概率论与数理统计讲义

1、2.3 连续型随机变量及概率密度(一)连续型随机变量及其概率密度定义若随机变量 X 的分布函数为I/出其中 f(t)0o就是说 X 是连续型随机变量，并且非负函数 f(x)是连续型随机变量 X 的概率密度函数，简称概率密度。由连续型随机变量及概率密度函数的定义知概率密度有下列性质(Dm=口二1(3)p父小)L(克)(ab)前面已曾经证明，由于连续型随机变量是在一个区间或几个区间上连续取值，所以它在任何一点上取值的概率为零，即若 X 是连续型随机变量则有 P(X=x)=0,其中 X 是任何一个实数。:有P(aXb)=P(aXb)=P(aX0证(i)在微积分中已知积分上限的函数比对上限 x 的导数

2、dxJflax它说明分布函数是概率密度的原函数，并且证明连续型随机变量的分布函数 F(x)是处处可导函数，所以连续型随机变量的分布函数 F(x)处处连续。口以-TS=1-0=1(3).P(aXwb)=F(b)-F(a)因为 F(x)是 f(x)的原函数J：(幻心；二耳*)&二尸 g)-斤(编因此，对连续型随机变量 X 在区间上取值的概率的求法有两种:(1)若 F(x)已知，则P(aXb)=F(b)-F(a)(2)若 f(x)已知，则 P(aXb)=L，a%”求(1)cP(-3X)(2)2解(1)而时，p(x)=0,二carcsmX11=1.carcsin1一tarcsLii(1)-1.

3、carcsin1-(-arcsuil)-12carcsinl=1-汽一2c一=12(2)产(一34星&=G/必f-二J/心十/石=+-jU=dxn1=UHarcsinx=arcsin-arcsin(-l)注例 2.设连续函数变量 X 的分布函数为0,A01F(x)-x2,0 x11,界之1求：(1)(2)X 的概率密度 f(x);X 落在区间(0.3,0.7)的概率。0；0/二以力力*)；0片1解:(i)(2)有两种解法:2/0汗10,其富x-/a)=/w=Fx)=i(z:+l)OA2=I，0z2JJ120,2MK解:0A0;万一/(五)=，2兀。xF(x)小八QI工芯例 3.若 L解

4、：(1)x0 时，f(x)=0,二F(x)=r/力=/0由=0(2)0Vx1 时，产(力=L/出=%)力+j;/山=Odt+f2成JJO=0+M|F0.3X0,7)=F(0.7)-F(0,3)=0.7a-0.3?=0.4或者f0.7r01.ATF03星0-7=丽玉2兀心=/g卜04KF(X)-+arctan羽求正/(x)例21若2网解：.x-F(A)=4例 2-2 若xQXfx求 xf(x)/()=严解：01，乂0(1一屋町0，工0,x0瞬一锹 0 三x，*.x03工尸(工)=：(齐+以0Wx2,求兀一/(x)l,2x例 2-3,若-F5)=成=二小池+；加)出+丁成=业+1；Z出+J；Odi

5、=0+人+00,x0二x-F(JT)-xa,0 xl1,115001二/0沁j+g1000J15JQ/(2)各元件工作相互独立，可看作 4 重贝努利试验，观察各元件的寿命是否大于 1500 小时,2y-巩4G)表示 4 个元件中寿命大于 1500 小时元件个数，则3，所求概率为尸任=2)=噌)审哈(3)所求概率为91on祝了之1)=1产=0=1武勺勺二3J813.2均匀分布与指数分布以下介绍三种最常用的连续型概率分布，均匀分布、指数分布和正态分布，本小节先介绍前两种。定义 2.若随机变量 X 的概率密度为一，bb00,其他则称 X 服从区间a,b上的均匀分布，简记为 XU(a,b)1000，彳

6、之1000解：(1)=0-(-1000.2)=一150031500容易求得其分布函数为0,xax-araxb均匀分布的概率密度 f(x)和分布函数 F(x)的图像分别见图图23图241均匀分布的概率密度 f(x)在a,b内取常数 S-鼻，即区间长度的倒数。均匀分布的均匀性是指随机变量 X 落在区间a,b内长度相等的子区间上的概率都是相等的。均匀分布的概率计算中有一个概率公式。设万ug,理,。三 I力,即匕de.用，则d匕=b-a使用这个公式计算均匀分布的概率很方便，比如，设彳5(。，3,则2-11Fx=2=-3-03例 5.公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通过，乘客在 5 分钟内任一时刻到达

7、汽车站是等可能的，求乘客候车时间在 1 到 3 分钟内的概率。解：设 X 表示乘客的侯车时间，则 XU(0,5),其概率密度为所求概率为3-12=-5-05定义 3.若随机变量 X 的概率密度为俳00,耳 W0其中入0 为常数，则称X服从参数为入的指数分布，简记为其分布函数为2.3 和图 2.4/(*)=1,0Ao0,x0.P(1000X)=P(1000X+8)(三)正态分布定义 4.若随机变量 X 的概率密度为x-kx)其中 M,b2为常数，ooM0,则称 X 服从参数为 M,b2的正习惯上，称服从正态分布的随机变量为正态随机变量，又称正态分布的概率密度曲线为正态分布曲线。设 XN(然，b2

8、),则 X 的分布函数为f(x)和 F(x)的图形分别见图 2.5 和图 2.6指数分布常被用作各种“寿命”的分布，如电子元件的使用寿命、动物的寿命、电话的通话时间、顾客在某一服和系统接受服务的时间等都可以假定服从指数分布，因而指数分布有着广泛的应用。例：若某设备的使用寿命 X(小时)E(0.001)求该设备使用寿命超过 1000 小时的概率。解：V 入=0.001态分布，简记为 XN(2、(1,b)f(x)的图形见图 2.7=F(+8)F(1000)=11e-1=e-1=-1J2霭疗特别地，当M=0,b=1 时的正态分布称为标准正态分布 N(0,1)。为区别起见,-e工这一cox+oa的（X

9、）的图象见图2.8（3）因为中原）是 X 服从标准正态即 XN（0,1）时的分布函数，所以有当月时，P=（bA以力上面公式中，不等式中是否有等号并不影响公式的正确性，原因是连续随机变量 X 取一个数的概率为 0,即 P（X=KO=0 所以下面的公式同样成立PaXb)=中0)( )标准正态分布的概率密度和分布函数分别记为何立小，即e2T-cox(0)=-=0.520）为标准正态分布函数，它有下列性质:中年）的图象关于 y 轴对称，且&（-x）-J吠工）否二J血汗）服-虫+00）-孰了）=1-中其中标准正态分布函数取富)的可用教材中的附表 1 求得，其中同样有I中(+00)二1取十)二0I

10、例 1.若 XN(0,1)求(1)P(X0.23)(3)P(-0.2X2.12)解：(1)P(X2.12)=P(X0.23)=P(-0.23X0.23):(0.23)=0.5910(3)P(-0.2X0 时尸(因a)=21解：.=(a)一(一 a)=(a)1(a)=2(a)1例 3.若 XN(0,1),则 a 为何值时，期因“)二-95解：.-1小河因)=095=2力-1=095田一查标准正态分布函数值表(附表 1)有以196)=0.975：a=1.96下面我们不加证明地介绍正态分布有下面结果若 XN(然，/),则有孰(1)X 的分布函数 F(x)=aP(aX哂=飘上上)-(当(2)：一，公式

11、：XN(1,b 之)时P(av3)=空与6(二上)提供了 XN(-1)时，计算概率P9x切的方法。5-3工3-35/、(丁人玄丁)解：P(3X5)=.:=0(1)(0)=0.84130.5=0.3413例 5.设 XN(1.5,4),求：(1)PX3.5(2)P1.5X3解：然=1.5b=2,记 F(x)为 X 的分布函数。351.5工人-)=(1)=0.3413(1)PX3.5=P(8Vx3.5)=235-151575工工小以一-)-0(-一)=6(1)6(2)P1.5X3=1P团3=1P-3X33-15-3-15玄r-)+软：一)=1-:=1(0.75)+(一 2.25)=1(0.75)+

12、1(2.25)=10.7734+10.9878=0.2388例 6.设 XN(然，b2)求 X 落在区间然一 kb,然+kb概率，其中 k=1,2,3(史也匕勺_以(#勺解：P(xkb&X(1+kb=0r仃=(k)-(-k)=2(k)1.(1)=0.8413,(2)=0.9772,(3)=0.99865尸(一仃与，M+次=26(1)1=06*26P-2aXUa=a,0aUa)=aP(XU)=1P(XU)=1(U)=0C:(U)=1a(2.58)=0.995U0.005=2.58(2)V(U0.025)=1-0.025=0.975v(1.96)=0.975U0.025=1.96(3)v(

13、U0.01)=1-0.01=0.99(2.33)=0.99u0.01=2.33(4)v(U0.。5)=1-0.05=0.95(1.64)=0.95u0.05=1.64(5)v(U0.1)=1-0.1=0.9(1.29)=0.9.u0.1=1.29正态分布是最常见的一种分布，在实际问题中，许多随机变量服从或近似服从正态分布，例如，一个地区的男性成年人的身高和体重，测量某个物理量所产生的随机误差；一批原棉纤维的长度，某地区的年降水量等，它们都服从正态分布，本书第五章的中心极限定理表明：一个变量如果大量独立，微小且均匀的随机因素的叠加而生成，那么它就近似服从正态分布，由此可见，在概率论和数理统计的理

14、论研究和实际应用中正态分布都占有十分重要的地位。例 8.某机床生产的零件长度 X(mmN(20,0.022),工厂规定该零件长度在区间(19.96,20.04)内为合格品，求该机床产品的合格率。解：v19.96X20.04 表示产品合格:合格率为20.04-20.95-20、()-9()P(19.96X20.04)=Q-020.02=6(2)(一2)=Q)19(2)=2-1=2x0.9772-1=0.9544例 9.测量某零件长度时 DE 误差 X(mmN(2,9)求(1)误差绝对值小于 5 的概率(2)测量三次，误差的绝对值都小于 5 的概率(3)测量三次，误差的绝对值至少有一次小于 5 的

15、概率F=P(|X|5)=F(-5JT5)5-2-5-2二二(1)-(-23333)解：(1 二其中 P 表示误差绝对值小于 5 的事件 A 的概率 P(A)(2)用 X 表示测量三次，事件 A 发生次数.XB(3,P),P=0.8314在实际应用中，我们常常遇到这样的情况，所关心的随机变量不能直接测量得到，而它却是某个能直接测量的随机变量的函数，例如，我们能测量圆轴截面的直径这里：P(X=3)铲(1田二尸n0.84133Mo.573X,而关心的却是其截面的面积随机变量 Y 就是随机变量 X 的函数。设 g(x)是一给定的连续函数，称 Y=g(X)为随机变量 X 的的一个函数，Y 也是一个随机变

16、量，当 X 取值 x 时，Y 取值 y=g(x),本节，我们将讨论如何由已知的随机变量 X 的概率分布去求函数 Y=g(x)的概率分布。先讨论 X 为离散型随机变量的情况。设 X 为离散型随机变量，其分布律为由于 X 的可能取值为 xiX2,xk,所以 Y 的可能取值为 g(xi),g(X2),g(Xk),可见 Y 只取有限多个值或可列无穷多个值，故 Y 是一个离散型随机变量。当 g(xi),g(x2),g(xn)互不相等时，Y 的分布律为Y氟麴)皮沟)PPiParPk.当 g(xi),g(x2),g(xk),有相等的情况时，则应该把使 g(xk)相等的那些 xi所对应的概率相加，作为 Y 取

17、值 g(x。的概率，这样得到 Y 的分布律。例 1.设随机变量 X 的分布律为X1012P0.20.10.30.4求：(1)Y=X3的分布律；(2)Z=X2的分布律。解：(1)Y 的可能取值为一 1,0,1,8.由于=-1=_1=px=1)-0.2PY=0)=PXi=O)=网0)-0.1PY=1=1=103Py=3)=pXy=8=2)=0.4从而 Y 的分布律为Y-1018P0.20?oT0.4(3)Z 的可能取值范围为 0,1,4尸亿=0)=2)=P(X=0)=0.1=1)=尸-1)+尸(X=1)=02+03=G5P(2=4=P(X2=4)=PX=2)=0.4则 Z 的分布律为Z014-幻I

18、-例 2.XB(3,0.4)令 2，求 p丫=1【答疑编号：10020405 针对该题提问】解：因为 XB(3,0.4)所以 X 可能取值为 0.1.2.3当 X=0 时，Y=0,X=1 时，Y=1;X=2 时，Y=1;X=3 时，Y=0所以，Y=1 为X=1与X=2其实，由等式 2 中，当 Y=1 时，可得 X(3X)=2./-环+2=0,X=1或K=2P(Y=1)=P(X=1)+P(X=2)_CCO,4*0.6y+C3CO.4穴0.6)1=0.724.2 连续型随机变量的函数的概率分布设 X 为连续型随机变量，其概率密度为 fx(x),要求 Y=g(x)的概率密度 fy(y)如下定理的结论

19、。定理 1.设 X 为连续型随机变量，其概率密度为 fx(x),设 g(x)是一严格单调的可导函数，其值域为(a,0),且 g(x)W0,记 x=h(y)为 y=g(x)的反函数，由 Y=g(x)的概率密度 fy(y)为：I的唯其它|特别地，当 a=0=+0 时，I一)百绮)|A10)1，-8y+00例 3.设连续型随机变量 X 的概率密度为 fx(x),令 Y=ax+b 其中 a,b 为常数,aw0K二卜。)=匕上，/?3)aa,由定理 1 得%(y)0力上)|二七2.例 4.XN(然，b),求：一I-(1)0r的概率密度。(2)Y=aX+b 的概率密度。I_式一苦产,工营、解：.XN(M,

20、b2)：Xfx(x)后 oF=时,第=au我们可以利用解：y=g(x)=ax+b,a=00儿 T)=+由 y=ax+b 得 x=a刃)=母丸(y)心+)同仃竺吆=,=.e2cr镜后 b=h(y)=-(2)Y=ax+b 时，由 y=ax+b 得反函数 x=h(y)a口/3)=”户M11133p=e高(ad).y=(以+切N(afi-braa)例 4.说明两个重要结论；当 XN(标准化，另外，正态随机变量的线性变换个结论必须记住！yXXfI)时，0rN(0,1)且随机变量疗称为 X 的Y=aX+b 仍是正态随机变量，即 aX+”N(a(1+b,a%2),这两例 5.设 XU(22),令 Y=tan

21、x,求 Y 的概率密度 fY(y)。力O)=12解：y=g(x)=tanx,值域为(,+),反函数 x=h(x)=arctany,十丁记 X 的概率密度为 fx(x),时，6(幻=工/冤力”力(M)|权 8 卜工00y+0冗i+y这一概率分布称为柯西(Cauchy)分布。例 6.随机变量 X 的概率密度为一，0480,其他求 Y=2X+8 的概率密度。解：记 Y 的分布函数为 Fy(y),则 Y 的分布函数F,(y)=PtrMy)=+8MM=PXM)=居(。其他v8-阴*”16,132Q其他例 6 中求随机变量函数的概率密度的方法称为“直接变换法”例 6 也可用定理一的公式求解x-y-4:用)=-y-Ath(y)-、=2x+8 由 y=2x+8 得反函数 222因为 x 的取值范围为 0Vx4,所以 y 的取值范围为 8y16.当 8y16 时，*加(加4=4)W=O引当 y16 时，入)二。一*),8F1