本构方程的原理

1、第8章本构方程的原理连续介质力学的基本方程式：1 .物理定律Euler描述法质量守恒：;：divv=0动量守恒：divTf=-a动量矩守恒：T=TT局部能量守恒：:：u=T:D-Pr-divh嫡产率原理：卬才）=T:D+FTs-Pu-gradTh/T>0Lagrange描述法：可用S表示，也可以用T?表示上述公式2 .几何关系式1TD=-（G+G）其中G=gradv2F=gradxF=GFE=FtDF以上均为几何量及其之间的描述3 .本构方程式：材料属性（本章讲解的内容）应力应变关系（材料力学中）热传导过程（热力学中）本构方程式的建立：a）实验：三向荷载无法实验（穷举实验不可能），只能用

2、特定材料。b）假定：再用实验方法进行验证；或根据实际（工程）现象进行某些假设。C）原理：从原理出发，研究本构方程一本构方程的框架；对推导本构方程具有指导意义。4 .初始条件和边界条件。以上构成连续介质力学的定解问题，本章讲叙本构方程的原理。§ 8.1 构方程的概念1 .材料的力学行为及其流变学分类力学性质外部干扰（荷载）广义荷载（机械性载荷（力）、非机械性载荷（如温度等）材料力学行为：材料在外部干扰下的响应（或反应）材料的力学行为复杂。唯象观点（客观理论）：根据响应结果、响应现象建立理论（不管原因）。不管响应产生的机制。如轴向拉压：6-P图。材料的破坏的二个最基本形式：韧性破坏（有明

3、显的变形）脆性破坏：（无显著变形）材料的破坏形式不是固有的，即不能称某材料为韧性或脆性的，只能说某材料在某种条件下显现为韧性或脆性。（这些条件包括：温度、应力状态等）。如：高温下（地震）的岩石可流动、海底岩石也显现为韧性，钢在低温下显现为脆性等。通常我们称某材料为韧性或脆性的，是以静载、常温、正常环境条件和应力状态下材料呈现的性质为依据的。影响（决定）材料力学性质的主要因素有：1）材料的固有的成份、组成、内部构造等微观因素有关。例如，一般的铸铁是脆性的，但球墨化可使其增韧；而钢中掺碳可使其增强变脆。利用这一点可以人工改善材料性质，甚至设计材料。目前自然界材料、普遍高强、低韧，人们要保持其强度，

4、但要提高韧度。形成一门科学性一一材料科学-力学，较成功的材料为：陶瓷增韧。2）材料的力学行为通常通过对构件进行实验，构件的尺寸、形状会影响材料的力学性质。如岩石实验，用一块体作实验，实验结果严格地说应为结构的响应，并非真正的材料的响应，构件越大，包含缺陷越多。3）外部环境：周围介质、温度、辐射、磁场。4）加载方式：速度、交变、应力状态。高速加载带粘性，交变使材料变脆，三向等拉变脆，三向等压变韧。裂纹尖端三向等拉。5）时间因素：老化。理论上说：将上述因素作为参数，来确定一个区分韧性破坏和脆性破坏区的过渡区（但实际上要做到是很困难的，甚至不可能的）。因此，要描述材料的力学性质是非常困难的，到目前为

5、止，不可能用一个函数来直接、全部描述材料性质。目前可行的办法：根据各种材料（常见材料），在一定条件下的主导行为（主要表现、性质、抓主要矛盾）进行分类。建立相应的模型（模拟原型），及对应的理论。每一个模型不是一种或一类材料力学性质的直接和全部的描述，而是多种材料在各自一定条件下共同主导行为的模拟。这种在总体唯象方法上建立起来的材料性质的分类法称为流变学分类法，1930年由Bingham提出的，在50年代得到重要的发展。例如：较一个典型的单元体，从它受干扰的响应分为：（单元体是一个微小系统，简称为系统）。一、长程系统：材料的响应不仅与该系统的状态变量的现时值及其其全部历史有关，而且与物质其它质点（

6、单元体）的状态变量及全部历史有关，甚至认为与体积力有关。（最复杂的材料性质）。二、短程系统：材料的响应与本单元体的状态变量的现时值及其全部历史有关，与其它质点的状态参数无关。力学中现有的流变模型大我数属短程系统。短程系统分为两类：梯度形：不仅与上述因素有关，而且与状态变量的梯度有关。如：与£,（T有关，且ce-a与,右关。；x；x非梯度形：与状态变量梯度无关。（现学的本构方程属于这类）。短程系统：老化；非老化。力学中研究的对象为：短程，非梯度型，非老化。/即时的干扰一引起响应后效（蠕变）/可逆响应部分移去干扰一消减响应：4八;不可逆响应部分于是可得出以下的分类框图（未考虑材料的损伤）

7、通常将（热）弹性、塑性和粘性视作基本的流变模型。其实材料在一定条件下，一般地可用上述三种模型之一或其组合来模拟。如：弹塑性、粘弹性、粘塑性、弹-粘塑性等。如上所述，这种流变分类法不是固有的，而是一种人为的分类方法，它只是提供材料一般性质的参考框架。给定材料的行为，只相对于预期的用途和期望的精度而言，才可用一种流变模型来表示。例如室温下的钢、按其设计用及期望精度可被视为下列模型：线弹性的一一对于结构的静力分析（小变形）粘弹性的一一对于振动阻尼分析刚塑性的一一对于塑性极限分析（土木）弹性强化的一一对精确计算残余变形弹粘塑性的一一对应力松驰分析 韧性损伤的一一对于求加工限度（成型极限，分几次成型）

8、疲劳损伤的一一对于估计构件寿命时。2.状态变量（参数）力学-热学系统的状态要有一定的变量来描述或确定，称为状态变量。状态变量变化必定引起或对应于状态变化，称为过程。状态变量分两类：独立的状态变量；可用独立状态变量来表示的，称为状态函数。体积V、应变（温度（T）称为独立变量，压力p,应力（T）、内能（u）或自由能（中），嫡（s）、热流矢（h）称为状态函数。状态变量之间的函数关系系，称为本构方程。在空气动力学中称状态方程。应变、组分浓度等称为运动性状态变量，与绝对温度一起构成为独立状态变量。也可以应力作为独立状态变量。相应地应变为状态函数。广义虎克定律中可用应变表示应力，反之也行。状态函数中有一类

9、特殊函数，称为态函数，即此类函数只与独立状态变量的值有关，而与变化的过程（历史）无关，具体地说，与独立的状态变量的变率之、T无关，e,中、s等是态函数，它们的增量是数学中的全微分。§8.2本构方程的表述方法三大方法：1 .微观方法：在原子、分子或晶粒尺度上来考虑或模型材料的变形或断裂，再将微观变量（位错浓度、孔洞浓度、构成等）加以整体化或平均化，以获材料的客观行为（该法距离应用还远）。对于微体力学，要用微观方法，如生物力学中血管流动力学等。2 .热力学方法：引入等价于真实介质的均匀介质（均匀、连续假设），引入宏观的内变量来反映材料行为的不可逆过程，即材料的历史相关性。用c(k(k=1

10、,2,3，熊书77页)表示内变量，则本构方程可表不为：T=T(二k,T,qk)s=s(：k,T,qk)=k,T,qk)h=h(：k,T,qk)其中，T为Euler(Cauchy)应力张量，s为比嫡，中为比自由能(也可用比内能u,中=u-Ts),h为热流矢。上述四类本构方程中，若为可逆过程，则qk没有出现，若为不可逆过程，则qk出现,由于qk的出现，多了未知数，因此，还要建立内变量的变化规律为(率方程)：q'k=q"k,T,qk)3.泛函表述法(上面用“人”表示泛函)：T=Tx(X,t),T(X,t),X,t=?x(X,t),T(X,t),X,tu=?lx(X,t),T(X,t

11、),X,ts=?x(X,t),T(X,t),X,th=?lx(X,t),T(X,t),X,t其中，左边的量与2中叙述相同，右边的量为：X'为该单元体以外所有的质点(长程系统)，X为该单元体内的质点，t'：表示时刻t以前的所有的时间(-mwt,wt)。最后导出一个积分型的遗传规律(与历史有关)，这个规律表示材料的特征函数。微观方法难在：微观变量不好测量，且平均化有误差。热力学方法难在：引入的势函(自由能中，耗散势)难于直接观测；内变量按定义就是不可直接观测的，有人为的任意性。泛函方法难在：具体写出泛函数的形式。粘弹性力学用泛函方法，但不是直接写出泛函的形式，而是一个积分形式。微观

12、和宏观相结合的方法建立了本构方程，目前有用。§8.3本构方程的原理(相当于工程中的规范)1 .确定性原理：认为任何力学一热学状态都是可确定的。牛顿经典力学确定性原理：只要知道初始状态就可知任何状态。近代力学确定性原理：只要知道现在和历史，方可知未来。但现在的浑沌问题具有不确定性。.*hod11-tt将来过去令：t=t-工，为从现时刻t回到T时刻的经过的时间。物质点X在t时刻以前的变形史x(t)(X,t*)t*=0为现时刻，t*>0为过去时刻。或记为：x(t)(X,t-=x(X,按确定性原理写出的本构方程为：T(X,t)二下(x(t);X,t)其中下称为本构泛函一一单值性。X点的

13、应力无2 .局部作用原理(短程原理)只与本身单元有关，与周围无关。即：离开物质点X有限距离之外的物质点的变形史与关。以X为中心取一领域R(X)zwR(X)即z-X<d设x(t)和父是二个变形史，在R(X)内的物质点变形史完全一样，但在R(X)以外的物质点的变形史不一样，根据确定性原理，分别写出其本构方程，于是有:书(x(t)；x,t)=T(？；x,t)3 .客观性原理：(时空系无关原理，标架无关原理)材料本构方程完全决定于材料本身的本构属性。材料的本构方程与观察者所处的时空系无关；作相对运动的两个观察者观测同一个本构实验，应得到同一个本构方程。以上为Noll三原则(1958年)，后又提出

14、以下原理(进一步完善)。4 .短暂记忆原理衰减记忆5 .坐标系不变性原理本构方程是张量方程，张量是坐标系不变的。6 .许可性原理本构方程不违反守恒定律和嫡不等式。7 .等存在性原理各类本构方程所包含的状态变量相同。如果对一类本构方程证明某个变量难排除，则一般地在其它级本构方程中也不包含该变量。1 8.4参考标架的变换，标架无关量2 .参考标架的变换时空系：参考系+时钟在邛系中看M：x(t)在?系中看M：x(t)时空系的变换：x(t)=c(t)Q(t)x(t)其中Q(t)变换张量，(夹角余弦)，与时间有关的正交变换张量。设=t+a(a为常数，即两个钟快慢一致)上述变换具有两个性质:空间距离不变性

15、(两事物发生地点的距离相同)时间间隔不变化(两事物发生的时间差相同)1)空间距离不变性质邛系中：M0M=(x%)(x-x)炉系中：M0M=(xx°)(xxo)=Q(t)(x-%)Q(t)(x-x0)一T_三(xx0)Q(t)Q(t)(xxo),、，、三(xx0)(x-x0)2)时间间隔不变性：,t-to=t-t0(均只相差常数a)3 .标架无关量的变换规律中：(x，t)一个标架(一个观察者)审:(x,t)另一个标架(另一个观察者)Jx=C(t)Qx标架变换规律t=ta1)标量：一,.,一,.，,一a=a称为标架无关标重，标重的变换规律，否则称为标架有关的标重2）矢量:*一一一八,一a

16、的张量，称为标架无关张量。两点之间的相对位置是一个标架无关的矢量、x-x0=Q（xx0）或a=Qa或a=Qa3）张量：.、.*邛中：矢量的变换为二阶张量B,即a=Ba。中，a"=Ba'在什么条件下才称B与标架无关张量？将一个标架无关矢量a变换为另一个标架无关矢量tT-则：a=Qaa=Qa=QBa=QBQa比较，有：B=qbqt标架无关张量变换规律上述三种称为典型的规律本构方程是与标架无关，所以要研究与本构方程有关量的标架无关性。3.力学中遇到的量的标架变换规律（力学的客观量与非客观量）守（矢性算子，0=0三二XiV=（T7）T（本构方程中要用到它，如：Tk+Pf=Pa）-邛中

17、：V=（）T二x中：。=（二）T:x又x=c（t）+Qx,则=Q,=Q1=QT：xFx则=（一土QT）T=Q（-土）T=Qk（现时构形中）xx.现时构形中的矢性算子是标架无关的算子。在参考构形中，匚I=（）TX邛中：口二（工）TX中：5=工iXX它符合标量的变换规律，用它时，将=口一.一口就可写为口F变形梯度张量1C=FTFB=FFTE=-(C-I)2U2=CF=QU在中中：f=X在中中：一度=C+Q'x=Q=QFXXX变形梯度张量相当于矢量的变换规律（原因是它为两点张量，只有x与不同观察者有,而X与参考标架无关）。CGreen变形张量在中中：C=FTF在中中：C=FTF=（QF）T（

18、QF）=FtQtQF=FtF=CC的标架变换规律符合标量变换规律（原因是它为物质张量，即一点张量，且在参考构形中）。U=U（与上同理，U也为一点张量，物质张量）R极分解正交张量在中中：F=RU在中中：F=Ru=Ru又F=QF=QRU比较有：R=QRR的变换规律相当于矢量变换规律（:R是一个两点张量）BCauchy应变弓量B1它符合张量的变换规律B=QBQT规律：凡两点张量相当于矢量变换规律凡一点张量：若该点在参考构形上，相当于标量变换规律若该点在现时构形上，相当于张量变换规律T柯西应力张量（Euler应力张量）任一点的应力矢为：pn=Tn岛和n均为与标架无关矢量，根据标架无关的定义，有：T=Q

19、TQT（T为现时构形中的一点张量）T、在中中：TB在审中：Te=QTQTQM=Q（TV）符合标准的矢量变换规律（注：T，十Pf=Pa中，由于a非标架无关量，整个式子均非标架无关的，要换式表示之，凡与变率有关（与时间变率有关）的量，均有此缺陷）温度场的梯度邛中：g=VT中：g=Ut=QVT=Qg现时构形上温度的梯度符合矢量变换规律,参考构形上：邛中：G=UT。中：G=口丁=口T=G参考构形上温度梯度的变换规律相当于标量变换规律dvJ=detF（体积膨胀比）dV在中中：J=detF=det（QF）=detQdetF=±J.若Q为正常正交变换（转动）有：J=J若Q非正常正交变换（镜射）有：

20、J=-J在中中：p0=JP（dm=%v=P/V）在中：o=J又o=P0（:在参考构形上）当J=J时，有=p与变率有关的量的变换规律v,a,G=,T等:x1）Gv（速度梯度张量）；x在中中：G=FF在中中：G=FF，=(QF)?(QF)一=(QF+QF)(QF厂=(QFQF)F,QT=QQTQGQT可见G不是标架无关张量，但可进一步推导，<G=D+Q则G=QQT+QDQT+QQQT又G=DQ但QQT=I求导，有：QQTQQT=0则QQT(QQT)T=0有：QQT为反对称张量D=QDQT6=QQt+QQQT(*)则对称部分符合标架无关张量，而反对称部分不符合(反对称部分不能引入本构方程，而对

21、称部分可引入)2)应力率张量T在邛中，T在中中：(T)=(QTQT)=QTQT+QTQT+QTQT本身不符合标架无关张量规律，但可通过本构导数来写出与标架无关。下面设法消去Q由(*)式，Q-QQQT=QQT两边同乘以Q,有Q=(Q-QQQT)QQT二QtQ-QQT以入后，有(T)*=QTQT-(Q-QQQT)QTQTQT(-QTQQQT)=QTQTQT-QQTQTQTQQT-TQ=Q(T-QT-TQ)QT-TQ-QT则T-TQ-QT=Q(TTQ-QT)QT设TJ=TTQ_QT有TJ=QTJQT符合标准标架不变量规律Jaumann(1911年)提出的，TJ应力率张量TJJaumann应力率，本构

22、导数力学进展91年No.引入本构导数，仅解决了与标架无关的问题(必要条件)，但是否物质的行为可描述呢?50年代作为剪切模型，产生振荡现象，说明该问题描述有问题。上述为非线性力学的基本问题之一，仍未解决，有争议，怎么描述好？§8.5标架无关原理对本构方程的限制1 .本构方程的客观性本构方程中包含有非客观量确定性原理T(X,t)=科x;X,t)也可含温度T(X,t)客观性原理：在邛系中：T(X,t)=汽x(t);X,t)在中系中：t(x,t)=T?(X；x,t)本构泛函具有不变性T“(X,t)=QTQT满足Euler应力的变换规律2 .根据Noll三原则导出的本构方程的框架X,t)在中中

23、确定性原则T(X,t)=T?(x(t);客观性原则T(X,t)=T?(x(t);要求：T(X,t)=Q(t)T(X,t)QT(t)邛和。是两个任意的时空系。令=0,一特殊的时空系变换在物体上有M、N两点N在中时空系的变换有x(t)(Z,t*)M在中时空系的变换有x(t)(X,t*)x1邛与甲的坐标系相互平行，且只作相对平移运动令中时空系的原点和M点重合O点：x0t)=x(t)(X,t*)又由于时空系平行，则Q(t)(t*)=I中时空系中N点的运动矢：矢量算子x(Z,t*)=x(t)(Z,t*)-x(t)(X,t*)在中时空系内：T(X,t)=伙x(t)(Z,t*);X,t)T(X,t)=Tx(

24、t)(Z,t*)-x(t)(X,t*);X,t)Q=QT=I则T(X,t)=T(X,t)=科x(t)(Z,t*)-x(t)(X,t*);X,t)确定性原理+客观性原理+特殊时空系=上面公式局部作用原理ZWR(X)Zx|<6以X为中心展成泰勒级数(注：区口=F(t)XT(X,t)二伙F(X,t*)(ZX)1F(2)(X,t*)(ZX)2;X,t)2苴_(t)_?x(t)(X,t)匚：2x(t)(X,t)FF2,X二X一次变形梯度史二次变形梯度史，对Z通过一个在R(X)的积分，有T(X,t)=T(F(t)(X,t*),F(X,t*),;X,t)§ 8.6 Noll简单物质n次物质：本构泛函中，包含直到n次变形梯度史的物质。简单物体：本构泛函中，只包含一次变形梯度史的物质。简单物质的本构泛函：中中：T(X,t)=T?(F(t)(X,t*);X,t)简记仅F)中：T(X,t)=T?(f'(t)(X,t*);X,t)简记饮F(