中考数学复习相似专项综合练含详细答案

1、中考数学复习相似专项综合练含详细答案一、相似1 .在 ABC 中，ZABC=90 .(1)如图1,分别过 A、C两点作经过点 B的直线的垂线，垂足分别为M、N,求证: ABMABCN;(2)如图 2, P 是边 BC上一点，Z BAP=Z C, tan Z PAC= 5 ,求 tanC 的值；U AD _2(3)如图 3, D 是边 CA 延长线上一点， AE=AB, Z DEB=90 , sinZBAC=' , AC 直 接写出tan/CEB的值.【答案】(1)解：VAM ±MN, CNXMN ,Z AMB=Z BNC=90 ；Z BAM+Z ABM=90 , Z ABC=

2、90 :Z ABM+Z CBN=90 ,Z BAM=Z CBN, Z AMB=Z NBC,ABCN(2)解：如图 2,过点P作PM，AP交AC于M, PNXAM T N.Z BAP+Z 1 = Z CPM+Z 1=90 , Z BAP=Z CPM=Z C,.MP=MC PNPMN胃= .tan/PAC"5<5 八设 MN=2m,PN=i'm,根据勾股定理得，PM=；噌 =3逑=就tanC=BC(3)解：在RtA ABC 中，sin / BAC=北=4,过点A作AGBE于G,过点C作CH, BE交EB的延长线于 H, / DEB=90 ,° .CH/ AG/ D

3、E,GH AC 5跖加=归同（1）的方法得， AABGABCHBC AC AB二 二CH BH BC设 BG=4m, CH=3m, AG=4n, BH=3n, . AB=AE, AG± BE, EG=BG=4m, .GH=BG+BH=4m+3n,融于3nZwn=2m,EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m,Ch在 RtCEH 中，tan/BEC=* =/?【解析】 【分析】(1)根据垂直的定义得出 /AMB=/BNC=90,根据同角的余角相等得 ABMABCN;出/ BAM=Z CBN,利用两个角对应相等的两个三角形相似得出:(2)过点P作PF±

4、AP交AC于F,在RtA AFP中根据正切函数的定义，由PF 刈 2tan/PACF /41,同（1）的方法得，AB= a , PQ=2a, BP= b , FQ=2b （ a> 0 , CQ 虱 ABPPQF,故BP AP ”?网一所一 B ,设b>0),然后判断出AB'CQF,得，打 团从而表示出 CQ,进根据线段的和差表示出BC,再判断出 AB2 4CBA,得出AS 济瓦.一不再得出BC,从而列出方程，表示出BC,AB在RtA ABC中，根据正切函数的定义得出tanC的值；BC 3= (3)在 RtAABC中，利用正弦函数的定义得出：sin/BAC=、 *，过点 A作

5、 AGXBE于函 AC 1g7dG,过点C作CHI± BE交EB的延长线于H,根据平行线分线段成比例定理得出SBG AC AB 4 二 1二一二，同（1）的方法得，AB34BCH ,故） 以I BC 3 ,设 BG=4m,CH=3m , AG=4n , BH=3n ,根据等腰三 GH=BG+BH=4m+3n,根据比例式列出方程 EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m , tan / BEC的值。角形的三线合一得出 EG=BG=4m,故 ,求解得出n与m的关系，进而得出 在RtCEH中根据正切函数的定义得出2.如图，已知 A (-2, 0) , B (4,

6、0),抛物线 y=ax2+bx - 1过A、B两点，并与过 A点的直线y=-工x- 1交于点C.(1)求抛物线解析式及对称轴；(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使四边形 ACPO的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；(3)点M为y轴右侧抛物线上一点，过点 M作直线AC的垂线，垂足为 N.问：是否存 在这样的点 N,使以点 M、N、C为顶点的三角形与 4AOC相似，若存在，求出点 N的坐 标，若不存在，请说明理由.【答案】（1）解：把A （-2,0）, B （4, 0）代入抛物线y=ax2+bx-1,得 , 0=4a - 2b - I 0=I6a lb - I1 a-

7、f 8 L 1 b= 解得 JI 1，抛物线解析式为：y= 8 x2- 7x-1，抛物线对称轴为直线x=-(2)解：存在使四边形ACPO的周长最小，只需 PC+POM小，取点C (0,-1)关于直线x=1的对称点 C'(2, -1),连C' 0与直线x=1的交点即为 点.设过点C'、O直线解析式为：y=kx1.k=-1y=-x0则P点坐标为(1, - 上)(3)解：当AO84MNC 时，如图，延长 MN交y轴于点D,过点N作NE，y轴于点E / ACO=Z NCD, / AOC=Z CND=90 °/ CDN=Z CAO由相似，/CAO=/CMN/ CDN=Z

8、 CMN. MN ±ACM、D关于AN对称，则N为DM中点I设点N坐标为(a, - - a-1)由 EDNs OACED=2a，点D坐标为(0, - a a-1 ) N为DM中点 j，点M坐标为(2a, a a-1 ) 1 1把M代入y=占x2-，x-1 ,解得a=4则N点坐标为(4, -3)当AOACNM 时，/ CAO=Z NCM.CM/AB则点C关于直线x=1的对称点C即为点N由(2) N (2, -1) .N点坐标为(4, -3)或(2, -1)【解析】【分析】(1)根据点 A、B的坐标，可求出抛物线的解析式，再求出它的对称轴 即可解答。(2)使四边形 ACPO的周长最小，只

9、需 PC+PO最小，取点 C (0,-1)关于直线x=1的对 称点C' (2, -1),连C' 0与直线x=1的交点即为P点，利用待定系数法求出直线 C' 0的解 析式，再求出点 P的坐标。(3)分情况讨论：当 AOgMNC时，延长 MN交y轴于点D,过点N作NELy轴于 点 E,由/ ACO=Z NCD, / AOC=Z CND=90 得出 / CDN=Z CAO,再证明 / CDN=Z CMN,根/据MNLAC,可彳#出 M、D关于AN对称，则 N为DM中点，设点 N坐标为(a, -J a- 1),根据EDNsOAC,得出点D、M的坐标，然后将点 M的坐标代入抛物线

10、的解析式 求出a的值，即可得出点 N的坐标；当 AOgCNM时，/ CAO=/ NCM,得出 CM / AB 则点C关于直线x=1的对称点C'即为点N,就可求出点 N的坐标。3.如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移 1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象.函数 y=x2+2x+1的图象的顶点为点A.函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点 B,和x轴的交点为点 C, D (点D位于点C的左(1)求函数y=ax2+bx+c的解析式；(2)从点A, C, D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；(

11、3)若点M是线段BC上的动点，点 N是4ABC三边上的动点，是否存在以 AM为斜边的IRtAAMN , >AAMN的面积为 ABC面积的' ?若存在，求tan / MAN的值；若不存在， 请说明理由.【答案】(1)解：y=x2+2x+1= (x+1) 2的图象沿x轴翻折，得y=- (x+1) 2 , 把y=- (x+1) 2向右平移1个单位，再向上平移 4个单位，得y=-x2+4, ，所求的函数y=ax2+bx+c的解析式为y= - x2+4(2)解：. y=x2+2x+1= (x+1) 2 ,A (T, 0),当 y=0 时，x2+4=0,解得 x=±2 则 D (

12、2, 0) , C (2, 0);当 x=0 时，y=-x2+4=4,贝U B (0, 4),从点A, C, D三个点中任取两个点和点B构造三角形的有：AACB AADB, ACDB,. AC=3, AD=1, CD=4, AB= W；, BC=2、5 , bd=2也,.BCD为等腰三角形，I构造的三角形是等腰三角形的概率=3(3)解：存在，国 3易得 BC 的解析是为 y= - 2x+4, Saabc= 士 AC?OB= X 3 X 4=6M 点的坐标为(m, - 2m+4) ( 0< m<)2 ,当N点在AC上，如图1 ,.AMN的面积为 ABC面积的(m+1) ( - 2m+

13、4) =2,解得 mi=O, m2=1,当m=0时，M点的坐标为（0, 4）,N (0, 0),则 AN=1,MN=4 ,船 4tan Z MAC=H1 1 =4;当m=1时，M点的坐标为(1, 2) , N (1, 0),则AN=2,椒 2tanZ MAC=-V J =1；当N点在BC上，如图2,MN=2 ,e- Saamn= j AN?MN=2)4” . MN= ' ,当N点在AB上，如图3,作 AHLBC于 H,设 AN=t,贝U BN=,-t,M （）2 - A -由得AH= 0 ,贝U BH=45 台 / NBG=/ HBA,.BNMsbha,挺 t<7? - tMr

14、BM初一就即丁T ,- 6tMN= 7,1上 AN?MN=2,itf/7r 6t即上？（ y/T -t） ?7=2,2-4X3X14=15V0,方程没有实数解,整理得 3t2- 3、斤 t+14=0 , = （ - 3 T?）点N在AB上不符合条件，综上所述，tan / MAN的值为1或4或目【解析】【分析】(1)将y=x，2x+1配方成顶点式，根据轴对称的性质，可得出翻折后的 函数解析式，再根据函数图像平移的规律：上加下减，左加右减，可得出答案。(2)先求出抛物线 y=x2+2x+1的顶点坐标 A,与x轴、y轴的交点 D、C、B的坐标，可得 出从点A, C, D三个点中任取两个点和点 B构造

15、三角形的有： AACB, AADB, ACDEI,再 求出它们的各边的长，得出构造的三角形是等腰三角形可能数，利用概率公式求解即可。(3)利用待定系数法求出直线BC的函数解析式及 ABC的面积、点 M的坐标，再分情况讨论：当N点在 AC上，如图1 ;当N点在BC上，如图2;当N点在AB上，如1图3。利用4AMN的面积=4ABC面积的解直角三角形、相似三角形的判定和性质等相关的知识，就可求出 tan / MAN的值。4.已知：如图，在矩形 ABCD中，AB=6cm, BC=8cm,对角线 AC, BD交于点0.点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀

16、速运动， 速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动.连接 PO并延长，交BC于点E,过点Q作QF/ AC,交BD于点F.设运动时间为t (s) (0vtv6),解答下列问题： A T PDBC(1)当t为何值时，4AOP是等腰三角形?(2)设五边形 OECQF的面积为S (cm2),试确定S与t的函数关系式；(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t,使S五边形 S五边形oecqe Saacd=9: 16?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；(4)在运动过程中，是否存在某一时刻t,使OD平分/COP?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)解：二.在矩形 AB

17、CD中，Ab=6cm, BC=8cm,.AC=10, 当AP=PO=t,如图1,过P作PMXAO,.AM=图 AO=, / PMA=/ ADC=90 ； / PAM=/ CAD,.APMAADC,1. AP=t= " ,当 AP=AO=t=5, 当t为5或5时，AOP是等腰三角形(2)解：作 EHI± AC 于 H, QMLAC 于 M , DNLAC 于 N,交 QF 于 G,在APO与ACEO中， / PAO=Z ECO AO=OC, / AOP=/ COE .AOPACOE, .CE=AP=t .CEHhAABC,EH CbAB AC ,a .EH=',Ai)

18、 . CL J JDN= AC = 5 ,1. QM / DN,.CQMACDN,QM § Q# CQ 246加 a,即 5,24 - 4t .QM= 5,24 24 - 4t 4DG= 55= 5 ,1. FQ/ AC, .DFQsDOC,FQ £d.而,迹aFQ=',/3I 524 - 4tP x 5 x + 6-.r + 5) + -, S 五边形 oecq=Sa oec+S四边形 ocqf=1h二匕7 r 3一产 + -r * 1232,1 / 3S - r +712.S与t的函数关系式为32(3)解：存在，. Saacd= 4 X 6X 8=241 n 3

19、 I|5 -p +二J *rS 五边形 oecqf Sacd= (1'-) : 24=9: 16,解得 t= - , t=0 ,(不合题意,舍去)，Ft=-时，S五边形 S五边形 oecqf Saacd=9: 16(4)解：如图 3,过D作DMAC于M , DNAC于N, / POD=/ COD, 24，DM=DN= 5 , .ON=OM= 嫄-极=工， ,.OP?DM=3PD,55 t ，OP= 8 ,18 5 't .PM= 58 ,门 185 224 1(8 - (- 、t) * A)8$,解得：t1小合题意，舍去)，t2.88当 t=2.88 时，OD 平分 / COP

20、.【解析】【分析】(1)根据矩形的性质可得：AB=CD=6 BC=AD=8,所以AC=10;而P、Q两点分别从A点和D点同时出发且以相同的速度为1cm/s运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动，所以点P不可能运动到点 D;所以4AOP是等腰三角形分两种情况讨论：当AP=PO=t时，过P作PMLAO,易证CQMsCDN,可得比例式即可求解；当AP=AO=t=5时，4AOP是等腰三角形；(2)作EHI±AC于H, QMLAC于M, DNLAC于N,交QF于G,可将五边形转化成一个 三角形和一个直角梯形，则五边形OECQF的面积S= 三角形OCE的面积+直角梯形OCQF的面积；1(3

21、)因为三角形 ACD的面积=-AD CD=24,再将(2)中的结论代入已知条件S五边形S五边形OECQF SACCF9： 16中，可得关于t的方程，若有解且符合题意，则存在，反之，不存 在；(4)假设存在。由题意，过 D作DM，AC于M, DNAC于N,根据角平分线的性质可得1111LmLh .一 v .DM=DN ,由面积法可得 ；三角形 ODP的面积=-OP'DM=：PD=；CD= 3PD,所以可得 OP?DM=3PD,则用含t的代数式可将 OP和PM表示出来，在直角三角形 PDM中，用勾股 定理可得关于t的方程，解这个方程即可求解。y轴相交于点C.5.抛物线 y=ax2+bx+3

22、 (aw。经过点 A ( - 1, 0) , B ( - , 0),且与(1)求这条抛物线的表达式;(2)求/ ACB的度数；(3)设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点DEL AC,当4DCE与4AOC相似时，求点 D的坐标.【答案】(1)解：当x=0,y=3,所以C (0,3)E在线段AC上，且设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-上).用将C (0,3)代入得二a=3,解得a=-2所以抛物线的解析式为y=-2x2+x+3(2)解：过点 B作BMLAC,垂足为 M,过点M作MNLOA,垂足为N,如图1 , . OC=3, AO=1, .tan / CAO=3.直线AC的解

23、析式为y=3x+3. .ACXBM,BM的一次项系数为-.>< +b=0解得 b=二:.设BM的解析式为y=- J x+b,将点B的坐标代入得:BM的解析式为y=- J x+ 一 .j| 1j将 y=3x+3 与 y=- J x+ £ 联立解得：x=- 4 , y= 7 .MC=BM= f " . .?MCB为等腰三角形/ ACB=45 . °（3）解：如图2所示，延长CD,交x轴于点F. / ACB=45点D是第一象限抛物线上一点， / ECD> 45 :又. ？DCE与？AOC 相似，/ AOC=/ DEC=90,/ CAO=Z ECD.CF

24、=AF.设点F的坐标为（a, 0）,则（a+1） 2=32+a2,解得a=4.F （4,0）.设CF的解析式为y=kx+3,将F （4,0）代入得：4k+3=0,解得k=-. j，CF的解析式为y=- . x+3.将y=-，x+3与y=-2x2+x+3联立，解得 x=0 （舍去）或 x= 5 .将x= 6代入y=- i x+3得y= 3上.D （ S ,吟.【解析】【分析】（1）结合已知抛物线与 x轴的交点AB,设抛物线的解析式为顶点式, 代入点C的坐标求出系数，在回代化成抛物线解析式的一般形式。(2)作垂线转化到直角三角形中利用锐角函数关系解出直线南AC的解析式，再利用待定系数法求出系数得出

25、直线 BC的解析式，联立方程得出点 M的坐标，根据勾股定理求出 MC,BM的长判断出是等腰直角三角形，得出角的度数(3)根据相似三角形的性质的出两角相等，再利用待定系数法求出系数得出直线CF的解析式，再联立方程得出点D的坐标。6.如图，在一个长40 m、宽30 m的矩形小操场上，王刚从A点出发，沿着A- B-C的路线以3 m/s的速度跑向C地.当他出发4 s后，张华有东西需要交给他，就从A地出发沿王刚走的路上线追赶，当张华跑到距 B地2 3 m的D处时，他和王刚在阳光下的影子恰好落在一条直线上.(1)此时两人相距多少米(DE的长)?(2)张华追赶王刚的速度是多少 ？【答案】(1)解：在RHAB

26、C中：. AB=40, BC=30, .AC=50 m.由题意可得DE/AC, RtA BD& RtA BAC,8Dh 5 即获=拓.16解得DE= 3 m. l/d答：此时两人相距m.(2)解：在 RtBDE中：J 16,DB=2 ', DE=J, .BE=2 m.王刚走的总路程为 AB+BE=42 m.=14(s).42王刚走这段路程用的时间为张华用的时间为14-4=10(s),.张华走的总路程为 AD=AB-BD=40-2 =37,彳(m),1，张华追赶王刚的速度是 37。+ 10= 3m/s).答：张华追赶王冈I的速度约是3.7m/s.【解析】【分析】(1)在RtABC

27、中，根据勾股定理得 AC=50 m,利用平行投影的性质得 DE/ AC,再利用相似三角形的性质得出对应边的比相等可求得DE长.(2)在RtBDE中，根据勾股定理得 BE=2 m,根据题意得王刚走的总路程为42 m ,根据时间=路程斑度求得王刚用白时间，减去 4即为张华用的时间，3A (上，0),在第再根据速度=路程却寸间解之即可得出答案.7.如图1,经过原点 O的抛物线y=ax2+bx (awQ与x轴交于另一点(1)求这条抛物线的表达式;P,使得POSMOB?若存在，求出点(2)在第四象限内的抛物线上有一点C,满足以B, O, C为顶点的三角形的面积为 2,求点C的坐标；(3)如图2,若点M在

28、这条抛物线上，且 ZMBO=ZABO,在(2)的条件下，是否存在点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)解：.B (2, t)在直线y=x上，t=2, B (2, 2),4a b = 2fl 3 _a = 2把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得了 J ”,解得-b 5 ,，抛物线解析式为y=2x2 - 3x(2)解：如图1,过C作CD/ y轴，交x轴于点E,交OB于点D,过B作BF± CD于点F,图1 点C是抛物线上第四象限的点， 可设 C (t, 2t2 3t),则 E (t, 0) , D (t, t),.OE=t, BF=2 t, CD=t- (2t23t) =-2t2

29、+4t,111bb Sa obc=Sa cdo+Sx cdb=工 CD?OE+- CD?BF= (2t2+4t) (t+2t) =- 2t2+4t, .OBC的面积为2, - 2t2+4t=2 ,解得 ti=t2=1 ,.C (1 , T)(3)解：存在.设 MB交y轴于点N,如图2, y*图二 . B (2, 2) ,ZAOB=Z NOB=45 ；在 AOB和ANOB中ZAOB - ZNOB 08 = OB /ABO = ZNBC .AOBANOB (ASA)，.ON=OA=I=.J.N （0,二），J37可设直线BN解析式为y=kx+二,把B点坐标代入可得 2=2k+ -,解得k=；3r

30、-r 尸二一r 十一/ M1/2直线BN的解析式为y= / x+-；，联立直线BN和抛物线解析式可得/ 一货 姮，解得心一. C (1 , 1) ,Z COA=Z AOB=45 ；且 B (2, 2),.OB=2 , OC= ,-.POCAMOB,/比"=况=2, /POC4 BOM,当点P在第一象限时，如图 3,过M作MGy轴于点G,过P作PHx轴于点H, / COA=Z BOG=45 ；/ MOG= / POH,且 / PHO=Z MGO,.MOGAPOH,=2,- M (一 4b，MG= 6, OG= 3上，I 3146.PH=匕 MG= g OH=幺 OG=出J, 83P （

31、四，16）；当点P在第三象限时，如图 4,过M作MG，y轴于点G,过P作PH，y轴于点H,/ a j 45同理可求得 PH= _ MG= lb , OH=j OG=61 ,15综上可知存在满足条件的点P,其坐标为而，入)或(-y=x交于点B (2, t),可求【解析】【分析】(1)根据已知抛物线在第一象限内与直线出点B的坐标，再将点 A、B的坐标分别代入 y=ax2+bx,建立二元一次方程组，求出a、b的值，即可求得答案。(2)过C作CD/ y轴，交x轴于点E,交OB于点D,过B作BF, CD于点F,可知点 C、D、E、F的横坐标相等，因此设设C (t,2t23t),则 E (t, 0) ,

32、D (t, t) , F(t,2),再表示出 OE、BF、CD的长，然后根据 Sxobc=Scdo+Sx cdb=2,建立关于t的方程，求出t 的值，即可得出点 C的坐标。(3)根据已知条件易证 AOBNOB,就可求出 ON的长，得出点 N的坐标，再根据点B、N的坐标求出直线 BN的函数解析式，再将二次函数和直线BN联立方程组，求出点 M- 2的坐标，求出 OB、OC的长，再根据 POgMOB,得出竹 . , /POC=/ BOM,然 后分情况讨论：当点 P在第一象限时，如图 3,过M作MGy轴于点G,过P作PHI±x 轴于点H,证MOGsPOH,得出对应边成比例，即可求出点 P的坐

33、标；当点 P在第三 象限时，如图4,过M作MGy轴于点G,过P作PHy轴于点H,同理可得出点 P的坐 标，即可得出答案。8.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 y=ax2+ (a+3) x+3 (a<0)从左到右依次交x轴于A、B两点，交y轴于点C.DJ图1图2(1)求点A、C的坐标；(2)如图1,点D在第一象限抛物线上，AD交y轴于点E,当DE=3AE OB=4CE时，求a的值；(3)如图2,在(2)的条件下，点 P在C、D之间的抛物线上，连接 PC PD,点Q在点 B、D之间的抛物线上，QF/ PC,交x轴于点F,连接CF、CB,当PC=PD, / CFQ=2Z ABC,求 B

34、Q 的长.【答案】(1)解：当x=0时，y=3,，C (0, 3).当 y=0 时，ax2+ (a+3) x+3=0,(ax+3) (x+1) =0,解得 xi=-，x2=-1.,.a<0,-日 >0,.A (-1, 0)(2)解：如图1,过点D作DM LAB于M .1. OE/ DM, ay de 3. .成 - j? -7, .OM=3,，D点纵坐标为12a+12.OE DM 亘+阳 tan / EAO=困 dM /=3a+3,.OE=3a+3, .CE=OC-OE=3-(3a+3) =-3a. .OB=4CE. - - =-12a,.a<0,a=-(3)解：如图2,过点

35、D作DT,y轴于点T,过点P作PG±y轴于点G,连接TP.y=-3, 6) , DT=3, OT=6, CT=3=DT,a=".抛物线的解析式为又.PCmPD PT=PT /.TCFATDR/ CTP=/ DTP=45 , TG=PG15设 P (t, - 2 t2+ 上 t+3),15 .OG=- - t2+ t+3, PG=t,1忸 .TG=OT-OG=6-(- t2+ 上 t+3)口 9- t2- - t+3=t,解得 t=1 或 6,点P在C、D之间, .t=1 .Q作QN±x轴于点过点F作FK/ y轴交BC于点K,过点 / KFB=Z CON=90 :1

36、. FQ/ PC, / PCF+Z CFQ=180 ,° / PCF+Z PCG+Z OCF=180 ,/ CFQ=Z PCG+Z OCF, / CFK吆 KFQ玄 PCG吆 OCF,/ KFQ=Z PCG . P (1, 5) , PG=1, CG=OG-OC=5-3=2 la? 1tanZ PCG= . tanZ ABC= OB 6 J , / PCG4 ABC,/ KFQ=Z ABC. / CFQ=2Z ABC,/ CFQ=2Z KFQ,/ KFQ=Z KFC4 OCF之 ABC,|缈 OFrABC tanZ OCF=.OF=E .日设 FN=m,贝U QN=2m, Q ( m

37、+ J , 2m), . Q在抛物线上，-工(m+ 1)2+ - x( m+ 上)+3=2m ,解得m=;或m=-上(舍去)，.Q （4, 5）,. B （6, 0）,.BQ= I由-户+ ,歹 回.【解析】【分析】（1）令x=0,求出y的值，得到 C点坐标；令y=0,求出x的值，根据 a<0得出A点坐标；（2）如图1,过点D作DM LAB于M.根据平行线分线段成比例定 理求出 OM=3,得至ij D点纵坐标为 12a+12.再求出 OE=3a+3,那么 CE=OC-OE=-3a根据30OB=4CE得出-白=-12a,解方程求出 a=E ; （3）如图2,过点D作DT,y轴于点T,过点

38、P作PG± y轴于点 G,连接TP.利用SSSffi明4TC咤TDP,得出/ CTP土 DTP=45°,那么TG=PG设P （t,-2t2+二t+3）,列出方程）t2-2t+3=t,解方程求得t=1或6,根据点P在 C、D之间，得到t=1 .过点F作FK/ y轴交BC于点K,过点Q作QNx轴于点N,根据 平行线的性质以及已知条件得出 / KFQ=Z PCG,进而证明/ KFQ=Z KFC=Z OCFN ABC,由tan Z OCF= ' =tan/ABC= -，求出 OF=-.设 FN=m,则 QN=2m, Q （m+二，2m）,根据Q在抛物线上列出方程-二（m+

39、2） 2+二x（m+二）+3=2m ,解方程求出满足条件的m的值，彳#到Q点坐标，然后根据两点间的距离公式求出BQ.9.如图，在矩形ABCD中，CD - 点e是BC边上的点，刖二，连接AE,DF上处交于点f.口B E C(1)求证： A ABE| 叁 A DFA ；(2)连接CF,求JuDCFl的值；(3)连接AC交DF于点G,求的值.【答案】(1)证明：二四边形ABCD是矩形,/ BAD=Z ADC=Z B=90 ； AB=CD=4,.DFAE,/ AFD=90 ； / BAE+/ EAD=/ EAD+/ ADF=90 ；/ BAE=Z ADF, 在 RtABE 中，. AB=4, BE=3

40、,.AE=5,在 ABE和ZDFA 中，/ABE = ZDFAZBAE = ZFDA任二跖，.ABEADFA (AAS).(2)解：连结DE交CF于点H,AD .ABEADFA, .DF=DC=4, AF=BE=3 .CE=EF=2 DEXCF,3 / DCF+Z HDC=Z DEC+Z HDC=90 ；4 / DCF玄 DEC,在 RtDCE 中，5 . CD=4, CE=26 . DE=2 电,CD 4 即7 . sin / DCF=sinZ DEC© 卓（3）过点C作C。AE交AE的延长线于点 K,1 .DFXAE,2 .CK/ DF,在 RtA CEK中,E EK=CEcos

41、/ CEK=CE:osZ AEB=2 X = J ,6 1b I3 . FK=FE+EK=2+J = §- z?二4【解析】【分析】（1）由矩形的性质，垂直的性质，同角的余角相等可得/ BAE=Z ADF,在RtAABE中，根据勾股定理可得AE=5,由全等三角形的判定AAS可得ABEDFA.（2）连结 DE交CF于点H,由（1）中全等三角形的性质可知DF=DC=4 AF=BE=3由同角的余角相等得/ DCF=Z DEC,在RtDCE中，根据勾股定理可得 DE=2/ 根据锐角三角 函数定义可得答案.（3）过点 C作CK!AE交AE的延长线于点 K,由平行线的推论知CK/ DF,根据平行

42、线所截线段成比例可得AG 4GC 先，在RtA CEK中，根据锐角三角函数定义可得EK=，从而求出FK,代入数值即可得出答案10.已知：A、B两点在直线l的同一侧，线段 AO, BM均是直线l的垂线段，且 BM在AO 的右边，AO=2BM,将BM沿直线l向右平移，在平移过程中，始终保持 /ABP=90不变， BP边与直线l相交于点P.(1)当P与O重合时(如图2所示)，设点 C是AO的中点，连接 BC.求证：四边形OCBM是正方形；AB弧(2)请利用如图1所示的情形，求证：不=而；(3)若AO=2，且当MO=2PO时，请直接写出 AB和PB的长.【答案】(1)解：-2BM=AO, 2CO=AO

43、, .BM=CO,1. AO/ BM , 四边形OCBM是平行四边形， / BMO=90 °, .?OCBM是矩形，/ ABP=90 ,° C是 AO 的中点,.OC=BC矩形OCBM是正方形(2)解：连接 AP、OB,P 0“ / ABP=Z AOP=90 ,° A、B、O、P四点共圆，由圆周角定理可知：/ APB=Z AOB,1. AO/ BM ,/ AOB=Z OBM,/ APB=Z OBM,.APBAOBM,AB Ok丽谣(3)解：当点P在O的左侧时，如图所示,过点B作BDAO于点D,易证PE8 4BED,PO Obsb连易证：四边形DBMO是矩形,.BD

44、=MO, OD=BM, .MO=2PO=BD, .AO=2BM=2 M ,J 6 .OE=3易证ADBsABE, .AB2=AD?AE, -，ad=do=dm=., .AE=AD+DE=.AB= ,由勾股定理可知:易证：APEOAPBM,PB PM 3 .PB= V"当点P在O的右侧时，如图所示,过点B作BDOA于点D, .MO=2PO, 点P是OM的中点，设 PM=x, BD=2x, . /AOM=/ABP=90,° A、O、P、B四点共圆，四边形AOPB是圆内接四边形,/ BPM=Z A, .ABDAPBM,AD 丹i心却，又易证四边形ODBM是矩形，AO=2BM ,.

45、AD=BM=板,f6 x.uZ,解得：x= *'4,BD=2x=2 .由勾股定理可知： AB=3 , BM=3【解析】【分析】(1)根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形OCBM是平行四边形，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得出？OCBM是矩形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出OC=BC根据有一组邻边相等的矩形是正方形得出结论；(2)连接 AP、OB,根据/ABP=/ AOP=90,判断出 A、B、O、P四点共圆，由圆周角定理可知：/APB=/ AOB,根据二直线平行内错角相等得出ZAOB=Z OBM,根据等量代换得AB 0M出/APB=/ OBM,从而判

46、断出APBsOBM,根据相似三角形对应边成比例得出理 加j ；(3)当点P在O的左侧时，如图所示，过点 B作BD± AO于点D,易证APEOABED,PO Oh根据相似三角形对应边成比例得出 面一防,易证：四边形 DBMO是矩形，根据矩形的性质得出 BD=MO, OD=BM,故 MO=2PO=BD,进而得出 BM,OE,DE 的长，易证ADBsABE, 根据相似三角形对应边成比例得出AB2=AD?AE,从而得出AE,AB的长，由勾股定理可得 BF的长，易证：APEOAPBM ,根据相似三角形对应边成比例得出BE : PB=OM : PM=2 : 3 ,根据比例式得出 PB的长；当点P

47、在。的右侧时，如图所示， 过点B作BD± OA于点 D,设 PM=x, BD=2x,由/ AOM= / ABP=90 ,得出四边形 AOPB是 圆内接四边形，根据圆内接四边形的性质得出/BPM=/A,从而判断出 ABDsPBM,根据相似三角形对应边成比例得出AD : BD=PM : BM,根据比例式得出 x的值，进而得出BD, AB, BP 的长。11.如图，在矩形 ABCD中，AB=2cm, Z ADB=30°. P, Q两点分别从 A, B同时出发，点P沿折线 AB- BC运动，在 AB上的速度是 2cm/s,在BC上的速度是 2cm/s；点Q在BD 上以2cm/s的速

48、度向终点 D运动，过点 P作PNXAD,垂足为点 N.连接PQ,以PQ, PN 为邻边作？PQMN.设运动的时间为 x (s) , ?PQMN与矩形ABCD重叠部分的图形面积为 y(2)求y关于x的函数解析式，并写出 x的取值范围；(3)直线AM将矩形ABCD的面积分成1: 3两部分时，直接写出 x的值.2【答案】(1)于(2)解：如图1中，当0vxWi时，重叠部分是四边形 PQMN.Eiy=2x x/3 x=2S x2 . 如图 中，当.VxWl时，重叠部分是四边形 PQEN.g 0y= - (2x+2tx 兴 1 x= J x2+ N' x 如图3中，当1vxv 2时，重叠部分是四边形 PNEQ.+ /3r(7 ( 了 W !),23广，一-一 为每 +(1 V 、综上所述，y=(3)解： 如图4中，当直线 AM经过BC中点E时，满足条件.D则有：tan / EAB=tanZ QPB,V3 木星解得x= 5 如图5中，当直线 AM经过CD的中点E时，满足条件.o n图5此时 tan / DEA=tan/ QPB,解得x二九£ K综上所述，当x= J s或彳时，直线AM将矩形ABCD的面积分成1: 3两部分【解析