电子游戏中的数学

1、建模兴趣小组：2参赛队员：姓名：朱丽荣 班级：数学092班 学号：0920151246 姓名：付奕玲 班级：数学101班 学号：1020151108 姓名：潘儒扬 班级：数学101班 学号：10201511322011年7月30日目录 一 问题重述1.1 游戏规则1.2 设奖规则.1.3 需要解决的问题 二 问题分析2.1 问题一的分析2.2 问题二的分析2.3 问题三的分析 三 模型的假设四 符号说明五 模型的建立与求解5.1 模型一5.2 模型二5.3 模型三六 对模型的评价与推广6.1 模型的优点.6.2 模型的缺点.七 参考文献八 附录电子游戏策略模型摘要：针对电脑游戏换牌策略问题，可

2、以通过比较各种策略下玩家所获得的期望奖金金额的多少评价策略优劣。还可以根据期望值E<0得出结论玩家吃亏，对于问题一，首先计算出各事件换牌前出现的概率，在根据玩家的策略利用条件概率计算出换牌后相应事件变化的概率，最后可利用matlab编程求出换牌后各事件的概率、与换牌前后玩家获得的期望奖金金额。对于问题二主要是评价玩家的策略，根据第一问得出的换牌前后玩家获得的期望奖金金额，可说明玩家的策略优点在于换牌后其获得的期望奖金金额变大，同时根据玩家策略中的其它牌型全换可看出其不足之处。对于问题三，主要从换牌方式入手，可以从同花大顺一次考虑，得出更好的换牌策略。关键词：策略 matlab 条件概率

3、期望奖金金额§2 问题重述近年来，随着电子游戏的日益普及，电子游戏业已成为横跨信息技术和文化的重要产业。对电子游戏中的一些数学问题进行研究，成为数学界和相关人士的一个热门话题。2.1游戏规则电子游戏中，玩家每次下注一元，由机器随机分配给玩家五张扑克牌，然后允许玩家有一次换牌的机会，即可以放弃其中的某几张牌，放弃的牌留下的空缺由机器在剩下的47张牌中再次随机分配。2.2设奖规则玩家获奖依据最后所持有的牌型而定，奖金分配如下表：牌型奖金（元）同花大顺（10到A）800同花顺50四张相同点数的牌25满堂红（三张同点加一对）8同花5顺子4三张相同点数的牌3两对2一对高分对（J及以上）1其它0

4、2.3需要解决的问题（1）若某玩家采取以下策略，当原始的牌型构成一个顺子或更高的牌型时，则放弃换牌的机会；否则，除保留对子或三张相同点数的牌外，将手中其余的牌放弃，由机器再次随机分配。根据上述游戏规则和策略，分析各类牌型出现的可能性，计算采取该策略能获得的期望奖金金额。（2）对上述策略进行评价。（3）是否存在更好的策略。若有，请与上述策略进行比较。§3问题分析3.1问题一的分析问题一属于离散数学问题，对于解决此问题我们可以利用概率统计求出各事件出现的概率；利用第一次发牌各牌型可能出现的次数除于总事件次数，得出各牌型出现的概率；由游戏策略当原始的牌型构成一个顺子或更高的牌型时，则放弃换

5、牌的机会；否则，除保留对子或三张相同点数的牌外，将手中其余的牌放弃，由机器再次随机分配。可分析若玩家摸到的牌型在顺子以下则换牌，根据不同牌型换牌后对其它牌型的影响建立换牌过程模型；利用概率论与数理统计中的条件概率可建立换牌后的模型；从而可计算出换牌后各牌型的概率；利用期望的定义求出换牌前和换牌后分别获得的期望奖金金额。3.2 问题二的分析利用模型一得到的换牌前与换牌后各牌型的概率，作出条形统计图见模型二，可直观的看到换牌前和换牌后各牌型的变化，分析可知换牌后获得的期望奖金金额大于换牌前的；此外分析换牌过程，三张相同点数的牌换牌后所得的牌型在三张相同点数的牌之上至少是它本身；两对、一对高分对和其

6、它牌型也是如此；可得出换牌后获得奖金数不少于换牌前获得的奖金数。以上是该策略的优点，但也有不足之处，例如其它牌型中如果有四张牌同色按照玩家策略则五张牌全换，如果只换一张获得同花大顺的概率比全换的概率大，说明玩家的策略还有欠缺。3.3问题三的分析 由问题二可以知道玩家的策略还有欠缺，其欠缺在于玩家换牌方式，例如当其它牌型中五张杂牌有四张是同花或顺子等只需要换一张牌就可以，根据这种思想我们建立了模型三。§4模型假设1. 如果奖金高的牌型包括在奖金低的牌型中则取奖金高的牌型；2. 大王小王不包括在一幅牌中；3. 顺子中不包括有A和2连在一起的；4. 机器能够保证正常运行不出现任何故障和漏洞

7、；§5符号说明同花大顺同花顺四点相同点数的牌满堂红同花顺子三张相同点数的牌两对一对高分对其它换牌前的概率 ：换牌前其它牌型中有一对低分对的概率；：换牌前其它牌型中五张杂牌的概率；：换牌前获得奖金的期望；：换牌后获得奖金的期望；同花大顺同花顺四点相同点数的牌满堂红同花顺子三张相同点数的牌两对一对高分对其它三张相同点数的牌两对一对高分对一对低分对五张杂牌备注：表格中黑色字母符号表示牌型从相应行换牌到相应列牌型的概率（例如：表示抽到三张相同点数的牌换成四张相同点数的牌的概率），红色字体字母符号表示相应行换牌之后相应列牌型的概率（例如表示五张杂牌换牌后同花大顺的概率）。§6模型的建

8、立与求解6.1模型一6.1.1换牌前的概率模型抽到同花大顺的概率： 抽到同花顺的概率： 抽到四张相同点数的概率： 抽到满堂红的概率： 抽到同花的概率： 抽到顺子的概率： 抽到三张相同点数的概率： 抽到两对的概率： 抽到一对高分对的概率： 抽到其它的概率： 抽到其它中一对低分的概率： 抽到其他中五张杂牌的概率： 换牌前获得的期望奖金金额：6.1.2换牌过程：（1）三张相同点数的牌换牌后对相应牌型的影响由于说明数据准确（2）两对牌型换牌后对相应牌型的影响检验符合常规（3）一对高分对换牌后对相应牌型的影响检验符合常规（4）一对低分对换牌后对相应牌型的影响，分析可知一对低分对换牌的情况与一对高分对换牌

9、的情况相同。检验符合常规（5）其它牌中散牌换牌后各牌型概率的变化如下：、其它牌型中散牌换牌后同花大顺的概率，我们把52张牌分为两组第1组有32张8种不同的数(23456789)，第2组有20张牌5种不同的数（10JQKA），5张杂牌分配的情况有5张都在第1组中，有4张在第1组中1张在第2组中，有3张在第1组中2张在第2组中，有2张在第1组中有3张在第2组中，有1张在第1组中有4张在第2组中。又从其分配的情况中分破坏了一组同花大顺，破坏了两组同花大顺和破坏了三组同花大顺，最多是破坏了四组同花大顺，另外又分析了在选择的5张牌中有同花和顺子的情况，我们利用了杂牌数=选牌总数-同花数-顺子顺+同花顺的

10、数目。最后列出同花大顺的概率公式如下换牌后同花大顺的概率：、其它牌型中5张杂牌换牌后对同花顺的影响，我们把23456、34567、45678、56789、678910、78910J、8910JQ、910JQK这样的同花顺看成是同花大顺的情况，就可以求出换牌后同花顺的概率是换牌后同花大顺的概率的8倍。换牌后同花顺的概率：、其它牌型中5张杂牌换牌后对四张相同点数的牌的影响，分析可知除5张杂牌后剩余的47张牌中含四张相同点数的牌只有8组，从这8组中取1组在从剩下的43张牌中取一张即可。杂牌换牌到四张相同点数的牌的概率：其它牌型中5张杂牌换牌后对满堂红的影响，将剩余的47张牌分为两组，第一组含有5小组

11、且每小组只有三张点数相同的牌，第二小组含有8小组且每小组都是四张点数相同的牌，满堂红要含有三张同点加一对，则有4种情况三张同点和一对都在第一组、三张同点和一对都在第二组，三张同点在第一组一对在第二组或三张同点在第二组一对在第一组。杂牌换牌到满堂红概率：其它牌型中5张杂牌换牌后同花的影响，由于是分析对同花的概率的影响，我们对花色分组，把52张牌按花色分成4组每13张，5张杂牌至少占2种花色至多占4种花色，占2种花色时可分2种情况（1,4）和（2,3），占3种花色可分为（1,1,3）和（1,2,2），占4种花色只有一种情况（1,1,1,2），可以算出换牌后同花的概率但其中还包含有同花大顺和同花顺的

12、概率所以还要减去那两种的概率。换牌后同花的概率：其它牌型中5张杂牌换牌后对顺子的影响，利用同花大顺的总数/全部顺子的总数=换牌后同花大顺的概率/全部顺子的概率（其中此处的顺子包含同花大顺和同花顺）；在根据（全部顺子总数-同花大顺数-同花顺数）/全部顺子总数=换牌后顺子的概率/全部顺子的概率，可推出换牌后顺子的概率计算公式：其它牌型中5张杂牌换牌后对三张相同点数的牌的影响，类似的可以将剩余的47 张牌分成两组，第一组含有5小组且每小组只有三张点数相同的牌，第二小组含有8小组且每小组都是四张点数相同的牌，从三张点数相同入手即可。杂牌换牌到三张相同点数的牌概率：其它牌型中5张杂牌换牌后对两对的影响，

13、也是将剩余的47 张牌分成两组，第一组含有5小组且每小组只有三张点数相同的牌，第二小组含有8小组且每小组都是四张点数相同的牌，在考虑两对的分配情况即可的到杂牌换牌到两对牌的概率：其它牌型中5张杂牌换牌后对一对高分对的影响，首先将5张牌换牌后得到任意一对的概率计算出来，由于高分队只有4张牌而换成任意一对有13张，所以高分队的概率就是将任意一对的概率乘于4/13。杂牌换牌到一对高分对概率：其它牌型中5张杂牌换牌后对其它牌型的影响，利用杂牌换到各牌型的概率之和仍是杂牌的概率。杂牌换牌到其它概率6.1.3换牌后各牌型的概率：同花大顺的概率： 同花顺的概率： 四张相同点数的概率： 满堂红的概率： 同花的

14、概率： 顺子的概率： 三张相同点数的概率： 两对的概率： 一对高分对的概率： 其它的概率： 此策略获得期望奖金金额：模型求解：利用matlab编程（见附录）可求出换牌前与换牌后各牌型的概率如下表牌型 换牌前的概率 换牌后的概率 奖金 同花大顺 2.3170e-006 800同花顺 1.3091e-005 50四张相同点数 25满堂红 8同花 0.0039 5顺子 0.0053 4 三张相同点数 0.0652 3 两对 0.1353 2一对高分对 0.2833 1其它 0.6112 0换牌前的获利期望E1=-0.6682换牌后的获利期望E2=-0.17076.2模型二对题中所说的策略进行评价：由

15、换牌前后概率条形图可知，换牌后摸到同花大顺和同花顺等牌型的概率增大，而摸到其它这种牌型的概率减少了，从而使得玩家获得奖金的期望值增大。但是玩家换牌的策略过于机械，如果对换牌策略进行适当的灵活性优化，玩家获得奖金的期望值会将会更大。换牌前后概率条形图6.3模型三由于玩家换牌策略有所不足，进行如下优化：1、 如果玩家摸到的牌是同花大顺，那么显然是不应换牌的。2、 如果玩家摸到的牌是同花顺牌型中的9，10，J，Q，K，那么不换牌可获得50元奖金，而将换9换掉，玩家获得的奖金期望为，所以此时不应换牌。3、 如果玩家摸到四张相同点数的牌，那么显然是不应换牌的。4、 如果玩家摸到满堂红，那么不换牌可获得8

16、元奖金，而将一对换掉，玩家获得的奖金期望为，所以此时不应换牌。5、 如果玩家摸到的牌是同花牌型中有4张牌分别为10，J，Q，K的情况，那么不换牌可获得5元奖金，而将另一张牌换掉，玩家获得奖金的期望为，所以此时应该换牌。6、 如果玩家摸到的牌是同花牌型中有4张牌分别为J，Q，K，A的情况，那么不换牌可获得5元奖金，而将另一张牌换掉，玩家获得奖金的期望为，所以此时应该换牌。7、 如果玩家摸到的牌是顺子牌型中有4张牌为相同花色的10，J，Q，K的情况，那么不换牌可获得4元奖金，而将另一张牌换掉，玩家获得奖金的期望为，所以此时应该换牌。8、 如果玩家摸到的牌是顺子牌型中有4张牌为相同花色的J，Q，K，

17、A的情况，那么不换牌可获得4元奖金，而将另一张牌换掉，玩家获得奖金的期望为，所以此时应该换牌。9、 如果玩家摸到的一对高分对为10，J，Q，K，K，那么不换牌可获得1元奖金，而换将一张K换掉，玩家获得奖金的期望为，所以此时不应换牌。同理其他高分对牌型的情况也不应换牌。10、如果玩家抽到的是其它牌型中的一对低分队的情况，按照玩家的策略是保留一对低分队，将其它三张换掉，若玩家抽到的是34566的情况我们还可以保留3456将其中的6换掉，这样可以算出后者所获得的期望奖金金额大于前者。又如果玩家抽到的是5张杂牌，按题目的策略是将5张牌全部换掉，若抽到的5张牌中有4张同色或者只差1张就是顺子，那么只要换

18、掉其中的1张牌，明显可以得出后者所获得的期望奖金金额大于前者，说明针对不同情况的牌换牌方式也不同，我们可以根据具体得到的牌在分析换牌策略.§7对模型的评价7.1 优点：我们的换牌策略是从同花大顺依次考虑到其它牌型，而且每次换牌都考虑到换牌后玩家所获得的期望奖金金额是佛大于换牌前的，若是则换牌，否则不换。7.2 缺点：我们只考虑到期望值越大越好而没有考虑风险的大小，还有由于时间原因其它牌型的换牌策略没有一一列出，如果时间充足策略会更。§8参考文献1 吴建国等.数学建模案例精编M.北京：中国水利水电出版社，20052 艾冬梅等.MATLAB与数学实验M.北京：机械工业出版社，2

19、0113 百度文库：4 姜启源、谢金星、叶俊.数学模型M.北京：高等教育出版社，20105 熊伟.运筹学M.北京：机械工业出版社，20076 赵静等.数学建模与数学实验M.北京：高等教育出版社，20027 茆诗松、程依明、濮晓龙.概率论与数理统计教程M.北京：高等教育出版社，20048 王炳武、胥谞.MATLAB 5.3实用教程M.北京：中国水利水电出版社，2000§9附录附录一function y=c(a,b)m=nj(b);n=1;for i=a-b+1:a n=n*i;endy=n/m;end附录二function y=gh(x)a=length(x);y=0;for i=1:

20、2:a y=y+x(i)*x(i+1);end附录三function y = nj(x)y=1;for i=1:x y=y*i; endend附录四p1=4/c(52,5)p2=32/c(52,5)p3=c(13,1)*c(48,1)/c(52,5)p4=c(13,2)*c(2,1)*c(4,3)*c(4,2)/c(52,5)p5=(c(4,1)*c(13,5)-4-32)/c(52,5)p6=(9*(45)-32-4)/c(52,5)p7=(c(13,1)*c(4,3)*c(48,2)-3744)/c(52,5)p8=c(13,2)*c(4,2)*c(4,2)*c(44,1)/c(52,5)

21、p9=(c(4,1)*c(4,2)*c(48,3)-c(4,1)*c(4,2)*c(12,1)*c(4,2)*c(44,1)-c(4,1)*c(4,2)*c(12,1)*c(4,3)/c(52,5)p10=1-p1-p2-p3-p4-p5-p6-p7-p8-p9p11=p9*9/4p12=p10-p11附录五k1=c(46,1)/c(47,2)k2=(c(2,1)*c(3,2)+c(10,1)*c(4,2)/c(47,2)k3=(c(3,1)*c(3,1)+c(2,1)*c(3,1)*c(40,1)+c(10,2)*c(4,1)*c(4,1)/c(47,2)k4=c(4,1)/c(47,1)k

22、5=c(43,1)/c(47,1)k6=c(45,1)/c(47,3)k7=(c(2,1)*(c(3,1)*c(3,2)+c(9,1)*c(4,2)+c(3,1)*c(3,3)+c(9,1)*c(4,3)/c(47,3)k8=2*(c(45,2)-9*c(4,2)-3*c(3,2)/c(47,3)k9=(c(3,1)*c(3,2)*c(42,1)+c(9,1)*c(4,2)*c(41,1)/c(47,3)k10=(33+33*c(36,1)+3*3*c(9,2)*4*4+c(9,3)*43)/c(47,3)k11=k6,k12=k7,k13=k8,k14=k9,k15=k10k16=(c(8,

23、5)*(45)-4*45-4*c(8,5)+16)*4/(c(52,5)*c(47,5)+(c(8,4)*44*20-45-4*c(8,4)*5+4+c(8,3)*43*c(5,2)*4-4*43-4*c(8,3)*10+4+c(8,2)*16*10*4-43-c(8,2)*4*10+4+8*4*5*4-16-4*8*5+4)*3/(c(47,5)*c(52,5)+(c(8,3)*43*10*12-3*44+c(8,2)*16*10*12*3-12*12*4+8*4*5*(48+6*12)-4*(48+24*3)*2/(c(47,5)*c(52,5)+(c(8,2)*16*10*4*6-24*

24、16+32*30*24-24*6*4)/(c(47,5)*c(52,5)k17=8*k16k18=8*43/c(47,5)k19=(5*(12+48)+32*(15+42)/c(47,5)k20=(12*13*c(13,4)*(c(12,5)+c(9,5)+c(13,5)*2)+12*c(13,2)*c(13,3)*(c(11,5)+c(10,5)+2*c(13,5)+12*c(13,3)*13*13*(c(10,5)+2*c(12,5)+c(13,5)+12*13*c(13,2)*c(13,2)*(c(12,5)+2*c(11,5)+c(13,5)+4*c(13,2)*133*(c(11,5

25、)+3*c(12,5)/(c(52,5)*c(47,5)-9*k16k21=(9*45-36)*k16/4k22=(5*(54+12*32+c(8,2)*16)+32*(10*9+15*28+c(7,2)*16)/c(47,5)k23=(90*41+c(8,2)*36*39+15*48*40)/c(47,5)k24=(15*(36*3+18*24*4+12*c(8,2)*16+c(8,3)*43)+48*(270+90*18+15*c(7,2)*16+c(7,3)*43)*4/(13*c(47,5)k25=1-k18-k19-k22-k23-k24-(k16+k17+k20+k21)/p12附录六q1=p1+k16q2=p2+k16q3=p3+p7*k1+p9*k6+p11*k11+p12*k18q4=p4+p7*k2+p8*k4+p9*k7+p11*k12+p12*k19q5=p5+k20q6=p6+k21q7=p7+p7*k3+p9*k8