双曲线及其标准方程

1、oyxF1F2A1A2B2B1复习复习1 1 椭圆的图像与性质椭圆的图像与性质标准方程标准方程范围范围对称性对称性顶点顶点离心率离心率)0(12222babyaxaxabyb对称轴：坐标轴对称轴：坐标轴对称中心：原点对称中心：原点A1,A2,B1,B210ace(-c,0)(c,0)(-a,0)(a,0)(0,-b)(0,b) 类比椭圆几何性质的研究方法，我类比椭圆几何性质的研究方法，我们根据双曲线的标准方程们根据双曲线的标准方程得出双曲线的范围、对称性、顶点等几得出双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质？何性质？)0, 0( 12222babyax问题问题1 1：(1) 范围22221(0)x

2、yabab ,a x a b y b 22221(0,0)xyababaxax或axaxbyax即, 11222222RyyxA1F1F2OA2yxF1F2OA2B2A1B1(2) 对称性 22221(0)xya bab 对称轴：对称轴： x轴、轴、y轴轴.对称中心对称中心: 原点原点 (椭圆椭圆的中心的中心)22221(0,0)xyababn用用-y代替代替y, 方程不变方程不变对称轴：对称轴： x轴、轴、y轴轴.对称中心对称中心: 原点原点（双（双曲线的中心）曲线的中心） 用用-x代替代替x, 方程不变方程不变用用-x、-y代替代替x、y, 方程不变方程不变yxF1F2OA2B2A1B1y

3、xA1F1F2OA2(3) 顶点22221(0)xya bab 实轴实轴 : A1A2 虚轴虚轴 : B1B2 : A1(-a,0), A2(a,0) B1 ( 0,-b), B2( 0 ,b)长轴长长轴长 =2a , 短轴长短轴长=2b实轴长实轴长 =2a 虚轴长虚轴长=2b22221(0,0)xyabab : A1(-a,0), A2(a,0)axaxy即得令220220byx 得令长半轴长长半轴长 = a , 短半轴长短半轴长= b实半轴长实半轴长 = a 虚半轴长虚半轴长= b1B2B), 0(), 0(21bBbB设长轴长轴 A1A2 短轴短轴 B1B2yxF1F2OA2B2A1B1

4、xyB1B2OF2F1A2A1实轴与虚轴等长的双曲线叫实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线等轴双曲线)0(22mmyx(4) 离心率 22221(0)xya bab 22221(0,0)xyababace离心率：) 10e（) 1( eace离心率：yxF1F2OA2B2A1B1xyB1B2OF2F1A2A1ace 222bac二四个参数中，知二可求、在ecba（1）等轴双曲线的离心率等轴双曲线的离心率e= ?2( 2 )的双曲线是等轴双曲线离心率2e根据以上几何性质能够较准确地画出椭圆的图形根据以上几何性质能够较准确地画出椭圆的图形y yx xF F1 1F F2 2O OA A2 2B B2

5、 2A A1 1B B1 1问问: 根据以上几何性质能否较准根据以上几何性质能否较准确地画出双曲线的图形呢？确地画出双曲线的图形呢？C2C3C1xyO问问: 双曲线向远处伸展时有什么规律双曲线向远处伸展时有什么规律? .为双曲线的渐进线猜想xaby22222222222211,0,1.xyabbbayxaxaaxabaxyxxaxbyxa 当时与直线无限接近. xaby . xabyyyxx1yx1yx. xaby. xabyMQ .0 xabyMMQxM点就无限接近于直线就逐渐减小，随着增大，向远处运动，则点的距离为到直线。上的任一点，则为第一象限内双曲线设xabyMaxabybyaxyxM

6、22002222001),(22002220022002200)(axxacbaxxcbcaxbbxbaaybxMQxyB1B2OF2F1A2A1. xaby. xabyMQ (5) 渐近线渐近线n(利用双曲线的性质利用双曲线的性质,可以较准确可以较准确n地画出双曲线的草图。地画出双曲线的草图。)22222222,11.,.cabbcaceaaabbeyxaa (1)由等式可得因此 越大，也越大，即渐近线的斜率的绝对值越大这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔由此可知 双曲线的离心率越大 它的开口就越阔byxa xyB1B2OF2F1A2A122(0)xym m(2)等轴双曲线的渐近线为xy22

7、222222(0)0.xyxyabab 双曲线渐近线方程02222byax0)(byaxbyax或0byax. 0byaxxaby双曲线方程与渐近线方程的关系双曲线方程与渐近线方程的关系结论：结论： 1 00 xy(a,b)ab22222222双曲线方程双曲线方程中，把中，把1改为改为0，得，得的的渐近线方程是：渐近线方程是：双曲线双曲线byxa 2222xy=1ab 双曲线双曲线 的渐近线方程是：的渐近线方程是：22221yxab ayx b ax或ax ay ay或)0 ,( a), 0(axaby xbay ace)(222bac其中关于关于坐标坐标轴和轴和原点原点都对都对称称性性质质双

8、曲线双曲线) 0, 0(12222babyax) 0, 0(12222babxay范围范围对称对称 性性 顶点顶点 渐近渐近 线线离心离心 率率图象图象例例1 :求双曲线求双曲线的实轴长、虚轴长、的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率、渐近线方程。焦点坐标、顶点坐标、离心率、渐近线方程。解解:由题意可得由题意可得 实半轴长实半轴长:虚轴长虚轴长:焦点坐标焦点坐标:离心率离心率:渐近线方程渐近线方程:32yx 例题选讲例题选讲a=222143xy22 3b (7,0),( 7,0)72cea顶点坐标顶点坐标:(-2,0)，(2,0)21 ?3y2x问 :若 双 曲 线 的 方 程 为呢43

9、a 24b (0,7),(0,7)213cea32yx (0,3),(0,3)请你写出一个以请你写出一个以 为渐近线的双曲线方为渐近线的双曲线方程程.32yx 22(0)43xy 法二：法二：巧设方程巧设方程,运用待定系数法运用待定系数法.设双曲线方程为设双曲线方程为 ,22(0)916xy 22( 3)(2 3)916 14 221944双曲线的方程为xy 法二：法二：设双曲线方程为设双曲线方程为221164xykk 16040kk 且且221128xy 双曲线方程为双曲线方程为22(3 2)21164kk ,解之得解之得k=4,222221,2012(30)xymmm或设求得舍去1、“共渐近