2020-2021学年高中数学人教版选修1-2演练：单元评估验收：第二章推理与证明

1、单元评估验收(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列有关“三段论”推理“凡是自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数”的说法正确的是()a推理正确b推理形式错误c大前提错误 d小前提错误解析：三段论中大前提、小前提及推论形式均正确，所以结论正确答案：a2用反证法证明命题“是无理数”时，假设正确的是()a假设是有理数b假设是有理数c假设或是有理数 d假设是有理数解析：假设应为“不是无理数”，即“是有理数”答案：d3由112，1322，13532，135742，得到13(2n1)n2用的是(

2、)a归纳推理 b演绎推理c类比推理 d特殊推理答案：a4已知f(x1)，f(1)1(xn*)，猜想f(x)的表达式为()a. b.c. d.解析：当x1时，f(2)，当x2时，f(3)，当x3时，f(4)，故可猜想f(x).答案：b5将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：a·bb ·a；(a·b)·ca·(b·c)；a·(bc)a·ba·c；由a·ba·c(a0)可得bc.以上通过类比得到的结论正确的有()a1个 b2个c3个 d4个解析：平面向量的数量积的运算满

3、足交换律和分配律，不满足结合律，故正确；错误；由a·ba·c(a0)得a·(bc)0，从而bc0或a(bc)，故错误答案：b6观察下列各式：553 125，5615 625，5778 125，则52 017的末四位数字为()a3 125 b5 625c0 625 d8 125解析：因为553 125，5615 625，5778 125，58末四位数字为0625，59末四位数字为3125，510末四位数字为5 625，511末四位数字为8125，512末四位数字为0625，由上可得末四位数字周期为4，呈规律性交替出现，所以52 01754×5035，末四位

4、数字为3125.答案：a7若，则abc是()a等边三角形b有一个内角是30°的直角三角形c等腰直角三角形d有一个内角是30°的等腰三角形解析：因为，由正弦定理得，所以.所以sin bcos b，sin ccos c，所以bc45°，所以abc是等腰直角三角形答案：c8设有两个命题：关于x的不等式x22ax4>0对一切xr恒成立；函数f(x)(52a)x是减函数若命题中有且只有一个是真命题，则实数a的取值范围是()a(，2 b(，2)c2，) d(2，2)解析：若为真，则4a216<0，即2<a<2.若为真，则52a>1，即a<2

5、.当真假时，无解；当假真时，a2.答案：a9在平面直角坐标系内，方程1表示在x，y轴上的截距分别为a，b的直线，拓展到空间直角坐标系内，在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c(abc0)的平面方程为()a.1b.1c.1daxbycz1解析：利用类比推理，可知a项正确答案：a10下列不等式中一定成立的是()alg>lg x(x>0)bsin x2(xk，kz)cx212|x|(xr)d.>1(xr)解析：a项中，因为x2x，所以lglg x；b项中sin x2只有在sin x>0时才成立；c项中由不等式a2b22ab可知成立；d项中因为x211，所以0<1.答案：

6、c11已知f(x)sin xcos x，定义f1(x)f(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x)fn(x)(nn*)，经计算，f1(x)cos xsin x，f2(x)sin xcos x，f3(x)cos xsin x，照此规律，则f100(x)()acos xsin x bcos xsin xcsin xcos x dsin xcos x解析：根据题意， f4(x)f3(x)sin xcos x，f5(x)f4(x)cos xsin x，f6(x)f5(x)sin xcos x，观察知fn(x)的值呈周期性变化，周期为4，所以f100(x)f964(x)f4(x)sin xcos x.答

7、案：c12如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每条边有2个点，第3层每条边有3个点，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为()a6b7 c8d9解析：由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，第n(n2，nn*)层的点数为6(n1)设一个点阵有n(n2，nn*)层，则共有的点数为166×26(n1)1×(n1)3n23n1，由题意得3n23n1169，即(n7)·(n8)0，所以n8，故共有8层答案：c二、填空题(本大题

8、共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13“因为ac，bd是菱形abcd的对角线，所以ac，bd互相垂直且平分”补充以上推理的大前提是_解析：大前提是“菱形的对角线互相垂直且平分”答案：菱形的对角线互相垂直且平分14f(n)1(nn*)，经计算得f(2)，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，推测当n2时，有_解析：观察f(n)中n的规律为2k(k1，2，)，不等式右侧分别为，k1，2，所以f(2n)>(n2)答案：f(2n)>(n2)15甲、乙、丙三位同学被问到是否去过a，b，c三个城市时，分别回答如下：甲说：我去过的城市比

9、乙多，但没去过b城市；乙说：我没去过c城市；丙说：我们三人去过同一城市由此可以判断乙去过的城市为_解析：易知三人同去的城市为a.又甲去过城市比乙去过的城市多，且甲没去过b城，所以甲去过a城，c城，乙只去过a城答案：a16在平面几何中，abc的内角平分线ce分ab所成线段的比为，把这个结论类比到空间：在三棱锥a­bcd中(如图所示)，平面dec平分二面角a­cd­b且与ab相交于e，则得到的类比的结论是_解析：ce平分acb，而平面cde平分二面角a­cd­b.所以可类比成，故结论为.答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文

10、字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)证明：对于任意实数x，y，都有x4y4xy(xy)2.证明：要证x4y4xy(xy)2，只需证2(x4y4)xy(xy)2，即证2(x4y4)x3yxy32x2y2.只需x4y4x3yxy3与x4y42x2y2同时成立即可又知x4y42x2y2(x2y2)20显然成立，即x4y42x2y2成立，只需再证x4y4x3yxy3即可而x4y4x3yxy3(xy)(x3y3)，因为xy与x3y3同号，所以(xy)(x3y3)0，即x4y4x3yxy3成立，所以对于任意实数x，y，都有x4y4xy(xy)2.18(本小题满分12分)如图所示，设sa，s

11、b是圆锥的两条母线，o是底面圆心，c是sb上一点，求证：ac与平面sob不垂直证明：连接ab，假设ac平面sob.因为直线so在平面sob内，所以acso.因为so底面圆o，所以soab，所以so平面sab，所以平面sab底面圆o.这显然出现矛盾，故假设不成立，即ac与平面sob不垂直19(本小题满分12分)已知函数f(x)(x1)，且f(1)log162.(1)求函数f(x)的表达式(2)已知数列xn的项满足xn(1f(1)(1f(2)(1f(n)，试求x3，x4的值解：(1)由题设，得f(1)log162，又f(1)，所以，则b0.从而f(x)(x1)(2)由(1)知，f(1)，f(2)，

12、f(3)，f(4).所以x3(1f(1)(1f(2)(1f(3)××.x4×(1f(4)×.20(本题满分12分)已知abc中，abc123.求证：.证明：要证，只需证a2abacabb2，即证a(ac)b2.由正弦定理，只需证sin a(sin asin c)sin2b.因为abc123，所以a，b，c，所以sin a(sin asin c)sin .又sin2bsin2，所以sin a(sin asin c)sin2b成立所以成立21(本小题满分12分)设an是首项为a，公差为d的等差数列(d0)，sn是其前n项的和记bn，nn*，其中c为实数若c0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：snkn2sk(k，nn*)证明：由题意得，snnad.由c0，得bnad.又因为b1，b2，b4成等比数列，所以bb1b4，即a，化简得d22ad0.因为d0，所以d2a.因此，对于所有的mn*，有smm2a.从而对于所有的k，nn*，有snk(nk)2an2k2an2sk.22(本小题满分12分)设函数f(x)，a，b为正实数(1)用分析法证明：f f ；(2)设ab>4，求证