第三章第九讲：燕尾定理试题库教师版

1、燕尾定理：在三角形 ABC中，AD , BE , CF相交于同一点 0，那么S ABO : S ACBD ：DC .上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为.'ABO和ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何 一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径通过一道例题证明一下燕尾定理：如右图，D是BC上任意一点，请你说明：0 : S4 =5 ： & =BD : DCD【解析】三角形BED与三角形CED同高，分别以BD、DC为底，所以有S：S4=BD:DC ;三

2、角形 ABE与三角形EBD同高，S：S2=ED:EA ;三角形 ACE与三角形 CED 同高，S4： S3 =ED : EA，所以 S ： S ： & ;综上可得 Si S：Sa =BD : DC .【例1】（2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC的面积是1，E是AC的中点，点D在【解析】BC上，且BD:DC=1:2，AD与BE交于点F 则四边形DFEC的面积等于C方法一：连接CF ，根据燕尾定理，Sa ABFBDSa ABFSa acfDCSa cbf设 Sabdf T 份，则 Sadcf =2 份，Saabf =3份，Saaef = Saefc =3 份，如图所标

3、所以Sdcef存ABC二12方法二：连接DE，由题目条件可得到Sa abdSa abc =3Sa adeSa adc =2-Saabc，所以匪233FESa abdSa ADE1 11 111Sa def匚Sa DEB匚3Sabec匚32Sa abc2 1而 Sa cde'Sa abc3 21 所以则四边形 DFEC的面积等于 312【巩固】如图，已知 BD二DC , EC =2AE,三角形ABC的面积是30，求阴影部分面积ABDC【解析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步 判断这道题不应该通过面积公式求面积又因为阴影部分是一个不规

4、则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，（法一）连接CF，因为BD=DC，EC=2AE，三角形 ABC的面积是30,所以江 abe¥ abc=10 ,江ABD1ABC =152根据燕尾定理,Sa ABFAESa ABFSa cbfECS acf_ BD"CD-1所以 Sa abf abc"5，Sa bfd=15 _7.5 =7.5 ,所以阴影部分面积是30 -10 -7.5 =12.5 .法二）连接DE，由题目条件可得到Sa abeSa abc3=10 ,SA BDE112_Sa becSa abc =10 ,22 3所以AF _ Sa ab

5、e _ 1FDBDE 1c1c11c111cSa defSadeaSa adcSa abc =2.5 ,2 23232而sacde1 Saabc =10 .所以阴影部分的面积为12.5.【巩固】3 2如图，三角形ABC的面积是200 cm2, E在AC上，点D在BC 上,且AE:EC=3:5 , BD:DC=2:3 ,【解析】AD与BE交于点F 则四边形Sa abfDFEC的面积等于C连接CF ,根据燕尾定理,BDSa abfAESa acf3Sacbf_10设 Saabf =6份,则 Saacf =9 份,Sa bcf5=10 份，Saefc =9 -3+545份,3Sa cdf =106

6、份,2+345452所以 Sdcfe =200-：-(6 9 10)(6)=8 (6) =93 (cm )88【巩固】如图，已知BD =3DC , EC =2AE , BE与CD相交于点O,则A ABC被分成的4部分面积各占 A ABC 面积的几分之几？13.5【解析】连接CO,设Sa AEO=1份,分按从小到大各占则其他部分的面积如图所示，所以_13 9 _ 3 一60 ,30 10 ABC面积的丄,乙_佟3030Sa abc =129 1813.5930份，所以四部【巩固】（2007年香港圣公会数学竞赛）如图所示，在 ABC 中,【解析】【巩固】【解析】【巩固】3020CP JcB ,2B

7、Q与AP相交于点X，若 ABC的面积为6，则 ABX的面积等于方法一：连接PQ茁工11由于 CP CB , CQ -232CA，所以 S ABQ S ABC ,3 -由蝴蝶疋理知，AX : XP = S|_ABQ : SBPQS ABC : S ABC = 4：1 ,_3 6 _所以 S|_ABX= S ABP=4丄S ABC = 2 S ABC=26 = 2.4 5 -525 -5方法二：连接CX设Sacpx =1份，根据燕尾定理标出其他部分面积,所以 SABX =6 - (114 4)4 = 2.4ABC如图，三角形 ABC的面积是1, BD=2DC , 的面积各是多少？CE =2AE ,

8、 AD与BE相交于点F请写出这4部分连接CF ,设Saaef =1份，则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示，所以c1c62 o8c 2+42Sa aef, Sa abf, Sa bdf, Sfdce :2121721217如图，E在AC上，D在BC上，且AE:EC =2:3 , BD: DC =1:2 , AD与BE交于点 的面积等于22 cm2，则三角形 ABC的面积F四边形DFECSA ABFBD1S ABFAE2Sa ACF-DC ,2Sa cbf-EC"3【解析】连接CF ,根据燕尾定理，S ABF =2 份，设 Sdf =1 份，S AFC =4 份，S aef=4份

9、，Sefc =4 = 2.4 份，如图所标,所以 SEFdc = 2 - 2.4 =4.4 份，Sabc = 2 3 丁4 = 9份 2+3所以 Saabc =22-、4.4 9 =45 (cm2)AC =2，CD =2，CB=3，AM =BM，那么三角形 AMN （阴影【巩固】三角形 ABC中，C是直角，已知 部分）的面积为多少？【解析】连接BN ABC的面积为3 2-：-2=3根据燕尾定理， ACN:A ABN =D :BD =2:1 ;同理 ACBN :ACAN =BM : AM =1:1设厶AMN面积为1份，贝U MNB的面积也是1份，所以 ANB的面积是1 *1=2份，而 ACN的

10、面积就是2 2=4份，ACBN也是4份，这样 ABC的面积为4，1 仁10份，所以 AMN的 面积为3叮0 1 =0.3 【巩固】如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米,EC=2DE , F是DG的中点阴影部分的面积是多少平方厘米？33対F” 1y【解析】设sadef =1份，则根据燕尾定理其他面积如图所示s阴影二討BCD专平方厘米.【例2】如图所示，在四边形 ABCD中，AB=3BE , AD =3AF，四边形AEOF的面积是12，那么平行四边 形BODC的面积为E1O6【解析】连接AO, BD ,根据燕尾定理 Sa abo : Sa bdo =AF ： FD =1 :2 , Sa aod

11、: Sa bod =AE：BE =2:1 ,设 Sabeo =1 ,则其他图形面积，如图所标，所以SbOdc =2SAEOF =2 12=24.【例3】ABCD是边长为12厘米的正方形，E、F分别是AB、BC边的中点，AF与CE交于G，则四边形AGCD的面积是平方厘米.【解析】连接AC、GB，设Sag=1份，根据燕尾定理得Saagb =1份，Sabgc =1份，则S正方形=(1 + 1+1汉2=6份，Sadcg =3 1 =4份，所以 Sadcg =12 -6 4 =96 (cm )【例4】如图，正方形 ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形 BGHF的 面积是

12、平方厘米.【解析】 CHD=120"10 - =14(平方厘米).6【例5】如图所示，在 ABC中，BE:EC=3:1 , D是AE的中点，那么AF:FC【解析】SABED : Sa BCD = 3: 4，所以 Sa ABD : £ BCDSA ABD : SABCD 3: 4 连接CD 由于 SA ABD : Sa BED =1:1 , 根据燕尾定理， AF : FC二 3: 4,连接BH ,根据沙漏模型得 BG：GD=1：2,设Sa bhc =1份，根据燕尾定理Sachd =2份，Sa BHD =2份, 因此 S正方形-(1 2 2) 2 =10 份，SbFhG = 1

13、 =，所以 Sbfhg2 36【巩固】在 ABC 中，BD:DC=3:2 , AE:EC=3:1，求 OB :0E 二?【解析】连接OC 因为BD : DC =3: 2，根据燕尾定理,3S aob : S aoc 二 BD : BC 二 3： 2，即 S aob S aoc ；又 AE : EC =3:1，所以 S aoc S aoe3所以 OB ：OE 二S aob : S aoe -2 :1 3 3 4贝U S AOB S AOCS AOE 二 2S AOE ,22 3【巩固】在 ABC 中，BD:DC=2:1 , AE : EC =1:3，求 OB : OE 二?【解析】 题目求的是边的

14、比值，一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积 比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以应该通过面积比而得到边长的比本题的图形一看 就联想到燕尾定理，但两个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步要连接0C 连接0C 因为 BD：DC =2:1，根据燕尾定理，S.AOB : S.AOC =BD ：BC =2:1，即 S.aob =2S.aoc ;又 AE : EC =1:3，所以 S aoc =4S.aoe 则 S. aob = 2Saoc = 2 4S.aoe =8Saoe , 所以 OB : OE 二S aob： S aoe =8:1 【例6】（2009年清华

15、附中入学测试题）如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、BC上的点，且11AE AB , CF BC , AF与CE相交于G，若矩形 ABCD的面积为120，则 AEG 与 CGF的 34面积之和为【解析】（法1）如图，过F做CE的平行线交 AB于H，则EH :HB=CF:FB=1:3 ,所以 AE =】EB =2EH ,2所以 S AEGS ABF33且 EG =2HF =2 -EC334所以两三角形面积之和为AG:GF =AE:EH =2，即 AG =2GF ,231S ABCD =10 9421 1EC，故 CG =GE，贝U S cgf =1 S aeg = 5 .（法2）如上右

16、图，连接 AC、 根据燕尾定理，Sabg : Sacg210 5 =15BG =BF :CF =3:1,S bcg : S acg = BE : AE = 2 :1 ,1而 S ABC S ABCD = 60 ,所以 S ABG， S ABC3+2+1n. 1则 S AEG S ABG =10 , S CFG所以两个三角形的面积之和为160 = 30 ,2S BCG =5 ,4 -：15.Sbcg2，Sabc 二 60 =20,诅 3 +2 +1Q 3【例7】如右图，三角形 ABC中，BD:DC =4:9 ,CE: EA =4:3，求 AF : FB 【解析】【点评】【巩固】【解析】【巩固】根

17、据燕尾定理得 Saob：Saaoc =BD ：CD =4:9 =12:27S aob : s boc 二 AE：CE =3：4=12：16（都有 AOB的面积要统一，所以找最小公倍数）所以 saoc：Saboc =27:16 =AF : FB本题关键是把 AOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！如右图，三角形 ABC 中，BD:DC=3:4，AE:CE=5:6，求 AF : FB.根据燕尾定理得S AOB : SAOC = BD : CD = 3： 4 = 15： 20S AOB : S BOC =

18、 AE : CE = 5： 6 = 15:18（都有 AOB的面积要统一，所以找最小公倍数）所以 sAOC £ BOC =20:18 =10:9 =AF : FB如图， BD: DC =2:3 , AE:CE =5:3 ,则 AF : BF 二【解析】根据燕尾疋理有 Sabg : Sacg =2:3 =10:15 , Sabg : Sbcg = 5:3 10:6 ,所以SA ACG : SA BCG 15： 6 =5： 2 AF : BF【巩固】如右图，三角形 ABC中，BD:DC=2:3EA:CE =5: 4，求 AF : FB.OFCBDAABCCBDD则 S.ACG8ABC中A

19、AEEFFIG如右图，三角形ABC的面积.（2008年“学而思杯”六年级数学试题且三角形ABC的面积是1，则三角形形GHI的面积为连接 AH、BI、CG由于CE: AE =3: 2，所以AE25 AC，故 S abe二CD ： BD =2:3 ,根据燕尾定理，Sacg : S ABG2Be ='5=CE : EA =3: 2，所以H 1S.ACG : S.ABG : S BCG =4 ： 6 ： 9H 11 GF G E所以S B"存.BAE 10F G E5 -5 2 J , Sghi 5Sbie 5 丄1.5 51919 5 19A【解析】【点评】【例8】【分析】【巩固】

20、EAF:FB=BD:DC=CE:AE=3:2，且三角形 GHI的面积是1,求三角形）如右图，三角形 ABC 中，AF:FB=BD:DC =CE: AE=3:2ABE的面积为 ，三角形 AGE的面积为 ，三角根据燕尾定理得 Saaob：Saaoc =BD ：CD =2:3=10:15S aob : Sa boc =AE：CE =5：4=1°：8（都有 AOB的面积要统一，所以找最小公倍数）所以 Sa aoc : Sa boc =15：8 = AF : FB本题关键是把 AOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两

21、拨千斤的巨大力量！2_5S BCG : S ABG4c 9, S 应CG =；1919224那么 S AGE S AGC =4 5 型 5 1995同样分析可得S.ACH =2，则 EG ： EH = SAcg : Sac4:9, EG ：ESacg : S acb =4:19，所以19EG : GH :HB =4:5:10，同样分析可得 AG:GI :ID -10:5: 4 ,【解析】连接BG Saagc =6份根据燕尾定理，Sa agc : Sa bgc 二 AF : FB 二 3: 2 二 6:4 , S abg : S agc 二 BD : DC 二 3: 2 二9 : 6得S4 （份

22、）,S*=9（份），则S"/9（份），因此盖C =曙同理连接 AI、CH得Sa abh6BIC6ABC19所以Sa ghi1966-6ABC1919三角形GHI的面积是1,所以三角形ABC的面积是19【巩固】（2009年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级AF =2FC，那么AABC的面积是阴影三角形面积的）如图， ABC 中 BD=2DA，CE=2EB，倍.【分析】【巩固】如图，连接AI 根据燕尾疋理，S bci : S aci = BD : AD =2:1 ,所以，S aci : S bci : S abi =1: 2 * : 4 ,那E么， S bci - 12 S ab -

23、Sabc S bci : S abi =CF : AF =1:2 ,同理可知JACG和 ABH的面积也都等于.SBC面积的-，所以阴影三角形的面积等于ABC面积7的1 -2 3=1，所以 ABC的面积是阴影三角形面积的 7倍.77如图在 ABC中,匹=更=更J求GHI的面积的值DB EC FA 2 ABC 的面积SA ABC19【解析】得 Sa agc = 2 （份）,Saabg =4（份）,则 Saabc = 7 （份），因此agc 2SA ABC同理连接AI、CH得连接 BG 设 Sa bgc =1 份，根据燕尾定理 Sa agc : Sa bgc =AF ： FB =2:1 , Sa a

24、bg : Sa agc =BD : DC =2 ：1 ,所以Sa ghiSA ABC7 -2 -2 -27【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化， 但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我 们有对称法作辅助线【巩固】如图在 ABC中,的值.DC EA FB 1 土 GHI 的面积= 求DB EC FA 3 ABC 的面积【解析】得 SA agc =3（份），SA ABG=9（份）,则& ABC3（份），因此竺C SA ABC-,同理连接AI、CH得13ABH _13BICSA ABCSA

25、 ABC3 J13所以氐GHISA ABC133-3-31313连接 BG 设 得 Sabgc =9（份），Saabg=16（份），则 Saabc -9 12 137（份），因此 丄匹 Sa abcA BGC 二 1 份，根据燕尾定理 SA AGC : SA BGC 二 AF ： FB = 3:1 ，SA ABG : SA AGC 二 BD DC = 3：1 ,【巩固】如右图，三角形ABC中，AF :FB =BD:DC =CE:AE =4:3，且三角形 ABC的面积是74，求角形GHI 的面积.【解析】连接BG Sa agc =12份根据燕尾定理，SA AGC : SA BGC=AF : FB

26、 =4:3 =12:9 , Sa abg : Sa Agc = BD : DC =4:3 =16:121237同理连接AI、CH得§竺SA ABC1237Sa bic12SA ABC37所以§如Sa abc37 -12 -12-123737三角形ABC勺面积是74,所以三角形 GHI的面积是74237【例9】两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形, 则阴影四边形的面积是多少？如图所示,三个三角形的面积【解析】方法一：遇到没有标注字母的图形，我们第一步要做的就是给图形各点标注字母，方便后面的计算 再看这道题，出现两个面积相等且共底的三角形.设三角形为 ABC , BE和C

27、D交于F，贝U BF = FE，再连结DE . 所以三角形DEF的面积为3.设三角形ADE的面积为x ,则x: 3 PiuADiDB =X 10 :10，所以X=15，四边形的面积为 18 .方法二：设Saadf =X，根据燕尾定理Saabf ：Sbfc =afe : SEFC ,得到SAE X 3，再根据向右下飞的燕子，有（x -3 7）:7=x:3，解得x=7.5四边形的面积为7.5 7.5 18【巩固】右图的大三角形被分成5个小三角形，其中4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积是 【解析】方法一：整个题目读完，我们没有发现任何与边长相关的条件，也没有任何与高或者垂直有关系的 字眼

28、，由此，我们可以推断，这道题不能依靠三角形面积公式求解我们发现右图三角形中存在一个比例关系：2 : s阴影1 3 :4，解得s阴影二2 -方法二：回顾下燕尾定理，有 2:（S阴影-4） = 1:3，解得S阴影=2.【例10】 如图，三角形 ABC被分成6个三角形，已知其中 4个三角形的面积，问三角形 ABC的面积是多 少？【解析】设Sa bof =x，由题意知BD: DC =4:3根据燕尾定理，得Sa abo : Sa aco - Sa bdo : Sacdo =4:3 ,所以 S a aco3 (84 x) =63 -x ,4 43再根据Sa abo : Sa bco =Sa aoe : S

29、a coe , 列方程(84 +x):(40 +30) =(63+x35):35 解得 x=564Sa aoe : 35 二(5684): (40 30),所以 Saaoe 二 70所以三角形ABC的面积是84 40 30 35 56 7315D为AB中点，E为AC中点,F为BC中点，求阴影部分的面【例11】 三角形ABC的面积为15平方厘米, 积.【解析】令BE与CD的交点为M CD与 EF的交点为N,连接AM BN在 ABC中，根据燕尾定理，Sa abm : Sa bcm 二 AE： CE =1:1 , ACM : Sa bcm =AD : BD =1:1所以Saabm1=Sa ACM =

30、Sa BCN Sa ABC3由于Sa aem11J SaamcSaabm S,所以 BM : ME =2:122所以所以所以1Sa bcn = Sa bce2Sa bmn = Sa bne311 <12 81 1=Saabc， Sabne =Sabce42=X3【例12】【解析】【巩固】【解析】S阴影 ABC1SSa abc =-8_5S ABC241Saabc，因为 BM : ME =2:1 , F 为 BC中点,811 1=Sa bnc =22 44Sa abc , Sa bfn12515 =3.125 （平方厘米）24J Sa abc,8如右图， ABC中，AF与BG交于N ,已知

31、 ABM的面积比四边形 FCGN的面积大7.2平方厘米，则 ABC的面积是 多少平方厘米？连接CM、CN根据燕尾定理，再根据燕尾定理,G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点， AD与BG交于M ,SA ABM:SA CBM = AG GC = 1:1 , Sa ABM : SA ACMAN : NF =4:3，那么 Sa afc2Sa abn : Sacbn - AG : GC =1:1，所以 Sa abn2、f -，所以 SFCGN = 1SA AFC7.7根据题意，有扛ABC/ABC（2007年四中分班考试题）如图， 若ABC的面积为1,那么四边形=7.2 ,、 1=BD : CD

32、 = 1:3，所以 Sa abmSa abc ；5:Sa fbn = Sacbn : Sa fbn = 4 :3，所以5 15SA ABCS7 428 ABC -可得Sa abc =336（平方厘米）ABC中，点D是边AC的中点，点CDMF的面积是.E、F是边BC的三等分点,由于点D是边AC的中点，点E、 那么所分成的六小块的面积都可以求出来，其中当然也包括四边形连接CM、CN .根据燕尾定理，S ABM : S.acm=BF ：CF=2:1，而S也cm=2S也dm，所以S也bm= 2S©cm= 4dm, 那4么 BM =4DM，即 BM BD .5BMBF°42 141S

33、 BCD, S四边形 CDMF :BDBC53 2152F是边BC的三等分点，如果能求出BN、NM、MD三段的比,CDMF的面积.那么S BMF另解：得出 S abm -2S acm -4S Adm 后，可得 S Adm4 _Z_30 110，151 15 2则 Si边形 cdmf - S Acf _ S Adm - 3 -1030【例13】如图，三角形 ABC的面积是1 , BD=DE二EC , CF=FG二GA，三角形ABC被分成9部分,请写出这9部分的面积各是多少？AAGQPFMNBDEC【解析】设BG与 AD交于点P, BG与 AE交于点Q, BF与AD交于点M BF与AE交于点N.连

34、接CR CQ CM CN根据燕尾定理，S ABP :SX CBP=AG : GC =1:2 ,SX ABP:SX ACP=BD : CD =1:2，设Sx ABP二1 （份），则Sx ABC =1 2 2 =5（份），所以S 又 S.Abj : S. cbj = AF :CF = 2 :1 ， S abj : S.acj = BD：CD = 2d，可得Sx ABP52同理可得，Sx ABQ，Sx ABN1而c1，而 Sx ABG =，所以Sx APQ213。Sx AQG12172375353721冋理，Sx BPMSx BDM -'，所以S四边形PQMN :1 239352127357

35、0【解析】139511511115S四边形MNED :5S四边形NFCE二=5S四边形GFNQ二一3357042321426321642【巩固】如图， AABC的面积为1,点D 边形JKIH的面积是多少？E是BC边的三等分点，点 FG是AC边的三等分点，那么四连接 CK、CI、CJ .根据燕尾定理，S ACK : S ABK - CD : BD = 1： 2， S 'abk : S cbk = AG : CG = 1: 2，、 1 1所以 S ACK : S ABK : S CBK i： 2 ： 4，那么 S ACK， S AGK1 2 4 7=3 SACK3丄21类似分析可得S AG

36、I -S. Acj15那么，Scgkj84根据对称性，可知四边形CEHJ的面积也为17，那么四边形84JKIH周围的图形的面积之和为Scgkj2 ' S agi ' S Abe丿2 28415370619，所以四边形JKIH的面积为1-竺二卫7070【例 14】如右图，面积为 1 的 ABC 中，BD :DE : EC =1:2:1 , CF : FG:G 1: 2:1，AH : HI :IB =1:2:1，求阴影部分面积.【解析】设IG交HF于M , IG交HD于N , DF交EI于P 连接 AM , IF 9AI : AB =3: 4 , AF : AC =3: 4 , .

37、 Sa aifSaabc16193Sa aimSa aifSa ABC AH : AI =1：3-SaahmSa abc ,46464Safim:Sa aim = FG : GA = 2 ,AF : AC =3: 4Saahf3Sa abc Sa FIM : Saamf - IH : HA - 2，冋理Sa cfd =Sa bdhSa abc7-Sa fdh = Sa abc3HM : HF:31: 4 ,16166416 AH : AB =1:416AI : AB =3: 4,AF : AC =3: 4 ,IF II BC ,又/ IF : BC =3: 4,DE : BC =1: 2 ,

38、DE : IF =2:3, DP : PF =2:3 ,同理 HN : ND =2:3 , HM : HF =1:4, HN : HD =2:5 ,-Sa hmn丄 Sahdf10Zsaabc 二160160同理6个小阴影三角形的面积均为7160阴影部分面积吩6嗚【例如图，面积为分面积E、F、G H、I 分别是 ABBC CA的三等分点，求阴影部的三角形ABC中, D【解析】三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI与CD勺交点为 M AF与CD的交点为N, BI与AF的交点为P, BI与CE的交点为Q连接AM BNCP求窃边形ADMI :在 ABC中，根据燕尾定理，

39、SA ABM : SACBM = AI : CI = 1: 2 SA ACM : SA CBM = AD : BD =1: 2设 Sa abm1 （份），则 Sacbm =2（份），Sa acm = 1 （份），Sa abc = 4 （份）,所以Sa abm - Sa acm丄sSa abc ?4所以Saadm_1sSa abm31 sSa abc 12Sa aimSa abc12所以足边形ADMI -（+ ）SA ABC_1SSA ABC 12126同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是 ABC面积的16求S五边形dnpqe :在 ABC中，根据燕尾定理SA ABN : SA ACN - BF : CF =1: 2 SA ACN : SA BCN - AD : BD = 1: 2 ,所以 Saadn =Saabn = Saabc =Saabc , 冋理 Sabeq = Saabc33 72121在 A ABC 中，根据燕尾定理 Sa abP：Saacp =BF : CF =1