小学数学校本教材.

1、目录.2.5.81142163.18120229.35.41第一讲中国古代数学家刘徽刘徽-简介刘徽九章算术刘徽（生于公元 250 年左右），是中国数学史上一个非常伟大的数学家，在世界数学史上，也占有杰出的地位他的杰作九章算术注和海岛算经，是我国最宝贵的数学遗产。九章算术约成书于东汉之初，共有246 个问题的解法。在许多方面：如解联立方程，分数四则运算，正负数运算，几何图形的体积面积计算等，都属于世界先进之列，但因解法比较原始，缺乏必要的证明，而刘徽则对此均作了补充证明。在这些证明中，显示了他在多方面的创造性的贡献 他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根。在代数方面

2、，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则；改进了线性方程组的解法在几何方面，提出了 " 割圆术 " ，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法 他利用割圆术科学地求出了圆周率 3.14 的结果。他用割圆术，从直径为 2 尺的圆内接正六边形开始割圆， 依次得正 12 边形、正 24 边形 ，割得越细，正多边形面积和圆面积之差越小，用他的原话说是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”他计算了 3072 边形面积并验证了这个值刘徽提出的计算圆周率的科学方法， 奠定了此后千余年中国圆周率计算在世界上的领先地位。刘徽在数学上

3、的贡献极多， 在开方不尽的问题中提出“求徽数”的思想，这方法与后来求无理根的近似值的方法一致， 它不仅是圆周率精确计算的必要条件， 而且促进了十进小数的产生； 在线性方程组解法中，他创造了比直除法更简便的互乘相消法， 与现今解法基本一致；并在中国数学史上第一次提出了“不定方程问题”； 他还建立了等差级数前 n 项和公式；提出并定义了许多数学概念： 如幂（面积）；方程（线性方程组）；正负数等等刘徽还提出了许多公认正确的判断作为证明的前提。他的大多数推理、证明都合乎逻辑，十分严谨，从而把九章算术及他自己提出的解法、公式建立在必然性的基础之上虽然刘徽没有写出自成体系的著作，但他注九章算术所运用的数学

4、知识实际上已经形成了一个独具特色、包括概念和判断、 并以数学证明为其联系纽带的理论体系刘徽在割圆术中提出的 " 割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣 " ，这可视为中国古代极限观念的佳作海岛算经一书中，刘徽精心选编了九个测量问题，这些题目的创造性、复杂性和富有代表性，都在当时为西方所瞩目刘徽思想敏捷，方法灵活， 既提倡推理又主张直观他是我国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生他虽然地位低下，但人格高尚他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富。第二讲法国数学家勒内笛卡尔勒内&

5、#183;笛卡尔勒内·笛卡尔（ ReneDescartes ，1596 1650），著名的法国哲学家、科学家和数学家。 笛卡尔常作笛卡儿， 1596 年 3 月 31 日生于法国安德尔 - 卢瓦尔省笛卡尔 -1650 年 2 月 11 日逝于瑞典斯德哥尔摩）。 他对现代数学的发展做出了重要的贡献，因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父。 他还是西方现代哲学思想的奠基人，是近代唯物论的开拓者提出了“普遍怀疑”的主张。 他的哲学思想深深影响了之后的几代欧洲人，开拓了所谓“欧陆理性主义”哲学。人物简介笛卡尔出身于一个地位较低的贵族家庭，父亲是布列塔尼议会的议员。 1 岁多时母亲患肺结

6、核去世，而他也受到传染，造成体弱多病。母亲去世后，父亲移居他乡并再婚，而把笛卡尔留给了他的外祖母带大，自此父子很少见面，但是父亲一直提供金钱方面的帮助，使他能够受到良好的教育。在他 8 岁时笛卡尔就进入拉夫赖士(La Flèche)的耶稣英语会学校接受教育，受到良好的古典学以及数学训练。1613 年到普瓦捷大学学习法律，1616 年毕业。毕业后笛卡尔一直对职业选择不定，又决心游历欧洲各地，专心寻求“世界这本大书”中的智慧。因此他于1618 年在荷兰入伍，随军远游。笛卡尔对数学的兴趣就是在荷兰当兵期间产生的。一次他看到军营公告栏上用佛莱芒语写的数学问题征答引起了兴趣，并且让一位他当兵的

7、朋友，进行了翻译。他的这位朋友在数学和物理学方面有很高造诣，很快成为了他的老师。 4 个月后，他写信给这位朋友， “你是将我从冷漠中唤醒的人 . ，”并且告诉他，自己在数学上有了 4 个重大发现。可惜的是这些发现现在已经无从知道了。26 岁时，笛卡尔变卖掉父亲留下的资产，用4 年时间游历欧洲，其中在意大利住了2 年，随后定居巴黎。1621 年笛卡尔退伍，并在1628 年移居荷兰，在那里住了20多年。在此期间，笛卡尔专心致力于哲学研究，并逐渐形成自己的思想。他在荷兰发表了多部重要的文集，包括了方法论、形而上学的沉思(Méditations mtaphysiques)é 和哲学

8、原理(LesPrincipes de la philosophie)等。1649年笛卡尔受瑞典女王之邀来到斯德哥尔摩，但不幸在这片 “熊、冰雪与岩石的土地”上得了肺炎，并在1650年2 月去世。1663年他的著作在罗马和巴黎被列入禁书之列。1740年，巴黎才解除了禁令，那是为了对当时在法国流行起来的牛顿世界体系提供一个替代的东西。第三讲速算与巧算一、知识要点：（一）四则运算的定律、性质、法则是进行速算与巧算的重要依据。1、利用运算定律使计算简便。2、利用运算顺序的改变使计算简便。3、利用运算法则使计算巧妙。（二）转化是速算与巧算的主要技巧。1、当一个数接近整十、整百、整千 的时候，将其转化为整

9、十、整百、整千的数，计算比较简便。2、利用数的分解或拆数，转化后巧算。3、改变计算方法（变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘）使计算简便。（三）认真观察算式及数的特征，剖析数于数之间的关系，是灵活的选择和合理运用计算技巧的主要方法。二、例题精讲例 1：（凑整法） 计算下面各题。（ 1）、5.82.32 0.68 4.2（ 2）、1999199.9 19.99 1.999（ 3）、12.59 3.24 5.76（ 4）、8.1 7.8 8.2 8.4 7.9 7.6【思路点拨】（ 1）5.8 与 4.2 刚好凑成 10，2.32 与 0.68 刚好凑成 3，这样凑整可以使计算简便。（ 2）19

10、99 接近 2000，其余各加数也分别接近一个整数，可先把各加数看作与它接近的整数。再把多加的那部分减去。（ 3）3.24 与 5.76 的和是整数 9，可以运用减法运算的性质把原式变为 12.59 （ 3.24 5.76 ），这样计算就简便了。（ 4）算式中的 6 个数都接近 8，可以用 8 作为基准数，先求出 6 个 8 的和，再加上比 8 大的数中少加的部分， 减去比 8 小的数中多加的部分。也可以运用凑整法。例 2：（分解法）计算下面各题（ 1）18×5.5（2）8.88 ×1.25（3）34.7 ×0.25（ 4）238÷1.25 （5）0.2

11、5 ×12.5 ×3.2【思路点拨】（ 1） 运用分解法巧算。把 18 分解为 9×2，然后运用乘法结合律，把 2×5.5 结合积为 11，最后求出 9 与 11 的积。（ 2）把 8.88 分解为 8×1.11 ，然后运用乘法结合律。（ 3）因为 4×0.25=1 ，所以一个数乘 0.25 ，就相当于这个数除以 4. （4）因为 8×1.25=10 ，所以一个数除以 1.25 ，相当于这个数除以 10，再乘 8，即先把小数点向左移动一位，再乘 8.（ 5）把 3.2 分解为 4×0.8 ，再运用乘法结合律 。例

12、3：计算（ 1）124.68 324.68 524.68 724.68 924.68（ 2）5795.5795 ÷5.795 ×579.5【思路点拨】（1）可运用拆分法巧算。把每一个加数都拆分为一个整数和一个小数的和，可以使计算简便。（ 2）运用改变运算顺序法使计算简便。 ，先求出 579.5 除以 5.795 的商得 100，然后再求出 5795.5795 ×100 的积。例 4：计算下面各题。（ 1）1990×198.9 1989×198.8（ 2）2.25 ×0.16 264×0.0225 5.2 ×2.25

13、 0.225 ×20【思路点拨】（1）利用扩缩法巧算。根据积的变化规律：一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变的道理，可以把被减数写成 199×1989，然后利用乘法分配律巧算。（ 2）同样利用扩缩法简便计算，注意选择最佳方案。例 5：计算：（ 10.28 0.84 ）×（0.28 0.84 0.66 ）（10.28 0.84 0.66 ） ×（ 0.28 0.84 ）【思路点拨】可以利用设数法解题。 整个式子是乘积之差的形式，两个乘积斗的构成很有规律：如果把 1 0.28 0.84 用字母 A 表示，把 0.28 0.84 用字母 B表示

14、，原式就可以变成 A×（ B0.66 ）（A 0.66 ） ×B。在运用乘法分配律使计算简便。例 6：计算 4.82 ×0.59 0.41 ×1.59 0.323 ×5.9【思路点拨】先改变原运算顺序（加法交换律），先求出 4.82 ×0.59与 0.323 ×5.9 的差，可运用扩缩法把0.323 ×5.9 写成 3.23 ×5.9,后运用乘法分配律计算，然后再加上0.41 ×1.59 ，再次运用乘法分配律巧算。例 7：计算 654321×123456654322×1234

15、55.【思路点拨】观察算式中数的特点， 发现被减数中的两个因数分别比减数中的两个因数少1 和多 1，即 654321 比 654322 少 1,123456 比123455 多 1，可以利用乘法分配律简算。解： 654321×123456654322×123455=654321×（ 1234551） （ 6543211）× 123455=654321×123455654321654321×123455123455=654321123455=530866例 8：计算 1998×1999199919991999×199

16、819981998【思路点拨】可以运用数的分解和乘法分配律简算。因为abab=ab×101,abcabc=abc ×1001, 所以 199919991999=1999× 100010001,199819981998=1998×100010001.这样被减数和减数都有相同因数 100010001，就可以运用乘法分配律进行简算了。解： 1998 ×1999199919991999×199819981998= 1998 ×1999×1000100011999×1998×100010001 =0例 9

17、：计算（ 135 1999） （ 246 1998）【思路点拨】根据减法的性质，将原式拆开后，在配对组合，进行等量变形。即（ 32）为一组，（54）为一组 （ 19991998）为一组，这样每组的差都是 1，共分为（1998÷2）组，所以结果为 1000. 当然本题也可以运用等差数列求和的方法进行计算。例 10：计算 10099989796959493 8765 4321.【思路点拨】本题按顺序计算太繁，观察算式的特点，发现每两个数相加后，又会减去两个数，我们可以考虑把它们四个数分为一组，每组结果都是 4，共分为 100÷4=25 组。所以结果是 4×25=100

18、.三、同步练习计算下面各题（ 1） 0.125×0.25 ×32（ 2）16×4.5（ 3） 0.25 ×1.25 ×22.4（ 4）0.9 0.99 0.999 0.9999 0.99999（ 5）（72×357357×28）÷（ 51×7×4）（ 6）98989898×99999999÷1010101÷11111111（ 7）3.14 ×6.5 4.5 ×3.14 3.14（ 8）1240×3.8 124×511.24 &

19、#215;1400760×9.6 0.76 ×700（ 9）1÷（2÷3） ÷（3÷4）÷（4÷5） ÷ ÷（ 1999÷2000）123456 9899100100（ 10）（258 2000） （ 147 1999）20112012×2012201120112011×2012201211123456789101112131415161985198619871988198919901991199219931994第四讲平面图形的面积（1 ）一、例题精讲例 1已知平

20、行四边形的面积是28 平方厘米，求阴影部分的面积。5厘米4厘米【思路点拨】4 厘米既是平行四边形的高，也是阴影三角形的高，平行四边形的面积是 28 平方厘米，它的底为 28÷4=7（厘米），平行四边形的底减去 5 厘米就是三角形的底， 7-5=2（厘米）。根据三角形的面积公式直接求出阴影部分的面积。技巧的面积最直接的方法是利用计算公式直接求阴影面积；还可以用总面积减去空白面积求得阴影部分面积。这两种是最常用最简便的方法。二：同步精练1. 下面的梯形中， 阴影部分的面积是 150 平方厘米，求梯形的面积。15 厘米25 厘米2已知平行四边形的面积是48 平方厘米，求阴影部分的面积。5

21、厘米6厘米3如果用铁丝围成如下图一样的平行四边形，需要用铁丝多少厘米？（单位：厘米）912第五讲平面图形的面积（2 ）一、例题精讲例 2 下图中甲和乙都是正方形， 求阴影部分的面积。（单位：厘米）GA甲C乙FB6E4【思路点拨】图中的阴影部分是一个三角形， 它的三条边的长都不知道，三条边上的高也不知道。所以，无法用公式计算出它的面积。仔细观察本题的图，我们可以发现，如果延长 GA 和 FC，它们会相交（设交点为 H），这样就得到长方形 GBFH（如下图），它的面积很容易求，而长方形 GBFH 中除阴影部分之外的其他三部分（ AGB 、 BFC 及 AHC ）的面积都能直接求出。二、同步练习1、

22、求下图中阴影部分的面积。 （单位：厘米）43432、求下图中阴影部分的面积。 （单位：厘米）8585第六讲平面图形的面积（3）一、例题精讲例 3如图所示：，甲三角形的面积比乙三角形的面积大6 平方厘米，求 CE的长度。A4厘米D甲4厘F米乙BCE【思路点拨】题目中告诉我们，甲三角形的面积比乙三角形的面积大 6 平方厘米，即甲- 乙=6（平方厘米），而甲和乙分别加上四边形ABCF后相减的结果还是 6 平方厘米，即： 甲- 乙=6（平方厘米）（甲 +四边形 ABCF）- （乙 +四边形 ABCF）=6（平方厘米）即：正方形 ABCD-ABE=6（平方厘米）这就是说正方形 ABCD的面积比三角形 A

23、BE的面积大 6 平方厘米。用正方形的面积减去 6 就得到三角形 ABE的面积，再用三角形的面积乘以 2 再除以 AB，就得到 BE的长度，从而求出 CE的长度。同步练习1 、四边形 ABCD是一个长为 10 厘米，宽 6 厘米的长方形，三角形 ADE的面积比三角形 CEF的面积大 10 平方厘米。求 CF的长是多少厘米？FEDCAB2、正方形 ABCD的边长是 12 厘米，已知 DE是 EC长度的 2 倍，求：（1）三角形 DEF的面积。AD（2）CF的长。EBFC第七讲：逻辑推理（ 1）一、知识要点四年级已经学习过用列表法和假设法解答逻辑推理问题。 从广义上说，任何一道数学题，任何一个思维

24、过程，都需要逻辑分析、判断和推理。我们这里所说的逻辑问题，是指那些主要不是通过计算，而是通过逻辑分析、判断和推理，得出正确结论的问题。逻辑推理必须遵守四条基本规律：（ 1）同一律 。在同一推理过程中，每个概念的含义，每个判断都应从始至终保持一致，不能改变。（ 2）矛盾律 。在同一推理过程中，对同一对象的两个互相矛盾的判断，至少有一个是错误的。例如，“这个数大于 8”和“这个数小于 5”是两个互相矛盾的判断，其中至少有一个是错的，甚至两个都是错的。（ 3）排中律 。在同一推理过程中，对同一对象的两个恰好相反的判断必有一个是对的，它们不能同时都错。例如“这个数大于 8” 和“这个数不大于 8”是两

25、个恰好相反的判断， 其中必有一个是对的，一个是错的。（ 4）理由充足律 。在一个推理过程中，要确认某一判断是对的或不对的，必须有充足的理由。我们在日常生活和学习中，在思考、分析问题时，都自觉或不自觉地使用着上面的规则，只是没有加以总结。例如假设法，根据假设推出与已知条件矛盾，从而否定假设，就是利用了矛盾律。在列表法中，对同一事件“”与“×”只有一个成立，就是利用了排中律。二、例题精讲例 1 张聪、王仁、陈来三位老师担任五（ 2）班的语文、数学、英语、音乐、美术、体育六门课的教学，每人教两门。现知道：（ 1）英语老师和数学老师是邻居；（ 2）王仁年纪最小；（ 3）张聪喜欢和体育老师、数

26、学老师来往；（ 4）体育老师比语文老师年龄大；（ 5）王仁、语文老师、音乐老师三人经常一起做操。请判断各人分别教的是哪两门课程。分析与解 ：题中给出的已知条件较复杂， 我们用列表法求解。先设计出右图的表格，表内用“”表示肯定，用“×”表示否定。因为题目说“每人教两门”，所以每一横行都应有 2 个“”；因为每门课只有一人教， 所以每一竖列都只有 1 个“”，其余均为 “×”。由（3）知，张聪不是体育、数学老师；由（ 5）知，王仁不是语文、音乐老师；由（ 2）（4）知，王仁不是体育老师，推知陈来是体育老师。至此，得到左下表。由（ 3）知，体育老师与数学老师不是一个人，即陈来不是

27、数学老师，推知王仁是数学老师；由（ 1）知，数学老师王仁不是英语老师，推知王仁是美术老师。至此，得到右上表。由（ 4）知，体育老师陈来与语文老师不是一个人，即陈来不是语文老师，推知张聪是语文老师；由（ 5）知，语文老师张聪不是音乐老师，推知陈来是音乐老师；最后得到张聪是英语老师，见下表。所以，张聪教语文、英语，王仁教数学、美术，陈来教音乐、体育。以上推理过程中， 除充分利用已知条件外， 还将前面已经推出的正确结果作为后面推理的已知条件，充分加以利用。另外，还充分利用了表格中每行只有两个 “”，每列只有一个 “”，其余都是“×”这个隐含条件。例 1 的推理方法是不断排斥不可能的情况，选

28、取符合条件的结论，这种方法叫做 排他法。例 2 小明、小芳、小花各爱好游泳、羽毛球、乒乓球中的一项，并分别在一小、二小、三小中的一所小学上学。现知道：（1）小明不在一小；（2）小芳不在二小；（3）爱好乒乓球的不在三小；（4）爱好游泳的在一小；（5）爱好游泳的不是小芳。问：三人上各爱好什么运动？各上哪所小学？分析与解 ：这道题比例 1 复杂，因为要判断人、 学校和爱好三个内容。与四年级第 26 讲例 4 类似，先将题目条件中给出的关系用下面的表 1、表 2、表 3 表示：因为各表中，每行每列只能有一个“”，所以表3 可补全为表4。由表 4、表 2 知道，爱好游泳的在一小，小芳不爱游泳，所以小芳不

29、在一小。于是可将表 1 补全为表 5。对照表 5 和表 4，得到：小明在二小上学，爱好打乒乓球；小芳在三小上学，爱好打羽毛球；小花在一小上学，爱好游泳。例 1、例 2 用列表法求解。下面，我们用分析推理的方法解例3、例 4。例 3 小说镜花缘中有一段林之祥与多久公飘洋过海的故事。有一天他们来到了“两面国”，却忘记了这一天是星期几。迎面见了“两面国”里的牛头和马面。他们知道，牛头在星期一、二、三说假话，在星期四、五、六、日说真话；马面在星期四、五、六说假话，在星期一、二、三、 日说真话。牛头说： “昨天是我说假话的日子。 ” 马面说：“真巧，昨天也是我说假话的日子。”请判断这一天是星期几。分析与

30、解 ：因为牛头、马面只有星期日都说真话， 其它时间总是一个说真话，另一个说假话，所以这一天不是星期日，否则星期六都说假话，与题意不符。由题意知，这一天说真话的，前一天必说假话； 这一天说假话的，前一天必说真话。 推知这一天同时是牛头、 马面说假话与说真话转换的日子。因为星期二、三、五、六都不是说假话与说真话转换的日子，所以这一天不是星期二、三、五、六；星期一是牛头由说真话变为说假话的日子，但不是马面由说假话变为说真话的日子， 所以这一天也不是星期一；星期四是牛头由说假话变为说真话的日子，也是马面由说真话变为说假话的日子，所以这天是星期四。例 4 A ，B，C，D 四个同学中有两个同学在假日为街

31、道做好事，班主任把这四人找来了解情况，四人分别回答如下。A：“ C，D两人中有人做了好事。”B：“ C做了好事，我没做。”C：“ A，D中只有一人做了好事。”D：“ B 说的是事实。”最后通过仔细分析调查， 发现四人中有两人说的是事实，另两人说的与事实有出入。到底是谁做了好事？分析与解 ：我们用假设法来解决。 题目说四人中有两人说的是事实，另两人说的与事实有出入。注意，此处的“与事实有出入”表示不完全与事实相符，比如，当B，C 都做了好事，或B，C 都没做好事，或 B 做了好事而 C 没做好事时， B 说的话都与事实有出入。因为 B 与 D 说的是一样的，所以只有两种可能，要么 B 与 D 正

32、确，A与C错；要么 B与D错，A与C正确。（1）假设 B与D说的话正确。这时 C 做了好事， A 说 C，D 两人中有人做了好事， A 说的话也正确，这与题目条件只有“两人说的是事实”相矛盾。所以假设不对。（2）假设 A 与 C 说的话正确。那么做好事的是 A 与 C，或 B 与 D，或 C 与 D。若做好事的是 A 与 C，或 C 与 D，则 B 说的话也正确，与题意不符；若做好事的是B 与 D，则 B 说的话与事实不符，符合题意。综上所述，做好事的是B 与 D。三、同步练习1.A ，B，C，D，E 五个好朋友曾在一张圆桌上讨论过一个复杂的问题。今天他们又聚在了一起，回忆当时的情景。A说：“

33、我坐在B的旁边。”B说：“坐在我左边的不是C就是 D。”C说：“我挨着D。”D说：“ C坐在 B 的右边。”实际上他们都记错了。 你能说出当时他们是怎样坐的吗？没有发言的 E 的左边是谁？2.从 A ，B，C，D，E，F 六种产品中挑选出部分产品去参加博览会。根据挑选规则，参展产品满足下列要求：（ 1）A，B两种产品中至少选一种；（ 2）A，D两种产品不能同时入选；（ 3）A，E，F 三种产品中要选两种；（ 4）B，C两种产品都入选或都不能入选；（ 5）C，D两种产品中选一种；（ 6）若 D种产品不入选，则 E种也不能入选。问：哪几种产品被选中参展？3.三户人家每家有一个孩子，分别是小平（女）

34、、小红（女）和小虎（男），孩子的爸爸是老王、老张和老陈，妈妈是刘英、李玲和方丽。（ 1）老王和李玲的孩子都参加了少年女子体操队；（ 2）老张的女儿不是小红；（ 3）老陈和方丽不是一家人。请你将三户人家区分开。4.甲、乙、丙三人，他们的籍贯分别是辽宁、广西、山东，他们的职业分别是教师、工人、演员。已知：（ 1）甲不是辽宁人，乙不是广西人；（ 2）辽宁人不是演员，广西人是教师；（ 3）乙不是工人。求这三人各自的籍贯和职业。5.甲说：“乙和丙都说谎。”乙说：“甲和丙都说谎。”丙说：“甲和乙都说谎。”根据三人所说，你判断一下，下面的结论哪一个正确：（ 1）三人都说谎；（ 2）三人都不说谎；（ 3）三人

35、中只有一人说谎；（ 4）三人中只有一人不说谎。6.五号楼住着四个女孩和两个男孩，他们的年龄各不相同，最大的 10 岁，最小的 4 岁，最大的女孩比最小的男孩大4 岁，最大的男孩比最小的女孩也大4 岁，求最大的男孩的岁数。第八讲逻辑问题（ 2）一、例题精讲例 1 老师拿来五顶帽子， 两顶红的三顶白的。 他让三个聪明的同学甲、乙、丙按甲、乙、丙的顺序排成一路纵队，并闭上眼睛，然后分别给他们各戴上一顶帽子， 同时把余下的帽子藏起来。 当他们睁开眼后，乙和丙都判断不出自己所戴帽子的颜色， 而站在最前面的甲却根据此情况判断出了自己所戴帽子的颜色。甲戴的帽子是什么颜色？他是怎样判断的？分析与解 ：这是一个

36、典型的逻辑推理问题。甲站在最前面， 虽然看不见任何一顶帽子，但他可以想到：如果我和乙戴的都是红帽子，因为一共只有两顶红帽子， 那么丙就会判断出自己戴的是白帽子。 丙判断不出自己戴的帽子的颜色， 说明我和乙戴的帽子是两白或一白一红。甲接着想：乙也很聪明， 当他看到丙判断不出自己戴的帽子的颜色时，他也能判断出我们两人戴的帽子是两白或一白一红。此时，如果他看到我戴是红帽子， 那么他就会知道自己戴的是白帽子， 只有我戴的是白帽子时，他才可能猜不出自己戴的帽子的颜色。所以，我戴的一定是白帽子。例 1 中，甲的分析非常精采，严密而无懈可击。例 2 三个盒子各装两个球，分别是两个黑球、两个白球、一个黑球一个

37、白球。封装后，发现三个盒子的标签全部贴错。如果只允许打开一个盒子，拿出其中一个球看，那么能把标签全部纠正过来吗？分析与解 ：因为“三个盒子的标签全部贴错”了，贴错的情况见下图（表示白球，表示黑球） :如果从标签是两黑的盒子中拿一个球， 那么最不利的情况是拿出一个白球，此时无法判定是实际情况 1，还是实际情况 2，也就无法把标签全部纠正过来；同理，从标签是两白的盒子中拿一个球，若拿的是黑球，则也无法把标签全部纠正过来；从标签是一黑一白的盒子中拿出一个球， 若拿出的是黑球， 则能确定出是实际情况 1，若拿出的是白球，则能确定出是实际情况 2，因此能把标签全部纠正过来。所以，只要从标签是一黑一白的盒

38、子中拿一个球， 就能纠正全部标签。例 3 A，B，C 三名同学参加了一次标准化考试，试题共 10 道，都是正误题，每道题 10 分，满分为 100 分。正确画“”，错误画“×”。他们的答卷如下表：考试成绩公布后，三人都得70 分。请你给出各题的正确答案。分析与解 ：我们先分析一下三人的得分情况。因为三人都得70分，所以每人都错了3 道题。比较A，B 的答卷发现，他们有6 道题的答案不一样，说明这6 道题 A，B 两人各错 3 道，也就是说， A，B答案相同的题都对了，因此找到了第1，3，4，10 题的正确答案。同理， A，C的答卷也有 6 道题的答案不一样，因此找到了第3，6，8，9

39、 题的正确答案；同理B，C的答卷也有 6 道题的答案不一样，因此找到了第 2，3，5，7 题的正确答案。各题的正确答案如下表：例 4 A，B，C，D，E 五位选手进行乒乓球循环赛，每两人都只赛一盘。规定胜者得 2 分，负者不得分。现在知道的比赛结果是： A 与B并列第一名（有两个并列第一名，就不再设第二名，下一个名次规定为第三名）， D比 C的名次高，每个人都至少胜了一盘。试求每人的得分。分析与解 ：因为乒乓球比赛没有平局， 所以求胜的盘数与得分是一回事，胜的盘数乘以 2 就是得分。五人进行循环赛，共需赛 10 盘，总得分是 2×10= 20 （分）。因为每人都赛 4 盘，所以第一名

40、最多胜 4 盘，但因为 A，B并列第一， A，B 不可能都胜 4 盘，所以 A，B 最多各胜 3 盘。如果 A，B没有各胜 3 盘，而是各胜 2 盘，那么剩下的 10-2 ×2= 6 （盘）的胜利者只会是 C，D，E，根据抽屉原理， C，D，E三人中至少有 1 人胜了至少 2 盘，与第一名胜2 盘矛盾。所以， A，B 各胜 3 盘，各得 6分。还有 4 盘，已知 D 比 C 名次高，每个人都至少胜一盘，只能是D胜 2 盘得 4 分， C，E 各胜一盘，各得2 分。注意：题目中“每个人都至少胜一盘”是制约结果的重要条件，如果没有这个条件，那么该题的结果就有两种可能：一是A，B 各胜3

41、盘，各得 6 分， D胜 2 盘得 4 分，C，E 各胜 1 盘，各得 2 分；二是A，B 各胜 3 盘，各得 6 分，D，E 各胜 2 盘各得 4 分，C胜 0 盘，得 0 分。二、同步练习1. 有个老汉想考考他的四个聪明的儿子， 他拿出六顶帽子， 三顶红的、两顶蓝的和一顶黄的。然后，让四个儿子按大的在前小的在后的顺序排成一路纵队，并让他们闭上眼睛。接着，给他们每人戴上一顶帽子，藏起其余两顶。当他们睁开眼睛后，每个人都只能看见前边人的帽子。这时，老汉依次问小儿子、三儿子和二儿子， “你戴的帽子是什么颜色？”他们都回答“不知道”。最后，老汉又问大儿子。大儿子想了一会儿，正确地说出了自己戴的帽子

42、的颜色。问：大儿子戴的帽子是什么颜色？他是如何判断的？2. 五年级有四个班， 每个班有两名班长， 每次召开年级班长会议时各班参加一名班长。参加第一次会议的是 A，B，C，D，参加第二次会议的是 E，B，F，D，参加第三次会议的是 A，E，B，G。已知 H三次会都没参加，请问每个班各是哪两位班长？3. 甲、乙、丙、丁四个学生坐在同一排的相邻座位上，座号是号至 4 号。一个专说谎话的人说： “乙坐在丙的旁边，甲坐在乙和丙1的中间，乙的座位不是3 号。”问：坐在2 号座位上的是谁？4. 李大娘问三位青年人的年龄。小张说：“我 22 岁。比小吴小 2 岁。比小徐大 1 岁。”小吴说： “我不是年龄最小

43、的。小徐和我差3 岁。小徐 25 岁。”小徐说： “我比小张年龄小。小张23 岁。小吴比小张大3 岁。”这三位青年人爱开玩笑，每人讲的三句话中，都有一句是错的。李大娘难辩真真假假，请你帮助李大娘弄清这三人的年龄。5. A ，B，C三支足球队举行循环比赛（每队之间赛一场），下面是记有详细比赛情况的表。 但后来发现表中有四个数是错误的。 请按规定重制一张正确的表格。 （胜一场记 2 分，负一场记 0 分，平一场双方各记 1 分。）6. 某次数学测验， 共有六道试题， 均是是非题。 正确的画“”，错误的画“×”。每题答对得 2 分，不答得 1 分，答错得 0 分。甲、乙、丙、丁的答案及前三

44、人的得分如下表，求丁得了多少分。第九讲列方程解应用题一、知识要点有些数量关系比较复杂的应用题， 用算术方法求解比较困难。 此时，如果能恰当地假设一个未知量为 x（或其它字母），并能用两种方式表示同一个量，其中至少有一种方式含有未知数 x，那么就得到一个含有未知数 x 的等式，即方程。利用列方程求解应用题，数量关系清晰、解法简洁，应当熟练掌握。二、例题精讲例 1 商店有胶鞋、布鞋共 46 双，胶鞋每双 7.5 元，布鞋每双 5.9 元，全部卖出后，胶鞋比布鞋多收入 10 元。问：胶鞋有多少双？分析：此题几个数量之间的关系不容易看出来， 用方程法却能清楚地把它们的关系表达出来。设胶鞋有 x 双，则

45、布鞋有（ 46-x）双。胶鞋销售收入为 7.5x 元，布鞋销售收入为 5.9（46-x）元，根据胶鞋比布鞋多收入 10 元可列出方程。解：设有胶鞋 x 双，则有布鞋（ 46-x）双。7.5x-5.9（46-x）=10，7.5x-271.4+5.9x=10，13.4x=281.4，x=21。答：胶鞋有 21 双。分析：因为题目条件中黄球、 蓝球个数都是与红球个数进行比较，所以答：袋中共有 74 个球。在例 1 中，求胶鞋有多少双，我们设胶鞋有 x 双；在例 2 中，求袋中共有多少个球，我们设红球有 x 个，求出红球个数后，再求共有多少个球。像例 1 那样，直接设题目所求的未知数为 x，即求什么设

46、什么，这种方法叫 直接设元法 ；像例 2 那样，为解题方便，不直接设题目所求的未知数，而间接设题目中另外一个未知数为 x，这种方法叫间接设元法 。具体采用哪种方法， 要看哪种方法简便。 在小学阶段，大多数题目可以使用直接设元法。例 3 某建筑公司有红、灰两种颜色的砖，红砖量是灰砖量的 2 倍，计划修建住宅若干座。 若每座住宅使用红砖 80 米 3，灰砖 30 米 3，那么，红砖缺 40 米 3，灰砖剩 40 米 3。问：计划修建住宅多少座？分析与解 一：用直接设元法。设计划修建住宅 x 座，则红砖有（80x-40）米 3，灰砖有（ 30x+40）米 3。根据红砖量是灰砖量的 2倍，列出方程80

47、x-40= （30x+40）× 2，80x-40=60x+80，20x=120，x=6（座）。分析与解 二：用间接设元法。 设有灰砖 x 米 3，则红砖有 2x 米 3。根据修建住宅的座数，列出方程。（ x-40）× 80=（2x+40）× 30，80x-3200=60x+1200，20x=4400，x=220（米 3）。由灰砖有 220 米 3，推知修建住宅（ 220-40）÷ 30=6（座）。同理，也可设有红砖x 米 3。留给同学们做练习。例 4 教室里有若干学生，走了10 个女生后，男生是女生人数的2 倍，又走了 9 个男生后，女生是男生人数的5

48、倍。问：最初有多少个女生？分析与解 ：设最初有x 个女生，则男生最初有（x-10）× 2 个。根据走了10 个女生、9 个男生后，女生是男生人数的5 倍，可列方程x-10= （x-10 ）× 2-9 ×5，x-10= （2x-29 ）× 5，x-10=10x-145 ，9x=135，x=15（个）。例 5 一群学生进行篮球投篮测验，每人投 10 次，按每人进球数统计的部分情况如下表：还知道至少投进 3 个球的人平均投进 6 个球，投进不到 8 个球的人平均投进 3 个球。问：共有多少人参加测验？分析与解 ：设有 x 人参加测验。 由上表看出，至少投进 3 个球的有（x-7-5-4）人，投进不到 8 个球的有（x-3-4-1）人。投中的总球数，既等于进球数不到 3 个的人的进球数加上至少投进 3 个球的人的进球数，0×7+1×5+2×4+6×（ x-7-5-4 ）= 5+8+6×（ x-16 ）= 6x-83 ，也等于进球数不到8 个的人的进球数加上至少投进8 个球的人的进球数，3&