.7.所以四排一共可停车：25×4=100；综上所述，我们发现当道路宽度可以得到保证时，泊位与道路的角度越大，泊车位越多。故以第三种方案垂直两排式进行排列可以最节省空间，达到最大的空间利用率。对于已有的三个

13、方案，根据空间效率最大化的主要目标，我们选择了第三个方案。下面我们将建立一个完整的评价体系，对规划三进行评价。2 建立停车场评价系统模型并应用2.1模糊综合评价模型的指标集合和评语集合的确定为了构造停车场效度的评价体系，我们引入了模糊综合评判模型，它的基本要素有指标集合和评语集合,对于指标集合，我们分析如下：1.安全性，它主要是指：车辆在停车场行驶过程中，由停车场的特征赋予车辆的避险性能；以及车辆在停放过程中，避免被其他车辆挂擦以及避免被盗的性能。安全性是驾驶人员对停车场服务水平的基本要求,也是停车场运营者的基本要求，他们都希望停放车辆的安全性高且出现紧急情况时有良好的出入停车场的环境，还希望

14、停车行为对正在行使车辆的安全性的影响最小,不会形成恶性的循环,以致严重影响动态的停车取车等。因此，安全性是对停车场的效度进行评价的重要指标之一。2.便捷性，它主要是指：车辆进入和驶出停车场所需的时间和行驶的路程最小，乘车的人员和停车场管理人员到达停车场相应位置最快等。便捷性是对于人和车两者的流动而言的,停车者都希望从停车场到目的地的步行状况良好,步行的距离越短越好，都希望停车场内部通畅性良好,驾驶员出入停车场都比较容易,则该停车场被使用的可能性就越大。另外，基于停车场的特殊性，追求最高的便捷性，很多驾驶员都喜欢在安全性能高的前提下，选则距离停车场出口最近的停车位。停车场运营者也希望停车场的便捷

15、性尽可能高，以此提高停车场的效度。因此，便捷性也是对停车场的效度进行评价的重要指标之一。3.效率性，它主要是指：有效的利用时间和空间资源的能力,在停车场中,停车集中指数的增加,均衡的泊位利用,停车时间的减少等因素直接影响停车场服务水平的好坏。并且合理的收费-停车时间的利用可以使短时的停车和长时间的停车自动地分离开来,对改善停车场的服务水平大有帮助。驾驶人员希望停车场具有尽可能高的效率性，追求效率最大化，尽可能多的节省时间等；停车场营运者也希望停车场具有最大的效率，来达到停车场的最佳运作状态，提高停车场的稳定性和适用性等等。因此，效率性也是对停车场的效度进行评价的重要指标之一。表1.停车场效度评

16、价体系目标指标因素停车场的效度评价安全性停车行为对其他车辆的行驶影响车辆拐弯的难度对紧急情况的处理灵活性便捷性车主平均步行距离人车分离的程度停车场内道路顺畅程度效率性泊车位的使用率停车场内的空间利用率平均每个空车位被补缺所需要的时间对于评语集合，我们规定,这些评语的确定是由具体的某一停车场设计和相关国家标准共同决定的，我们以题目中的停车场为例进行说明：表2.停车场设计对应关联因素的评语较差一般较好很好关联因素道路宽度（米）45566778、弯道转弯半径（米）6.06.46.46.86.87.27.27.6停车位宽度（米）5.005.255.255.505.505.755.756.00停车位与道

17、路夹角0°30°75°90°60°75°45°60°30°45°停车位总数7080809090100100以上靠左停车位比率30%35%35%40%40%45%45%50%、以上表最后一行数据为例进行说明，如图：所谓“靠左停车位比率”是指图10虚线左侧停车位数占总数的百分比，题中的停车场平均长度约为70米，那么距出入口35米处为停车场中线，中线左侧车越多，即离出入口的车越多，车主的平均步行距离越少，在安全性相同的情况下，越受车主欢迎，故可关联到因素、上。若该因素落在某一评语的范围内，则该评语取为

18、1，其他三个评语为0。2.2综合评价矩阵的确定对每一个指标的因素确定评语后， 设第个因素的权系数为，则可得权系数向量，然后构建模糊评价矩阵，其中表示第个因素在第级评语的取值。那么综合评价矩阵，这里为合成运算，共有三种计算方法：1）主因素决定型2）主因素突出型3）加权平均型符号为取最小值，符号为取最大值。然后对综合评价矩阵做归一化处理， 。最后根据最大隶属度原则就得出该停车场的效度大小，作出总体的评价。2.3层次分析法确定权系数向量为确定权系数向量，我们使用了层次分析法，即：表3.停车场效度评价层次结构目标层准则层方案层停车场的效度评价指标因素根据层次分析法的原理，通过因素两两比较，建立判断矩阵

19、：显然满足且,，。我们把满足以上两个条件的矩阵称为正互反矩阵。当且仅当,时，正互反矩阵称为一致判断矩阵。按教授提出的19标度法，由准则层各因素之间的重要程度进行两两比较判断，得到每一指标下的正互反矩阵，比如：表4. 19标度法标度定义含义1同样重要两指标对某属性同样重要3稍微重要两指标对某属性, 前者比后者稍微重要5明显重要两指标对某属性, 前者比后者明显重要7强烈重要两指标对某属性, 前者比后者强烈重要9极端重要两指标对某属性, 前者比后者极端重要2、4、6、8相邻标度中值表示重要程度位于上述相邻两标度之间的中间值上列标度倒数反比较若指标与指标的重要性之比为,则指标与指标的重要性之比为确定正

20、互反矩阵后，接着计算其最大特征根和特征向量，这里我们用和法，步骤如下：1）将的每一列向量归一化得到。2）对按行求和并归一化得，即近似特征向量。3）计算作为最大特征根的近似值。这个方法实际上是将的列向量归一化后取平均值，作为它的的特征向量，因为当为一致阵时它的每一列都是特征向量，所以若的不一致性不严重，则此选择是合理的，下面就要进行一致性检验。计算一致性指标：上式矩阵的最大特征根，为矩阵的阶数。时为一致阵，越大的不一致越严重，为了确定其不一致允许的范围，我们借助随机一致性指标，其数值如下：表5.随机一致性指标 的数值1234567891011000.580.901.121.241.321.411

21、.451.491.51当一致性比率时认为的不一致程度在允许范围内，若大于0.1，则检验不通过，需要对进行修正。以问题一中的规划三为例，进行说明首先设准则层的正互反阵为则其特征向量为（程序见附录二），最大特征根为，故，由于为3阶，查表5得，计算，一致性检验通过，该特征向量可作为准则层的权向量。再设方案层的正互反阵分别为：计算结果列入下表：表6.方案层的计算结果0.59450.27660.12850.08200.23640.68160.42860.42860.14293.00553.001530.002750.000750容易看出它们均通过了一致性检验。2.4确定模糊评价矩阵我们根据所选方案三的数

22、据：1）道路宽度 8.2米；2）弯道转弯半径6.56米；3）停车位宽度 5.3米；4）停车位与道路夹角 90°；5）停车位总数 100辆；6）靠左停车位比率 0.49；结合表2，确定各因素评语取值，列表如下：表7.各因素评语表： 因素评语很好001101101较好000000010一般010010000较差100000000模糊评价矩阵分别为：由表6查得对应的权系数向量分别为：2.5确定一级、二级综合评价矩阵我们分别用上文提到的“主因素决定型”“主因素突出型”和“加权平均型”三种方法计算综合评价矩阵，并做归一化处理得到下表（程序见附录三）：表8.一级综合评价矩阵：综合评价矩阵主因素决

23、定型主因素突出型加权平均型(0.1286,0,0.2767,0.5947)(0.1286,0,0.2767,0.5947)(0.1286,0,0.2767,0.5947)(0.7425,0,0.2575,0)(0.7425,0,0.2575,0)(0.7636,0,0.2364,0)(0.5000,0.5000,0,0)(0.5000,0.5000,0,0)(0.5714,0.4286,0,0)接着我们用“主因素决定型”的结果作为模糊评价矩阵计算二级综合评价矩阵，而权向量在前面已经求出，故二级综合评价矩阵结果为（程序见附录四）：， =(0.2508,0.0960,0.2167,0.4364)对

24、照评语集合按照最大隶属度原则我们发现停车场的效度评价为较差，但是由于“主因素决定型”运算简单，可能丢失很多信息，因而所得结果有些粗糙。当因素比较多而权重分配又比较均衡时，每一因素所分得的权重较小，由于只用运算和，这就使得到的综合评价也都较小，这时较小的权重通过运算得不到理想的结果，故而我们改用表8中“加权平均型”的结果作为模糊评价矩阵计算二级综合评价矩阵，重新计算得到的结果为（程序见附录五）：=(0.3862,0.0526,0.2299,0.3313)按照最大隶属度原则，停车场的效度评价为：很好。3车位的分类与评价车主对泊车位的评价与他自身的需求有直接关系，由于为露天停车场，且不考虑车位的费用

25、差异，那么车主对于车位的评价，其心理因素应包含防盗、防刮擦、距出入口距离、是否遮阴等。但由于为露天停车场，故不考虑遮阴，车主对于车位好坏的评价是基于安全性和便捷性两个角度出发（不考虑车位的价格差异）。考虑安全性指标中被盗窃比率和被刮擦比率是最关键因素，考虑便捷性指标中离出入口的距离为最重要指标。就安全性而言，越远离出入口的、越偏僻的车位发生偷盗损坏事件的概率就越高；车辆不被刮擦应该是其次考虑的，当然不在拐角处的停车位要比在拐角处的停车位被刮擦的概率小得多；接着需要考虑步行出停车场的时间，离门越近当然所花时间越少，那么这三者的优先秩序就是：被盗窃率>被刮擦率>离出入口的距离。根据目标

26、规划的理论，越高优先等级的指标的逆向偏差变量（与其负向偏差变量相区别）越大，对于整体优化越不利。同理，对越高优先级别指标的损坏越严重的车位，它的评价肯定越差。在规划理论中确定最优可以通过排除“次优”来实现，那么这里为了确定“最差”的车位，也可以通过排除“次差”的车位来实现。下面具体说明排除“次差”车位的过程：首先考察第一优先级被盗窃率，车位越远离门口越偏僻，越容易招致偷盗损坏，那么根据排除“次差”车位原则，首先排除1、3区域和中间5、6、7、8区域的左边大部；接着考察第二优先级指标被刮擦率，在拐角处最容易被刮擦，所以中间矩形中只有花坛最右侧的两个车位（图11中的两个方块）保留，其余车位作为“次

27、差”车位排除掉，3、4区域也被排除；然后考虑第三优先级步行距离，这两个车位距出入口的距离相同，故都被保留，成为最不受车主欢迎的车位。五 模型的评价1优点1）本文插入了大量的图表，将模型的建立过程阐述的清晰易懂。2）在对停车场进行效度评价时把模糊分析法与层次分析法结合在一起，很巧妙地处理了复杂系统的评价，而且提高了评价的可靠性。3）创造性地将停车场设计指标与评语相关联，建立了因素评语表，为建立模糊评价模型提供了有力支持。4）在对车位优劣进行评价的时候采取了逐步排除“次劣”车位的方式，是一种方法上的创新，而且评价效果比较准确。2缺点1）由于题中图形没有提供数据支持，故我们采集的数据可能存在误差。2

28、）各因素的选取具有主观性。3）建立模糊评价矩阵时，每个因素仅关联到唯一一个指标上，但实际上因素有可能是由多个指标共同关联的。六 模型的改进和推广1改进建立模糊评价矩阵时，每个因素仅关联到唯一一个指标上，但实际上因素有可能是由多个指标共同关联的。应该用层次分析法确定每个指标在各因素上的权重，然后再建立模糊评价矩阵。2推广我们建立的停车场体系评价模型是基于具体的停车场设计和国家标准的，故而只要获得了相关停车场的设计指标，就可以利用我们设计的因素评语表建立模糊综合评价模型，对该停车场的效度进行评价，进而指导停车场的泊位规划。进一步推广，也可用我们建立的模型评价相关站、库的规划，如加油站、仓库等等。参

29、考文献1 公安部建设部.停车场设计规划规则（试行）.h，2011.8.242 姜启源，谢金星，叶俊. 数学模型（第四版）.北京：高等教育出版社，20113 卓金武，魏永生. MATLAB在数学建模中的应用. 北京：北京航空航天大学出版社，2011附录附录一：车辆轮廓尺寸行业标准中华人民共和国行业标准汽车库建筑设计规范 Design Code for Garage JGJ100-98主编单位：北京建筑工程学院批准部门：中华人民共和国建设部施行日期：1998年9月1日附录二：最大特征根和特征向量的计算clearA=1 2 4;1/2 1 3;1/4 1/3 1;%A=1 2 5;1/2 1 2;1

30、/5 1/2 1;%A=1 1/3 1/8;3 1 1/3;8 3 1;%A=1 1 3;1 1 3;1/3 1/3 1;n=size(A,1); a=sum(A);for i=1:n a1(:,i)=A(:,i)/a(i);enda2=sum(a1,2);w=a2/sum(a2), r=sum(A*w./w)/n %特征向量和最大特征根结果：w =0.55710.32020.1226r =3.0183w =0.59490.27660.1285r =3.0055w =0.08200.23640.6816r =3.0015w =0.42860.42860.1429r =3附录三：主因素决定型计算

31、一级综合评价矩阵clearW=0.5945;0.2766;0.1285;P=0 0 0 1;0 0 1 0;1 0 0 0;%W=0.0820;0.2364;0.6816;P=1 0 0 0;0 0 1 0;1 0 0 0;%W=0.4286;0.4286;0.1429;P=1 0 0 0;0 1 0 0;1 0 0 0;n=size(P,2);for i=1:n b(i)=max(min(W,P(:,i);endB=b/sum(b) %归一化处理结果：B = 0.1286 0 0.2767 0.5947B = 0.7425 0 0.2575 0B = 0.5000 0.5000 0 0主因素突出型计算一级综合评价矩阵clearW=0.5945;0.2766;0.1285;P=0 0 0 1;0 0 1 0;1 0 0 0;%W=0.0820;0.2364;0.6816;P=1 0 0 0;0 0 1 0;1 0 0 0;%W=0.