小学奥数教程简单的排列问题全国通用含答案

1、7-4-1,简单的排列问题目|讪巨教学目标i,使学生正确理解排列的意义；2 .了解排列、排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列；3 .掌握排列的计算公式；4 .会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力;通过本讲的学习，对排列的一些计数问题进行归纳总结，并掌握一些排列技巧，如捆绑法等.MW1听知识要点一、NE歹问题在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题.在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关.一般地，从n个不同的元素中取出m(mMn)个元素，按照

2、一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同.如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列.排列的基本问题是计算排列的总个数.从n个不同的元素中取出m(mWn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素的排列中取出m个元素的排列数，我们把它记做pim.根据排列的定义，做一个m元素的排列由m个步骤完成：步骤1:从n个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n种方法；步骤2：从剩下的(n-1)个元素中任取一个元素排在

3、第二位，有(n-1)种方法；步骤m：从剩下的n-(m-1)个元素中任取一个元素排在第m个位置，有n-(m-1)=n-m+1(种)方法；由乘法原理，从n个不同元素中取出m个元素的排列数是n(n1)，(n2)|(nm+1),即Rm=n(n-1).(n-2)|(n-m+1),这里，mEn,且等号右边从n开始，后面每个因数比前一个因数小1,共有m个因数相乘.二、排列数一般地，对于m=n的情况，排列数公式变为Pn=n(n-1)，(n-2)川321.表示从n个不同元素中取n个元素排成一列所构成排列的排列数.这种n个排列全部取出的排列，叫做n个不同元素的全排列.式子右边是从n开始，后面每一个因数比前一个因数

4、小1,一直乘到1的乘积，记为n!,读做n的阶乘,则"还可以写为:Pnn=n!,其中n!=n(n1)(n2)川川321.助Ml俱例题精讲模块一、排列之计算【例1】计算：P52；F74-F73.【考点】简单排列问题【难度】1星【题型】解答【解析】由排列数公式Pnm=n(n-1).(n-2)川(n-m+1)知：P52=54=20F74=7父6M5M4=840,F73=7父6M5=210,所以F74-F73=840210=630.【答案】20630【巩固】计算：P32;【考点】简单排列问题【解析】P32=3m2=6【答案】632P6p0.【题型】解答【难度】1星32P6P0=6m5m4_10

5、x9=12090=30.30【题型】解答【巩固】计算：r4p4；3P65p；.【考点】简单排列问题【难度】i星【解析】p4p4=14Mi3M12-14m13=2002；3喈-P33=3黑（6x5黑4x3m2）-3x2x1=2154.【答案】20022154模块二、排列之排队问题【例2】有4个同学一起去郊游，照相时，必须有一名同学给其他3人拍照，共可能有多少种拍照情况？（照相时3人站成一排）【考点】简单排列问题【难度】2星【题型】解答【解析】由于4人中必须有一个人拍照，所以，每张照片只能有3人，可以看成有3个位置由这3人来站.由于要选一人拍照，也就是要从四个人中选3人照相，所以，问题就转化成从四

6、个人中选3人，排在3个位置中的排列问题.要计算的是有多少种排法.由排列数公式，共可能有：P43=4X3X2=24（种）不同的拍照情况.也可以把照相的人看成一个位置，那么共可能有：P44=4父3M2M1=24（种）不同的拍照情况.【答案】24【巩固】4名同学到照相馆照相.他们要排成一排，问：共有多少种不同的排法？【考点】简单排列问题【难度】2星【题型】解答【解析】4个人到照相馆照相，那么4个人要分坐在四个不同的位置上.所以这是一个从4个元素中选4个，排成一列的问题.这时n=4,m=4.由排列数公式知，共有R4=4父3父2M1=24（种）不同的排法.【答案】24【巩固】9名同学站成两排照相，前排4

7、人，后排5人，共有多少种站法？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】如果问题是9名同学站成一排照相，则是9个元素的全排列的问题，有P99种不同站法.而问题中，9个人要站成两排，这时可以这么想，把9个人排成一排后，左边4个人站在前排，右边5个人站在后排，所以实质上，还是9个人站9个位置的全排列问题.方法一：由全排歹U公式，共有p9=9父8M7M6父5父4父3父2父1=362880（种）不同的排法.方法二：根据乘法原理，先排四前个，再排后五个.45p9P5=987654321=362880【答案】362880【巩固】5个人并排站成一排，其中甲必须站在中间有多少种不同的站法？【考点】简

8、单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】由于甲必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问题，是一个全排列问题，且n=4.由全排列公式，共有p4=4父3乂2父1=24（种）不同的站法.【答案】24【巩固】丁丁和爸爸、妈妈、奶奶、哥哥一起照全家福”，5人并排站成一排，奶奶要站在正中间，有多少种不同的站法？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】由于奶奶必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问题，是一个全排列问题，且n=4.由全排列公式，共有P4=4父3父2父1=24（种）不同的站法.【答案】24例35个同学排成一行照相，其中甲在乙右侧的排

9、法共有种？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，4年级，第8题【解析】5个人全排列有5!=120种，其中甲在乙右侧应该正好占一半，也就是60种【答案】60种例4一列往返于北京和上海方向的列车全程停靠14个车站（包括北京和上海），这条铁路线共需要多少种不同的车票.【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】吊=14x13=182（种）.【答案】182学习委员、生活委员、宣传委员和体育委员.问:【例5班集体中选出了5名班委，他们要分别担任班长,有多少种不同的分工方式？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答5一P=120（种）.120例6有五面颜色不同的小旗，

10、任意取出三面排成一行表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】这里五面不同颜色的小旗就是五个不同的元素，三面小旗表示一种信号，就是有三个位置.我们的问题就是要从五个不同的元素中取三个，排在三个位置的问题.由于信号不仅与旗子的颜色有关，而且与不同旗子所在的位置有关，所以是排列问题，且其中n=5,m=3.由排列数公式知，共可组成P53=5父4父3=60（种）不同的信号.【答案】60【巩固】有红、黄、蓝三种信号旗，把任意两面上、下挂在旗杆上都可以表示一种信号，问共可以组成多少种不同的信号？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】p2

11、=3X2=6.【答案】6【巩固】在航海中，船舰常以旗语”相互联系，即利用不同颜色的旗子发送出各种不同的信号.如有红、黄、绿三面不同颜色的旗子，按一定顺序同时升起表示一定的信号，问这样总共可以表示出多少种不同的信号？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】方法一：这里三面不同颜色的旗子就是三个不同的元素，红、黄、绿三面旗子按一定顺序的一个排法表示一种信号，也就是从三个元素中选三个的全排列的问题.由排列数公式，共可以组成p3=3父2M1=6（种）不同的信号.方法二：首先，先确定最高位置的旗子，在红、黄、绿这三面旗子中任取一个，有3种方法；其次，确定中间位置的旗子，当最高位置确定之后，中

12、间位置的旗子只能从余下的两面旗中去取，有2种方法.剩下那面旗子，放在最低位置.根据乘法原理，用红、黄、绿这三面旗子同时升起表示出所有信号种数是：3M2M1=6（种）.【补充说明】这个问题也可以用乘法原理来做，一般，乘法原理中与顺序有关的问题常常可以用排列数公式做，用排列数公式解决问题时，可避免一步步地分析考虑，使问题简化.【答案】6模块三、排列之数字问题【例7】用1、2、3、4、5、6、7、8可以组成多少个没有重复数字的四位数？【考点】简单排列问题【难度】2星【题型】解答【解析】这是一个从8个元素中取4个元素的排列问题，已知n=8,m=4,根据排列数公式，一共可以组成4R=8父7父6父5=16

13、80（个）不同的四位数.【答案】1680【巩固】由数字1、2、3、4、5、6可以组成多少没有重复数字的三位数？【考点】简单排列问题【难度】2星【题型】解答【解析】P63=120.【答案】120【例8】用0、1、2、3、4可以组成多少个没重复数字的三位数？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】（法1）本题中要注意的是0不能为首位数字，因此，百位上的数字只能从1、2、3、4这四个数字中选择一个，有4种方法；十位和个位上的数字可以从余下的4个数字中任选两个进行排列，有P42种方法.由乘法原理得，此种三位数的个数是：4MP；=48（个）.（法2）:从0、1、2、3、4中任选三个数字进行排

14、列，再减去其中不合要求的，即首位是0的.从0、1、2、3、4这五个数字中任选三个数字的排列数为P53,其中首位是0的三位数有P42个.三位数的个数是：P53-P42=5M4M3-4M3=48（个）.本题不是简单的全排列，有一些其它的限制，这样要么先全排列再剔除不合题意的情况，要么直接在排列的时候考虑这些限制因素.【答案】48【例9】用1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】个位数字已知，问题变成从从5个元素中取2个元素的排列问题，已知n=5,m=2,根据排列数公式，一共可以组成p2=5M4=20（个）符合题意的三位

15、数.【答案】20【巩固】用1、2、3、4、5、6六张数字卡片，每次取三张卡片组成三位数，一共可以组成多少个不同的偶数？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】由于组成偶数，个位上的数应从2,4,6中选一张，有3种选法；十位和百位上的数可以从剩下的5张中选二张，有P2=5M4=20（种）选法.由乘法原理，一共可以组成3X20=60（个）不同的偶数.【答案】60【例10】由0,2,5,6,7,8组成无重复数字的数，四位数有多少个？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】方法一：先考虑从六个数字中任取四个数字的排列数为P；=6父5M4M3=360,由于0不能在千位上，而以0为

16、千位数的四位数有欧=5父4M3=60,它们的差就是由0,2,5,6,7,8组成无重复数字的四位数的个数，即为：360-60=300个.方法二：完成这件事一一组成一个四位数，可分为4个步骤进行，第一步：确定千位数；第二步：确定百位数；第三步：确定十位数；第四步：确定个位数；这四个步骤依次完成了，组成一个四位数”这件事也就完成了，从而这个四位数也完全确定了，思维过程如下：千位百位十位"三号L珀更卡像敦回为千崔和百崔已从：0C5.7.W中：用击2个歙字，的以卡让：二跪从制下的敷宇中忠：薛，孙惠4件落片.能一步:的之千崔敬由千百也不能势0.H龟2.5.6.7.8申4f建一个数W，其高5导愿走

17、.策四修：盟友布依教囱为千假一15近如中柱已从口.2.5.6,7,S中国金个数半，所以个赵穴罪从制下咐激牛中庭择.具求3计忠注，篇二后：岫瓦百位歉向千敷丰不£并重复健肥.所以千也需过的抵辛百崔不能再用，业而石位可以是。，肝以戊2,5,6.7,S中击抻十位用去的一力敷辛，百俣具意5时根据乘法原理，所求的四位数的个数是：5M5M4M3=300（个）.【答案】300【例11】用1、2、3、4、5这五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个3的倍数？【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答【解析】按位数来分类考虑：一位数只有1个3;两位数：由1与2,1与5,2与4,4与5四组数字组成，每

18、一组可以组成P22=2M1=2（个）不同的两位数，共可组成2M4=8（个）不同的两位数；三位数：由1,2与3;1,3与5;2,3与4;3,4与5四组数字组成，每一组可以组成P33=3父2M1=6（个）不同的三位数，共可组成6父4=24（个）不同的三位数；四位数：可由1,2,4,5这四个数字组成，有p4=4父3父2父1=24（个）不同的四位数；五位数：可由1,2,3,4,5组成，共有P55=5父4父3父2父1=120（个）不同的五位数.由加法原理，一共有1+8+24+24+120=177（个）能被3整除的数，即3的倍数.【答案】177【例12】用1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个比2000

19、0大且百位数字不是3的无重复数字的五位数？【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答【解析】可以分两类来看：把3排在最高位上，其余4个数可以任意放到其余4个数位上，是4个元素全排列的问题，有4P=4M3M2M1=24（种）放法，对应24个不同的五位数；把2,4,5放在最高位上，有3种选择，百位上有除已确定的最高位数字和3之外的3个数字可以选择，有3种选择，其余的3个数字可以任意放到其余3个数位上，有P3=6种选择.由乘法原理，可以组成3M3M6=54（个）不同的五位数.由加法原理，可以组成24+54=78（个）不同的五位数.【答案】78【巩固】用0到9十个数字组成没有重复数字的四位数；若将这

20、些四位数按从小到大的顺序排列，则5687是第几个数？【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答【解析】从高位到低位逐层分类：千位上排1,2,3或4时，千位有4种选择，而百、十、个位可以从09中除千位已确定的数字之外的9个数字中选择，因为数字不重复，也就是从9个元素中取3个的排列问题，所以百、十、个位可有P93=9父8M7=504（种）排列方式.由乘法原理，有4M504=2016（个）.千位上排5,百位上排04时，千位有1种选择，百位有5种选择，十、个位可以从剩下的八个数字中选择.也就是从8个元素中取2个的排列问题，即P82=8M7=56,由乘法原理，有1m5m56=280（个）.千位上排5,

21、百位上排6,十位上排0,1,2,3,4,7时，个位也从剩下的七个数字中选择，有1m1m6m7=42（个）.（4）千位上排5,百位上排6,十位上排8时，比5687小的数的个位可以选择0,1,2,3,4共5个.综上所述，比5687小的四位数有2016+280+42+5=2343（个），故5687是第2344个四位数.【答案】2344【例13】用数字l8各一个组成8位数，使得任意相邻三个数字组成的三位数都是3的倍数.共有一种组成方法.【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】填空【关键词】走美杯，六年级，初赛，第7题【解析】l8中被三除余1和余2的数各有3个，被3整除的数有两个，根据题目条件可以推导，

22、符合条件的排列，一定符合被三除所得余数以3位周期”，所以8个数字，第1、4、7位上的数被3除同余，第2、5、8位上的数被3除同余，第3、6位上的数被3除同余，显然第3、6位上的数被3整除，第1、4、7位上的数被3除可以余1也可以余2,第2、5、8位上的数被3除可以余2可以余1,余数的安排上共有2种方法，余数安排定后，还有同余数之间的排列，一共有3!不！X2!=144种方法.【答案】144种【例14】由数字0、2、8（既可全用也可不全用）组成的非零自然数，按照从小到大排列.2008排在个.【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答【解析】比2008小的4位数有2000和2002,比2008小的

23、3位数有2父3父3=18（种），比2008小的2位数有2x3=6（种），比2008小的1位数有2（种），所以2008排在第2+18+6+2+1=29（个）.【答案】29【例15】千位数字与十位数字之差为2（大减小），且不含重复数字的四位数有多少个？【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答【解析】千位数字大于十位数字，千位数字的取值范围为2:9,对应的十位数字取0:7,每确定一个千位数字，十位数字就相应确定了，只要从剩下的8个数字中选出2个作百位和个位就行了，因此总共有8MP0个这样的四位数.千位数字小于十位数字，千位数字取1:7,十位数字取3:9,共有7MP2个这样的四位数.所以总共有8M

24、p2+7MR2=840个这样的四位数.【答案】840模块四、排列之策略问题【例16】某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非0数码组成，且四个数码之和是9,那么确保打开保险柜至少要试几次？【考点】简单排列问题【难度】4星【题型】解答【解析】四个非0数码之和等于9的组合有1,1,1,6;1,1,2,5;1,1,3,4;1,2,2,4;1,2,3,3;2,2,2,3六种.第一种中，可以组成多少个密码呢？只要考虑6的位置就可以了，6可以任意选择4个位置中的一个，其余位置放1,共有4种选择；第二种中，先考虑放2,有4种选择，再考虑5的位置，可以有3种选择，剩下的位置放1,共有4父3=12

25、（种）选择同样的方法，可以得出第三、四、五种都各有12种选择.最后一种，与第一种的情形相似，3的位置有4种选择，其余位置放2,共有4种选择.综上所述，由加法原理，一共可以组成4+12+12+12+12+4=56（个）不同的四位数，即确保能打开保险柜至少要试56次.【答案】56【例17】幼儿园里的6名小朋友去坐3把不同的椅子，有多少种坐法？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】在这个问题中，只要把3把椅子看成是3个位置，而6名小朋友作为6个不同元素，则问题就可以转化成从6个元素中取3个，排在3个不同位置的排列问题.由排列数公式，共有：P63=6父5父4=120（种）不同的坐法.【答案】120【巩固】幼儿园里3名小朋友去坐6把不同的椅子（每人只能坐一把），有多少种不同的坐法？【考点】简单排列问题【难度】3星【题型】解答【解析】与例5不同，这次是椅子多而人少，可以考虑把6把椅子看成是6个元素，而把3名小朋友作为3个位置，则问题转化为从6把椅子中选出3把，排在3名小朋友面前的排列问