中考数学复习手册

1、中考数学复习手册1 .三角形的有关概念2 .全等三角形3 .等腰三角形4 .直角三角形、勾股定理、而积5 .角平分线、垂直平分线6 .平行四边形7 .矩形、菱形8 .正方形9 .梯形10 .三角形、梯形的中位线1L锐角三角函数12 .解直角三角形13 .三角函数的综合运用14 .比例线段15 .相似三角形（一）16 .相似三角形（二）17 .相似形的综合运用（一）18 .相似形的综合运用（二）19 .圆的有关概念和性质20 .垂径定理21 .切线的判定与性质22 .与圆有关的角23 .圆中成比例的线段24 .圆与圆（一）25 .圆与圆（二）26 .正多边形和圆中考数学复习之1 .三角形的有关概

2、念知识考点：理解三角形三边的关系及三角形的主要线段（中线、高线、角平分线）和三角形的内角和定理。关键是正确理解有关概念，学会概念和定理的运用，应用方程知识求解几何题是这部分知识常用的方法。精典例题：例1已知一个三角形中两条边的长分别是。,且 > ，那么这个三角形的周长L的取值范围是（）A、3a > L> 3bB、2(a + b)> L> 2aC、2a6 + b > L> 2b + aD、3a h>L>a + 2b分析：涉及构成三角形三边关系问题时，一定要同时考虑第三边大于两边之差且小于两边之和。答案：B变式与思考：在AABC中，AC=5,中

3、线AD=7,则AB边的取值范围是（）A、1<AB<29 B、4<AB<24 C、5<AB<I9 D、9<AB<19评注：在解三角形的有关中线问题时，如果不能直接求解，则常将中线延长一倍，借助全等三角形知识求解, 这也是一种常见的作辅助线的方法。【例2】如图，已知AABC中，ZABC=45°, NACB = 61。，延长BC至E,使CE=AC,延长CB至D,使DB=AB,求NDAE的度数。分析：用三角形内角和定理和外角定理，等腰三角形性质，求出ND+NE的度数，即可求得NDAE的度数,略解：AB=DB, AC=CE11AZD=-ZABC,

4、 ZE=-ZACB22AZD+ZE=- (ZABC+ZACB) =53。2AZDAE=180°- (ND+NE) =127°探索与创新：【问题一】如图，已知点A在直线/外，点B、C在直线/上。（1）点P是aABC内任一点，求证：ZP>ZA：（2）试判断在aABC外，又和点A在直线/的同侧，是否存在一点Q,使NBQC>NA,并证明你的结论。问题一图分析与结论：（1）连结AP,易证明NPANA；（2）存在，怎样的角与NA相等呢？利用同弧上的圆周角相等，可考虑构造AABC的外接。0,易知弦BC 所对且顶点在弧人?8,和弧AC上的圆周角都与NA相等，因此点Q应在弓形A川

5、B和AC内，利用圆的 有关性质易证明（证明略）。【问题二】如图，已知P是等边aABC的BC边上任意一点，过P点分别作AB、AC的垂线PE、PD,垂 足为E、Do问：4AED的周长与四边形EBCD的周长之间的关系？分析与结论：（1） DE是4AED与四边形EBCD的公共边，只须证明AD+AE = BE+BC+CD（2）既有等边三角形的条件，就有60。的角可以利用：又有垂线，可造成含30。角的直角三角形，故本题可 借助特殊三角形的边角关系来证明。略解：在等边aABC中，NB=NC = 60°又TPELAB 于 E, PD_LAC 于 D AZBPE=ZCPD=30°不妨设等边4

6、ABC的边长为1, BE=x, CD=y,那么:PC= 2y , %+y = !，而 AE=1 -x, AD= 1-y3，AE+AD= 2-（x + y）=3又,: BE+CD+BC =（x+y） + = -，AD+AE=BE+BC+CD从而 AD+AE+DE=BE+BC+CD+DE即AAED的周长等于四边形EBCD的周长。评注：本题若不认真分析三角形的边角关系，而想走“全等三角形”的道路是很难奏效的。跟踪训练：一、填空题：1、三角形的三边为1, 1a, 9,则。的取值范围是。2、已知三角形两边的长分别为1和2,如果第三边的长也是整数，那么第三边的长为o3、在AABC 中，若NC=2 （NA+

7、NB）,则 NC=度。4、如果AABC的一个外角等于150°,且NB = NC,则NA=。5、如果AABC中，NACB=900, CD是AB边上的高，则与NA相等的角是 06、如图，在AABC中，NA=80。，NABC和NACB的外角平分线相交于点D,那么NBDC=。7、如图，CE 平分NACB,且 CE_LDB, ZDAB = ZDBA, AC = 18cm, ACBD 的周长为 28 cm,则 DB=8、纸片ABC中，ZA=65°, ZB =75°,将纸片的一角折叠,使点C落在AABC内（如图），若Nl=20。, 则N2的度数为。9、在AABC 中，NA=50

8、。，高 BE、CF 交于点 O,则NBOC=10、若AABC的三边分别为。、b、c,要使整式（ 一人+ c）（“ cy >0,则整数相应为,二、选择题：1、若AABC的三边之长都是整数，周长小于10,则这样的三角形共有（）A、6个B、7个C、8个D、9个2、在AABC中，AB=AC, D在AC上，且BD=BC=AD,则NA的度数为（）A、30。B、36。C、45。D、72°3、等腰三角形一腰上的中线分周长为15和12两部分，则此三角形底边之长为（）A、7B、11C、7或11D、不能确定4、在AABC中，ZB=50°, AB>AC,则NA的取值范围是（）A、0&#

9、176;<ZA<180°B、0°<ZA<80°C、50°<ZA<130°D、8O°VNAV13O° 5、若。、0、7是三角形的三个内角，而x = a + /7,旷=夕+ /, z = 7 + a，那么x、y、z中，锐角的个数的错误判断是（）B、可能有一个锐角D、最多一个锐角A、可能没有锐角C、可能有两个锐角6、如果三角形的一个外角等于它相邻内角的2倍，且等于它不相邻内角的4倍，那么这个三角形一定是()A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、正三角形 三、解答题：1、有5根木条，

10、其长度分别为4, 8, 8, 10, 12,用其中三根可以组成几种不同形状的三角形？2、长为2, 3, 5的线段，分别延伸相同长度的线段后，能否组成三角形？若能，它能构成直角三角形吗？ 为什么？3、如图，在ABC中，ZA=96°,延长BC到D, NABC与NACD的平分线相交于A1，的平分线相交于A2,依此类推，NA4BC与NA4CD的平分线相交于4,则N4的大小是多少？4、如图，已知OA=a, P是射线ON上一动点(即P可在射线ON上运动)，NAON=600,填空：(1)当OP=时，AiAOP为等边三角形：(2)当OP=时，AAOP为直角三角形；(3)当OP满足 时，AOP为锐角三

11、角形；(4)当OP满足 时，AOP为钝角三角形。一、填空题：1、-9<«<-7； 2、2； 3、120°： 4、30°或 120°： 5、ZDCB； 6、50°； 7、8cm：8、60°； 9、130°； 10、偶数。二选择题：CBCBCB三、解答题：1、 6 种(4、 8、 8： 4、 8、 10： 8、 8、 10： 8、 8、 12： 8、 10、 12、 4、 10、 12) 2、可以，设延伸部分为。，则长为2 +。，3 +。，5 + 的三条线段中，5 + 最长,V (2 + )+ (3 + )一 (5

12、+。)= > 0.只要4>0,长为2 +。，3 + 4, 5 + 4的三条线段可以组成三角形设长为5 + 的线段所对的角为a,则夕为AABC的最大角又由(2 + “)2 +(3 + “)2 -(5 + ")2 =a2 -12当/一12 = 0,即。= 2JJ时，AABC为直角三角形。3、3°4、(1) a； (2)加或色：(3) -<OP<2a； (4) 0VOPC 色或 OP> 为2222 .全等三角形知识考点：掌握用三角形全等的判定定理来解决有关的证明和计算问题，灵活运用三角形全等的三个判定定理来证明三 角形全等。精典例题：【例 1】如图，

13、己知 AB_LBC, DC1BC, E 在 BC 上，AE=AD, AB=BC。求证：CE=CD.分析：作AF_LCD的延长线（证明略）评注：寻求全等的条件，在证明两条线段（或两个角）相等时，若它们所在的两个三角形不全等，就必须添 加辅助线，构造全等三角形，常见辅助线有：连结某两个已知点：过已知点作某已知直线的平行线：延长 某已知线段到某个点，或与已知直线相交：作一角等于己知角。问题一图【例2】如图，已知在AABC中，ZC=2ZB, Z1 = Z2,求证：AB=AC+CD”分析：采用截长补短法，延长AC至E,使AE=AB,连结DE：也可在AB上截取AE=AC,再证明EB = CD （证明略）o

14、 探索与创新：【问题一】阅读下题：如图，P是AABC中BC边上一点，E是AP上的一点，若EB=EC, Z1 = Z2,求 i£： APIBCo证明：在4ABE 和4ACE 中，EB = EC, AE=AE, Z1 = Z2.-.ABEAACE （第一步）.,.AB=AC, Z3=Z4 （第二步）AAP1BC （等腰三角形三线合一）上面的证明过程是否正确？若正确，请写出每一步的推理依据；若不正确，请指出关键错在哪一步，并写出 你认为正确的证明过程。略解：不正确，错在第一步。正确证法为：VBE=CEAZEBC=ZECB又.,N1 = N2.ZABC=ZACB, AB=AC AAABEAA

15、CE （SAS） AZ3=Z4又,.,AB=ACAAP1BC评注：本题是以考查学生练习中常见错误为阅读材料设计而成的阅读性试题，其目的是考查学生阅读理解能 力，证明过程中逻辑推理的严密性。阅读理解题是近几年各地都有的新题型，应引起重视。【问题二】众所周知，只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等，你能想办法安排和外理这三个条 件，使这两个三角形全等吗？请同学们参照下面的方案（1）导出方案（2） （3） （4） o解：设有两边和一角对应相等的两个三角形，方案（1）：若这个角的对边恰好是这两边中的大边，则这两 个三角形全等。方案（2）：若这个角是直角，则这两个三角形全等。方案（3）：若此角为已

16、知两边的夹角，则 这两个三角形全等。评注：这是一道典型的开放性试题，答案不是唯一的。如方案（4）：若此角为钝角，则这两个三角形全等。 （5）：若这两个三角形都是锐解（钝角）三角形，则这两个三角形全等。能有效考查学生对三角形全等概念的 掌握情况，这类题目要求学生依据问题提供的题设条件，寻找多种途径解决问题。本题要求学生着眼于弱化题设 条件，设计让命题在一般情况不成立，而特殊情况下成立的思路。跟踪训练: 一、填空题：1、若ABCgZEFG,且NB = 60。，NFGE - NE=56。，则NA=度。对。2、如图，ABEFDC, ZABC=90°, AB = DC,那么图中有全等三角形3、

17、如图，在AABC中，NC=900, BC=40, AD是NBAC的平分线交BC于D,且DC ： DB=3 ： 5,则点D 到AB的距离是,4、如图，在4ABC中，AD±BC, CE1AB,垂足分别为D、E, AD、CE交于点H,请你添加一个适当的条件:,使AEHgZMZEB。5、如图，把一张矩形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处，BE与AD相交于点O,写出一组相等的线段 （不包括 AB=CD 和 AD = BC ）。6、如图，NE=NF=90°, ZB=ZC, AE=AF, 给出下列结论：N1 = N2：BE=CF：ACNgZkABM：CD=DN,其中正确的结论是（填序

18、号）。二、选择题：1、如图，AD1AB, EA±AC,A、AADFAAEGC、ABMFACNGAE=AD,AB=AC,则下列结论中正确的是（）B、AABEAACDD、AADCAABEADBC填空第5题图E选择第1题图2、如图，AE=AF, AB=AC,EC与BF交于点O, ZA=60（ NB=25。，则NEOB的度数为（）A、60°B、70°C、75°D、85°B、不相等C、互余B、m + n<b + cD、无法确定3、如果两个三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角（）D、互补或相等选择第2题图4、如图

19、，在AABC中，AD是NA的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB=7, PC=，AB =c , AC=b ,贝+ 与S + c）的大小关系是（）A、m + n>b + cC、m + n = b + c 三、解答题：1、如图，Z1 = Z2, N3=N4, EC=AD0求证：ZABE和ABDC是等腰三角形。2、如图，AB = AE, ZABC = ZAED, BC=ED,点 F 是 CD 的中点。（1）求证：AF±CD；（2）在你连结BE后，还能得出什么新结论？请再写出两个。3、（1）已知，在aABC 和ADEF 中，AB=DE, BC=EF, ZBAC = ZEDF=

20、 100u,求证：ABCDEF； （2）上问中，若将条件改为AB = DE, , BC=EF, ZBAC= ZEDF=70°,结论是否还成立，为什么？4、如图，已知NMON的边0M上有两点A、B,边ON上有两点C、D,且AB=CD, P为NMON的平分 线上一点。问：（1） 4ABP与4PCD是否全等？请说明理由。（2） 4ABP与4PCD的而积是否相等？请说明理由。解答题第4题图解答题第5题图5、如图，已知CE_LAB, DF_LAB,点E、F分别为垂足，且ACBD。（1）根据所给条件，指出AACE和ABDF具有什么关系？请你对结论予以证明。（2）若4ACE和ABDF不全等，请你补

21、充一个条件，使得两个三角形全等，并给予证明。参考答案一、填空题：1、32： 2、3； 3、15； 4、AH = BC 或 EA=EC 或 EH = EB 等：5、DC=DE 或 BC=BE 或 OA=OE 等：6、®二、选择题：BBDA三、解答题：1、略：2、（1）略；（2） AF_LBE, AF 平分 BE 等：3、（1）略；（2）不成立，举一反例即能说明；4、（1）不一定全等，因4ABP与APCD中，只有AB = CD,而其它角和边都有可能不相等，故两三角形 不一定全等。（2）面积相等，因为0P为NMON平分线上一点，故P到边AB、CD上的距离相等，即4ABP 中AB边上的高与4

22、PCD中CD边上的高相等，又根据AB=CD （即底边也相等）从而4ABP与4PCD的面积 相等。5、（1） AACE和4BDF的对应角相等；（2）略3 .等腰三角形知识考点：灵活运用等腰(等边)三角形的判定定理与性质定理，以及底边上的高、中线、顶角的平分线三线合一的性 质进行有关的证明和计算。精典例题：例1等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1 : 2,则等腰三角形的顶角为()A、30°B、60°C、150°D、30。或 150。分析：如图所示，在等腰4ABC中，CD为腰AB上的高，CD：AB=1：2, VAC=AB, ACD：AC=1： 2,，在RtZkABC中有答

23、案D。例1图例2图【例2】如图，在4ABC中，AC=BC, NACB=90。, D是AC上一点，AE±BD的延长线于E,又AE= - BD, 2求证：BD是NABC的角平分线。分析：NABC的角平分线与AE边上的高重合，故可作辅助线补全图形，构造出全等三角形(证明略)0探索与创新：【问题一】如图，在等腰直角4ABC中，AD为斜边上的高，以D为端点任作两条互相垂直的射线与两腰 分别相交于E、F点，连结EF与AD相交于G,试问：你能确定NAED和NAGF的大小关系吗？分析与结论：依题意有ADEgZkFDC, ZEDF为等腰直角三角形，又 NAED= NAEF+NDEG, ZAGF= NA

24、EF+NEAG,事实上NEAG 与NDEG 都等于 45。，故/AED=NAGF.评注：加强对图形的分析、发现、挖掘等腰三角形、全等三角形，用相同或相等角的代数式表示NAED、ZAGF,从而比较其大小是本题的解题关键，【问题二】在平面上有且只有4个点，这4个点有一个独特的性质每两个点之间的距离有且只有两种长度。 例如正方形ABCD中，AB = BC=CD = DA, AC=BD,请你画出具有这种独特性质的四种不同的图形，并标注 相等的线段。略解：(1) AB = AD=DB=DC = BD, AC(2) AB=AC=AD=BC, BD=DC(3) AB=AC, AO=BO=CO = DO(4)

25、 AB = BC=AC, AO=BO=CO(5) AB = AD=CD, AC=BC = BDAAA评注：本例突破了常规作图题的思维形式，是一道很好的开放型试题，要求学生既要善于动脑，又要善于动 手。跟踪训练：一、填空题：1、等腰三角形的两外角之比为5 ： 2,则该等腰三角形的底角为。2、在AABC中，AB=AC, BD平分NABC交AC于D, DE垂直平分AB. E为垂足，则NC=,3、等腰三角形的两边长为4和8,则它腰上的高为 o4、在AABC中，AB=AC,点D在AB边上，且BD=BC=AD,则NA的度数为，6、如图，D 为等边AABC 内一点，DB = DA, BP=AB, NDBP=

26、NDBC,则NBPD=,7、如图，在AABC中，AD平分NBAC, EG_LAD分别交AB、AD、AC及BC的延长线于点E、H、F、G,已 知下列四个式子： Nl = 1 (N2+N3) N1=2(N3 N2)2N4= - (Z3-Z2)Z4=，Z12-2其中有两个式子是正确的，它们是 和 O二、选择题：1、等腰三角形中一内角的度数为50°,那么它的底角的度数为()A、50°B、65°C、130°D、50° 或 6502、如图，D为等边AABC的AC边上一点，且NACE=NABD, CE=BD,则4ADE是()A、等腰三角形 B、直角三角形 C

27、、不等边三角形D、等边三角形第2题图第3题图3、如图，在ABC中，ZABC=60( ZACB=45°, AD、CF都是高，相交于P,角平分线BE分别交AD、CF 于Q、S,那么图中的等腰三角形的个数是()A、2B、3C、4D、54、如图，已知 BO 平分NCBA, CO 平分NACB,且 MNBC,设 AB=12, BC=24, AC=18,则AMN 的周长是（）A、30B、33C、36D、39第4题图5、如图，在五边形 ABCDE 中，NA=NB = 120°, EA=AB = BC= 1DC= 1 DE,则ND=（）22A、30。B、45。C、60°D、67.

28、5°三、解答题：1、如图，在AABC 中，AB=AC, D、E、F 分别为 AB、BC、CA 上的点，且 BD=CE, ZDEF=ZB« 求 证：ADEF是等腰三角形。2、为美化环境，计划在某小区内用30平方米的草皮铺设一块边长为10米的等腰三角形绿地。请你求出这 个等腰三角形绿地的另两边长。3、如图，在锐角AABC中，ZABC=2ZC, NABC的平分线与AD垂直，垂足为D,求证：AC=2BD。4、在等边AABC的边BC上任取一点D,作NDAE=60。，AE交NC的外角平分线于E,那么4ADE是什 么三角形？证明你的结论。参考答案一、填空题：1、30°； 2、7

29、2°： 3、屏；4、36°： 5、36°； 6、30°： 7、®二、选择题：DDDAC三、解答题：1、iiEADBEAECF2、提示：分两种情况讨论。不妨设AB = 10米，作CD_LAB于D,则CD=6米。（1）当AB为底边时，AC=BC=U© 米；（2）当AB为腰且三角形为锐角三角形时，AB=AC=10米，BC= 2丽 米：（3）当AB为腰且三角形为钝角三角形时，AB = BC=10米，AC=6、丽米；3、提示：延长AD交BC于点M, 4、ZXADE为等边三角形。4.直角三角形、勾股定理、面积知识考点：了解直角三角形的判定与性质，

30、理解直角三角形的边角关系，掌握用勾股定理解某些简单的实际问题。它的 有关性质广泛应用于线段计算、证明线段倍分关系、证明线段平方关系及与面积有关的问题等方面。精典例题：【例 1】如图，在四边形 ABCD 中，NA=60°, ZB = ZD=90°, BC=2, CD = 3,则 AB = ?分析：通过作辅助线，将四边形问题转化为三角形问题来解决，其关键是对内分割还是向外补形。答案：|V3例1图例2图【例2】如图，P为AABC边BC上一点，PC=2PB,己知NABC=45。，NAPC=600,求NACB的度数。分析：本题不能简单地由角的关系推出NACB的度数，而应综合运用条件P

31、C=2PB及NAPC=60。来构造 出含3。）角的直角三角形。这是解本题的关键。答案：NACB=75。（提示：过 C 作 CQ_LAP 于 Q,连结 BQ,则 AQ=BQ=CQ） 探索与创新：【问题一】如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且NQPN=30。，点A处有一所中学，AP=160米， 假设汽车行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么汽车在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受 到噪声的影响？如果受影响，已知汽车的速度为18千米/小时，那么学校受影响的时间为多少秒？分析：从学校（A点）距离公路（MN）的最近距离（AD=80米）入手，在距A点方圆100米的范围内， 利用图形，根据

32、勾股定理和垂径定理解决它。略解：作ADJ_MN于D,在RtZADP中，易知AD=800所以这所学校会受到噪声的影响。以A为圆心， 100米为半径作圆交MN于E、F,连结AE、AF,则AE=AF= 100,根据勾股定理和垂径定理知：ED = FD = 60, EF=120,从而学校受噪声影响的时间为：t= 1 20 .=（小时）=24 （秒）18000 150评注：本题是一道存在性探索题，通过给定的条件，判断所研究的对象是否存在。【问题二】分风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周闱数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏 力.如图12,据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米的B处有一台

33、风中心，其中心最大风力为12 级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30°方向往C 移动，且台风中心风力不变。若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响。（1）该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由。（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到分风影响的最大风力为几级？解：（1）如图1,由点A作AD_LBC,垂足为D。VAB=220, ZB =30° .AD=110 （千米）。由题意知，当A点距台风中心不超过160千米时，将会受到分风的影响。故该城巾会受到这次台风的 影响。（2）由题意

34、知，当A点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响。则AE=AF=160.当台风中 心从E处移到F处时，该城市都会受到这次台风的影响。由勾股定理得： DE = AE2 - AD1 = V16O2-11O2 = 7270x50 = 30715 o .EF=6oV15 （千米）。该今风中心以15千米/时的速度移动。，这次台风影响该城巾的持续时间为小竺=4后（小时）。I J（3）当台风中心位于D处时，A市所受这次台风的风力最大，其最大风力为12 U=6.5 （级）。20评注：本题是一道几何应用题，解题时要善于把实际问题抽象成几何图形，并领会图形中的几何元素代表的 意义，由题意可分析出，当A点

35、距台风中心不超过160千米时，会受台风影响，若过A作AD_LBC于D,设E, F分别表示A市受台风影响的最初，最后时台风中心的位置，则AE=AF=160：当台风中心位于D处时，A rb- 受台风影响的风力最大。跟踪训练：一、填空题：1、如果直角三角形的边长分别是6、8、X,则x的取值范围是。2、如图，D 为aABC 的边 BC 上的一点，已知 AB=13, AD=12, , BD=5, AC = BC,则 BC="第5题图3、如图，四边形ABCD中,已知 AB ： BC ： CD ： DA = 2 ： 2 ： 3 ： 1,且 NB=90"，则 NDAB = 4、等腰AABC

36、中，一腰上的高为3cm,这条高与底边的夹角为3例，则5忸 5、如图,ZABC 中，NBAC = 90。,NB=2NC,D点在BC上,AD 平分NBAC,若 AB=1,则 BD 的长为6、已知RtZkABC中，ZC=90°, AB边上的中线长为2,且AC+BC=6,则5此7、如图，等腰梯形ABCD中，ADBC,腰长为8cm, AC、BD相交于O点，且NAOD=60。，设E、F分别为 CO. AB的中点，则EF=o第7题图8、如图，点D、E是等边aABC的BC、AC上的点，且CD=AE, AD、BE相交于P点，BQJ_AD0已知PE =1, PQ=3,则 AD=,9、如图所示，所有的四边

37、形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则 正方形A、B、C、D的面积的和是 o二、选择题：1、如图，已知AABC 中，AQ=PQ, PR=PS, PRLAB 于 R, PS_LAC 于 S,则三个结论：®AS=AR：QP AR：BRPgZkQSP 中（）A、全部正确B、仅和正确C、仅正确D、仅和正确2、如果一个三角形的一条边的长是另一条边的长的2倍，并且有一个角是30°,那么这个三角形的形状是（）A、直角三角形B、钝角三角形C、锐角三角形D、不能确定3、在四边形 ABCD 中，AD1CD, AB = 13, BC=12, CD=4, AD

38、 = 3,则NACB 的度数是（）A、大于90。B、小于9例C、等于90。D、不能确定4、如图，已知AABC 中，NB=90。，AB = 3, BC=JJ, OA=OC=、%，则NOAB 的度数为（）A、10。三、解答题:15°C、20°D、25°1、阅读下面的解题过程：已知。、b、c为aABC的三边，且满足-/,试判断AABC的形状。解：V ac2 -b2c =a4 -b4A c2（a2 -b2） = （a2 +b2）（a2 -b2）/. a2 +b2 =c2.ABC是直角三角形。问：（1）上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号;（2）错误的原因

39、是；<3）本题的正确结论是，,2、己知AABC 中，ZBAC=75°, ZC=60°, BC=3 + V3 ,求 AB、AC 的长。3、如图，AABC 中，AD 是高，CE 是中线，DC=BE, DG_LCE 于 G。（1）求证：G是CE的中点；2） ） NB=2NBCE。4、如图，某校把一块形状近似于直角三角形的废地开辟为生物园，NACB=90。，BC=60米，ZA=36°O（1）若入口 E在边AB上，且与A、B等距离，请你在图中画出入口 E到C点的最短路线，并求最短路线 CE的长（保留整数）：（2）若线段CD是一条水渠，并且D点在边AB上，已知水渠造价为

40、50元/米，水渠路线应如何设计才能 使造价最低？请你画出水渠路线，并求出最低造价。参考数据：sin360=0.5878, sin540=0.80905、已知AABC的两边AB、AC的长是方程x2 -（2k+ 3）x + k2+3k+ 2 = 0的两个实数根，第三边BC=5。（1）k为何值时，AABC是以BC为斜边的直角三角形；（2）攵为何值时，AABC是等腰三角形，求出此时其中一个三角形的而积。参考答案一、填空题：1、10或2"； 2、16.9： 3、135。： 4、373 cm2； 5、V3-1 ； 6、5； 7、48） 7： 9、 49二、选择题：BDCB三、解答题：1、（1）：

41、（2）略：（3）直角三角形或等腰三角形2、提示：过 A 作 AD_LBC 于 D,则 AB=3&, AC= 2、行3、提示：连结ED4、(1) 51米：(2)若要水渠造价最低，则水渠应与AB垂直，造价2427元。5、(1)2： (2)k=4或3,当4=4时，而积为12。5.角平分线、垂直平分线知识考点：了解角平分线、垂直平分线的有关性质和定理，并能解决一些实际问题。精典例题：【例题】如图，已知在AABC中，AB=AC, NB = 30°, AB的垂直平分线EF交AB于点E,交BC于点F, 求证:CF=2BFo分析一：要证明CF=2BF,由于BF与CF没有直接联系，联想题设中E

42、F是中垂线，根据其性质可连结AF, 则BF=AF”问题转化为证CF=2AF,又NB = NC=30«,这就等价于要证NCAF=90。，则根据含30°角的直角 三角形的性质可得CF=2AF=2BFo分析二：要证明CF=2BF,联想NB = 30。，EF是AB的中垂线，可过点A作AGEF交FC于G后，得到 含30。角的RtZABG,且EF是RtZABG的中位线，因此BG = 2BF=2AG,再设法证明AG=GC,即有BF=FG = GCJ例题图1例题图2分析三：由等腰三角形联想到“三线合一”的性质，作AD_LBC于D,则BD=CD,考虑到NB = 30。，不 妨设EF=1,再用

43、勾股定理计算便可得证。以上三种分析的证明略。探索与创新：【问题】请阅读下而材料，并回答所提出的问题：三角形内角平分线性质定理:三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。如图,ABC中，AD是角平分线，求证：=oDC AC分析：要证"=",一般只要证BD、DC与AB、AC或BD、AB与DC、AC所在三角形相似，现在DC ACB、D、C在同一条直线上，4ABD与4ADC不相似，需要考虑用别的方法换比。我们注意到在比例式变 =DC AC中，AC恰好是BD、DC、AB的第四比例项，所以考虑过C作CEAD交BA的延长线于E,从而得到BD、CD、AB的第四比例项A

44、E,这样，证明处="就可以转化为证AE=AC.DC AC证明：过C作CEAD交BA的延长线于EZ1 = Z2=>ZE=Z3=>AE=ACCEAD="2 = N3Z1 = ZEABBDCEAD=> DCBD AB DC"7c（1）上述证明过程中，用了哪些定理（写出两个定理即可）；（2）在上述分析、证明过程中，主要用到了三种数学思想的哪一种？选出一个填入后面的括号内（）数形结合思想转化思想分类讨论思想答案：转化思想（3）用三角形内角平分线性质定理解答问题：己知AD是AABC中NBAC的角平分线，AB = 5cm, AC =4 cm, BC=7 cm,

45、求 BD 的长。“ ，35答案：一cm9评注：本题的目的主要在于考查学生的阅读理解能力。跟踪训练：一、填空题：1、如图，ZA=52°, 0是AB、AC的垂直平分线的交点，那么NOCB=。2、如图，己知AB=AC, NA=44。，AB的垂直平分线MN交AC于点D,则/DBC=。第1题图第3题图第2题图第4题图NC=900, ZB=15°,AB的中垂线DE交BC于D点，E为垂足，若BD = 8,3、如图，在4ABC中， 4、如图，在AABC中，AB = AC, DE是AB的垂直平分线，4BCE的周长为24, BC=10,贝ljAB=05、如图，EG、FG分别是NMEF和NNFE

46、的角平分线，交点是G, BP、CP分别是NMBC和NNCB的角平分二、选择题：1、如图，ABC的角平分线CD、BE相交于点F,且NA=60°,则NBFC等于（）A、80°B、100°C、120°D、140°2、如图，ZkABC 中，N1 = N2, N3=N4,若ND=36）,则NC 的度数为（）A、82°B、72°C、62°D、52°3、某三角形有一个外角平分线平行于三角形的一边，而这三角形另一边上的中线分周长为2： 3两部分，若这个 三角形的周长为30cm,则此三角形三边长分别是（）A、8 cm、8

47、cm、14cmB、12 cln、12 cm、6cmC、8cm、8cin、14cm 或 12cn】、12 cm> 6cm D、4、如图，RtAABC中，ZC=90（ CD是AB边上的高，的平分线，图中相等的锐角为一组，则共有（）A、0组B、2组C、3组D、4组5、如果三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么A、锐角三角形B、直角三角形 C、钝角以上答案都不对CE是中线，CF是NACB这个三角形是（）三角形 D、不能确定三、解答题：1、如图，RtZABC的NA的平分线与过斜边中点M的垂线交于点D,求证：MA = MD。第1题图第2题图2、在aABC 中，ABWAC, D、E 在 BC 上

48、，且 DE=EC,过 D 作 DFBA 交 AE 于点 E DF=AC,求证: AE平分NBAC3、如图，在aABC 中，ZB=22.5°, ZC=60°, AB 的垂直平分线交 BC 于点 D, BD=6、£, AEJ_BC 于 点E,求EC的长。4、如图，在 RtZkABC 中，ZACB=90°, AC=BC, D 为 BC 的中点，CE±AD,垂足为 E, BFAC 交 CE 的延长线于点F,求证AB垂直平分DF。参考答案一、填空题：1、38°： 2、24°： 3、4： 4、14； 5、68°二、选择题：CB

49、CDB三、解答题：1、过 A 作 AN_LBC 于 N,证ND=NDAM；2、延长FE到G,使EG=EF,连结CG,证4DEF乌ZkCEG3、连结 AD, DF 为 AB 的垂直平分线，AD = BD=6<£, ZB = ZDAB=22.5°ZADE=45°, AE= AD=6、伤=622又,NC=60u.=华=3 = 2啰6 V34、证ACDgZkCBF6.平行四边形知识考点：理解并掌握平行四边形的判定和性质精典例题：【例1】已知如图：在四边形ABCD中，AB=CD, AD=BC,点E、F分别在BC和AD边上，AF=CE, EF和对角线BD相交于点O,求证

50、：点O是BD的中点。分析：构造全等三角形或利用平行四边形的性质来证明BO = DO略证：连结BF、DE在四边形 ABCD 中，AB=CD, AD = BC四边形ABCD是平行四边形，ADBC, AD = BC又,AF=CE，FDBE, FD = BE,四边形BEDF是平行四边形，BO=DO,即点O是BD的中点。例2图是 AB、BC、CD、DA着手分析，由E、F、 结AC后,EF和GH【例2】已知如图：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别 边上的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形。分析：欲证四边形EFGH是平行四边形，根据条件需从边上 G、H分别是各边上的中点，可联想到三角形的中位线定理，

51、连 的关系就明确了，此题也便得证。（证明略）变式1：顺次连结矩形四边中点所得的四边形是菱形。变式2：顺次连结菱形四边中点所得的四边形是矩形。变式3：顺次连结正方形四边中点所得的四边形是正方形。变式4：顺次连结等腰梯形四边中点所得的四边形是菱形.变式5：若AC=BD, AC±BD,则四边形EFGH是正方形,变式6：在四边形ABCD中，若AB=CD, E、F、G、H分别为AD、BC、BD、AC的中点，求证：EFGH是菱形。娈式6图变式7：如图：在四边形ABCD中，E为边AB上的一点，ZADE和4BCE都是等边三角形，P、Q、M、 N分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，求证：四边形PQ

52、MN是菱形。探索与创新：【问题】已知如图，在aABC中，NC=90°,点M在BC上，且BM=AC,点N在AC上，且AN=MC,探索与创新图AM和BN相交于P,求NBPM的度数。分析：条件给出的是线段的等量关系，求的却是角的度数，为此，我们由条件中的直角及相等的线段，可联 想到构造等腰直角三角形，从而应该平移AN。略证：过M作MEAN,且ME=AN,连结NE、BE,则四边形AMEN是平行四边形，得NE=AM, ME AN, AC±BCAME1BC 在BEM和AAMC中， ME=CM, ZEMB = ZMCA=90（ BM=AC AABEMAAMC，BE=AM = NE, N1

53、 = N2, N3 = N4, Zl + Z3 = 90° ，N2+N4=90。，且 BE=NE.BEN是等腰直角三角形 /. ZBNE=45°VAM/7NEAZBPM=ZBNE =45° 跟踪训练： 一、填空题：1、一个平行四边形的两条对角线的长度分别为5和7,则它的一条边长a的取值范围是 o2、ZZ7ABCD的周长是30, AC、BD相交于点O, AOAB的周长比AOBC的周长大3,则AB=第6、7题图3、已知ZZ7ABCD中，AB=2AD,对角线BDJ_AD,则NBCD的度数是° 4、如图：在 ZZ7ABCD 中，AE±BD 于 E, Z

54、EAD=60°, AE=2, AC+BD= 16,则BOC 的周长为5、如图：ZZ7ABCD 的对角线 AC、BD 相交于 O, EF 过点 O,且 EFLBC 于 F, Zl=30°, N2=45。，OD =2、泛，则AC的长为6、如图：过 ZZ7ABCD 的顶点 B 作高 BE、BF,已知 BF= - BE, BC= 16, NEBF=30。，则 AB=©47、如图所示，ZZ7ABCD 的周长为 30, AELBC 于点 E, AF_LCD 于点 F,且 AE ： AF=2 ： 3, ZC=120°, 则平行四边形ABCD的面积为。二、选择题：1、若

55、ZZ7ABCD的周长为28, AABC的周长为17cm,则AC的长为（）A、11cmB、5.5cmC、4cmD、3cm2、如图，ZZ7ABCD 和 ZZ7EAFC 的顶点 D、E、F、B在同一条直线上，则下列关系中正确的是（B、DE = BFC、DE<BFD、DE=FE=BFA、DE>BF3、如图，已知M是QABCD的AB边的中点，CM交BD于E,则图中阴影部分的面积与ZZ7ABCD的而枳之比是（）4、如图，ZZ7ABCD 中，BD=CD, ZC=70°, AE_LBD 于 E,则NDAE=（）A、20°B、25°C、30°D、35。5、在给

56、定的条件中，能作出平行四边形的是（）A、以60cm为对角线，20cm、34cm为两条邻边B、以20cm、36cm为对角线,22cm为一条边C、以6cm为一条对角线，3cm、10cm为两条邻边D、以6cm、10cm为对角线,8cm为一条边6、如图，ZZ7ABCD中，E、F分别是AD、BC边上的中点，直线CE交BA的延长线于G点，直线DF交AB的延长线于H点，CG、DH交于点O,若ZZ7ABCD的面积为4,则S、og=（）A、3-5B、47、在ZZ7ABCD中，AB=6, AD=8, NB是锐角，将4ACD沿对角线AC折叠，点D落在AABC所在平而内 的点E处，如果AE过BC的中点O,则U7ABC

57、D的面积等于（）A、48B、10 V6C. 12x/7D、24 叵三、解答题：1、如图，在ZZ7ABCD 中，AE_LBC 于 E, AF_LDC 于 F, ZADC=60°, BE=2, CF=I,连结 DE 交 AF 于点P,求EP的长。2、在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且艾 =± = /="=4 BE BF DG HD（k>0）,阅读下列材料,然后回答下面的问题：如上图，连结BDAE AH FC GC 瓦丽BF-，EHBD, FG/BD连结AC,则EF与GH是否一定平行，答：:当值为 时，四边形EFGH是平行四边形：在的情形下，对角线AC和BD只需满足 条件时，EFGH为矩形：在的情形下，对角线AC和BD只需满足 条件时，EFGH为菱形：3、已知，在四边形 ABCD 中，从ABDC；AB=DC；ADB