导数压轴题之极值点偏移归纳总结

1、极值点偏移问题一、问题指引f(2mx),则函数f(x)关于直线xm对极值点偏移的含义众所周知，函数f(x)满足定义域内任意自变量x都有f(x)称；可以理解为函数f(x)在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若f(x)为单峰函数，则xm必为f(x)的极值点.如二次函数f(x)的顶点就是极值点x0,若f(x)c的两根的中点为人心2x0,即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.2若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数f(x)的极值点为m,且函数f(x)满足定义域内xm左侧的任意自变量x都有f(x)f(2mx)或f(x)f(2mx),则函数f(x)极值点m左右侧变化快慢不同.故单峰函数f(x)

2、定义域内任意不同的实数x1,x2满足f(x1)f(x2),则x1x2与极值点m必有确定2的大小关系：什xix2，八4xi义2一一.，八右m,则称为极值点左偏；若m2,则称为极值点右偏.22叶X1例二二6如函数g(x)x的极值点xo1刚好在方程g(x)c的两根中点色22的左边，我们称之为极值点左偏e22以函数函数yx为例，极值点为0,如果直线y1与它的图像相交，交点的横坐标为1和1,我们简单计算:1.x若函数f（x）存在两个零点Xi,X2且XiX2,求证：XiX22x0（X。为函数f（x）的极值点）；0.也就是说极值点刚好位于两个交点的中点处，此时我们称极值点相对中点不偏移2 .若函数f（X）中

3、存在X1,X2且X1X2满足f（X1）f（X2）,求证：XiX22x。（X。为函数f（X）的极值点）；.,、X1x23 .若函数f（x）存在两个零点Xi,X2且XiX2,令X。,求证：f（x。）0;2xiX24.若函数f（x）中存在Xi,X2且XiX2满足f（Xi）f（X2）,令X。，求证：f（X。）0.2二、方法详解（一）基本解法之对称化构造例i是这样一个极值点偏移问题：对于函数fxxeX,已知fxfx2,xix2,证明xx22.再次审视解题过程，发现以下三个关键点：（i）Xi,X2的范围0x1ix2；（2）不等式fxf2xxi；(3)将X2代入(2)中不等式，结合fx的单调性获证结论.小结

4、：用对称化构造的方法解极佳点偏移问题大致分为以下三步：stepl：求导，获得fx的单调性，极值情况，作出fx的图像，由f%fX2得x1，X2的取值范围(数形结合)；2step2：构造辅助函数(对结论x1x22x),构造Fxfxf2x0x；对结论x1x2比,2构造Fxfxf),求导，限定范围(xi或x2的范围)，判定符号，获得不等式；xstep3：代入xi(或x2),利用fxifx2及fx的单调性证明最终结论.下面给出第(3)问的不同解法【解析】法一：f(x)(1x)ex,易得f(x)在(，1)上单调递增，在(1,)上单调递减，x时，1f(x),f(0)0,x时，f(x)0,函数f(x)在x1处

5、取得极大值f(1),且f(1)-,e如图所示.由f(x1)f(x2),x1x2,不妨设x1x2,则必有0x11x2,构造函数F(x)f(1x)f(1x),x(0,1,一x2x则F(x)f(1x)f(1x)(e2x1)0,所以F(x)在x(0,1上单调递增，F(x)F(0)0,e也即f(1x)f(1x)对x(0,1恒成立.由0x11x2,则1x1(0,1,所以f(1(1x1)f(2x,)f(1(1x,)f(x1)f(x2),即f(2x)f(x2),又因为2x,x2(1,)，且f(x)在(1,)上单调递减，所以2x1x2,即证x1x22.法二：欲证x1x22,即证x22x1,由法一知0x11x2,

6、故2x,x2(1,),又因为f(x)在(1)上单调递减，故只需证f(X2)f(2%),又因为f(xjf(X2),故也即证f(x)f(2X),构造函数H(x)f(x)f(2x),x(0,1),则等价于证明H(x)0对x(0,1)恒成立.1x由H(x)f(x)f(2x)-(1e2x2)0,则H(x)在x(0,1)上单调递增，所以eH(x)H(1)0,即已证明H(x)0对x(0,1)恒成立，故原不等式x,x22亦成立.-xcx2Xx2法二：由f(x,)f(x2),得xex?e，化简得e，x1不妨设x2x1，由法一知，oX1x2.令tX2X,则t0,x2tx1，代入式，得ettx1x反解出x1,贝Ux

7、1x22x1te12t2t一t,故要证：x1x22,即证：一te1e12,又因为e10,等价于证明:2t(t2)(et1)0-,构造函数G(t)2t(t2)(et1),(t0),则G(t)(t1)et1,G(t)tet0,故G(t)在t(0,)上单调递增，G(t)G(0)0,从而G(t)也在t(0,)上单调递增,G(t)G(0)0,即证式成立，也即原不等式x1x22成立.法四：由法三中式，两边同时取以e为底的对数，得x2x1In上Inx2Inx1,也即Inx2Inx1X2x1从而X1,、Inx2Inx1X2(X1X2)X2X1X2X2，nX2X1X1上1In,&1X1X1t(1,)上单调递增，

8、由洛比塔法则知:IimM(t)Iim也X1X11)Intt1Iimx1(t1)令tjX2-(t1),则欲证：X1X22,等价于证明：-11nt2，Xt1即证M(t)2,即证式成立，也即原不等式X,x22成立.【点评】以上四种方法均是为了实现将双变元的不等式转化为单变元不等式，方法一、二利用构造新的函数来达到消元的目的，方法三、四则是利用构造新的变元，将两个旧的变元都换成新变元来表示，从而达到消元的目的.【类题展示】已知函数f(x)(x2)exa(x1)2有两个零点x,?.证明：Xx22.【解析】由工十仪工得/口5二(工a/十如可知co在td.D上单调递减,在Q：上单调递幅要使国薮有两个零点再f

9、,则必须白0.法一：构造部分对称硝卜妨设甬由单调性知X1H一双D町2口田)，所以2一巧又7FC0在170.D单调速城j故要证：瓯+$0)日2求导由m冷的单调性可得Jg)的=应3=2L故不等式。m即证：疹包22也即原不等式虱4)口成立.a*，当XW(金+土)时，门有一解，记为吃.Xx1x1ax1ax1x1ax1ae再证一ae一一,，而0xiex2,lnx21,.-.-ae.证毕.x2x2ax2Inx2x2Inx21【类题展示】已知函数f(x)xaex有两个不同的零点xi,x2,求证：x1x22.【解析】因为函数f(x)有两个零点xi,x2,所以x1aexi(1)x2aex2(2)由(2)得：x1

10、x2a(ex1e2),要证明xx22,只要证明a(eex2)2,xxex1ex2ex1x21由(1)得：X1x2a(e1e),即a1-xr，即证(x1x2)f-x22(x1x2)x1x22,eeeee1不妨设%X2,记tX1X2,则t0,et1,因此只要证明：teT2t2e一D0,et1et1再次换元令etx1,tinx,即证Inx2(x10x(1,)x1构造新函数F(x)Inx4(x1)22x_n,F(1)0,求导F(x)7ab12x1x(x1)220,得F(x)在(1,)x(x1)ab即调和平均数”小于等于几何平均数”小于等于算术平均值”小于等于等号成立的条件是ab.递增，所以F(x)0,

11、因此原不等式x1x22获证.(三)对数平均不等式我们熟知平均值不等式:a,bR2-2ab平方平均值”2ab(2)我们还可以引入另一个平均值：对数平均值:abInaInb那么上述平均值不等式可变为：对数平均值不等式:b,aababb,vatKf(20173即可得到Ml#5与2CLP的大小JCII)运用分析法证明，不妨设XX20,由根的定义可得所以化简得Inx.-kK=0*1阅-皿=0,可得lnxi-nxz=k1却-位),Inxi-lnx2=k(mi-xz),要证明，w叱囱，.即证明LnxlHt？上也就是k(苴+出)2.求出匕即证期二星，令五二/,则tl,即证nf方出1.令五(。二改一乂二西一时河

12、+向均r+1r十1Ctl).求出导氮.判断单调性，即可得证.试题解析：(1)依题意得fx1nx，所以1a12-一，又由切线方程可得f11,1a1a令fx0,即11nx0,解得0xe;令fx0,即11nx0,解得xe所以fx的增区间为0,e,减区间为e,所以f2016f2017,即包则”2016201720171n201620161n2017,2016201720172016(2)证明：不妨设x1x20因为gxgx20所以化简得1nxikx10,1nx2kx20可得1nxi1nx2kx1x21nxi1nx2kx12.要证明x1x2e,即证明1nx11nx2xx2因为k1nx11nx2Xx21nx

13、1x11nx22X2x1X2r.x1即1n又2x1x2X2x1令一X2即证1nt1nt2101故函数h1,是增函数，所以0,即1ntxx2【类题展示】已知函数f(x)1nx2ax(2a)x.(I)讨论f(x)的单调性;(II)设a0,证明：当0时,1f(一x)a1f(一a(iii)若函数yf(x)的图像与x轴交于A,B两点,线段AB中点的横坐标为x,证明:f(%)0.【解析】(I)(II)略,(III)由f(X)f(x2)021nx1ax1(2a)x11n2、cax2(2a)x201nx11nx22(xx2)a(x；2x2x2)a1nx)2x)1nx22(x1x2)2x2故要证f(x0)x0又

14、222x12x2x1x2x1x211nx11nx22(x1x2)1nx1nx21nx11nx2xX2根据对数平均不等，此不等式显然成立，故原不等式得证（四）极值点偏移之一题多解12【例4】已知fxxlnxmx22x,mR.若fx有两个极值点不，*2,且XX2,求证：xX2e（e为自然对数的底数）.解法一：齐次构造通解偏移套路2.证法1：欲证x1x2e,需证lnx1lnX22.若fX有两个极值点X1,X2,即函数X有两个零点.又fxlnxmx,所以，,X2是方程fx0的两个不同实根.于是，有lnlnx1mX|x2mx2lnx1lnx2X1X2另一方面，由lnx1lnx21mxim&0/日,0，得

15、lnX2InXimX2Xi,从而可得lnx2lnx1X2X1lnx1lnx2X1X2是，1nxilnx2lnx2lnX1x2X1X2.X2-ln-X1X1又0X1X2,设t要证lnX1lnt所以,X221X1x2,，贝UtX1InX1InX2lnX22,即证：-1Int2,t即:1时,有2t1lnt为1.1时,有0,上的增函数.注意到,0,因止匕,0.2t1lnt.所以,t1有lnX1lnX22成立,X1X2解法二变换函数能妙解2证法2：欲证x1x2e,需证lnx1lnx22.右fx有两个极值点X,X2,即函数X有两个零点.又fxlnxmx,所以，X,X2是方程fx0的两个不同实根.显然m0,

16、否则，函数fX为单调函数，不符合题意.由。x：鼠oinx1inx2mx1x2，即只需证明m（%+丐）2即可.即只需证明巧斗9、一.室遽：删影xt号中用理搬增渚m设营=*刈三2(附一1)x(2mjc-1,、(2g二0r故(X)f由于广=!一鹏=,故r但在q.t2esjt(l+et)2(e*-1)o出14门-29-1)0.设=耳1+)-2卜*一1)出)=te*0.故/(上，在(Y.0，故/住)r(0)=0，故g在(YT，因此以灯以0)=0.命眼傅解法五巧引变量(二)【解析】证明:法一二S/(x)=X1-(a-2)x-anx,X1x2f(T)0.得r(x)=2-(-2)-=X七分七二二工一人-1)J

17、xx2故且有门;o时，方程F3=C才有两个不相等的夹鸵根X-,巧不妨设看V七，则0巧不巧,化蔺得；口二卫4二支二士二再+1口毛一毛一In%et1t2,设lnX22,即只需证明Lt22,0,设gk【类题展示】已知函数f(x)x2(a2)xalnx,若方程f(x)c有两个不相等的实数根x1，X2,求证:两式相标得:当“一3-2)&一右1口”jc.十(口一2)巧十口111巧=00,1,t2lnx21,，则由lnx1mx1Inx2mx200t1t1k0,1,则Gklnk?k1t22,需证lnX1k1lnk.欲证x1x2e2lnklnk2k1kk10,1，g2k1k2kk1g10,命题得证.证法5:设L

18、lnx1t1t2t1me一t2me2k1lnkk12k1k1lnk0,故gk在0,1，因此gk2k1k1欲证：f(xX22a(-),结合f(x)的单调性,2等价于证明:XiX22X12Xx222x2x1In%x2Inx2x1Inx2282x2x1x2cx1八22x231x2令t,(0x21),构造函数g(t)2t_Int,(0t1t1),求导由单调性易得原不等式成立，略x1八法二：接后续解：由得：(Xx2)(x1x2)(a2)(Xx2)aIn0x2an即；(+心)(1一2)-邑=0网一巧ln)=(为+为)-02)2d2(A-1)-On至4F)二巴-三)jqXy西+电工取取心构造函数m(t)In

19、t1),求导由单调性易得m(t)0在t(0,1)恒成立,又因为a0,x1x2c,x10,故f(x2,)0成立.法三：接后续解：视X1为主元,2(xx9)1设g(x)InxInx2,g(x)一Xx24X2(xX2)2072,720(XX2)(xX2)则g(x)在x(0,X2)上单调递增,故g(x)g(X2)0,X1X20,故f(2)0成立.2法四：构造函数h(x)f(-x)2f(ax),(0x2a、)，2则h(x)aaf(-x)f(-x)4x2,a.,a(x)(22X)从而h(x)在(0,a)上单调递增，故2a、对x(0,一)恒成立，从而f(x)2h(X)h(0)f(ax),(00,呜x)a、x

20、-)，2则f(X2)由X2，aXi(,2a),且f(x)在(-,2x)f(Xi)f(aXi),)单调递增，故aX|,即ar,一,从而f(2)0成立.三、跟踪训练1、已知函数2axxee为自然对数的底数.(1)讨论g的单调性;(2)若函数xIngx2ax的图象与直线ymmR交于A、B两点，线段AB中点的横坐标为证明：fX00(fx为函数fx的导函【斛析】(1)由题可知，(幻=/51+M$而(20,+口，当日2时,今力之0,贝1(2-口)无+1之口,-彳之a-2令则.x0j当口)2时，令/2r+x令式力6则(”句工十10?二工之?,口-2二单谪递管.当口:2时综上：邕口2时，T=式力在;二工1卜单

21、词逆憎，在上里调谟减.(2)fx2axInxe2aX2，Inx2axax(x0),/.fx2x1ax15当a0时,0,y0,上单调递增，与直线ym不可能有两个交点，故a0.单调递减.不妨设Xi,mX2,mXiX00,X2a2ax需证aX0,所以只需证。.设F2afX122ax1x2ax0,则XXiX2，XqXiX2X2即证:InaXInaX0,1在0-上单调递增，在af-X1a时,，1，、x在0,上单倜递减,a0,原不等式成立.2、已知函数fXXlnX2_axxaaR在其定义域内有两个不同的极值点（1）求a的取值兀范围.（2）设fx的两个极值点为X1,X2,证明X1X2e2.【解析】试题分析；

22、1极值点转化为导曲数零点,即M注+2亚=。在（0,2）有两个不同根.变量分离为口=-学,利用导数可得函数尸=竽在（oq上单调温，在值收）上单调增，根据趋势可得函数2x2x二位在（0.司上范围为lx,在（公+）上范围为|,oL因此要有两解,1人必/。）利用导教证明不等式关键是构造恰当的国幼：岑士/等份=nx1+lu三20口（为+七）2口直）_12而由零点可得S一代人化简得向工卫国，令五=h则Sr,因此构造函数刎山一若！,利用导数求苴最小值为通血由于川，船潞题得证试题解析：（1）依题意，函数fX的定义域为0,所以方程fXQ在0,有两个不同根.即方程Inx2ax0在0,有两个不同根lnx转化为，函数

23、gx与函数yp1lnxr一一又gx，即0xe时,x2a的图象在所以gx在0,e上单调增，在，e,上单调减,0,从而上有两个不同交点e时，gx0,又gx有且只有一个零点是1,且在0时，g的图象,lnx要想函数gx与函数x一一11八帝02a-,即e2e2a的图象在0,（2）由（1）可知xi,x2分别是方程lnxaxx10,作差得，lnax1x2x23、ln-x22x1x2x1x21nt1,gt已知函数0,即不等式1ntxlnx2ax（1）求gx的单调区间;（2）若函数fxgx的导函数，证明:xx22【解析】试题分析:递增，当a0时,gx极大=9时，gx0,所以由g上有两个不同交点,0的两个根，即l

24、nxiaxi,lnx2ax2,x1令一X22t12tt1ln-x2.原不等式x1&0,函数2,e等价于1nxi1nx22lnx2成立，故所证不等式xx2x,aR.2x,x1,x2（xx2）是函数f0.2Kx2Int1,上单调递增,x的两个零点，f是函数f（1）先求函数导数，根据导函数是否变号进行讨论，当a0时，g导函数有一零点，导函数先正后负，故得增区间为10,一,减区间为ax0,g利用分析法先等价转化所证不等式：要证明fXiX22一r20,只需证明XiX21nxi1nX2XiX2(0XiX2),即证明2X1X21nxilnx2,即证明二iX2XX2XlilnX2Xit0,1,构造函X2X2h

25、t在0,i上递增，所以数htItInt2t2,利用导数研究函数ht单调性，确定其最值:hthi0,即可证得结论试题解析：当a0时，gx当a0时，gXgx的定义域为0,i-2ax2ax0x(；g0,gx递增I-一2ax2axx)0,gx递增;22ax2axix2xiaxixix-,gxa0,gx递减一,、，ii综上：，当a0时，gX的单调增区间为0-,单调减区间为-,aa当a0时，gx的单调增区间为0,由句是函数f(x)=lLX+X-OJC的防个零点有再)=1吗+0Kl=0巧)=lux,+aXj=0,相减得&=y无_1rLic，+七+七2Injq-Inx.%十三三一毛所以要证明岁只需证明二一-幽

26、心殳0(04巧巧)2J玉+与西一过即证明2Xix2XiX22土i1nxi1nx2,即证明x21n二*XiiX2X21tlnt2t2,则ht111lnt-1,ht一二0ttt2x1-，令t0,1,则htX2.ht在0,1上递减，hth10,.ht在0,1上递增，hth10所以*成立，即fx乜024.设aR,函数f(x)Inxax,(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个相异零点x1,x2,求证1nxilnx22.1ax【解析】由题意，得f(x)a-x(0,),x当a0时，f(x)0,则f(x)在定义域上单增，1,1当a0,则函数在(0,一)上单增，在(一，)上单减.aa(2)由已知得，

27、1n为ax10,1n飞ax20,x1lnx1lnx2lnx1lnx2所以a=xx2所以Inx1Inx22等价于xx2xx2,x1Inx2即工1-1n8x22,x2设为x2,令t上x21，g(t)Int2(t1)则g(t)14(t1)2(t1)2t(t1)20,所以g(t)g(1)0,即Int2(t12,所以原题得证.r-t1即是lntt15.已知函数xxlnx的图像与直线m交于不同的两点Axx2,y2xx2证明：(i)fx上Z;当0x1时，fx0；f10；当x1时，fx0；当x0时，fx0(洛必达法则)；当x时，fx,于是fx1的图像如下，得0x1x21.e(ii)均通函=f(M-,则r(x)

28、=r(x)=l+lnjf+-S-f-(1+1ft.Y)-10x-fl+】n40.1-e工N.则广(算)7。,得F(/)在Z,有F(x)F，即沙/白0jc-(iii)椅&代入(ii)中不等式得了|百)/；I型一，又图)二了(马).敬,g26.已知函数f(x)Inxax(2a)x.(I)讨论f(x)的单调性;(II)设a0,证明：当0工时,a,1,1f(x)f(x)；(ill)若函数yf(x)的图像与x轴交于A,B两点，线段AB中点的横坐标为x0,证明：f(x0)0.【解析】(i)易得：当a0时,1f(x)在(0,)上单调递增；当a0时，f(x)在(0,)上单调递增，在a1，(-,)上单调递减.a

29、(11)法一：构造函数g(x)1.1f(x)f(x),(0法二：构造以a为主元的函数,1设函数h(a)f(ax)1一x-),利用函数单调性证明，方法上同，略；a.，1f(x),则h(a)ln(1ax)ln(1ax)2ax,ah(a)1ax1ax2x1.一一1.-1.一,解得0a,当0a一时，h(a)0,而axxh(0)0,所以h(a)1,0,故当0x时,af(一x)f(x).1、(III)由(I)知，只有当a0时，且f(x)的最大值f(_)0,函数yf(x)才会有两个零点，不妨设aA(xi,0),B(x2,0),0Xix2,则0xi1,1小1x2,故一x1(0,一),由(II)得:aaaf(|

30、x1)2x2一x1，于是x0a_111x1)f(-(一x1)f(x1)f(xi),又由f(x)在(-,aaax1x21一，由(I)知，f(x0)0.2a)上单调递减，所以7.已知函数fx2lnxx2x,若正实数x1，x2满足fx1+fx2=4,求证：x1x22。2证明：注意到f1=2,fx1+fx2=2f1,fx1+fx2=2f1,fx=-+2x10x2fx=2,f1=0,则(1,2)是fx图像的拐点，若拐点(1,2)也是fx的对称中心，则x有xx2=2,证明xx22则说明拐点发生了偏移，作图如下想到了极值点偏移”，想到了对称化构造”，类似地，不妨将此问题命名为拐点偏移”，仍可用对称化构造”来

31、处理.不妨设0x11x2,要证x,x22x22x11fx2f2x14ff24fx1f2x1Fxfxf2x,x0,1,则2-，2,1Fxfxf2x-2x122x141x10,x2xx2x得Fx在0,1上单增，有FxF1214,得证。1xx8.已知函数f(x)2e1 x(I)求函数f(x)的单调区间；(I)当f(Xi)f(X2),XiX2时，求证：XiX20【解析】(I)函数f(X)的定义域为Rf(X)(1X2)2X(1X)11Xyx(x1)22122e2e2-2e(1X)1X(1X)由f(x)0,得X0,由f(x)0,得函数的递增区间(,0),由f(x)0,得函数的递减区间(0,),所以f(x)

32、maxf(0)1(I)解法一、利用函数的单调性求解“1X1X，令h(x)f(x)f(x)2e2e，x01X1X则h(x)(x22x3)e2x(x22x3)XZ2T2X(1X)e令H(x)2_2x2_(x2x3)e(x2x+3),x0则H(x)22x一.2(x2x2)e(x1),x0,则H(x)一一2_2x_2(2x23)e1,x0由X0得，H(x)2(31)40,故H(X)在(0,)内单调递增故H(x)H(0)20,故H(x)在(0,)内单调递增由(1)及f国)故H(x)H(0)0,故h(x)0,故h(x)在(0,)上单调递减，所以，h(x)h(0)0f(X2),X1X2知，X0X21,故h(X2)f(X2)f(X2)0所以f(X2)f(X2),所以f(X1)f(X2),又f(x)在(，0)上单调递增所以，X1X2,即为X20解法二、利用对数平均不等式求解因为X1时，f(X)f(x)0,f(X1)f(X2),X1X2,一,八，1XX11X2X2b一,1X11X,所以X10X2n2ee,所以,reX2_1%-2eX2所以，ln(1X1)(1X2)ln(