第1~4章部分习题解

1、第一章1-1一维运动的粒子处在下面状态"x)=<Axe关0(x.0,0)(x:二0)将此项函数归一化；求粒子坐标的概率分布函数；在何处找到粒子的概率最大解：(1)由归一化条件，知A2fx2e-zdx=1得到归一化常数A=2?w区所以归一化波函数为(x-0,0)(x<0)(2)粒子坐标的概率分布函数w(x)=Fx)2=jx2e"晨产)dw(x)=0(3)令dx得到1x=0,x=九，根据题意x=0处，w(x)=0,所以1九处粒子的概率最大。1-2若在一维无限深势阱中运动的粒子的量子数为距势阱的左壁1/4宽度内发现粒子概率是多少？n取何值时，在此范围内找到粒子的概率最

2、大？n。当n-8时，这个概率的极限是多少?这个结果说明了什么问题？解：(1)距势阱的左壁1/4宽度，即x的取值范围是-a-a/2,发现粒子概率为:a/21P(x)=asin一|R22a2n二(xa)dx二2a12a,a/2n：a1-cos(xa)dx2an二a-sinna/2(xa)Laa1.n二sin2n二2(2)n=3时，在此范围内找到粒子的概率最大P(x)=1+1。max46二(3)当n-8时，P(x)=。这时概率分布均匀，接近于宏观情况。4122.1-3一个势能为V(x)=msx的线性谐振子处在下面状态，25(x)=AeW(a="嘴)求归一化常数a；在何处发现振子的概率最大；

3、势能平均值U=1mJ三2解：(1)利用泊松积分飞二3乂=由归一化条件:_22Ai4dx=1令o(x=t,贝Udx=dt8Ct二A港全=1即A2尻=1,A=%1/4Ctot冗(2)振子的概率密度w(x)="(x)j=令dw(x)=o,即*2*(-a2)*2x=0,x=0；dx,二振子出现的概率最大位置是x=0。(3)势能平均值U=1mco2x2=1mco2*xdx=1mE2口>彝:dx22,2二，1 2>-：212x2一mI2x2=m；x-de-xde-2 一一2二：x4.二：-m24二二“2-2.x2.-：_2x2m*-L：-.e-dx)*-4,二：a2_m4、一1-4设

4、质量为m的粒子在下列势阱中运动，求粒子的能级。x:二0V(x)=1m-2x2x_02解：注意到粒子在半势阱中运动，且为半谐振子。半谐振子与对称谐振子在x>0区域满足同样的波动方程，但根据题意，x<0区域，势函数为无穷，因此相应的波函数为零，从而破坏了偶宇称的状态。这样，半谐振子定态解则为谐振子的奇宇称解(仅归一化常数不同)2!(x)u7Ane2Hn()(=mx;x0),n=1,3,5(x:二0)En1-n-n=1,3.,521-5电子在原子大小的范围(10-10m)内运动，试用不确定关系估计电子的最小能量。22解：电子总能量E=p-一目2mr作近似代换，设4r,App,由不确定关系

5、得，ArAp左，于二(工2m.r.22-22.pQ12mes12m仃2m(92产加)24me.2me.所以电子的最小能量此式与薛定谓方程得到的氢原子基态能量表达式相同Or*,_.1-a.1-6氢原子处在基态中(r,8,劭=rea°.求:，二a32e一r的平均值；势能，的平均值；最可几半径。r解：(1)r的平均值r=产fr，|中|2r2sin6drdd8r30r3e°dr0d:0sin北rd二a。13二a°34cc3aO22=-aO82(2)势能的平均值U:|U|,二12d.22r-es30rlea°r2dr0d：°sinWrd?a0,22r-3

6、-存ea0dr如2=二a.224es包一一3“4(3)最可几半径粒子在球壳r-r+dr范围中出现的概率如下:4r22rw(r)=j0|2r2sin【d:di=ea0a0由dw(r)_得到r=a处电子出现的概率最大。-0dr1-7设一体系未受微扰作用时，只有两个能级E01及E02,受到微扰H?'作用，微扰矩阵元H12=H2；na,H11=H22=b。a,b都是实数，用微扰公式求能级的二级修正值。解：根据非简并微扰公式，有E=E1(0)HuE2=e20)H22-_=E_bE1一E20)E01bE01-E021H21_p，h.a2740)-lu0r-E02bE2-E1E02-E011-8氢分

7、子的振动频率是1.321014Hz,求在5000K时，下列两种情况下振动态上粒子占据数之比。n=0,n=1;n=1,n=2。22氢分子的振动看作为谐振子，因此振子能量为振动态上被粒子占据的概率服从M-B分布，则n=1,n=2时,(1)n=0,n=1时，fi至pkoTe_o（Ei-Eo）/koTET-ee-koTefif2E11.054*1.32*2-二ek0T二e'138*51.2669087=e3.54e二s'0T=3.54_（E上1）/k°TEeE2.1-9求在室温下(kOT=0.025ev)电子处在费米能级以上是多少？0.1ev和费米能级以下0.1ev的概率各(

8、已知F-D分布概率函数为f费米能级以上0.1eV的概率：1Ei耳e"1fo.1:FTEeb1=1.8%费米能级以下0.1eV的概率:f-0.1=Ei_EfkoTe1一=-=98.2%e11第二章2-1.试说明格波和弹T波有何不同？提示：从晶格格点分立取值和晶格周期性特点出发分析与连续介质弹性波的不同。2-2.证明：在长波范围内，一维单原子晶格和双原子晶格的声学波传播速度均与一维连续介质弹性波传播速度相同，即：v=EP式中，E为弹性模量，p为介质密度。证明：在长波范围内，即q-0时；其中3a为弹性模量E;m/a为介质密度p；利用2-46,对于一维双原子链的声学波,二aq一,Mm所以v,

9、:a(Mm)/2a其中3a为弹性模量E;（M+m）/2a为介质密度p；2-3.设有一维原子链（如下图所示），第2n个原子与第2n+1个原子之间的恢复力常数为3,第2n个原子与第2n-1个原子之间的恢复力常数为3'窗J设两种原子的质量相等，最近邻间距为a,试求晶格振动的振动谱以及波矢q=0和q=7t/21时的振动频率。2n-12n2n+12n+2-I-：mamamam-r寸-fji一丁fJ6B6解：根据题意，原子运动方程为mdX2n1=：(X2n2-X2n1)：(X2nX?n1)dt2d2x2n-一mh(X2n1-X2n)如)设上两式的行波解为X=Aeiq（2ng-tX2n书（2）X2n

10、=Beiq（2naj将式（2）代入式（1）,并整理得（m6-B-P'）A十（P'eiqa十Pe必a）B=0：（Peiqa+P'e包a）A+（mlPP'）B=0J方程（3）中的A、B有非零解，则方程组的系数行列式为零，得到m®2-P-PrPeiqa十Be7accccc=0Beiqa+B'e餐m®2-P-Pr(m2-)2=2:'221：,I''cos2qam2(P+P*)±(P2+P"+2PP'cos2qa)1/2m所以q=0时，叫=n-q=时，2a2-4.一维双原子晶格振动中，证明在布

11、里渊区边界q=±三处，声频支中所有轻原子m静2a止，光频支所有重原子M静止。对于声频支：将q=±,2=雇代入2-43得:2a一.M(m-1)a=0=A=0，即轻原子m静止;M对于光频支：将q=±，=j型代入2-43得:(M-1)B=0=B=0，即重原子M静止;m2-5.什么叫声子？它和光子有何异、同之处？不同点：光子是电磁波能量的量子化；声子是格波能量的量子化；相同点：都是玻色子，起传递能量的作用；2-6.一维双原子点阵，已知一种原子的质量m=5X1.6710-27kg,另一种原子的质量M=4m,力常数3=15N-m1,求：(a)光学波的最大频率和最小频率coMa

12、x、*(b)声学波的最大频率©max(c)相应的声子能量是多少eV?(d)在300K可以激发频率为CoMax、切Min、切Aax的声子的概率？(e)如果用电磁波来激发长光学波：ax振动，试问电磁波的波长要多少解：/=mM=0.8mmM(a)«max=J27=6.7x1013rad/s,%=,三=6.0M1013rad/s(b)max=3.0父1013rad/s,(c)E1=方®max=0.044eV,E2=ain=0.040eV,E3=*0上*=0.020eV(d)由玻色-爱因斯坦分布,1=eE/k0T-11e-ma/kT0_10.22:0.28；1eax/k0T

13、_1.cho一(e)由h-=-©max可得:2二2二c_5=2.810mmax2-7.设晶体中每个振子的零点振动能量1.坛，试用德拜模型求晶体的零点振动能。2解：晶体的零点振动能E0是各振动模式零点能之和，并且3V2"(-)d=-2"rd2二2v3(,)3二vp6二2N-0-E0=0“()：(.)d=02a1.2V122二2vp.92N、1/3d=N(6二)vp8V3V二d、39K1.77-()vpDND16二vp8p2-8.设长度为L的一维简单晶格，原子质量为m,U（a+6）=-Acos（-）。试由简谐近似求a间距为a,原子间的互作用势可表示成(1)色散关系;(

14、2)(3)晶格热容（列出积分表达式即可）解：（1）原子间的弹性恢复力系数为r=a、=(空)adrd2-Acos(ra)adr2“11a-a=A-cosaaa将上式代入本教材一维简单晶格的色散关系式（2-34）中，即8啕叫qa,二(A)1/2am.1sin-qa2(2)对于一维简单晶格，有dTaLPg)dco=JwaP(q)dq=N,q值分布密度P(q)=L/2nLNa一一在波矢q-q+dq中的振动模式数为P(q)dq=dq=dq,所以：2二2二-dd'4ad'：/a：()dq=N)dq=?(q)dq)dq-/adq-二/a一一.d.所以，；(.，)J=7(q)dqd-dqzqa

15、.cos()2aqa2i1/2a221/201-sin()=(o-)222代入上式，有；()=：(q)(d广dqNara/-(22x1/210-)N1-22、1/2二(,-0)(3)利用教材第二章中的式(Cv-DL沱20仁(瑞(e2-81),得e'/k°T“0T一1)2(p2-2-9.有人说，既然晶格独立振动频率u的数目是确定的(等于晶体的自由度数)。而hu代表一个声子。因此，对于一给定的晶体，它必拥有一定数目的声子。这种说法是否正确？提示：不正确，因为平均声子数与与温度有关。2-10.应用德拜模型，计算一维、二维情况下晶格振动的频谱密度，德拜温度，晶格比热。解：(1)一维情

16、况下，q值分布密度P(q)=L/2ndd由习题2-7(2)的结论可知：pg)=P(q),又因为vq=0,所以=Vddqpdqp所以振动频谱密度(，)=>(q)=Lvp2二Vp德拜温度4=Dk0其中切D满足2N二Vpp利用教材第二章中的式（2-81)2二Vp-D0k0(k°T)(e/k0Te一/k0T_1J=Nk01dR/T2exx2dx士T,(ex-1)2其中x=0DP()d=cL2二Vp（2）二维情况下S在波矢q-q+dq中的振动模式数为5（2二）22二qdq二.dvpvpS,2d-2二vp（一个纵波和一个横波），则与一维求解思路相同，但必须注意二维时需计及两种弹性波S.SS

17、P(s)dcc=22-do=2dco,所以振动谱号度P=2;2二Vp二Vp二Vp德拜温度而'-Dk0-D，,其中oD满足'P(8)d6=2N,所以8D=2vp(、1/2)，2Vp）1/2;利用教材第二章中的式（2-81）SDcv=-20k0(7v)二Vp0k°TT2w/T"J)0-/.kcT2e-FTd-xxe2dx上T2ex-1)22-11.简述绝缘体热导在以下三个温度范围内和温度的关系，并说明物理原因:T>>。DT<<0D介于、之间的温度。提示：根据第二章中描述图2-39的曲线的形成进行分析。3k0/2,按照量子论的观第三章1 .

18、按照经典的观点，在室温下，金属中每个电子对比热的贡献为点，如取EF=5eV,则为/40,只为经典值的1/60。试解释何以两者相差这么大。提示：两种情况下电子服从的统计分布不同，量子论观点认为只有能量高于费米能的那些电子对比热才有贡献。2 .限制在边长为L的正方形中的N个自由电子。电子能量-2Ekx,kyk：k；2m(a)求能量E到E+dE之间的状态数；(b)求此二维系统在绝对零度的费米能量。解：S(a)二维平面波矢k的分布密度p(k)=、2，那么以波失k为半径的圆面积中的状态总数4二为：-八、.D.Z(E)=Rk)小2,式中系数2的引入是因为考虑每个状态可容纳自旋相反的两个电子。2由公式3-7

19、得到k2=空£,所以Z(E)=S2n2mE2=mL2E；24二22二2dZ(E)I2所以能态密度g(E)=dZ&=吗dE二'mL2得到能量E到E+dE之间的状态数g(E)dE=-L2dE(b)T=0K时，系统总电子数可以表示如下E0mLof(E)g(E)dE=g(E)dE=,2EF0二0Nn在nn方eF=N=-一，其中，电子浓度mLm3,设有一金属样品，体积为10m3,其电子可看作自由电子，试计算低于5ev的总的状态数。解：低于5ev的总的状态数为E0E0V2m3/21/20g(E)dE=.02.()EdEV,2mEo、3/2=.()3二.5.31.19=1029.1

20、1051.6103/2_2_1_34_23二(1.110)23：4.46104.在低温下金属钾的摩尔热容量的实验结果可写成32C=2.08T2.57T10J/molK若一个摩尔的钾有n=6<1023个电子，试求钾的费米温度tf和拜温度eD。T,晶格热容正比解：低温下金属的热容量由电子热容和晶格热容构成，且电子热容正比于于T3。所以有CVe=_Nk0(T)=2.08T10,TF=1.96104Ka12二4TQQQCVa=Nk0()3=2.57T310d=91K5%5.一维周期场中电子波函数中k(x)应当满足布洛赫定理，若晶格常数是a,电子的波函数为冗(a)'-kx=sinxa,3二

21、(b) -kx=icosxa(c) kx='、'fx-la(f是某个确定的函数)l二：试求电子在这些状态的波矢解：(a)=kx=eikxuk(x)所以Uk(x)eJkx,-kx考虑到uk(x)=ukxa则有e血sinx=ea)sin(xa)aa一,加号2n1一一所以，e=1,得k=冗n=0,±1,±2，仅考虑第一布里渊区<kW一,aaa兀k=一a(b) 与(a)同样方法，得nnnn<kW内，k=内卜=一aaaajiji一<kW内，k=0aa2n1一，k=nn=0,±1,±2，仅考虑第一布里渊区a(c) 与(a)同样方法，

22、得2n一k=nn=0,±1*2,仅考虑第一布里渊区a6.证明，当k°T«£；时，电子数目每增加一个，则费米能变化1_0g(EF)其中g(EF)为费米能级的能态密度。解：由本教材第三章的式(3-21)知E0h23n2m8二)232m2N(3二2)V电子每增加一个，费米能级的变化为注意到,eF-22m(V2户3(n+i)23-n2'3(i3*1W)2/3:N2/3(13N),所以，E0=2mV23)2N32233，兀13N33N3m3mN32V3-2-1，兀并由本教材第三章的式(3-14)可得到:g(E0-V第32(e0)12*v32(2m)h3(2

23、m)12g2N13(3二一)VVm二2一2(3二JI22V13所以.正0g(EF)33二3N3Vm(3N)3m/4-2.二37 .试证明布洛赫函数不是动量的本征函数提示：只要证明因#p即可，其中？为动量算符，中为布洛赫函数8 .电子在周期场中的势能1 2.-,.一V(x)=-m«b-(x-la)2-=0且a=4b,3是常数。试画出此势能曲线，并求此势能的平均值。解：V(x)曲线如下图所示:V(x)是以a为周期的周期函数，所以-1Vx=-LV(x)dxa_b=V(x)dx=a一1b1b1222一V(x)dx=-m(b一x)dxa'-a-2223m3m2b2b2a2a3生m-/m

24、b3a6第四章4.当E-Ef分别为kT、4kT、7kT,用费米分布和玻尔兹曼分布分别计算分布概率，并对结果进行讨论。koT1 八，、，解：电子的费米分布fF_D(E)=E与，玻尔兹曼近似为fM_B(E)=1eb11(1) E-EF=kT时fF_D(E产=0.26894,fM_B(E)=e=0.367881e(2)E-EF=4kT时_14fF_D(E)=4定0.01832,fM_B(E)=e电0.017991efM$E=e，0.000911(3)E-EF=7kT时fFq(E产7定0.000911eE与当e远大于1时，就可以用较为简单的玻尔兹曼分布近似代替费米狄拉克分布来计算电子或空穴对能态的占据

25、概率，从本题看出E-EF=4kT时，两者差别已经很小。Ev(k)5.设晶格常数为a的一维晶格，导带极小值附近的能量Ec(k)和价带极大值附近的能量分别为Eck=2k22k-k123mEvk=2k126m32k2m式中m为电子惯性质量，k1a=3.14?,试求出:(1)禁带宽度(2)导带底电子的有效质量；(3)价带顶空穴的有效质量；(4)导带底的电子跃迁到价带顶时准动量的改变量。解:(1)人：Ec(k)八令一00：:k2h2k2h2k-k1二03m0mO3得到导带底相应的k=3k14m°得到价带顶相应的k=0故禁带宽度3.Eg=Ec|k=zk1一EvIk=0）二3ki3m04、2"2m014J2k26mo«212m0将ki=兀/a代入，得到Eg2：212moa2(2)导带底电子有效质量(3)价带顶空穴有效质量mp=|不3二二m08,1*一mO63(4)动量变化为Ap=方.士k1-04_3h3一二8a4a7.试证明半导体中当np且电子浓度rb=ni；空穴浓度时,Po二n材料的电导率。最小,并求min的表达式。试问当n0和p0(除了n0=时，该晶体的电导率等于本征电导率？并分别P