【KS5U解析】江苏省苏北四市（徐州、宿迁、淮安、连云港）2020届高三上学期期末考试数学试题 Word版含解析

1、徐州市20192020学年度高三年级第一次质量检测一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1.已知集合，则_.【答案】【解析】【分析】利用并集的定义可计算出集合.【详解】，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查并集的计算，熟悉并集的定义是关键，考查计算能力，属于基础题.2.已知复数z满足，且的虚部小于，则_.【答案】【解析】【分析】设，可知，利用复数的乘法法则可得出关于实数、的方程组，解出即可.【详解】设，由题意可知，则，解得，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查复数的求解，涉及复数的乘法运算和复数相等，解题的关键就是利用复数相等列方程组求解，考查

2、运算求解能力，属于基础题.3.若一组数据7，6，8，8的平均数为7，则该组数据的方差是_.【答案】【解析】【分析】根据平均值计算得到，再计算方差得到答案.【详解】平均数为，故，方差为 故答案为：【点睛】本题考查了平均值和方差的计算，意在考查学生的计算能力.4.执行如图所示的伪代码，则输出的结果为_.【答案】【解析】【分析】根据程序伪代码，列举出程序的每一步，即可得出输出结果.【详解】当时，；当时，；当时，；当时，；当时，.不满足，输出的值为.故答案为：.【点睛】本题考查利用程序伪代码求输出结果，只需结合程序伪代码列举出程序的每一步，计算即可，考查计算能力，属于基础题.5.函数的定义域是 【答案

3、】【解析】解：因为，故定义域为6.某学校高三年级有、两个自习教室，甲、乙、丙名学生各自随机选择其中一个教室自习，则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为_.【答案】【解析】【分析】利用乘法计数原理可计算出甲、乙、丙名学生各自随机选择其中一个教室自习共有种，利用分步乘法计数原理计算出甲、乙两人不在同一教室上自习的排法种数，然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】由题意可知，甲、乙、丙名学生各自随机选择其中一个教室自习共有种，甲、乙两人不在同一教室上自习，可先考虑甲在、两个自习教室选一间教室自习，然后乙在另一间教室自习，则丙可在、两个自习教室随便选一间自习教室自习，由分步计数原理可

4、知，有种选择.因此，甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为.故答案为：.【点睛】本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，同时也考查了分步计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.7.若关于的不等式的解集是，则实数的值为_.【答案】【解析】【分析】由题意知，关于的方程的两根分别为和，利用韦达定理可求出实数的值.【详解】由题意知，关于的方程的两根分别为和，由韦达定理得.故答案为：.【点睛】本题考查利用一元二次不等式的解求参数，考查计算能力，属于基础题.8.在平面直角坐标系中，双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线上，则实数的值为_.【答案】【解析】【分析】求出双曲线的右准线与渐近线的交点坐标，并

5、将该交点代入抛物线的方程，即可求出实数的方程.【详解】双曲线的半焦距为，则双曲线的右准线方程为，渐近线方程为，所以，该双曲线右准线与渐近线的交点为.由题意得，解得.故答案为：.【点睛】本题考查利用抛物线上的点求参数，涉及到双曲线的准线与渐近线方程的应用，考查计算能力，属于中等题.9.已知等差数列的前项和为，则的值为_.【答案】【解析】【分析】设等差数列的公差为，根据题意列出关于和的方程组，求出这两个量的值，然后利用等差数列的求和公式可计算出的值.【详解】设等差数列的公差为，则，解得，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，同时也考查了等差数列求和公式的应用，解题的关键就是求出

6、等差数列的首项和公差，考查方程思想的应用与计算能力，属于基础题.10.已知函数的图象与函数的图象相邻的三个交点分别是、，则的面积为_.【答案】【解析】【分析】设、是两个函数图象在轴右边且靠近轴的三个交点，求出这三个点的坐标，即可计算出的面积.【详解】设、是两个函数图象在轴右边且靠近轴的三个交点，设点、，令，得，得，解得.由于、是两个函数图象在轴右边且靠近轴的三个交点，则，可得、，因此，的面积为.故答案为：.【点睛】本题考查三角函数图象交点坐标的计算，同时也涉及了三角形面积的计算，求出交点坐标是关键，考查计算能力，属于中等题.11.在平面直角坐标系中，已知圆，圆与圆外切于点，且过点，则圆的标准方

7、程为_.【答案】【解析】【分析】将圆的方程化为标准方程，可求出的值，记点、，可知圆心为直线和线段中垂线的交点，进而可求出点的坐标，计算出为圆的半径，即可得出圆的标准方程.【详解】记点、，圆的标准方程为，圆心，将点的坐标代入圆的方程得，得或.若，则点，线段的中垂线方程为，直线的方程为，由题意可知，圆心在直线上，且在线段的中垂线上，联立，解得，则圆心的坐标为，圆的半径为，圆的半径为，此时，则两圆内切，不合乎题意；若，则点，线段的中垂线方程为，直线的方程为，由题意可知，圆心在直线上，且在线段的中垂线上，联立，解得，则圆心的坐标为，圆的半径为，圆的半径为，此时，则两圆外切，合乎题意.综上所述，圆的标准

8、方程为.故答案为：.【点睛】本题考查利用两圆外切求圆的标准方程，解题的关键就是确定圆心的位置和半径，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12.已知函数是定义在上的奇函数，其图象关于直线对称，当时，（其中是自然对数的底数，若，则实数的值为_.【答案】【解析】【分析】先推导出函数的周期为，可得出，代值计算，即可求出实数的值.【详解】由于函数是定义在上的奇函数，则，又该函数的图象关于直线对称，则，所以，则，所以，函数是周期为的周期函数，所以，解得.故答案为：.【点睛】本题考查利用函数的对称性计算函数值，解题的关键就是结合函数的奇偶性与对称轴推导出函数的周期，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

9、13.如图，在中，、是上的两个三等分点，则的最小值为_.【答案】【解析】分析】利用基底、表示向量、，结合等式可得出的表达式，然后利用基本不等式可求出的最小值.【详解】由于、是上的两个三等分点，则，由图形可得，即，整理得，即，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查由平面向量数量积的运算求最值，解题的关键就是找出合适的基底来表示向量，考查计算能力，属于中等题.14.设函数，其中、.若恒成立，则当取得最小值时，的值为_.【答案】【解析】【分析】构造函数，可知该函数关于点对称，然后分、三种情况讨论，分析函数在区间上的单调性，得出函数在区间上最值的可能取值，

10、利用绝对值三角不等式可求出当取得最小值时的值.【详解】构造函数，则，由于，所以，函数的图象关于点对称，且.当时，函数在区间上单调递增，则，所以，此时，当，时，取最小值；当时，对任意的，函数在区间上单调递减，则，所以，此时，当，时，取最小值；当时，令，得，令，列表如下：极大值极小值不妨设，则，则，且，若，则，若，则，但， ，所以，.当时，当且仅当，时，即当，时，取得最小值;当时，.综上所述，当，时，取得最小值，此时.故答案为：.【点睛】本题考查利用绝对值三次函数的最值求参数，解题的关键就是充分利用三次函数的单调性，找出绝对值三次函数最大值的可能值，并结合绝对值三角不等式的性质来求解，考查分析问题

11、和解决问题的能力，属于难题.二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在三棱锥中，分别为棱的中点，平面平面.求证：（1）平面；（2）平面平面.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）证得mnbc，由线面平行的判定定理证明即可；（2）证得平面.由面面垂直的判定定理证明即可【详解】（1）分别为棱的中点，mnbc又平面，平面.（2），点为棱的中点，又平面平面，平面平面，平面.平面，平面平面.【点睛】本题考查线面平行，面面垂直的判定，考查定理，是基础题16.在中，角、的对边分别为、，且.（1）若，求的值；

12、（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用余弦定理得出关于的二次方程，结合，可求出的值；（2）利用两角和的余弦公式以及诱导公式可求出的值，利用同角三角函数的基本关系求出的值，然后利用二倍角的正切公式可求出的值.【详解】（1）在中，由余弦定理得，即， 解得或（舍），所以；（2）由及得， 所以，又因为，所以，从而，所以.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系以及二倍角公式求值，考查计算能力，属于中等题.17.如图，在圆锥中，底面半径为，母线长为.用一个平行于底面的平面去截圆锥，截面圆的圆心为，半径为，现要以截面为底面，圆

13、锥底面圆心为顶点挖去一个倒立的小圆锥，记圆锥体积为.（1）将表示成的函数；（2）求的最大值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）求出，利用，求出，可得出，然后利用圆锥的体积公式可得出关于的函数表达式，结合实际情况求出该函数的定义域；（2）对函数求导，求出该函数的极大值，利用极值与最值的关系可得出的最大值.【详解】（1）在中，由可知，所以，所以，所以，；（2）由（1）得，所以，令，得， 当时，所以在上单调递增；当时，所以在上单调递减.所以当时，取得最大值.答：小圆锥的体积的最大值为.【点睛】本题考查圆锥体积的计算，同时也考查了利用导数求函数的最值，解题的关键就是求出函数的解析式，考查

14、计算能力，属于中等题.18.在平面直角坐标系中，已知椭圆右顶点为，过点作直线与圆相切，与椭圆交于另一点，与右准线交于点.设直线的斜率为.（1）用表示椭圆的离心率；（2）若，求椭圆的离心率.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意可得出直线的方程为，利用该直线与圆相切，得出圆心到直线的距离等于半径可得出，由此可计算出关于的关系式；（2）设椭圆的焦距为，将直线的方程与椭圆的右准线方程联立，可求出点的坐标，将直线的方程与椭圆的方程联立，可求出点的坐标，再由，结合（1）中的结论，可得出关于、的齐次等式，从而求出椭圆的离心率.【详解】（1）直线的方程为，即，因为直线与圆相切，所以，故.所以椭

15、圆的离心率；（2）设椭圆的焦距为，则右准线方程为，由得，所以， 由得，解得，则，所以， 因为，所以，即， 由（1）知，所以，所以，即，所以，故椭圆的离心率为.【点睛】本题考查椭圆离心率的计算，同时也考查了椭圆中向量的数量积的计算，解题的关键就是结合题意得出关于、的齐次等式，考查计算能力，属于难题.19.已知函数.（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；（2）若的导函数存在两个不相等的零点，求实数的取值范围；（3）当时，是否存在整数，使得关于的不等式恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）存在，最大值为.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，由题意得出从而

16、可求出实数的值；（2）令，可得知函数在上有两个零点，分和两种情况讨论，利用导数分析函数在区间上的单调性和极值，由题意转化为函数极值相关的不等式，解出即可得出实数的取值范围；（3）将代入函数的解析式得出，对该函数求导得出，构造函数，利用单调性结合零点存在定理找出函数的极小值点，并满足，结合此关系式计算得出，从而可得出整数的最大值.【详解】（1），因为曲线在点处的切线方程为，所以，得；（2）因为存在两个不相等的零点.所以存在两个不相等的零点，则.当时，所以单调递增，至多有一个零点当时，因为当时，单调递增，当时，单调递减，所以时，. 因为存在两个零点，所以，解得. 因为，所以.因为，所以在上存在一个

17、零点. 因为，所以.因为，设，则，因为，所以单调递减，所以，所以，所以在上存在一个零点.综上可知，实数的取值范围为；（3）当时，设，则所以单调递增，且，所以存在使得， 因为当时，即，所以单调递减；当时，即，所以单调递增，所以时，取得极小值，也是最小值，此时， 因为，所以，因为，且为整数，所以，即的最大值为.【点睛】本题考查利用切线方程求参数、利用导数研究函数的零点，同时也考考查了利用导数研究不等式恒成立问题，涉及隐零点法的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.20.已知数列的首项，对任意的，都有，数列是公比不为的等比数列.（1）求实数的值；（2）设数列的前项和为，求所有正整数的值，使得

18、恰好为数列中的项.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据递推公式求出、，由题意得出，求出的值，结合数列公比不为的等比数列进行检验，进而得出实数的值；（2）求出利用奇偶分组法求出、，设，可得知，从而可知、或为偶数，由结合可推出不成立，然后分和为偶数两种情况讨论，结合的取值范围可求出符合条件的正整数的值.【详解】（1）由，可知，因为为等比数列，所以，即，即，解得或， 当时，所以，则，所以数列公比为1，不符合题意；当时，所以数列的公比，所以实数的值为. （2）由（1）知，所以则，则，因为，又，且，所以，则，设， 则或为偶数，因为不可能，所以或为偶数，当时，化简得，即，所以可取值为1，2，

19、3，验证，得，当时，成立. 当为偶数时，设，则，由知，当时，；当时，所以，所以的最小值为，所以，令，则，即，无整数解.综上，正整数的值为.【点睛】本题考查利用等比数列的定义求参数、数列中的存在性问题，同时也涉及了奇偶分组法求和，考查分类讨论思想的应用，属于难题.（选做题）本题包括21、22、23三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21.已知矩阵的一个特征值为4.求矩阵的逆矩阵.【答案】【解析】【分析】由题意，先设矩阵m的特征多项式为，由题意求出，进而可求出结果.【详解】矩阵m的特征多项式为.因为矩阵m的一个特

20、征值为4，所以方程有一根为4，即，所以.所以，所以.【点睛】本题主要考查求矩阵的逆矩阵问题，熟记矩阵的特征多项式，会由特征值求出矩阵中的参数即可，属于常考题型.22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数，）在曲线上求点，使点到的距离最小，并求出最小值.【答案】点的坐标为.最小值【解析】【分析】将直线的方程化为普通方程，设点的坐标为，利用点到直线的距离公式结合辅助角公式求出点到直线距离的最小值，并求出对应的的值，进而可求出对应的点的坐标.【详解】由，及，所以的直角坐标方程为. 在曲线c上取点，则点到的距离， 当时，取最小值

21、,此时点坐标为.【点睛】本题考查利用椭圆的参数方程求点到直线距离的最值，对于这类问题，一般将椭圆上的点利用椭圆的参数方程表示，结合三角恒等变换思想以及正弦函数的有界性求解，考查计算能力，属于中等题.23.已知正数满足，求的最小值.【答案】【解析】【分析】由题意得出，然后将代数式与代数式相乘，利用柯西不等式可求出的最小值.【详解】因为都为正数，且，所以由柯西不等式得， ，当且仅当时等号成立，所以的最小值为3.【点睛】本题考查利用柯西不等式求代数式的最值，解题的关键就是对代数式进行变形，考查计算能力，属于中等题.（必做题）第24、25题，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明