九年级数学第二十八章锐角三角函数综合习题大全(含答案)(75)

1、九年级数学第二十八章锐角三角函数综合习题大全(含答案)如图，抛物线F = -A2 +bx + c与X轴交于A(-1,O)、3两点,与),轴交于点 C(0,4).(1 )求抛物线的解析式；(2 )点P在第一象限的抛物线上，点P的横坐标为J过点p向i轴作垂线 交直线于点。，设线段尸。的长为？，求，与7之间的函数关系式并求出，的 最大值；(3 )抛物线上一点。的纵坐标为(2 )中?的最大值，连接BD , CO ,在 抛物线上是否存在点七(不与点A , B ,。重合)使得ZD3E = 45。？若存在， 请求出点石的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】(1 ) =储+ 31+ 4 ;( 2 )川=r+4

2、,当/ = 2时/取最大值,最大值为4 ；( 3 )存在,.【分析】(1)将点A、C的坐标代入即可求出抛物线的解析式；(2 )先求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出直线BC解析式，根据 P、Q所在的图象表示出它们的坐标，即可求出?与/之间的函数关系式，然后 将二次函数的一般式化为顶点式即可求出机的最大值；（3 ）先求出点D的坐标,从而得出8 = 3 , CQx轴，然后利用等腰直角 三角形的性质可得80 = 40 ,C5 = NOBC = 45。，然后证出/E肝= NQ3C , 可得tan= tan ZD8C ,从而可设瓦 = 3。，则加 = 5。，用含3的式子表示出点E的坐标代入解析式即可求

3、出点E的坐标.【详解】解：（1）回抛物线1 = -炉+加+。经过a（to）、C（0,4）两点,一 1 一+ c = 0回/c = 4 .b = 3解得 一c = 4*碘物线的解析式为）=-/ + 3x + 4 ；(2 )令一/ +3x + 4 = 0 ,解得内=T , Z=4 ,团 3(4,0),设直线8c的解析式为 y =去+，将点 3（4,0）, C（0,4）代入,4k + = 0/? = 4 =4回直线3。的解析式为）-4 ,设点。的坐标为（，-/+3/ + 4）,则点。的坐标为（4）, 回 ? = 一/2 +31+4（一/+4）=一产+4/= -（r-2）2+4（0r/2 ,S F)B

4、H = BC-CH =- 2团 NOBC = NDBE = 45。，0 ZOBC - ZCBE = Z.DBE - ZCBE ,即 NEBF = ZDBC ,(U tan AEBF = tan ZDBC ,an EF DH 3设EF = 3a ,贝!J8F = 5。，国。尸=5。-4 ,国 E(4-54,3g),团点石在抛物线上，回34 = (45a)+3(4 5a) + 4 f22解得= (舍去)，,J 2 66一不引【点睛】此题考查的是求二次函数的解析式、利用二次函数求最值、等腰直角三角形 的性质和锐角三角函数，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、将二次函数一 般式化为顶点式、等腰直角三角

5、形的性质和同角的锐角三角函数相等是解决此题 的关键.62.(1)如图，点E是正方形ABCD边BC上任意一点，过点C作直 线CF团AE ,垂足为点H ,直线CF交直线AB于点F ,过点E作EG团AB ,交直 线AC于点G.则线段AD , EG , BF之间满足的数量关系是；(2 )如图，若点E在边CB的延长线上，其他条件不变，则线段AD , EG , BF之间满足的数量关系是，证明你的结论；-7（3 ）如图，在（2 ）的条件下，若正方形ABCD的边长为4 ,tanM=、，将一个45。角的顶点与点A重合，并绕点A旋转，这个角的两边分别交线段EG于M, N两点.当EN=2时，求线段GM的长.【答案】

6、（1） AD=EG + BF ; （ 2 ） AD=EG-BF ;证明见解析；（3 ） 3.【解析】试题分析（1）由正方形的性质得出AD二AB=BC闫ABC=90。庐ACB=45。, 由平行线的性质得出团CEG=回ABC=90得出团CEG是等腰直角三角形，EG二CE , 由AAS证明回ABE豳CBF ,得出对应边相等BE=BF ,即可得出AD=EG + BF ;（2 ）由正方形的性质得出AD二AB=BC , MBC=90。，回ACB=45。，由平行 线的性质得出国CEG二回ABC=90,得出回CEG是等腰直角三角形，EG=CE ,由 AAS证明回ABE瓯CBF，得出BE二BF ,即可得出AD=

7、EG-BF ;（3过A作AP0EG于P过M作MQ0AG于Q，则四边形ABEP为矩形， 得出AB二PE , AP=BE ,由正方形的性质得出AB=BC二AD=PE=4 ,由三角函数 得出BE二BF=AP=6，得出PN=2 ,证明gAQMtmiAPN，得出对应边成比例， AQ=3QM，由勾股定理求出AG，证明回AGP豳GMQ ,得出对应边成比例，GM二 V2QM，设GM=x ,由勾股定理得出方程，解方程即可.试题解析：（1） AD=EG + BF，理由如下：回四边形ABCD是正方形，回AD二AB二BC ,国ABC=90 ,国ACB=45,团EG回AB ,国CEG=回ABC=90,国CEG是等腰直角

8、三角形,团EG=CE ,团CFME ,垂足为点H ,国CHE=回CBF=90 ,国F二回CEH ,亚CEH二回AEB ,国F二团AEB,在回ABE和回CBF中，ZF = ZAEBZABE = NCBF , AB = BC国 ABE 团困 CBF(AAS),团BE=BF ,团BOEC+BE=EG+BF ,团AD=EG+BF ;(2) AD = EG-FB,理由如下：团四边形ABCD是正方形，团AD二AB二BC , 0ABC=9O , MCB=45,团EG回AB ,国CEG二国ABC=90,国CEG是等腰直角三角形，团EG=CE ,0CFEAE ,垂足为点H ,国FHA二回FBC二团ABE=90,

9、国FAH二团BCF ,国FAH 二目BAE ,国BCF二回BAE,在回ABE和国CBF中，ZFBC = ZABE/BCF = /BAE , AB = BC国 ABE 国国 CBF(AAS),团BE=BF , EG=CE=BE+BC=BF+AD ,回AD=EG-BF ;故答案为AD=EG-BF ;(3 )过A作AP团EG于P ,过M作MQ2AG于Q ,如图所示:则四边形ABEP为矩形，团AB二PE , AP= BE ,团正方形ABCD的边长为4 ,回AB二 BOAD= PE=4 , r BC 20tansF=-BF 34x3 EBF= =6 , 2团BE=BF=AP=6 ,回 EN=2,回 PN

10、=2,国PAQ=回MAN=45 z函MAQ二回NAP ,亚APN=回AQM=90 ,西AQM瓯APN ,团丝=”AP PN on A0 QMBDv=-，0AQ=3QM ,亚APG是等腰直角三角形，团AG 二524尸=(2x62 = 6五,函G=(3G ,回GQM=12APG=90 z西AGP瓯GMQ zGMAGQMPGM QM 即皿。设 GM=x,团GM2=QM2+ ( AG-AQ ) 2 z)2,则x2=（卡解得：x=3或x=6 （不合题意，舍去）,团GM=3 .考点：四边形综合题.63 .如图，在矩形ABCD中，AB= 6 , BC= 8 ,点A在直线I上，AD与 直线I相交所得的锐角为6

11、0。，点P在直线I上，AP= 8 , E阿，垂足为点F , 与点P重合，EF = 6 ,以EF为直径，在EF的右侧作半圆。，点M是半圆O上 任意一点.发现：连接AM ,则线段AM的最大值为；矩形ABCD保持不动，半圆O沿直线向右平移，设平移距离为x.思考：点E落在边AD上时，求半圆O与矩形ABCD重合部分的面积S ;探究：在平移过程中，当半圆O与矩形ABCD的边相切时，直接写出x的 值（参考数据：tan750 = 2+ /结果保留根号）【答案】发现：10 ;思考：3r-生 源究：X的值为（8-36）或（36+2 ） 4或（8+抠）【分析】（1）先判断出点M在点E的位置时，AM最大，进而利用勾股

12、定理即可得出结论；(2 )半圆0与边AD的另一个交点为G ,连接OG ,过点。作OH回AD于 H ,先求出OH ,进而求出EG ,最后用扇形和三角形面积差即可得出结论；(3)首先结合图形，判断相切可分三种情况，分别画三种情况对应图形， 利用切线的性质判断出回OAP=30 ,进而求出AF,即可得出结论.【详解】发现：如图1当点M在点E的位置时，AM最大，连接AE团RtmAFE 且 AP = 8 , EF = 6 ,AE2=EF2 + AP2SAE=V82+62=10即 AM = AE = 10回AM的最大值为10 ;图2半圆。与边AD的另一个交点为G ,连接0G ,过点0作0H回AD于H团EF回

13、西 EFA = 90西 DAF = 60瓯 OEA = 30国 EOG = 120国OH回AD13团Rt回OHE且 OH =-OE=1 吃H=/OH=,回EG = 2EH = 3G ,畔圆O与矩形ABCD重合部分的面积S = S扇形EOG - S团EOG 二1204x3?360-x3x/3x| =3r -午;/24探究：当半圆。与AD相切时，如图3过点。作OH回AD于H ,连接AO回EF回，西 EFA = 90回直线I是半圆0的切线回AO平分回PAD国OAP = 白DAP = 30在R挹OFA中，OF = 3团AF = 3 Q取二 PF = AP-AF = 8-3 有当半圆O与AB边相切时，如

14、图4连接OA ,过点O作OH团AB于H贝峋CTAF=;国BAP=：（90 +60）=75。在 R恒OFA 中,OF= 3MF二 F =二二）tan NOA尸 tan 752 + /、7取二 PF = AP-AF = 83(2 网 =2 + 3。； 当半圆O与BC相切时，如图5延长CB交直线I于Q在 RtEABQ 中 z 0BAQ = 90-60 = 30, AB = 6团 BQ = 2 /回 AQ = 4/同的方法得，QF = 3C0x = PQ - FQ = AP+AQ - FQ=8+40 - 36=8+73国在平移过程中，当半圆O与矩形ABCD的边相切时，X的值为(8-373 ) 或(36

15、 + 2 )或(8 + /3 ).【点睛】本题考察了勾股定理、扇形面积、直线与圆相切、三角函数等知识点；求解 本题的关键为熟练掌握直线与圆相切、勾股定理、三角函数等性质，结合图形运 用到实际问题的求解过程中，从而计算得到答案.64 .如图，对称轴为直线工=1的抛物线y=ax2 +bx + c 与x轴交于4(T。)、 8(3,0),与)轴交于C点，抛物线顶点为。，直线8。交)轴于E点.(1 )求抛物线函数表达式；(2 )若点。是位于直线8。下方抛物线上的一动点，以号、尸。为相邻的 两边作平行四边形。打。，当平行四边形的面积最大时，求此时平行四边 形心的面积S及点P的坐标；(3 )在线段80上是否

16、存在点G，使得N&)C = NGCE ?若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1) y =/-2X-3 ;( 2 )平行四边形PBFD的面积S为2 , P ( 2 , 924-3 ) ； ( 3 )存在.点G的坐标为(y,-y).【分析】(1 )先设抛物线的顶点式，然后利用待定系数法，即可求出解析式；(2 )根据题意，先求出BD的解析式，当PF的值最大时，面积取到最大值，即可得到答案；(3)先证明4CQ = 90。，设点G的坐标为。，2-6),利用三角函数值，求出t的值，即可得到点G的坐标.【详解】解：(星)设抛物线为丁 =心-a+1把人(-1,0),(2(0,-3)代入得.

17、而 + k = 0a = 1vS /2 , CD= /2 , BD= 2/5 ,团(3扬:+(2=(2府，gg BC2 + CD2 = BD1 ,团 NBC。= 90。，国 tan Z.BDC = 3CD 团点G在线段BD上,所以设点G的坐标为。6),过点G作GH0y轴于点H ,当tan团GCH=3时，(3BDC二回GCE ,GH _/7CH -3-6)9解得：，=c ，2402/ 6 =,7，924团点G的坐标为：(y,-y).【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，二次函数的性质，也考查了三角函数，勾 股定理的逆定理，求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，解题的关键是熟 练掌握所学的性质进

18、行解题.65.如图，在四边形。Z7/7冲，nnunn,顶点碍原点，顶点室轴上, 顶点附坐标为, 口口= 24口，口 = 2600.点瞅点比发，以1叫附 速度向点限动，点如点幅时出发，以又7/，的速度向点主动.规定其中一个 动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动；从运动开始，设爪。点运动的(刁当。为何值时，四边形Z7Z7Z7爆矩形？【答案】(1)= -4口+ 104 ;(2)附 65【解析】【分析】(1)首先根据顶点A的坐标为(0,8), AC=24cm , OB=26cm f分别求出 点B、C的坐标各是多少；然后应用待定系数法,求出直线BC的函数解析式即 可.(2)根据四边形AOQP是矩形，可得AP=OQ据此求出t的值是多少即可.【详解】图1 顶点丽坐标为(0, 8) , Z7Z7=