高中所有数学公式

1、高中数学常用公式及结论1 元素与集合的关系:XW AO xecv A, xwCvAO x« A. 0O A<=> AH 02集合佝孔,aj的子集个数共有2口个；真子集有才-1个；非空子集有21个；非空的真子集有22个.3二次函数的解析式的三种形式：(1) -HR式 f(x) = ax'+bx+c(a 工0)；(2) 顶点式f(x) = a(x-h)2 + k(aO)；(当已知抛物线的顶点坐标(h、k)时，设为此式)(3) 零点式f(x) = a(x-x1)(x-x2)(aO)；(当已知抛物线与x轴的交点坐标为(齐,0),区,0)时， 设为此式)(4) 切线式：f(

2、x) = a(x-x0)2 + (kx+d),(aO).(当已知抛物线与直线y = kx+d相切且切点的横坐标为比时，设为此式)4真值表：同真且真，同假或假常见结论的否定形式;原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有1】个至多有(n-1)个小于不小于至多有11个至少有(n+1)个对所有X,成立存在某X,不成立P或qP且F对任何X,不成立存在某X,成立p且qp 或q四种命题的相互关系(下图)：(原命题与逆否命题同貞同假：逆命题与否命题同貞同假.)充要条件：、p=>q，则P是q的充分条件，反乙q是p的必要条件；(2) 、p=>q.

3、且q兴> P，则P是q的充分不必要条件；(3) 、p H>p ,且q =>p,则P是q的必要不充分条件；4、p H> p ,且q H> p,则P是q的既不充分又不必要条件。7函数单调性：增函数：(1)、文字描述是：y随x的增大而増大。(2)、数学符号表述是：设f (x)在xWD上有定义，若对任意的人，冷。,且*<吃，都有fEXfg)成立，则就叫f(X)在xWD上是增函数.D则就是f(x)的递增区间. 减函数：(1)、文字描述是：y随x的增人而减小。(2)、数学符号表述是：设f (x)在xD上有定义，若对任意的都有f(xj> f(xj成立，则就叫f(X)

4、在x WD上是减函数。D则就是f (x)的递减区间。单调性性质：(1)、增函数+增函数9曹P©数：(2).减函数+减两数=减函数：(3)、增函数减函数=增函数；(4)、减函数增函数=减函数；注：上述结果中的函数的定义域i般情况I、是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。 复合函数的单调性：-单调性内层函数1ttI外层函数1tIt复合函数ttII等价关系:(1) 设鼻卷ea,b,Xj 那么(% &) f(齐)f(xj > 0 O fg) f(xj > o O f(x)在a,b上是增函数；(齐一电)以齐)一 f(x2)<0<=> fE) fg) V

5、0O f(x)在a,b上是减函数.Xj X?设函数丫= f(x)在某个区间内可导，如果f'(x)>0,则f(x)为增函数；如果f'(x) V0,则f(x) 为减函数.8函数的奇偶性：(注：足俞假旳数的前堆条件足:定乂域必须关尸原点砂称)奇函数：定义：在前提条件下，若有f(-x) = -f(x)或f(一x)+f(x) = O,则f(X)就是奇函数。性质：(1)、奇函数的图象关于原点对称：(2) 、奇函数在Q0和x<0±具有相同的单调区间:(3) 、定义在R上的奇函数，有f (0) -0 .偶函数：定义：在前提条件下，若有f(-x)= f(x),则f(x)就是

6、偶函数。性质：(1)、偶函数的图象关于y轴对称；(2)、偶函数在x>0和x0上具有相反的单调区间；奇偶函数间的关系：(1)、奇函数偶函数=奇函数： (2)、奇函数奇函数=偶函数：(3、偶奇函数偶函数=偶函数；(4)、奇函数土奇函数=奇函数(也启例外得偶函数的)(5、偶函数土偶函数=偶函数；(6、奇函数土偶函数=非奇非偶函数奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称， 那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数.9函数的周期性：定义：对函数f (x),若存在TH0,使得f(x+T)=f(x),则就叫f(x)是周

7、期函数，其中，T是f(x) 的一个周期。周期函数几种常见的表述形式：、f (x+T) =- f (x),此时周期为2T ；(2) . f (x+m) =f (x+n)» 此时周期为 2|mn| ；、f(x+m) = -一，此时周期为2m . f(x)411对于函数丫= f(x)(xeR), f(x+a)= f(b-x)恒成立，则函数f(x)的对称轴是x = 函数y= f(x+a)与丫= f(b-x)的图象关于直线上对称.12分数指数幕与根式的性质：(1) aD =y/a ( a >o,ni,n N*, fLn> 1).(3)(需)a.(a >O,dliigN 且n&

8、gt;l).(4)当n为奇数时，V = a；当】为偶数时,a|=Ja，a°l-a,a <0#13指数式与对数式的互化式:logzN = bOab = N(a>(MHl,N>0)指数性质：(1) 1、a 卩=；(2、a°=l(a#0):(3)、= (am)n(4)、ar -as = ar*s(a >0,r,sgQ):、an =:指数函数：(1)、 y=ax(a>l)在定义域内是单调递增惭数;1)(2) 、 y=ax(0<a<l)在定义域内是单调递减函数。注： 指数函数图彖都恒过点(0,对数性质：M、loga M + loga N =

9、loga(MN) : (2)、loga M - loga N = loga 一 ；N(3) 、 loga bm = m logab : (4). log mbn = logab :(5)、 loga 1 = 0a m、loga a = 1:(7)、a'°0=b对数函数：、y = loga x(a > 1)在定义域内是单调递增函数：5(2)、y=logax(0<a<l)定义域内足单调递减说数；注：对效敗数圏彖郁但过点(1，卫)、logx> GX> a xe (p£l> xg, *(4) 、loga x<O<=>a

10、g(0,1)MiJxg(1,+co)或 a g(1,+qo)贝iJxw(0,1)log N14 对数的换底公式：logaN = (a >0,且aHl, in>0,且niHl, N>0). log/对数恒等式：alo5«N = N (a>0,且aHl, N>0).推论 log mbn = logab (a >0,且aHl. N>0).a m15对数的四则运算法则:若a>0, aHl, M>0, N>0,则M log" (MN) = logM + loga N ；(2) log" = loga M - log

11、a N ;N(3) loga Mn = nloga M(n e R) ；(4) log m Nn = loga N(n,me R)aill16平均增长率的问题(负增长时p<0)：如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p,则对于时间x的总产值y,有y =N(l+p)x 17等差数列：通项公式：(1)an = a1 + (n-l)d ,其中坷为首项，d为公差，u为项数，a.为末项。 推广：an = ak + (n-k)d(3) an = Sn-SH(iin2)(注：该公式对任意数列都适用)前n项和：(1):其中坷为首项，n为项数，为末项。2(2) sn = na1 + l)d(3) Sn =

12、 Sn_1 + aQ(n>2)(注：该公式对任意数列都适用)(4) Sn = a1 + a2 + .+ an(注：该公式对任意数列都适用)常用性质：(1)、若 m+n=p+q ,则有 am + an = ap + aq :注：若a”是an,ap的等差中项，则有2am = an + ap On. m. p成等差。(2) 、若%、bj为等差数列，则aQ±bn为等差数列。(3) 、aj为等差数列，S.为其前d项和，则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m也成等差数列。(4) 、ap = q,aq = p,则玄卩“ =0 :z 、11(11 + 1)(5 )l+2+3+n=等比数列:2通项

13、公式:(1)an =qD（nwNj ,其中a】为首项，ii为项数，q为公比。q(2)推广：an = ak - qu-k(3)J = Sn Sz(nn2)（注：该公式对任意数列都适用）前n项和:(1)Sn = Sn.1 + an(n>2)（注：该公式对任意数列都适用）常用性质:(2)(3)Sn = a1 + a2+-+annaisn=h1(l-qn)(q = l)（注：该公式对任意数列都适用）iq(q“)(1)、若 m+n=p+q ,则有 am an = ap aq :注：若是a“ap的等比中项，则有am2 =an-ap <=>n. in、p成等比。（2）、若a、bj为等比数列

14、，则anbn为等比数列。分期付款（按揭贷款厂每次还款“誥誥元（贷款a元次还清，每期利率为b）.19三角不等式:(1)若 x g (0,) , RO sin x < x < tan x.2 若 xg (0,),贝!)1 < sin x+cos x< 5/2.(3) |sinx| + |cosx|>l.20同角三角函数的基本关系式：siir+cos2 = l, tan"二; cos。2122正弦余弦的诱导公式(奇变偶不变，符号看象限)和角与差角公式_siii(cz ±p) = sin a cos p ± cos a sin p ； cos

15、(a±0) = cosacos0 不 sinasin0 ； tan(a±0)=怡叱士冋0 .l + tanatan/7asintz+bcosa=va2 +b2 sin(a + 0)（辅助角0所在象限由点（a,b）的象限决定，tan=| ）.二倍角公式及降無公式 r .2 tan asin 2a = sin acos a =1 +tan" a->=1 tan acos la = cos* a-sur a = 2cos* <z-l = l-Zsin* a =1 +tair asin 2a1-cos 2atan a =sin latan2a = L.1-ta

16、n" a1 +cos 2a2371-cos 2a21 +cos 2asin a =,cos a =2224三角函数的周如公式函数 y = sin(ex+0), xWR 及函数 y = cos(ex+0), xeR(A, w, cp 为常数，且 AHO)的周期T =；函数y= tan(x+0), xkr+ ,RgZ (A,w, (p为常数，且AHO)的周期T =.|q|2a)sin A sin B sm COa = 2Rsin Ab = 2RsinBc = 2RsinC <=>a : b: c = sin A: sin B: sin C826余弦定理：a2 =b2 +c2

17、-2bccos A； b2 = c2 +a2 -2ca cosB； c2 = a2 +b2 -2abcosC 27面积定理：(1) S = lalxi=|bl=|clt(1、人、R分别表示 a、b、c 边上的高)2 2 2(2) S = -absinC =-bcsinA= casinB.(3) SA0AB = |yl(OA OB)2-(OA OB)2 ._2S、a+b-c斜边22 2 2U内切闘- a+b + c N角内切闘28三角形内角和定理：在ZkABC 中，有 A+E + C = /rOC =龙一(A+E)<=>- = -人+ B o2C = 2/F-2(A+E).2 2 2

18、29实数与向量的积的运算律:设入、M为实数，那么：(1) 结合律：A (m a) = (A p) a；(2) 第一分配律：(A +p ) a=A a+M a ;(3) 第二分配律：A (a+b)=A a+A B.30E与6的数量积(或内积)：乞b=|a |b |cos6>.31平面向量的坐标运算：设a=(x1,y1), b=(X2，y2),则a+b =(x, + x,+ y2).设3=(,), b=(X2，y2),则a-b =(x1-x2,y1-y2).设A(t，yj , B(X2，y2)» 则 AB = OB-OA= (x>-Xj,y2 -yj.设a=(x,y),2eR

19、,则A a=(lx,2y).设a=(x1,y1), b =(X2，y2),则乳 6 =(齐卷 + y#?).32两向量的夹角公式：cos&=FtL= 7、(斤=("：),6=(“2) la llb Jx;+ y忑+ yj33平面两点间的距离公式：dAB = | AB|= VAB-AB = (x, - x,)2+(y2 - y2 (A(x, yj , B(x2,y2).34向量的平行与垂直,设a=(x1,y1),b=(x2,y,),且6 H 6 ,则，a 11 b <=> b =A a <=> Xiy.-x. = 0.(交叉相乘差为零) a丄 B (a

20、=#= 0) <=> a - b =0<=> xxx2 + 巧g =0.(对应相乘和为零)35线段的定比分公式：设P1(.y1)>P2(x2,y2)>P(x,y)是线段的分点，久是实数，且i>p = apr _ x,+2x»则 '3o5? = °P|"°P2%+久y?1+几):_:- 1+Au>oP=toR+(i-oop； <t = ). 1 + 236三角形的重心坐标公式：ZkABC三个顶点的坐标分别为AGpyJ、B(x2, yj C(x3, y3),则ZkABC的重心的坐标是3337三角形

21、五“心”向量形式的充要条件；设O为MBC所在平面上一点，角AB、C所对边长分别为a,be,则(1) O 为 AABC 的外心 O=0(.(2) O为AABC 的重心<=>OA+OB + OC = 0(3) O为AABC 的垂心= E =龙(4) O 为43区 的内心<=> aOA+bOB+cOC = 6.(5) O为AABC 的ZA的旁心Oa6X=b6§ + c龙.38常用不等式：(1) a,beR>a2+b2>2ab 且仅当 a=b 时取号).(2) a,b gR*=> 学 > 屈(当且仅当a=b时取“二”号).(3) a3 +b3

22、+C3 > 3abc(a > 0,b > 0,c > 0).(4) |a|-|b| <|a 4-b| <|a| +|b|.(5) 三也<5b< 出 <、匡壬(当且仅当a=b时取号)a+b2 Y 239极值定理:已知x,y都是正数，则有(1) 若积xy是定值p,则当x=y时和X4- y有最小值2真;(2) 若和X4- y是定值s,则当x= y时积xy有最大值-s2.4(3) 已知a,b,x,ye R* ,若ax+by=l则有丄+ 丄=(ax+by)(丄 + ) = a+ b + + >a+b + 2>/ab =(苗 + y/b)2

23、. x yx yx yo b(4)已知a.b,x,yG R* ,若一+ 一 = 1 则有x yx+ y = (x+ y)( + ) = a+b + + > a + b + 2>/ab = (>/T +>/b)2x yx y40 元二次不等式ax2 +bx+c > 0(或 <0) G H 0,A = b，-4ac > 0) 如果n 与 ax2 +bx+c 同号.则其解奧在两根之外；如果。与ax'+bx+c异号.则其解集在两根之间简言之：同号两根之外，异 号两根之间即：4143 <x<x, <=> (x- Xi)(x-<

24、; 0(% < 花): XVXlSx <=>(X- X!)(x- Xo) > 0( Xj <).含有绝对值的不等式：当Q 0时，有|x| <a <=>x2 <a2 <=>-a <x<a.|x|>a <=>x2 >a2 <=>x>a 或 x < a 斜率公式:k =(耳(冷,)、P2(x2,y2).x? - E直线的五种方程：(1) 点斜式(2) 斜截式(3)两点式丫一=取*一齐)(直线1过点$(%,%),且斜率为k) y = kx+ b (b为直线1在y轴上的截距).y

25、_% =人_刍( 工 )(耳(冯,)、P«&,yJ (HxyiH%). y2-yi电一刍两点式的推广：(圣一齐)(丫一) (y? yJ(xx,) = 0 (无任何限制条件!)(4) 截距式 兰+ Z = l(a、b分别为直线的横、纵截距，aHO、bHO)a b(5) 般式Ax+By+C = 0(其中A、B不同时为0).直线Ax+By+C = 0的法向最：f = (AB),方向向*： f = (B,-A)44夹角公式：(1) tan a =| 2|. (1】：y = Kx+q , 12: y=koX+b2 ,iqk2 工-1)(2) tan a =| a ： rx+Bj+C =

26、 0,1、： Ax+B, y+C、= 0, a A + H 0 )44+耳耳45直线1冲2时，直线心沛夹角是名1】到b的角公式：k Jr(1) tail a = _(1】:y=k1x+b|, 1.: y = k.x+b.,kk.工一1)1 + k占rrAB ABi(2) tana = -4： Ax+y+Q = 0,l2: Ax+B2y+C2 =O,a, + b. hO)AA + B1B2直线I】丄1、时，直线/】到"的角是少.246点到直线的距离：d J仝广Ey° 9(点卩凤,)，直线1： Ax+By+c = 0). J程+ B47圆的四种方程:(1)(2)圆的标准方程 圆

27、的一般方程(x-a)2 + (y-b)2=r2.x2 + y2 + Dx+ Ey + F =0 (D2 + E2 -4F >0).x=a+rcos&y = b + r sin &10(4)圆的直径式方程(x-x1Xx-x2)+(y-y1)(y-y2) = O(0|的直径的端点是“环对、B(x2,y2).48点与圆的位置关系：点P(, y0)与圆(x-a)2 + (y-b)2 =代的位置关系有三种： 若<1 =屁_冯)2 + 2_%)2,则d>ro点P在圆外；d = r <=>点P在圆上；d <r <=>点P在圆内.495051直线

28、与圆的位置关系：直线Ax+By+C = 0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系有三种|Aa+Bb+C):(d = '.Va2 + b2d >r <=> 相离 <=>A<0；d=r<=> 和切 Oz = 0；dvrO 相交 O ()内含 呷】相交e90d hd x=acos& s* c b7椭畤+gb>。)的参数方程是两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为0, 6,半径分别为n, “，|OO= d,则： d > rt + r2 <=>外离O 4条公切线； d =八+ d O外切O 3条公切线； I

29、" -T2 <d <i +r2 O相交0 2条公切线； d = h -讨O内切O1条公切线； 0<d <|rj -r2|<=>内含O无公切线.离心率 e = = J17 »y = bsin&a V a*a2b2准线到中心的距离为d,焦点到对应准线的距离(焦准距)p =。CCi2过焦点且垂直于长轴的弦叫通经.其长度为：21 ay7x" V*52椭圆+ 2T = l(a>b>0)焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积: atrPF= e( -x) = a-ex；= c|yp |= b2 tanc】2a2iPF

30、j = e(x+ ) = a + ex,53椭圆的的内外部：2 *> 2(1) 点 p(Xq,y°)在椭BS-f g = l(a >b>0)的内部O 电 + 兽"v 1 3 Da D2 i2 JI(2) 点 p(Xq, y。)在椭BI + 占=l(a > b > 0)的外部o 2 + 当 > 1.a* tra tr54椭圆的切线方程：° =椭圆3 +洱=1G > b > 0)上一点P(Xq, y°)处的切线方程是警+辱=1.a* b2a b"(2) 过椭圆.+#1外一点pg%)所引两条切线的切点张

31、方程是鹫+辱=1a* b*a* b*(3) 椭圆2 +厶=l(a > b > 0)与直线Ax+ By+C = 0相切的条件是aV + B2b2 = cla* b2亍255双曲线巴-占 = l(a>0,b0)的离心率e = -= 亍，准线到中心的距离为丄，焦点到对应 aba准线的距离(焦准距)p = 过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为：21 . ca2 2焦半径公式|PFj =|e(X4- )|=|a + ex|, IpfJ =|e(-一x)冃a-ex|,ccZF PF两焦半径与焦距构成三角形的面积SpF. = b2cot56双曲线的方程与渐近线方程的关系：2 2 2 1(

32、1) 若双曲线方程为-真=1=>渐近线方程：二-每=00 y=±Zxa trITa22若渐近线方程为y = ±VxO兰±g = on双曲线可设为訂一咅"a a ba* b"2 2 2 2(3) 若双曲线与一-書=】有公共渐近线，可设为二T-書=入a* b*a tr(入>0,焦点在x轴上，入<0,焦点在y轴上(4) 焦点到渐近线的距离总是b.57双曲线的切线方程：2 2双曲线-舌=l(a > 0,b > 0)上一点卩凤,y。)处的切线方程是址-辱=1. a ba* lr22(2)过双曲线3-吿=1外一点P(Xo，yo

33、)所引两条切线的切点弦方程是址- = 1. atra lr> ) 双曲线亠一头=1与亶线Ax+ By+C = 0相切的条件是A'a2- B2b2 = c2 ab58抛物线y2=2px的焦半径公式：抛物线y2 = 2px(p > 0)焦半径|CFI = Xq + E过焦点弦长 |CD| =X1+-y4-X24-y=X1+X2 + p h彳介c h 59二次函数y = ax' +bx+ c = a(x+ )2 +(a H 0)的图象是抛物线:2a 4a(1) 顶点坐标为(-：，4a:一b j (2)焦点的坐标为(-,4aCb+1); 2a 4a2a 4az、.4ac b

34、* 1(3)准线方程是y= 60宜线与圆锥曲线相交的弦长公式|屈| = /齐一卷尸+一力)2或|AB| = J(l+k')(X2 + 齐)？ 一4x? xj =| 齐一冷 | J1+tai? a =| y-y21 Jl+cot%(弦竭点A(x1,y1XB(x2,y2),由方程y = kx + bF(x,y) = 0消去y得到ax2 + bx+ c = 0A>0, a为宜线AB的倾斜角，k为宜线的斜率，|齐一电|=+卷)，一4xX261证明直钱与平面的平行的思考途径：(1) 转化为宜线与平面无公共点；(2) 转化为线线平行；(3) 转化为面面平行.62证明直线与平面垂宜的思考途径：

35、(1) 转化为该宜线与平面内任一直线垂宜；(2) 转化为该直线与平面内相交二直线垂直；(3) 转化为该宜线与平面的一条垂线平行；(4) 转化为该直线垂直于另一个平行平面.63证明平面与平面的垂直的思考途径：(1) 转化为判断二面角是直二面角；(2) 转化为线面垂宜；(3) 转化为两平面的法向量平行64向量的宜角坐标运算：设5 = (a,a2，a3), b =(b!，b2,b3)则：(1) a+ b =(a1+b1,a2+b2,a3+b3)；(2) a b =(a,-b2,a3-b3) (3) A E =(加打加2，加3)(A GR)；(4) a b =+ a2b2 + a3b3 ；65夹角公式

36、：设斤=山2用3), b =(b!，b2,b3),则cosvW,6>=二Ja, + a + a亍 yly +b +bj66异面宜线间的距离：d = _CDjiJ（li r是两异面直线，其公垂向量为G c、D是n丄上任一点，d为间的距离）. |n|67点B到平面a的距离：d = BvnJ（5为平面q的法向量，awq, AB是a的一条斜线段）.|n|4 彳了68球的半径是R,则其体积£ = -R3,其表面积S = 4R- 369球的组合体：（1）球与长方体的组合体：长方体的外接球的宜径是长方体的体对角线长.（2）球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长.正方体的棱切球

37、的直径是正方体 的面对角线长，正方体的外接球的宜径是正方体的体对角线长.（3）球与正四面体的组合体：棱长为a的正四面体的内切球的半径为逅a12（正四面体高的一），外接球的半径为（正四面体高的一3443470分类计数原理（加法原理人N = in1 + m2+. + mh.分步计数原理（乘法原理）：N = ni1xm2x.xn）h.71排列数公式:4f=11(11 一l)(ii-ni+l)=. (11, m eff, Km<n).规定0!=l. (n - m)!72 组合数公式：苇 J 7 (_m+l)= J (nwM, mG N ,氐 lx2x-xm in! (ii - ill)!组合数的

38、两个性质:Cf=C：F ;(2) Cf+c畀二C二规定cf=l73 二项雌理(a + b)n = C>° + Ca+ C;a n-2b2 +. + c；an-rbr 4- + Cbn ；二项展开式的通项公式Tr+1=C；an-rbr (r = 0,1,2，n).f(x) = (ax+b)11 = a。+ a】x+ a2x2 + + anxn 的展开式的系数关系：a0 + aj + a2 + + an = f；30-a1 + a24- + (-l)Qan = f(-l)； a°=f(0)74互斥事件A, B分别发生的概率的和：P(A+B)=P(A)+P(B).n个互斥事

39、件分别发生的概率的和：P (A】+A2+每)=P (A“ +P伽)+P毎)75独立事件A, B同时发生的概率：P(AB)二P(A) P(B)n个独立事件同时发生的概率：P(AA2 An)=P(A1)P(A2> PiV76 n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率：PJkXCfPp-P)"77数学期望：E§ = X1P； + X2P2 + +XhPn +14数学期望的性质(1) E(a§ + b) = aE(§) + b(2)若 g B(n, p),则 Eg = np (3)若§服从几何分布，且P( = k)=g(k, p) = qk_1

40、p,则E加丄.P78 方差：Di; = (x1-E)2 p14-(x2-E)2-p2 + .+ (xh-E)2-pa + . 标准差：或二莎方差的性质：(1) D(a+b) = a2D ；(2) 若§B(n,p),则D = np(l-p).若§服从几何分布，且P忆= k)= g(k, p) = qXp,则= 2 P- 方差与期望的关系：Df = E$ -(Eg)，79正态分布密度函数:f(x) =/ e 26 ,XG<2兀6式中的实数P >(<T>0)是參数，分别表示个体的平均数与标准差.对于N (“&),取值小于x的概率：F(x) = &l

41、t;D；P(X < Xo < x2)= P(x < X2)- P(X < Xi ) 80 f(x)在&处的导数(或变化率):f幺)=y，= lim鱼=lim 心网-叽.2 so AxAx瞬时速度：p= sr(t) = Um = lini S(t + At)S(t)AtT。At ato At 瞬时加速度:a = V(t) = lim = liin 心小)-呦.nto 小 soAt81函数y =f(x)在点卞处的导数的几何意义：函数y= f(%)在点禺处的导数是曲线=f(X)在玖Xo. f (Xo)处的切线的斜率f'OO,相应的切 线方程是 y - y。=

42、f'(xo)(x - Xq).82几种常见函数的导数：(1) Cf = O (C 为常数)(2) (x°y = nxn_1(iiGQ) . (3) (siiix/= cosx (4) (cosx)r = -sin x. (5) (lnx)' = ； (loga x)r = loga e.XX(6) (exy = ex； (axy = axhia.83导数的运算法则：U LX V IX V(1) (u±v) =11 土V(2) (uv) =uv+uv(3) (-) =(vhO)v V84判别f(Xo)是极大(小值的方法：当函数f(x)在点卞处连续时，(1) 如

43、果在入附近的左侧f'(x)>0,右侧f(x)<0,则口禺)是极大值；(2) 如果在入附近的左侧f(X)<0,右侧f'(x)>0,则fGQ是极小值.85 复数的相等：a+bi = c + diOa =c,b = d. (a,b、c,dwR86复数z = a+bi的模(或绝对值)| z|=| a+bi | =+287复平面上的两点间的距离公式:d =| Zj - z. |=- )2 + (y2 - yj2 Czi = + yiil z2 = x2 + y2i )88实系数一元二次方程的解实系数一元二次方程ax2 + bx+ c = 0,筛 A = b24ac

44、>0,则2a若 = b，-4ac = 0,则 Xj = x,=b=2a 若A = b2-4ac<0, 在实数集R内没有实数根；在复数集C内有且仅有两个共純复数根b ± J-(b 4ac)i八、x=、(b"-4ac <0).2a高中数学公式提升一、集合、简易逻辑、函数1. 研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定，互异，无序)；己知集合A=U xy.lgxy,集合B= 0, I x I , y,且 A=B,则 x+y=2. 研究集合，首先必须弄清代表元素，才能理解集合的意义。己知集合M=y I y=x2 ,XGR,N=y I y二x'+l,xWR,

45、求 MDN；与集合 M= (x,y) I y=X2 , XGR, N=(x, y) I y=x=+l,XeR求 MCN 的区别。3. 集合A、B, AcB = 0时，你是否注意到“极端”情况：A=0或B = 0:求集合的子集Au B 时是否忘记0.例如：(a-2)x2 + 2(a-2)x-l < 0对一切xgR恒成疗求耳的取植范圉你讨 论了 a=2的情况了吗？4对于含有n个元素的有限集合H,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2口，2n-l, 2n -1, 2n - 2.如满足条件1 Q M u 1,2,3,4的集合"共有多少个5. 解集合问题的基本工具是韦恩图；某

46、文艺小组共有10名成员，每人至少会唱歌和跳舞中的一项，其 中7人会唱歌跳舞5人会，现从中选出会唱歌和会跳舞的齐一人，表演一个唱歌和一个跳熬节目，问有 多少种不同的选法？6. 两集介之间的关系。M = x|x=2k+l.kGZ,N = x|x=4k±l,kGZ7(CiA) D ( Q B)二 Cc(AUB) (CuA) U ( CrB) = Cr(AAB)； AT|B=B=>BcA；8、可以判断真假的语句叫做命题.逻辑连接词有“或”、“且”和“非”.P、q形式的复合命题的真值表：(真且真，同假或假)pqP且qP或q真n真真真假假真假真假真假假假假9、命题的四种形式及其相互关系:原

47、命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.10、你对映射的概念了解了吗？映射f： A-B中，A中元素的任意性和B中与它对应元素的唯一性，哪 几种对应能够成映射？11、函数的几个重要性质: 如果曲数=f(x)对于一切xeR.都有f(a + x)= f(a-x)或f (2a-x) =f (x),那么怖数 y= f(x)的图象关于直线x=a对称. 函数y= f(x)与函数y= f(_x)的图象关于直线X=O对称；函数y = f(xj与函数y = - f(x)的图象关于直线y = 0对称：函数y = fjx)与函数y = - f G x)的图象关于坐标原点对称. 若奇函数y= f(x)在区间(0

48、,乜)上是递增函数，则丫= f(x)在区间(-oc,o)上也是递增函数.若偶函数y= f(x)在区间(0,乜)上是递增函数，则丫= f(x)在区间(-叫0)上是递减函数.函数y= f(x+a)(a>0)的图彖是把函数丫= f(x)的图彖沿x轴向左平移a个单位得到的；函数 y= f(x+a)(a<0)的图象是把函数丫= f(x)的图象沿x轴向右平移 同个单位得到的： 函数y= f(x)+a(a>o)的图象是把函数丫= f(x)助图象沿y轴向上平移a个单位得到的；函数 y= f(x)+a(a <0)的图象是把函数丫= f(x)助图彖沿y轴向下平移|a|个单位得到的.12、求

49、一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你标注了该函数的定义域了吗?13、求函数的定义域的常见类型记住了吗？函数y二Er?的定义域是；1的-3广复合函数的定义域弄清了吗？函数f(x)的定义域是0,1,求fflog0S x)的定义域.函数f(x)的定义域 是a,b, b>-a>0.求函数F(x)- f(x) + f(-x)的定义域14、一个南数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条件了吗？在公共 定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘枳是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘 积是奇函数；15、据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(取值，作差，判

50、正负.)町别忘了导数也是判定函数 单调性的一种重要方法.16、函数y =x+3 (a > 0)的单调区间吗？(该函数在(-oo,-VaVa ,+oo)上单调递增：在|-Va,O)X和(0,a上单调递减)这可是一个应用广泛的函数！17、函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？(真数大干零，底数大于零且不等于1)字母底 数还需讨论呀.18、换底公式及它的变形，你拿握了吗？(log,b = 9,log nt/logab)log。a a19、你还记得对数恒等式吗？(ai°®b=b)20、“实系数一元次方程ax'+bx+c = 0有实数解”转化为“ = b'

51、;-4ac20”，你足否注意到必 须aO；当a二0时，“方程有解”不能转化为4 = b24acA0.若原题中没有指出是“二次”方 程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数町能为零的情形？二. 三角、不等式21、三角公式记住了吗？两角和与差的公式:二倍角公式:解题时本着“三看”的基本原则来进行：“看角，看两数，看特征”,基本的技巧有:巧变角公式变形使用, 化切割为弦，用倍角公式将高次降次，22、在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？正切函数在整个定义域内是否为单 调函数？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？23、在三角中，你矢口道1等于什么吗？（ 1 = sin，x+cos

52、'x= sec'x- tan? x=tanx-cotx = tan = sin = cosO 这些统称为1的代换）常数“T的种种代换有着广42泛的应用.（还有同角关系公式：商的关系，倒数关系.平方关系：诱导公试：奇变偶不变，符号看象限）24在三角的恒等变形中，要特别注意角的各种变换.（如0 = （a + 0） - Z 0 = （a - 0） + a,a + p2a22025、26、27、你还记得三角化简题的要求是什么吗？项数最少、西数种类最少、分母不含三角函数、H能求出值 的式子，定要算出值來）你还记和三角化简山通M通法吗？（切割化弦、降帚公式、用三角公式转化出现特殊角.异角化

53、同 角，异名化同名，高次化低次）：你还记得降呈公式吗？ cos*x= （l+cos2x）/2; sin"x= （l-cos2x）/2 你还记得某些特殊角的三角西数值吗？(sinl5° = cos75° =逅二sin75。= cosl5° = "十血，sinl8。=色二 )44428、你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？ （l = |cr|r,S形=ill ）229、辅助角公式：asinx+bcosx= Ja，+b sin（x+&）（其中。角所在的彖限由a, b的符号确定，0 角的值Ftltan = -确定）在求最值、化简时起着重

54、要作用.a30、三角函数（正弦.余弦、正切）图象的草图能迅速画出吗？能写出他们的单调区、对称轴，取蚁值 时的x值的集合吗？（别忘了 kGZ）三角函数性质要记牢。函数尸Asin（炉x+ 0）+ k的图象及性质：振幅|A|,周期T二171若为此函数的对称轴，则X。是使y取到最值的点，反之亦然，使y取到#最值的x的集合为,当0>O,A> 0时函数的增区间为 ，减区间为为0 < 0时要利用诱导公式将变为大于零后再用上而的结论。五点作图法：令阪+0依次为0彳，；T,兰,2龙求出x与y,依点（x,y）作图2 231、三角函数图像变换还记得吗？平移公(1)如果点P (x, y)按向量7 =

55、 (h,k) 平移至P' (xz , yr )，则x = x+h,y* = y+k （2）曲线f （x, y）二0沿向量a = （h,k） 'F移后的方程为f （xh, yk） =032、有关斜三角形的几个结论：（1）正弦定理：（2）余弦定理：（3）面积公式33、在用三角曲数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时你是否注意到它们各自的取值范闱 及意义？,0, 了, 0,龙.4M异面直线所成的角、直线与平面所成的角、向量的夹角的取值范闱依次是宜线的倾斜角、1到1?的角、1与】2的夹角的取值范用依次是0,龙）,0山）,（0冷.34、不等式的解集的规范书写格式是什么？（一般要写成

56、集合的表达式）35、分式不等式翌a（a = O）的一般解题思路是什么？（移项通分，分子分母分解因式，x的系数变g（x）为正值，奇穿偶回）36、含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？（一般是根据定义分类讨论）37、利用觅要不等式a+b>2Vb以及变式abS（学）等求函数的最值时，你是否注意到a.beR"（或a , b非负），且“等号成立”时的条件，枳ab或和a + b其中之一应是定值？（一正二定三相 等）38、/£_tL（a,beR*）（当且仅当a=b = c时，取等号）；a、b、zR,V 22a+ba2 + b2 +c2 > ab+bc + ca （当且仅当 a = b = c 时，取等号）；39、在解含有参数的不等式时，怎样进行讨论？（特别是指数和对数的底0 vav 1或a>l）讨论完Z后, 要写出：综上所述.原不等式的解集是40、解含参数的不等式的通法是“定义域为前提.函数增减性为基础，分类讨论是关键”41、对于不等式恒