曲线积分与曲面积分习题及答案

1、第十章曲线积分与曲面积分（A）1 .计算Lxydx,其中 L 为连接1,0及0,1两点的连直线段。2 .计算LXds,其中 L 为圆周x2y2ax。3 .计算x2y2ds,其中 L 为曲线xacosttsint,yasinttcost,L0t2。L2.24 .计算Leyds,其中 L为圆周xya,直线 yx及x轴在第一角限内所围成的扇形的整个边界。445.计算x3y3ds,其中 L 为内摆线xacos31,yasin310t一L2在第一象限内的一段弧。26.计算 1 一2-ds,其中 L 为螺线 xacost,yasint,Lxyzat0t2o7.计算Lxydx,其中 L 为抛物线y2x上从点

2、A1,1到点B1,1的一段弧。8.计算Lx3dx3zy2dyx2ydz,其中 L 是从点A3,2,1到点B0,0,0的直线段 AB。9.计算Lxdxydyxy1dz,其中 L 是从点1,1,1到点2,3,4的一段直线。10 .计算L2aydxaydy,其中 L 为摆线xatsint,ya1cost的一拱（对应于由 t 从 0 变到 2 的一段弧）：11 .计算Lxydxyxdy,其中 L 是：1）抛物线y2x上从点1,1到点4,2的一段弧；2）曲线x2t2t1,yt21从点1,1到4,2的一段弧。12 .把对坐标的曲线积分LPx,ydxQx,ydy化成对弧和的曲经积分，其中 L 为：1）在 x

3、oy 平面内沿直线从点0,0到3,4;2）沿抛物线yx2从点0,0到点4,2;3）沿上半圆周x2y2x从点0,0到点1,1。13 .计算Lexsinymydxexcosymxdy其中 L 为xatsint,ya1cost,0t,且 t 从大的方向为积分路径的方向。14 .确定的值，使曲线积分 x44xydx6x1y25y4dy 与积分路径无关，并求A0,0,B1,2时的积分值。15 .计算积分CL2xyx2dxxy2dy,其中 L是由抛物线yx2和y2x所围成区域的正向边界曲线，并验证格林公式的正确性。16 .利用曲线积分求星形线xacos3t,yasin3t所围成的图形的面积。3,4cccC

4、17 .证明曲线积分126xyydx6xy3xydx 在整个 xoy 平面内与路径无关， 并计算积分值。18.利用格林公式计算曲线积分口Lxy2cosx2xysinxy2exdxx2sinx2yexdy,其中 L 为正向星形222线x3y3a3a0。19 .利用格林公式，计算曲线积分2xy4dx5y3x6dy,其中 L 为三顶点分别为0,0、3,0和3,2的三角形正向边界。20 .验证下列Px,ydxQx,ydy在整个 xoy 平面内是某函数ux,y的全微分，并求这样的一个ux,y,3x2y8xy2dxx38x2y12yeydy。21 .计算曲面积分 x2y2dx,其中为抛物面z2x2y2在

5、xoy 平面上方的部分。22 .计算面面积分 2xy2x2xzds,其中为平面和三坐标闰面所围立体的整个表面。124.求抛物面冗 z-xy0z1的质重，冗的度为 tzo225.求平面zx介于平面xy1,y0和 x0 之间部分的重心坐标。26 .当为 xoy 平面内的一个闭区域时， 曲面积分 Rx,y,zdxdy 与二重积分有什么关系？27 .计算曲面积分 zdxdyxdydzydzdx 其中为柱面x2y21被平面 z0 及 z3 所截的在第一卦限部分的前侧。28.计算 x2dydzy2dxdzz2dxdy 式中为球壳xa2yb2zc2R2的外表面。29. 反 对 坐 标 的 曲 面 积 分 化

6、 成 对 面 积 的 曲 面 积Px,y,zdydzQx,y,zdzdxRx,y,zdxdy 化成对面积的曲面积分，其中是平面3x2y23z6在第一卦限的部分的上侧。30.利用高斯公式计算曲面积：1)x2dydzy2dzdxz2dxdy,其中为平面 x0,y0,z0,xa,ya,za所围成的立体的表面和外侧。2)xydxdyyzxdydz,其中为柱面x2y21与平面 z0,z3 所围立体的外表面。31.计算向理穿过曲面流向指定侧的通量：2xzix2yjxz2k,为立体 0 xa,0ya,0za,流向外侧；2)xyziyzxjzxyk,为椭球面22221,流向外侧。abc1)32.求向理场axy

7、icosxyjcosxz2k的散度。33 .利用斯托克斯公式计算曲经积分。ydxzdyxdz 其中为圆周，x2y2z2a2,xyz0,若从x轴正向看去，这圆周取逆时针方向。34 .证明。y2dxxydyxzdz0,其中为圆柱面x2y22y与 yz 的交线。35 .求向量场axyix3yzj3xy2k,其中为圆周z2xy2,z0o36 .求向量场zsinyizxcosyj的旋度。37 .计算。y2z2dxz2x2dyx2y2dz,其中为用平面3,xyz3 切立方体 0 xa,0ya,0 xa 的表面所得切痕，右从ox轴的下向看去与逆时针方向。(8)1 .计算Lyds,其中 L 为抛物线y22Px

8、由0,0到x,y0的一段。2 .计算_y2ds,其中 L 为摆线xatsint,yarcost一拱3 .求半径为a,中心角为 24 的均匀圆弧（线心度1）的重心。4 .计算Lzds,其中 L 为螺线 xtcost,ytsint,zt0t2。5 .计算-122ds,其中 L 为空间曲线xtcost,ytsint,Lxyzzt 上相应于 t 从 0 变到 2 的这段弧。6 .设螺旋线弹簧一圈的方程为 xacost,yasint,zkt0t2,它的线心度为x,y,yzx2y2z2,求：1）它关于z轴的转动惯量Iz；2）它的垂心。7 .设 L 为曲线 xt,yt2,zt3上相应于 t 从 0 变到 1

9、 的曲线弧，把对坐标的曲线积分PdxQdyRdz化成对弧长的曲线积分。8 .计算。xy-：ydy,其中 L 为圆周x2y2a2（按逆时针方向绕Lxy行）。9 .计算Lydxzdyxdz,其中 L 为曲线 xacost,yasint,zbt,从 t0 到 t2 的一段。10 .计算Lx2y2dxx2y2dy,其中 L 为y1|x|0 x2方向为x增大的方向。2,1011 .验证曲线积分 102xeyydxxeyx2ydy 与路径无关并计算积分值。12 .证明当路径不过原点时，曲线积分：2xdxydy与路径无并,并计算11221,1xy积分值。2213 .利用曲线积分求椭圆与当1的面积。ab14

10、.利用格林公式计算曲线积分Lx2ydxxsin2ydy,其中 L 是圆周y，2xx2上由点0,0到点1,1的一段弧。15 .利用曲线积分，求笛卡尔叶形线x3y33axya0的面积。16 .计算曲线积分口华x?,其中 L 圆周x12y22,L 的方向为L2x2y2逆时针方向。17 .计算曲面积分 3zds,其中为抛物面z2x2y2在 xoy 平面上的部分。18 .计算 xyyzzxds,其中是锥面 zJx2y2被柱面x2y22ax所截得的有限部分。19 .求面心度为的均匀半球壳x2y2z2a2z0对于z轴的转动惯量。20 .求均匀的曲面 zdx2y2被曲面x2y2ax所割下部分的重心的坐标。21

11、 .计算曲面积分Ifx,y,zds,其中2222xyzafx,y,z22.计算 xzdxdyxydydzyzdzdx,其中是平面 x0,yyz1所围成的空间区域的整个边界边界曲面的外例。的外表面。其中 L 是螺旋线 xacost,yasint,27.设uux,y,z是有两阶连续偏导数，求证：rotgradu0。(C)xaax.1.求曲线的弧长 yaarcsin-,z-In 从O0,0到Ax0,y0,z0。a4ax0,23.计算1dydz1dxdz1dxdy,其中为椭球面xy2yb22z2c24.计算zdydzzxdxdyxydxdy,式圆锥面25. 设ux,y,zvx,y,z是两个定义在闭区域

12、上的具有二阶连续偏导数的函数,、依次表示ux,y,z,vx,y,z沿外法线方向的方向导数。证 n明:，一vuvvudxdydz:-unds,其中是空间闭区域的整个边界曲面, 这个公式叫做格林第二公式 o26.利用斯托克斯公式计算曲线积分2,2,2,xyzdxyxzdyzxydzt,从A0,0,0到Ba,0,h的一段。24.计算,ydx4x2ylnxR2x2dy,其中e是沿x2y2R2LR2x2由点AR,0逆时针方向到BR,0的半圆周。5 .设fx在，内有连续的导函数，求2ydx 与 y2fxy1dy,其中 L 是从点A3,-至U点B1,2的直线段。Lyy32,26 .计算 1cosdxsinc

13、osdy,沿着不与 oy 轴相交的路1xxxxx径。fx7 .已知曲线积分 xxysinxdxdy 与路径无关，fx是可微函数，Lx且f0,求fxo28.设在平面上有 Fx-yj 构成内场，求将单位质点从点1,1移到2,42232xy场力所作的功。9 .已知曲线积分Iy3dx3xx3dy,其中 L 为x2y2R2R0逆时针方向曲线：1）当 R 为何值时，使 I0?2）当 R 为何值时，使 I 取的最大值？并求最大值。10 .计算 Ix1x2zdydzy1x2zdzdxz1x2zdxdy 其中为曲面 zvx2y20z1的下侧。11.计算|xyz|ds,其中的方程为|x|y|z|1。12 .计算曲

14、面积分 I21xdydz,其中是曲线y60 x1绕x轴旋转一周所得曲面的外侧。、一12.计算,=ds,Ly其中 L 为悬链线yach。a3.求均匀的弧 xetcost,yetsint,zett0的重心坐标。13.计算Lx2xydxx22xy2dy,其中 L 为由点A4,0到点O0,0的上半圆周x2y24x14.证明3yxdxy3xdy与路径无关,其中 L 不经过直线xy0,Lxy3且求2,33yxdxy3xdy的值。1,03xy15.求圆锥 z&y20zh的侧面关于oz轴的转动惯量。2c222.16.选择 a,b 值使y2xyaxx22xybydy为某个函数 ux,y 的222xy全微

15、分，并求原函数 ux,y。x17 .计算曲面积分口：亍dxdy,其中为曲面zx2y2,平面 z1,x2y2z2 所围立体外面的外侧。18 .证明1)uvuvvu2uv;2)xx2第十章曲线积分与曲面积分(A)1.解：两点间直线段的方程为：y1x,0 x1故 ds,1y2dx.112dx.2dx所以Lxydx01x1xJ2dx 正。2.x解：L 的参数方程为1-acos21.一asin21-a2,03.4.则,x2ds所以解：ds,x2解：如图Li:L2:L3dx,11acos,2ds21.asin2212cos21|a|22a.一sin2cos一d21-|a|.21coscos-2a一cos2

16、2i|a|cos-d22cos-d2y2dty2dsx2y2eLacostasintt3dtdsa,2sin2L12sin一22a2atcostatsint2dtatdtcosttsintsint2.tcostatdtdst2t4a31x2y2dtx2v2exydsy2dsx2y2eds,1ds02dxdx.112dx一2dx2.2asintacostdtadt2ydsaexdx02afe0”adtxaeIOaae 一4ea2-a2445.解:x34y34a34.cost.4.sintdsx2y2dt22223acostsint3asintcost一 9a2sin2tcos2tdt3asint

17、costdt4x3L4y3dscos4t4,sintsintcostdt73a31cos6t61.6.-sint674a36.解：dsz2dt2.2asintacosta2dt、.2adt2z-2Xdsa2t2_22、2adtacostasintt2dt7.解：Lxydx8.解：直线段故lx3dx21yyydyAB 的方程为3|214151ydy2-y52t,zt,t 从 1 变到 0c2,2,3xydyxydz03t1333t2t2-2_23t2tdt0387t3dt1879.解：直线的参数方程为x1t,y12t,z13t(0t1)Lxdxydyxy1dz11t212t31t12t1dt01

18、614tdt13010.解：L2aydx9ydy22aa1costa1costaa1costasintdt02dtPx,y2xQx,y.故LPx,ydxQx,ydyj2ds.14x3)ds：1xrdx,cos曲V2xx22xxdsLPx,ydxQx,ydy34Px,yQx,ydsL552)ds12x2dx,cosdx1dx14x2cossin114x22.costcostsintdtcos2t1sin2t11.解:1）原式y2ydy2）原式2y3*5ydy342tt24tt212t22tdt110t05t29t2dt10,45,2tt439-t2dt210,45,29,2ttt43212t01

19、3112cossin12xx21x故LPx,ydxQx,ydyl.2xx2Px,y1xQx,yds13.解：因为excosyyx故原积分与路径无关，于是原式OBBAa0dxaaecosym14.解:4xy故当1,20,0sin2a2ma。4x4xy1x2y2,解得3 时，所给积分与路径无关，324xydx6xx44x0dx取ACCB计算,其中15.解:L22x324y5ydyA0,024y5ydy012y2y2x52x3x5/42y4yP一dxdyyPdxdyy16.解取adyyx5y795,C1,0,B1,2dx2y22xdxdyy2dy1302xdxLPdxQdyyy2M)xO12xdx3

20、01,1可得面积x.1，dxdyxdyydxD2L设 A 为在第 I 象限部分的面积，由图形的对称性所求面积32,.2,2,acost3asintcostasint3acostsintdt2.222sintcostdt0Q212xy3yxP一 dxdyy19.解:注：还可利用 dxdyD口LxdyLydx17.解:P6xy2,Q6x2y3xy2因为所以积分与路径无关取路径1,23,23,4原式324x18dx4254y9y2dy23618.解:2xsinx2xcosy2yex,xcosx2xsinx2ye原式Ddxdydxdy4dxdyD3dx02x034dy8一xdx31220.解：1)2x

21、P”.一,故2xydxx2dy是某个ux,y的全微分。A1A4A14-xdyydxba212xy3y2原式3,ux,yx,40,02xydxx2dyxy00dx0 xdy2)-Qx3x216xx,y2,ux,y0,03xy8xy2dxx38x2y12yeydy21.解:故原式xy0dx00y4xDxy：Dxy20208x2y12yeydy12yeyey1220202,dx媳,14x24y2dxdyrcos29rsin22,r.14rrdr20U14UdU22.解：原式|x|y|x2Dxy这里Dxyl42d0z2zydxdyv-14x22,4ydxdy,14rcos24rsin2rdr2一4rd

22、rh214930.1ZxZydxdy4xyx2y2.14DxyI为Dxy在第一象限部分42,rsincos14rrdr0214r2t1r一325t4123.解：z62x2y,ds2ydxdy21sin202_222t1tdt122dxdy1714rrdr0125.514203dxdy原式2xy2x2Dxy62x2y3dxdy24.25.33dx027T解：M解：平面2Zx近0dx因而x3x2x22xy2ydyzdsDxyy21x22122r1r7dr2x这部分的面积zy2dxdyxdyxdsydszds故重心坐标为.2dxdyD.223,3,326.解：因为曲面积分1xdx01dx01xds一

23、3、2dy13dxdy有向曲面，所以Rx,y,zdxdyRx,y,0dxdyDxy当积分曲面取在的上侧时为正号，取在下侧时为负号27,解：DxyAB,面积为 0,zdxdy0Dyz0,y,z|x0,0y1,0z3,Dzxx,0,z|0 x1,y0,0z3原式1y2dydz.1x2dzdxDyzDzx3120dz01ydy3120dz01xdx11-arcsiny28.解：根据轮换对称，只要计算 z2dxdy2,22Dxy:xaybR22汪息到：zeRxayb,再利用极坐标可得222,2zdxdyc.RxaybdxdyDxycDxyR2xa2yb2dxdy-22.24eRxaybdxdyDxy,

24、2.Rr22.4ed.Rrrdr00/3R-122p838eRr2-Re303于是原式-R3abc329.解：原式 PcosQcosRcosds,这里cos,cos,cos 是的法向理 n 的方向余弦而是平面3x2y23z6在第一卦限部分的上侧cos0,取n3,2,28。33cosJ一,cos232222352,cos故原式3R52Q530.解：1)2x2y2z原式QR-dxdydz2yzxyzdxdydz20Paaa20dx0dy0 xa22ax0aayzdz2dxaxay003a.dx23a4yzx,Q0,RxyPQRyzxyz故原式213y,zdxdydzdrdrxsin000zdz31

25、.解:PdydzQdzdxRdxdydxdydz-22x2xzdxdydzaa2a02ax2)dyaaa2dxdy2x000a2xdxa322xzdz:ds:xyzdydzSyzxdzdxzxydxdy111dxdydzbc4abco32.解：Pxy2e,Qcosxy,Rcosxzyexyxsinxy,2xzsinxz2故divP_Q_Rxyzyexyxsinxy2xzsinxz233.解：取为平面xyz0,被所围成的部分的上侧，的面积为a2,的单位法向量为ncos,cos原式1.31.3ds111ds,3.3,33,3ds,3a34.证：平面yz 的单位法向理ncos,cos,cos由斯托克

26、斯公式得coscoscos左边dsyxyzxzzds1一y2Dxyzdxdy35.解：闭曲线是 xoy平面上的圆周y24（逆时针方向）,它的参数方程为 x2cos,y2sin,z00,故环流量为；RdxQdyRdzyzdyc2,3xydz22cos02sin8cos32cos24sin0cosd16cos1236.解：rotxsinyyxcosy37.解：证平面 xy3z2a合科立万体内的部分为,它在 oxy 平面上的射影为Dxy,面积为3a2,取平面的上侧,4单位法向量斯托克斯公式得1113,336adsxyz222222yzzxxy1.3dx1ds3326adxdy6a-aDxy4-3。2

27、(B)x1.解：L 的参数万程t2pt2dt21t12dtPdt所以Lydsy。1t0Pt2p2dtp31t2yo13P2y。2.解：ds2.22.2.a1costasintdta.21cost12112sin2t22asin-2所以Ly2ds22a1cost02asin-dt28a320sin4-sin-dt228a3210cos2-sin-dt2216a3tcos-22cos315t-cos一522563a153.解：取坐标系如图，设重心坐标为Gx,y,由扇形的对称性可知y0,Lds24a4acos4adasin24|44asin4.解:222dsxyzcosttsintsinttcost

28、21dt2t2dt所以zdst0t2t0t2222t5.解 xyzecostetsint2t2eds,x2y2z2dt_t.ecostesintt,esintcostet2dt.3e2tdt3et所以L.x2ds2ztdt二126.解:x,y,zds2costa2sin2tk2t222222i-.asintacostkdt1)Izy2x,y,zds2222yxyzds22,222aktakdt222。222a.ak3a4k2)Lxx,y,zdsacosta2k2t2.a2k2dt6ak23a242k27.dxds解:dt故 coscoscos1 人yx,y,zdsML6ak23r_42k2zx

29、,y,zdsML,y3ka222kh2227-23a4kasinta2k2t2,a2k2dtkta2k2t2a2k2dt,dy2tdt2xdt,dz3t2dt3ydt4x2dxdsdydsdzds29y2dt14x29y22x22,14x9y3y14x29y2故LPdxQdyRdzlP2xQ3yRds14x29y28.解：圆周的参数方程为xacost,yasint0txydxxydy22xy12a12aacostasintasintacostasintacostdt9.解:10.解:a2dtLydx如图zdyxdz2asintasintbtacost02.22asintabtcostabcos

30、tdtaCOAOB,OA:yx,AB:yzx1面积 Axdy2Lydx122022abcostsintdtab14.解:L 不是闭曲线，要用格林公式，先得补添路径，使其封闭，如图ABBOPdxdy,y因为ABBO所以原式LABBOsin2ydy1x2dx0；sin215.解：作代换 ytx,得曲线的参数方程3atx3,1t3网：，由于 dx1t33a12t3321t3dy3at2t321t312-c故原式 xxdxx2xdx012224x2xd2x-1311.解：由于P2xeyy,Qx2yx2y又上2xey1,故曲线积分与路径无关，yx212,02,1,则原式2xdx4ey22ydy4ec52

31、.3xyx2yh25故当路径不过原点时，该曲线积分与路径无关，取折线1,12,12,2,得盾 12xdx2ydy2原式ono912321232x14y412.解：由于 P222，Qxy2,y取折线1,013.解：取参数方程 xacost,ysint0t2作一小圆挖去原点0,0,作逆时针方向的圆周l:xrcos,yrsin,02使 l 全部补 L 所包围，在 L 和 l 为边界的区域 D 内，根据格要公式，有r214r2rdr111162ax,zx2y2原式2xyDxy从而 xdyydx2.29at32t3dt,故面积16.解:1lxdy由于xydx2.29at2dt201t3y0时，被积函数无

32、意义,3a22故 L 所包围的区域不满足格林公式的条件,QDI*xifdxdyyydxxdyydxxdyQOL2x221c22yl2xy,ydxxdyL2x217.解：Dxy：2y_22ydxl2x故上式为零xdyyh22,ds原式32Dxy2.222rsinrcos2r21z：zydxdy,2,2,4x4ydxdy,14x24yh2dxdy18.解：Dxy：21x,x2y2xy2y,22.ds.1ZxZydxdy、.2dxdy2ydxdy2acosr2sincosr2sincosrd即重心坐标为一,0,16一29.22sincossincos12acos4d642.a40241519.解：半

33、球壳的方程为 z商一，一 y222Dxv：xyah2xy22,ads1ZxZyds-222dxdyaxy.221Izxy0ds22axy222Dxy.axydxdyrdr0a4。20.解：质量为M20ds20dxdy20一x2y2ax2.2a204从而垂心的坐标为x0 xdxdyx2y2ax4a.faxx20 xdxdya0,axx一2.xaxxdxa2a2x2dt0t2dt12Macoszdxdyx2y2ax2.rdr8a3cos16a921.解：由于曲面 zxx2y2得x2y2z2a2分成上下两部分，记成S上，2222xyzaz.x2yh2Sr,又由ds0ds%22.解：证z在 xoy,y

34、oz,zox平面上的部分分别为面上的部分为4x3v2一，c】：1-7三由轮换对称，只要计算积分 ab-dxdy再利用广义极坐标可得xzdxdyxydydz1xzdxdyxydydz2xzdxdyxydydz3故原式xzdxdy43xzdxdy4yzdzdxxzdxdy1yzdzdxxydydz2yzdzdxyzdzdx2xydydzyzdzdx；x1xydxdy3Dxy（另解：可求得二3xzdxdyx0dxdy0Dxy0ydydz0Dyz0zdzdx0Dzx11x1dx1xydy-00,，由对称性可得原式241也可用高斯公式）8解得:a.2,x12*y2卡，所以2xDxya2adxdy22xy

35、3ar-22.ardr2_4N_._2a4sin0485.2622xy23.解：Dxy:=11a2b2-dxdy12x2adxdyy2b2122Dxyc1xyCJa2b2dxdycDxy12x2a2yb2dxdy 空4ab,1ab于是原式bcacbababc24.解：证外法线的方向余弦dr2r2分别为锥面的底面和侧面而xyh2,2,2abcos,cos 为锥面zdydzxdxdydxdyDxy又对cosxydxdy2上的任一点coscos2cossindrx,y,z故 ds在各坐标平面上射影分别为cosds.xdxdy,cosdx一cosds于是zdydzzxdxdyx-dxdy,cosdsd

36、xdyy,y,cosdsdxdyzcosxcosycosdsS2Dxyydxdy故原式2Dxyydxdy25.证：由格林第一公式得uvdxdydz:udxn同理uvdxdydzzzuvuvuv.dxdydzxxyyzz两式相减得:uvvudxdydzvv,ouvdsonn26.解：设cBA,其中BA为从 B 到 A 的直线段，则c为封闭曲线，由斯托克斯公式得dydzdzdxdxdy,其中是以c为边界且xyz222xyzyxzzxy与c构成右手系的任曲面BAcABAB0z2ak0dz2u.一jxz(C)24221.解：ds1-a-a2dx-a-x-dx,|x0|0:axh24a2x22ax27.

37、证:graduuk0时，有x3a202a22x.-dxxa,ax0In4ax0 x0|4|x0|vudxdydz。PdxQdyRdzcrot gradu当x00时，有S03a22x2x02a2x2dx2nax0 x0IZ0IIxIX0故当Ix0|a时，有SIZ0|2.解：ds2xsindxa,x,ch-dx,于是a4dsLychadxch2-axdsha2x1sha1arctanasha3.解：ds%：e2tcostsint2e2tsintcost2e2tdt.3etdt质量为 M0,3etdt.3于是垂心坐标为xetcost3etdt0ecostdt2costsint52tey。0tteco

38、st3edt0e2tsintdt2sintcost2teZ04.解：.ABBAPdxetet3etdtCBAR0dxRQdydxdy2R22tedtBABAAB0,又dxdy2y_R2x22yR2x2dxdy42R22R25.解：P1y2fxy,Qyx2fyfxyyy2yf2xyyfxyx1y2fxy23yfxyxyfxy12yxy彳2xy2f1xyfxyy-3xyxyfxy12y故当y0时,因此只要路径不过x轴，点 A 到点 B 的曲线积分与路径无关, 取路径原式1dx36.解:2A33f2xdx123ydxB1,2,有y2fy1dyydy2dyyydy22fydy30时,2y2x2y2x.ysinx卫cos)cos-x%sin-x-cosxx改右半平面P,y故在ux,yycosxsin一x2y2xycosx2yiysin-xxx,y是单连通区域，且在其上上的是某函数ux,y的