数学建模传染病模型

1、辽宁工程技术大学数学建模课程成绩评定表学期08-09学年1学期姓 名专业班 级课程名称数学建模论文题目评疋标准评定指标分值得分知识创新性20理论正确性20内容难易性15结合实际性10知识掌握程度15书写规范性10工作量10总成绩100评语：任课教师时间08年 月 日备注数学建模传染病模型医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，但是仍然有一些传染病暴发 或流行，危害人们的健康和生命。社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因素是：传 染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等。一般把传染病流行范围内的人群分成三类：S类，易感者(

2、Susceptible)，指未得病者, 但缺乏免疫能力，与感染者接触后容易受到感染；I类，感病者(Infective)，指染上传染 病的人，它可以传播给S类成员；R类，移出者(Removal)，指被隔离或因病愈而具有免疫 力的人。问题提出请建立传染病模型，并分析被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到 来？为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？问题分析：关键字：社会、经济、文化、风俗习惯等因素摘要：随着卫生设施的改善、医疗水平的提高以及人类文明的不断发展，诸如霍乱、天花等 曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到有效的控制。但是一些新的、不断变异着的传染病毒 却悄悄向人类

3、袭来。20世纪80年代十分险恶的爱滋病毒开始肆虐全球，至今带来极大的 危害。长期以来，建立制止传染病蔓延的手段等，一直是各国有关专家和官员关注的课题 不同类型传染病的传播过程有其各自不同的特点，弄清这些特点需要相当多的病理知识， 这里不可能从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而只是按照一般的传播模型机理建 立几种模型。1数学建模#数学建模模型1在这个最简单的模型中，设时刻t的病人人数x(t)是连续、可微函数, 并且每天每个病人有效接触(足使人致病) 的人数为常数考察t到tt病人人数的增加，就有x(t ： =t) x(t)=x(t). ：t再设t=0时有xo有个病人，即得微分方 程x(0)(1

4、)d x方程(1)的解为x , dtx(t) =xo*结果表明，随着t的增加，病人人数x(t)无限增长，这显然是不符合实际的。建模失败的原因在于：在病人有效接触的人群中，有健康人也有病人，而其中只有健康人 才可以被传染为病人，所以在改进的模型中必须区别这两种人。模型2 SI模型假设条件为1. 在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变，即不考虑生死，也不考虑迁移。人群分为易感染者(Susceptible )和已感染者(Infective )两类(取两个词的第一个字母，称之 为SI模型)，以下简称健康者和病人。时刻t这两类人在总人数中所占比例分别记作s(t)和 i(t)。2. 每个病人每天有效接触的

5、平均人数是常数，称为日接触率。当病人与健康者接触时，使健康者受感染变为病人。根据假设，每个病人每 天可使s(t)个健康者变为病人，因为病人数 为Ni(t),所以每天共有Ns(t )i (t)个健康者被感染，于是 Nsi就是病人数Ni的增加率，即有s(t) i(t)=1i(0)=i°(5)(4)d iN Nsi(3)dt再记初始时刻(t = o)病人的比例为i0，则di =，i(1_i),dt方程(5)是Logistic模型。它的解为-J :由(5), (6)式及图1可知，第一，当i =1/2时di到dt达最大值 S i，这个时刻为<dt人tm"ln . -1(7)&#

6、39;Jo /这时病人增加的最快，可以认为是医院的门诊量最大的一天，预示着传染病高潮的到来， 是医疗卫生部门关注的时刻-与成反比，因为日接触率表示该地区的 卫生水平，越小卫生水平越高。所 以改善 保健设施、提高卫生水平可以推迟传染病高潮的到来。第二，当t：时i >1,即所有 人终将被传染，全变为 病人，这显然不符合 实际情况。殊莫a其原因是模型中没有考虑到病人可以治愈，人群中的健康者只能变成病人，病人不会再变 成健康者。模型3 SIR模型大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以病愈的人 即非健康者(易感染者)，也非病人(已感染者)，他们已经退出传染系统。这种情况

7、比较 复杂，下面将详细分析建模过程。模型假设1.总人数N不变。人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者( Removed三类，称 SIR模型。三类人在总数 N中占的比例分别记作s(t),i(t) 和r(t)。病人的日接触率为'，日治愈率为J (与SI模型相同)，传染期接触为 二=/"。模型构成由假设1显然有s(t)+i(t)+r(t)=1(12)根据条件2方程(8)仍然成立。对于病愈免疫的移出者而言有 d rNNi(13)dt再记初始时刻的健康者和病人的比例分别是So(So0)和io(io0)(不妨设移出者的初始值r。=0)，则由(8),(12),(13)式,SIR模型的方程(

8、14)可以写作d=Asi - Pidtd s,si,idti(0) 7s(0) =s。方程(14)无法求出s(t)和i(t)的解析解，我们先作数值计算。模型4 SIR 模型SIR模型是指易感染者被传染后变为感染住，感病者可以被治愈，并会产生免疫力， 变为移除者。人员流动图为：S-I-R。大多数传染者如天花流感肝炎麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以冰域的人即非 易感者，也非感病者，因此他们将被移除传染系统，我们称之为移除者，记为R类假设：1总人数为常数，且i (t)+s(t)+r (t)=n；2单位时间内一个病人能传染的人数与当时健康者人数成正比，比例系数为k (传染强度)O3单位时间内病愈免疫

9、的人数与但是的病人人数成正比，比例系数I。称为恢复系数。可得方程：= ksi Ti ,Jt竺十, dti(0) J。0s(0) = s° - 0初值 r(0) = r0 = 0模型分析:由以上方程组的：Q=p/s-1 p=l/k, 所以i=p Ins)-s+n.容易看出当t无限大时d si(t)=0;而当s <p时，i(t)单调下将趋于零；上批示，i(t)先单调上升的最高峰，然后再 单调下降趋于零。所以这里仍然出现了门槛现象：p是一个门槛。从p的意义可知，应该降低传染率，提高回复率，即提高卫生医疗水平。令 t 可得：s0 s：=2*s0 ( s0p)/p所以：S：p s0=p+

10、 当时，s - 23 ,这也就解释了本文开头的问题，即统一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变。模型的应用与推广：根据传染病的模型建立研究进而推广产生了传染病动力学模型。传染病动力学1是对进行理论性定量研究的一种重要方法，是根据种群生长的特性，疾病的发生及在种群内的传播,发展规律，以及与之有关的社会等因素，建立能反映传染病动力学特性的数学模型, 通过对模型动力学性态的定性，定量分析和数值模拟，来分析疾病的发展过程，揭示流行规 律,预测变化趋势,分析疾病流行的原因和关键。对于2003年发生的SARS疫情,国内外学者建立了大量的动力学模型研究其传播规律和趋势，研究各种隔离预防措施的强度对

11、控制 流行的作用,为决策部门提供参考有关SARS专播动力学研究多数采用的是 SIR或SEIR模 型.评价措施效果或拟合实际流行数据时，往往通过改变接触率和感染效率两个参数的值来实现石耀霖2建了 SARS传播的系统动力学模型,以越南的数据为参考,进行了 Monte Carlo实验，初步结果表明，感染率及其随时间的变化是影响SARS专播的最重要因素.蔡全才3建立了可定量评价SARS干预措施效果的传播动力学模型,并对北京的数据进行了较 好的拟合 参考文献：1 姜启源编辅导课程（九）主讲教师：邓磊2 西北工业大学（数学建模） 精品课程3 耀霖.SARS传染扩散的动力学随机模型 J.科学通报，2003,

12、48（13）1373-1377附录：1 数学建模就是用 数学语言描述实际现象的过程。这里的实际现象既包涵具体的自然现象比如自由 落体现象，也包涵 抽象的现象比如顾客对某种商品所取的价值倾向。这里的描述不但包括外在形态，内在机制 的描述，也包括 预测，试验和解释实际现象等内容2 数学建模的几个过程：模型准备：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。用数学语言来描述问题。 模型假设：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化， 并用精确的语言提岀一些恰当的假设。模型建立：在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构。（尽 量用简单的数学工具）模型求解：利用获取的数据资料，对模型的