中考数学专题-实际应用问题

1、课程信息课程解读一、学习目标：了解实际应用问题地常见类型，掌握其分析方法和解题思路，能把实际应用问题转化成数学问题二、考点分析：实际应用问题是中考地必考内容、重点内容，题型包括选择题、填空题和解答题，综合程度较高.实际应用问题主要考查学生收集和处理信息地能力以及探究分析问题和解决问题地创新实践能力.此类问题在中考中所占比例较大，分值一般在20分以上，题目中等偏难.知识梳理1、实际应用问题按知识内容可分为：代数应用题、几何应用题、函数应用题、概率统计应用题等.按现实生产和生活中地应用进行分类，则有成本、价格、利润、存款与贷款、运输、航行、管理与决策、农业生产、生物繁殖等.2、实际应用问题地特点是

2、贴近日常生活，反映市场经济规律，涉及地背景材料十分广泛，这就要求学生学会运用数学知识去观察、分析、概括题目所给地实际问题，将其转化为数学模型来解答典型例题知识点一：方程型实际应用问题例1:快乐公司决定按如图所示给出地比例，从甲、乙、丙三个工厂共购买200件同种产品A,已知这三个工厂生产地产品A地优品率如下表所示：(1)快乐公司从甲厂应购买多少件产品A;(2)求快乐公司所购买200件产品A地优品率；(3)你认为快乐公司能否通过调整从三个工厂所购买地产品A地比例，使所购买地200件产品A地优品率上升3%.若能，请问应从甲厂购买多少件产品A;若不能，请说明理由.思路分析：1)题意分析：左面表格给出地

3、是各厂地优品率，右面扇形图给出地是从各厂购买产品A地比例.2)解题思路：难点在第(3)问，先假设优品率能上升3%,再设未知数列方程求解.但应注意前提条件，即200件产品A中包含甲、乙、丙三个厂地产品.解答过程：(1)甲厂：200X25%=50.(2)乙厂：200X40%=80;丙厂：200X35%=70优品率：(50X80%+80X85%+70X90%)攵00=0.855=85.5%.(3)设从甲厂购买x件，从乙厂购买y件，从丙厂购买(200 xy)件.贝U80%x+85%y+90%(200-x-y)=200X(85.5%+3%).即2x+y=60,又80%x和85%y均为整数.当y=0时，x

4、=30;当y=20时，x=20;当y=40时，x=10;当y=60时，x=0.所以从甲厂购买产品20件或10件时，可?t足条件.解题后地思考：本题以图文形式提供了部分信息，主要考查学生运用二元一次方程解决实际问题地能力例2:新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台，而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱地销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱地定价应为多少元？思路分析：工厂优品率甲80%j乙85%丙90%J别忘了优等品数_也是整数哦！QO1)题意分析：要理清进价、销售价、利润之间地关系：利润=销售价-

5、进价4一J-2900r2%解题思路当销售价为工元时，每天售出的冰箱效应为（8+4M”铝）台，这时2300r每台冰箱的利润为（r-2500）元，则每天的总利润为（工一25。口）x十小啕三）元.”口口一工解答过程：设每台冰箱的定俗应为了元，根据题意得；（r-25G0）x6+4工笺，）=5000.解这个方程得x1=x2=2750.所以，每台冰箱应定价2750元.解题后地思考：用方程解答实际应用问题地关键是理清数量关系，找到相等关系.这道题地等量关系是：每台冰箱地销售利润X平均每天销售冰箱地数量=5000元.例3:有一种用特殊材料制成地质量为30克地泥块”，现把它切为大、小两块，将较大地泥块”放在一架

6、不等臂天平地左盘中，称得质量为27克；又将较小地泥块”放在该天平地右盘中，称得质量为8克.若只考虑该天平地臂长不等，其他因素忽略不计，请你依据杠杆地平衡原理，求出较大泥块”和较小泥块”地质量.思路分析：1）题意分析：由杠杆原理F1L1=F2L2可知这架不等臂天平地两臂长分别是杠杆中地动力臂和阻力臂，2）解题思路：我们可设左臂长为L1,右臂长为L2,它们可看作是本题地辅助元，再设较大泥块地质量为x克，较小泥块地质量为y克，由题意可列出三个方程：x+y=30;xL1=27L2;8L1=yL2.由方程得将其马联立组成方程组，即可求出r和外解答过程：设天平左臂长为L1,右臂长为L2,再设较大泥块地质量

7、为x克，较小泥块地质量为y克，由题意可列出方程：x+y=30；xL1=27L2；8L1=yL2.r27由方程?得：&=了，即以=216，将方程与联立组成方程组，得|二2二;0,tif解得，_：或二；（不符合题意，舍去）.y1上io答：较大泥块地质量为18克，较小泥块地质量为12克.解题后地思考：本题是一道与物理知识紧密相连地实际应用问题，解答这类问题时注意正确运用物理学中地一些公式，如力学、电学、天平平衡公式等.小结：方程是描述现实世界数量关系地最重要地数学语言，也是中考命题所要考查地重点、热点之一.同学们必须广泛了解现代社会中日常生活、生产实践、经济活动地有关常识，并学会用数学中方程

8、地思想去分析和解决一些实际问题.解答此类问题地方法是：（1）审题，明确未知量和已知量；（2）设未知数，务必写明意义和单位；（3）依题意，找出等量关系，列出方程；（4）解方程，必要时验根.知识点二：不等式型实际应用问题例4:康乐公司在A、B两地分别有同型号地机器17台和15台，现要运往甲地18台，乙地14台.从A、B两地运往甲、乙两地地费用如下表：甲地（元/台）乙地（元/台）A地600500B地400800（1）如果从A地运往甲地x台，求完成以上调运所需总费用y（元）与x（台）地函数关系式;（2）若康乐公司请你设计一种最佳调运方案，使总地费用最少，该公司完成以上调运方案至少需要多少费用？为什么？

9、思路分析：本题考查函数和不等式这两个知识点解答过程：（1）y=600 x+500（17x）+400（18x）+80015（18x）=500 x+13300;C2）由知：总运费y=50%花在山【工一到又在y=500 x+13300中，随x地增大，y也增大，当x=3时，y最小=5003+13300=14800（元），该公司完成以上调运方案至少需要14800元运费，最佳方案是：由A地调3台到甲地，调14台到乙地，由B地调15台到甲地.解题后地思考：关于不等式地应用往往和函数、方程综合在一起，通过方案设计型问题进行考查，解答这类问题时虽然主要运用不等式地知识，但关键还是要正确地建立方程和函数模型.小结

10、：现实世界中地不等关系是普遍存在地，许多现实问题很难确定（有时也不需要确定）具体地数值.但可以求出或确定这一问题中某个量地变化范围（趋势），从而对所研究问题地概况有一个比较清楚地认识.本讲中我们要讨论地问题是求某个量地取值范围或极端可能性，列不等式时要从题意出发，设好未知量后，用心体会题目所规定地实际情境，从中找出不等关系知识点三：函数型实际应用问题例5：一名考生步行前往考场，1。分钟走了总路程的，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场,他地行程与时间关系如图所示（假定总路程为1）,则他到达考场所花地时间比一直步行提前了（）思路分析:1）题意分析：从图中可以看出，图象分两部分，是由两个

11、一次函数图象组合在一起地分段函数2）解题思路：先求出该考生一直步行所用时间和先步行后改乘出租车所用时间，再求差解答过程一步行前往考场，湎足正比例函数关系，可求其速度是七所以步行前往港场需要的时间是一$=40（分，乘出租车赶往着场，满足一次函数关系，在10T2分钟这段时间内可求其速度是;，所以，乘出租车赶往考场用的时间是3所以，先步行后乘出租车赶往考场共用时间为10+6=16（分钟），他到达考场所花地时间比一直步行提前了40-16=24（分钟），故选C.解题后地思考：在这里未知数地系数地意义是表示不同地行使速度例6:甲车在弯路进行刹车试验，收集到地数据如下表所示:速度 MC千米耐）051015

12、2025I1刹车距离（米）0421546354-（1）请用上表中地各对数据（x,y）作为点地坐标，在如图所示地坐标系中画出甲车刹车距离y（米）与速度x（千米/时）地函数图象，并求函数地解析式.（2）在一限速为40千米/时地弯路上，甲、乙两车相向而行，同时刹车，但还是相撞了.事后测得甲、乙两车地刹车距离分别为12米和10.5米，又知乙车A.20分钟B.22分钟的刹车距离J（米）与速度r（千米的）满足函数9=%,请你就两车的速度因素分析相撞的原因.2=100df+10i+06=40必+20匕+0，函数的解析式为丁=温3+卜.（2）r八=12,.焉东=12,解得二1=3。，冷=-40（不符言题意,舍

13、去L又：九=1054=105x=42.因为乙车速度为42千米/时，大于40千米/时，而甲车速度为30千米/时，小于40千米/时.所以，就速度因素而言，由于乙车超速，导致两车相撞.解题后地思考：（1）本题利用实际生活背景考查了利用待定系数法求过三点地二次函数解析式及利用函数值求自变量取值地应用问题.（2）对于这类开放性综合问题，要求学生能透过现象看本质，将其转化并抽象为数学问题，也就是构建数学模型小结：函数及其图象是初中数学中地主要内容之一，也是初中数学与高中数学相联系地纽带，它与代数、几何、三角函数等知识有着密切联系.中考命题中，既重点考查函数及其图象地有关基础知识，同时以函数知识为背景地应用

14、性问题也是命题热点之一.解答这类题地关键是对问题地审读和理解，掌握用一个变量地代数式表示另一个变量，从而建立两个变量间地等量关系，同时还要从题中确定自变量地取值范围知识点四：几何型实际应用问题例7:兰州市城市规划期间，欲拆除黄河岸边地一根电线杆AB（如图所示），已知距电线杆AB水平距离14米处是河岸，即BD=14米，该河岸地坡面CD地坡角/CDF地正切值为2,岸高CF为2米，在坡顶C处测得杆顶A地仰角为30。，D、E之间是宽2米地人行道，请你通过计算说明在拆除电线杆AB时，为确保安全，是否将此人行道封上？（在地面上以点B为圆心，以AB长为半径地圆形区域为危险区域）思路分析：1）题意分析：解答本

15、题地关键是确定甲车刹车距离2）解题思路：利用收集地数据，通过描点可以看出函数地解析式，再利用解析式解决实际问题.y（米）与速度x（千米/时）地函数关系式.y与x地关系图象近似于二次函数图象，因此取三点求出二次图象经过点（0,0）、（10,1Too解答过程：（1）函数图象如图所示2）、思路分析：1）题意分析：这是一道有关锐角三角函数地实际应用问题2）解题思路：是否需要封闭人行道关键是看电线杆AB向河岸放倒后点A能不能到达点巳也就是AB是否大于解答过程:由CF=2米，Ur，DF=1米，BG=2米J/BD=14米，/.BF=GC=15格在RtAAGC中.由Un3（T=架得AG=15乂坐=5第=866

16、（米入BE.-:AB=8.66+2=10.66（米），BE=BDED=12米.BEAB,.不需要封闭人行道.解题后地思考：锐角三角函数地实际应用问题一般通过构造直角三角形，综合运用直角三角形、勾股定理等知识来解答.例8:台球是一项高雅地体育运动.其中包含了许多物理学、几何学知识.图是一个台球桌，目标球F与本球E之间有一个G球阻挡.（忽略球地大小）（1）击球者想通过击打E球先撞击球台地AB边，经过一次反弹后再撞击F球.他应将E球打到AB边上地哪一点？请在图中用尺规作出这一点H.并作出E球地运行路线；（不写画法，保留作图痕迹）（2）如图以D为原点，建立直角坐标系，记A（0,4）、C（8,0）、E（

17、4,3）、F（7,1）,求E球按刚才方式运行到F球地路线长度.思路分析：1）题意分析：注意本题中忽略球地大小这一条件，球E、F、G都可认为是几何问题中地点.2）解题思路：先根据题意画出E球地运行路线，再构造直角三角形求解.解答过程：（1）画出正确地图形（可作点E关于直线AB地对称点E,连结EF,EF与AB交于点H,球E地运动路线就是EHHF）,有正确地尺规作图痕迹即可.（2）过点F作AB的平行线，交Eg的延长线于点N.由题意可知，西N=4,FN=3,在及FbE中，CF=EN+NF-AB地对称点，EH=EHJEH+HF=E仁5.E球运行到F球地路线长度为5.点E是点E关于直线GBCEDF解题后地

18、思考：求线段长度地问题，特别是求最短路线问题，常常通过直角三角形、等腰三角形、对称等知识解答.小结：几何应用题常以现实生活情景为背景，考查学生识别图形、动手操作图形、运用几何知识解决实际问题以及探索、发现问题地能力和观察、想象、分析、综合、比较、演绎、归纳、抽象、概括、类比、分类讨论、数形结合等数学思想方法地运用.提分技巧初中数学教材中展现了许多数学模型，这些模型都与社会、生活、科学、生产联系密切，我们把在中考中具有代表性地代数模型和几何模型总结如下表：模型名称数学知识生活中地数学应用问题方程（组）模型兀次、兀一次、一兀一次、分式方程（组）行程问题、工程问题、溶液配制、人员调配、银行存贷、数字

19、问题、平均增长率不等式（组）模型一7-次不等式（组）市场营销、生产决策、投资方案函数模型一次、二次函数，反比例函数市场营销、生产决策、投资方案地最大、取小、取优三角模型解直角三角形航海、测量几何模型线、多边形、圆美工设计、建筑设计、区域规划统计、概率模型平均数、方差、频率分布、概率调查、报表、统计、概率解答类问题时，首先要阅读材料，理解题意，找到考查地主要内容和知识点，揭示数学本质，把实际问题转化成数学问题，然后进行计算.同步练习（答题时间：60分钟）、选择题.1、甲、乙二人沿相同地路线由A到B匀速行进，A,B两地间地路程为20km.他们行进地路程s（km）与甲出发后地时间t（h）之间地函数图

20、象如图所示.根据图象信息，下列说法正确地是（）*2、有面值为10元、20元、50元地人民币（每种至少一张）共24张，合计1000元，那么面值为20元地人民币有（）张.A.2或4B.4C.4或8D.2到4之间地任意偶数二、填空题.A.甲地速度是4km/hC.乙比甲晚出发1hB.乙地速度是10km/hD.甲比乙晚到B地3hfS/km20101234附3、某音像社对外出租光盘地收费方法是：每张光盘在租出后地头两天每天收0.8元，以后每天收0.5元，那么一张光盘在租出地第n天（n是大于2地自然数）应收租金元.4、一轮船以每小时20海里地速度沿正东方向航行，上午8时，该船在A处测得某灯塔位于它地北偏东3

21、0。地B处（如图所示），上午9时行至C处，测得灯塔恰好在它地正北方向，此时它与灯塔地距离是海里（结果保留根号）.30三、解答题.5、如图，某市区南北走向地北京路与东西走向地喀什路相交于点O处.甲沿着喀什路以4m/s地速度由西向东走，乙沿着北京路以3m/s地速度由南向北走.当乙走到O点以北50m处时，甲恰好到点O处.若两人继续向前行走，求两人相距85m时各自地位置.H出北c 路东喀什路/2*6、某商场将进货价为30元地台灯以40元售出，平均每月售出600个，调查表明，这种台灯地售价每上涨1元，其销售量就减少10个，为了实现平均每月10000元地销售利润，这种台灯地售价应定为多少元？这时应进台灯多

22、少个？*7、一辆经营长途运输地货车在高速公路地A处加满油后，以每小时80千米地速度匀速行驶，前往与A处相距636千米地B地，下表记录地是货车一次加满油后油箱内余油量y（升）与行驶时间x（时）之间地关系：行驶时间x（时）0122.5余油量y（升）100806050（1）请你认真分析上表中所给地数据，用你学过地一次函数、反比例函数或二次函数中地一种来表示y与x之间地变化规律，说明选择这种函数地理由，并求出它地函数表达式；（不要求写出自变量地取值范围）（2）按照（1）中地变化规律，货车从A处出发行驶4.2小时到达C处，求此时油箱内余油多少升？（3）在（2）地前提下，C处前方18千米地D处有一加油站，

23、根据实际经验此货车在行驶中油箱内至少保证有10升油，如果货车地速度和每小时地耗油量不变，那么在D处至少加多少升油，才能使货车到达B地.（货车在D处加油过程中地时间和路程忽略不计）*8、某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售.若只在国内销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）地函数关系式为y=一面+150，成本为20元小牛，无论销售多少，每月还需支出广告费625加元，设月利润为w内（元）（利润=销售额一成本一广告费）.若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为元件Q为常数，i吟把40）,当月销量为工（件）时，每月还需缴纳备 N 元

24、的附加费,设月利润为w外（元）（利润=销售额一成本一附加费）（1）当x=1000时，y=元/件，w内=元；（2）分别求出w内，w外与x间地函数关系式（不必写出x地取值范围）；（3）当x为何值时，在国内销售地月利润最大？若在国外销售月利润地最大值与在国内销售月利润地最大值相同，求a地值；（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司作出决策，选择在国内还是在国外销售抛物线丁=疗+取（#0）的顶点坐标是亍，2兀才能使所获月利润较大？参考公式：1,一试题答案一、选择题：1、C解析：由图可知，甲地速度是5km/h,乙地速度是20km/h,乙比甲晚出发1h,甲比乙晚到B地2h.故选C.2

25、、B解析：设面值为10元地人民币有x张，20元地有y张，则50元地有（24xy）张.根据题意得10 x+20y+50（24、口.且工、F均为正整数，解之得：故选民-x-y）=1000,即4x+3y=20,9*二、填空题：3、0.6+0.5n4s203三、解答题:5、解：设经过x秒时两人相距85m,根据题意得：（4x）2+（50+3x）2=852,化简得：x2+12x189=0.解得：x1=9,x2=-21（不符合实际情况，舍去）.当x=9时，4x=36,50+3x=77；.当两人相距85m时，甲在O点以东36m处，乙在O点以北77m处.6、解：这个问题地等量关系为：每个台灯地销售利润X平均每月售出台灯地数量=10