概率论与数理统计习题随机变量及其分布

1、第二章随机变量及其分布一.填空题1.设随机变量XB(2,p),YB(3,p),若P(X之1)=5,则P(Y之1)=9解.P(X=0)5=1-P(X_1)=19(1-P)p=32.P(Y-1)=1-P(Y=0)=1-i<3；1,0,1,2-1解.1=3219271352,四个数值，其相应的概率依次为一，一，一，,则2c4c8c16cc=22c4c8c16c16c3 .用随机变量X的分布函数F(x)表示下述概率：P(X<a)=.P(X=a)=.P(X>a)=.P(xi<X<x2)=.解.P(X<a)=F(a)P(X=a)=P(X<a)-P(X<a)=

2、F(a)F(a0)P(X>a)=1F(a)P(x1<X<X2)=F(x2)-F(x1)24 .设k在(0,5)上服从均匀分布，则4x+4kx+k+2=0有实根的概率为1解.k的分布密度为f(k)=)500<k<5其它2_2_P4x2+4kx+k+2=0有实根=P16k2-16k-32>0=Pk<-1或k>2=5dkab5.已知PX=k=,PY=-k=(k=1,2,3),X与Y独立,则a=,b=，联kk2合概率分布、aa解.a,23,Z=X+Y的概率分布为=1,a611bb36b1,b=4949XJ1-2-31ababab492ababab2818

3、3ababab31227Z=X+Y-21012P240t66o(251a126a72a1Ct=(X,Y)的联合分布为ab=216k539P(Z2)=P(X=1,Y=-3)=P(X=1)P(Y=-3)=生=24、9P(Z-1)=P(X=2,Y-3)P(X=1,Y-2)=66：P(Z=0)=P(X=3,Y-3)P(X=2,Y-2)P(X=1,Y-1)=251：P(Z=1)=P(X=2,Y=-1)P(X=3,Y=-2)=126P(Z=2)=P(X=3,Y=-1)=P(X=3)P(Y=1)=ab=72：6.已知(X,Y)联合密度为呼(x,y)=，csin(x+y)0JT0-x,y-4,则c=其它,Y的

4、边3缘概率密度Q(y)=.二/4二/4解.Icsin(xy)dxdy=1,c=21000-x,y-4其它所以生x,y)F+1)Sin(x+y)031当0wyw一时4(y)=(x,y)dx=4(.21)sin(xy)dx=(21)(cosy-cos(y)04所以Y(y).(-2D(eosy-cos(-y)°»工0其它12一7.设平面区域D由曲线y=及直线y=0,x=1,x=e围成，二维随机变量(X,Y)在D上x服从均匀分布，则(X,Y)关于X的边缘密度在x=2处的值为e21解.D的面积=fdx=2.所以二维随机变量(X,Y)的密度为：1x生x,y)=<20(x,y)D其

5、它下面求X的边沿密度：当x<1或x>e2时x(x)=0当1<x<e2时1 /*x(x)=J_(x,y)dy=f0xdy=2x,所以x(2)=7.8.若X1,X2,，Xn是正态总体NSo2)的一组简单随机样本，则1g,X=(X1+X2+Xn)服从.n解.独立正态分布随机变量的线性函数服从正态分布)1E乙Xi1=一乙E(XJ=N<niJni苴_fU、1_aD-ZXiD(Xi)=一W01nln_2所以XN(口,)n9.如果(X,Y)的联合分布用下列表格给出(X,Y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)P1111QaP69183且X与丫相互独立，则

6、支=,P=.解.1-:,P(Y=1)181-1P(X=2)=:P(Y=2),P(Y=3)392P(Y=1)P(Y=2)P(Y=3)=:：一=131-1.一=P(X=2、=2)=P(X=2)P(Y=2)=()/)(二二)391-1-.-P(X-2,Y-3)-P(X-2)P(Y-3)=.(一:一，)()318112两式相除得_9=解得a=2P,P=1,a=-.1-991810.设(X,Y)的联合分布律为丫-2-10X、113-112121212102121222301212的分布律_.ii.V=X-Y的分布律_.则i.Z=X+丫111. U=X2+Y-2的分布律解.X+Y-3-213/21/213

7、P1/121/123/122/121/122/122/12X-Y-1013/25/235P3/121/121/121/122/122/122/12X2+Y-2-15/4-3-11/4-2-157P2/121/121/121/123/122/122/12.单项选择题1 .如下四个函数哪个是随机变量X的分布函数01(A)F(x)二22x<20x<0-2<x<0,(B)F(x)=sinx0Ex<nx20Jxx:二00X:00(C)F(x)=«sinx1解.(A)不满足F(+oo)=排除(D);(C)是答案.2. P(X=k)=cKke*/k!(k=0,2,4，

8、)是随机变量X的概率分布，则c一定满足(A)£>0(B)c>0(C)c九>0(D)c>0,且九>0解.因为P(X=k)=c>ukeT/k!(k=0,2,4,)，所以c>0.而k为偶数，所以人可以为负.所以(B)是答案.3. XN(1,1),概率密度为中(x),则(A)p(X<0)-P(X_0)-0.5(B)(x)=(-x),x(-二，二)(C)p(X<1)-P(X_1)-0.5(D)F(x)-1-F(-x),x(-,-)解.因为E(X)=N=1,所以p(XM1)=P(X之1)=0.5.(C)是答案.八，八L，、10Mx二二/2,(

9、D)F(x)=x-3八10.x：:-2xJ21,排除(A);(B)不满足单增，排除(B)；(D)不满足F(1/2+0)=F(1/2),4.X,Y相互独立，且都服从区间机变量是0,1上的均匀分布，则服从区间或区域上的均匀分布的随(A)(X,Y)(B)X+Y_2(C)X(D)X-Y解.X5(x)1=00<x<1其它丫(y)10<y<1其它.所以小10Mx,yM1(X,Y)邛(x,y)=,甘.所以(A)是答案.0其它0_x5.设函数F(x)=d21x-00<xM1则x1(A)F(x)是随机变量X的分布函数.(B)不是分布函数.(C)离散型分布函数.(D)连续型分布函数.

10、解.因为不满足F(1+0)=F(1),所以F(x)不是分布函数，(B)是答案.6.设X,Y是相互独立的两个随机变量它们的分布函数为Fx(x),Fy(y),则Z=max(X,Y)的分布函数是(A)Fz(z)=maxFx(z),Fy(z)(B)Fz(z)=max|Fx(z)|,|FY(z)|(C)Fz(z)=Fx(z)Fy(z)(D)者B不是解.FZ(z)=P(Z<z)=Pmax(X,Y)<z二PX<z且Y三z因为独立P(X<z)P(Y<z)=Fx(z)Fy(z).(C)是答案.7.设X,Y是相互独立的两个随机变量，其分布函数分别为Fx(x),Fy(y),则Z=min

11、(X,Y)的分布函数是(A)Fz(z)=Fx(z)(B)Fz(z)=Fy(z)(C)Fz(z)=minFx(z),Fy(z)(D)FZ=11Fx(z)1Fy解.因为独立FZ(z)=P(Zwz)=1P(Zz)=1Pmin(X,Y)z=1PX.z且Yz1-1-P(X<z)1-P(Y<z)=1-1-Fx(z)1-Fy(z)(D)是答案.8.设X的密度函数为中(x),而中(x)=2二(1x2),则丫=2X的概率密度是(A)2二(14y)(B)2二(4y)(C)2二(1y)(D)arctany解.Fy(y)=P(YMy)=P2XMy=P(X4)=Fx碍)2二(4y2)>(y)<F

12、y(y)=(B)是答案.9.设随机变量(X,Y)的联合分布函数为9(x,y)=,_(x-y)ex0,y其它的分布密度是(A)z(Z)二52e01_4xy)x0,y0其它x-y-2(B)z(z)=e0x0,y0其它(C)Z(Z)2z4ze、0(D)(Z)=2e0z0z<0解.z=x是一维随机变量，密度函数是一元函数,排除(A),(B).'二1z1102edz=2,所以(D)不是答案.(C)是答案.注：排除法做单项选择题是经常使用而且很有效的方法.该题也可直接计算Z的密度:当z<0时XYFz(z)=P(Z")=P(=-Fz(z)=0<z)=P(XY<2z)

13、=(x,y)dxdyxyzcNzNz=-2ze-ez(z)=Fz(z)=4ze?z0z0ng-,(C)是答案.z<010 .设两个相互独立的随机变量确的是(A) PX+Y<0=1/2(C)PX-Y<0=1/2X和Y分别服从正态分布N(0,1)和N(1,1),则下列结论正(B) PX+Y<1=1/2(D)PX-Y<1=1/2解.因为X和Y分别服从正态分布N(0,1)和N(1,1),且X和丫相互独立，所以X+YN(1,2),X-YN(-1,2)于是PX+Y<1=1/2,(B)是答案.11 .设随机变量X服从指数分布，则Y=minX,2的分布函数是(A)是连续函数

14、(B)至少有两个间断点(C)是阶梯函数(D)恰好有一个间断点解.分布函数：FY(y)=P(YMy)=P(miiX(,2)<y)=1-P(miX(2)y)当y之2时FY(y)=1-P(miX(2)y)=1-0=1当0<y<2时FY(y)=1-P(miXQ)y)=1-(Xy,2y)=1-P(Xy)=P(X<y)=1-e'y当y<0时Fy(y)=1-P(miiX(2)y)=1-(Xy,2y)=1-P(Xy)=P(X三y)=01I于是FY(y)=1-ew0y-20<y二2y：0只有y=2一个间断点,(D)是答案.三.计算题1.某射手有5发子弹，射击一次的命中

15、率为0.9,如果他命中目标就停止射击，不命中就一直到用完5发子弹，求所用子弹数X的分布密度.解.假设X表示所用子弹数.X=1,2,3,4,5.i1P(X=i)=P(前i1次不中，第i次命中)=(0.1)0.9,i=1,2,3,4.当i=5时，只要前四次不中，无论第五次中与不中，都要结束射击(因为只有五发子弹).所以P(X=5)=(0.1)4.于是分布律为X12345p090.090.0090.00090.00012.设一批产品中有10件正品，3件次品，现一件一件地随机取出，分别求出在下列各情形中直到取得正品为止所需次数X的分布密度.i.每次取出的产品不放回；ii.每次取出的产品经检验后放回，再

16、抽取；iii.每次取出一件产品后总以一件正品放回，再抽取.解.假设Ai表示第i次取出正品(i=1,2,3,)i.每次取出的产品不放回X1234p10103102312310131213111213111213P(XP(X103=2)=P(A2A)=P(4|A)P(A)1-1023P(X=3)=P(AA2A3)=P(A31A2)P(A2|A)P(A)=111213123P(X=4)=P(A41A3)PAA)P(A2|A)P(A)=1工二二111213ii.每次抽取后将原产品放回X12kP10310f3f3*,!”一13131311311333丫，10P(X=k)=p(AAk)=P(A)P(A)P

17、(A),(k=1,2,)1313iii.每次抽取后总以一个正品放回X|1234p1031113131310P(X=1)=P(A);133212.1231131313131313113P(X=2)=P(A2A1)=P(A2|A)P(A1)二13131223P(X=3)=P(AA2A3)-P(A3|A2A)P(A2|从尸(为)=一131313123P(X=4)=P(A41A3A2A1)P(A31A2A)P(A2|A1)P(A1)=1131313c|x|：二1113 .随机变量X的密度为9(x)=J1x2'L，求：i.常数c；ii.X落在(，一)内具它220的概率.1c二一JI1c1i解.1

18、=(x)dx：dx=2carcsinx|0=2c=c二,一.1d2.1f2P(X(-1/2,1/2)1/21dxarcsxny二三/2二，1_x2二二64 .随机变量X分布密度为2x0<x：12|x|：11. (x)=二.1-x2;二,ii.(x)=2-x1MxM2I其匕I010其它求i.,ii的分布函数F(x).解.i.当x<1时xxF(x)-J-:'：(t)dt-J-0dt=0当一1<x<1时F(x)=j中(t)dt=Jv1-12dt=V1-x2+arcsinx+-二二2当x之1时F(x)=10P(t)dt=1，Ji-t2dt=1-1二x-1T二x：二1x-

19、10所以F(x)=4xN1-x2+工arcsinx+121ii.当x<0时xxF(x)=.=j(t)dt=.=0dt=0xF(x)=(t)dt=36x0tdt=x1xF(x)=(t)dt=0tdt1(2-t)dt=2x1当2<x时x12F(x)=.J：(t)dt=0tdt,1(2-t)dt=1所以02xF(x)=<22-+2x-121Jx:00Mx：二11<x：2x-25.设测量从某地到某一目标的距离时带有的随机误差X具有分布密度函数(x)=1i=exp-4042元(x-20)2'3200,一：<x<+二试求：i.测量误差的绝对值不超过30的概率；i

20、i.接连独立测量三次，至少有一次误差的绝对值不超过30的概率.解.因为（x）(x-20)23200s<x<+9所以XN(20,402).i.P(|X卜：30)p-30<X<3。=P/-1,25:二X20:二0.2540=中(0.25)-。(-1.25)=力(0,25)-(1->(1.25)=中(0.25广中(1,25)-1=0.59870.8944-1=0.4931.（其中6（x）为N（0,1）的分布函数）ii.P（至少有一次误差的绝对值不超过30）=1-P（三次误差的绝对值都超过30）=1-（0.4931）3=1-0.12=0.886.设电子元件的寿命X具有密度

21、为100：xx-100100(x)=x20?ii.三只电子元件全损坏的概率问在150小时内,i.三只元件中没有一只损坏的概率是多少是多少？iii,只有一个电子元件损坏的概率是多少100解.X的密度中(x)=x010&x.所以x<100150100P(X：150)，100,_1令p=P(X之150)=1-32dxx2.3i. P(150小时内三只元件没有一只损坏)=P33ii. P(150小时内三只兀彳全部损坏)=(1p)8271一27iii. P(150小时内三只元件只有一只损坏)=c321丫22<3,A3J7.对圆片直径进行测量，其值在5,6上服从均匀分布，求圆片面积的概

22、率分布.解.直径D的分布密度为邛(d)=f15<d<6其它D假设X=D,X的分布函数为4F(x).2F(x)=P(XEx)=P(：D£x)当x<0时，F(x)=0当x>0时F(x)=P(X<x)=PQD当4<5,即乂<ji资时F(x)=0当5J丝<6,VJiF(x)=P(XMx)=P(二D2三x)=P*EDE.4xji4x二5二1dt二F(x)=(t)dt=dt=1,：5125x二425二4密度(x)=F'(x)-,x025二人_x£9二4其它8.已知X服从参数p=0.6的01分布在X=0,X=1下，关于丫的条件分布分

23、别为表1、表2所示表1YP(Y|X=1)P(Y|X=0)求(X,Y)的联合概率分布解.X的分布律为,以及在Y丰1时，关于X的条件分布.X01p0.40.6(X,Y)的联合分布为P(XP(XP(XP(XP(X=1,Y=2)=P(Y=2|X=1)P(X=1,Y=3)P(Y=3|X=1)P(X=1)41二1)二61=1)二33535=0.3=0.11=0,Y=1)=P(Y=1|X=0)P(X=0)二41=0,Y=2)=P(Y=2|X=0)P(X=0)二23=0.252=0.152=0.2512P(X=0,Y=3)=P(Y=3|X=0)P(X=0)=0.145P(X=0|Y=1)=P(Y=1)所以Y的分布律为Y123P0.40.30.3改二0-1)二”;0.5P(X=1|Y=1)=P(X=1,Y=1)0.3=0.5P(Y=1)0.6所以X|Y#10