反思性数学教学与学生思维品质的培养

1、反思性数学教学与学生思维品质的培养【本文要点】反思性教学的基本特征；反思性教学对数学思维的影响；反思性教学的实施要点。“数学是思维的体操”。前苏联数学教育家斯托利亚尔认为，数学教育的任务是形成和发展那些具有数学思维（或数学家思维）特点的智力活动结构，并且促进数学中的发现。本人也一直认为，师范学校的数学教学不仅要传授知识，更应注意培养学生的思维品质，这将使学生的一生受益无穷，所以这是数学教学的首要目的。而反思性教学正是以培养学生思维品质为第一要义，从本质上意味着教学方法论的变化。高等数学本身高度的抽象性、概括性、严密性和数学语言的特殊性，更使反思性教学成为数学教育改革的新方向。一、反思性教学的基

2、本特征。“反思”是指对自身的思维过程、思维结果进行再认识和检验的过程，属于“元认知”的范畴。“反思性教学”思想的渊源可以追溯到杜威对反思活动的论述。杜威曾将“反思”概括为一种特殊的思维方式，认为反思起源于主体在活动情境过程中所产生的怀疑或困惑，是引发有目的的探究行为和解决情境问题的有效手段；强调教学需要“对于任何所依据的基础和进一步结论而进行的主动的持续的和周密的思考”，也就是说，教学活动本质上具有反思性质。追求教育实践的合理性，是反思性教学的根本动力。反思性数学教学的基本特征是探究性，是以批判的态度和方法对教学内容进行理性的思考，是教育主体自我分析和批判的过程。对数学教师而言，“反思”是教学

3、思维的重要组成部分，它意味着通过检验、探讨、评估、分析，从教学主体、教学目的、教学方法、教学工具等方面进行反思，激活个人的教育智慧，重构教学经验、重新组织教学情境，调整、选择教学策略，在各方面的相互作用下，产生超越已有信息之外的信息，从而帮助学生更好地学会学习。对学生而言，“反思”就是要对学习的全过程进行自觉、深入、反复的思考，通过学习前、学习中、学习后的反思，理性地看一看、想一想，比如这内容揭示了哪些数学思想和方法？逻辑上有无漏洞？解题方法是否正确？有无其它方法？有无捷径？结论能否推广？能否变化条件得出新的命题？能否“举一反三”？前后知识有什么联系？解题有什么规律可言？等等。通过不断地提出问

4、题，来发现有意义的新知识、新方法。所以，反思是训练思维品质、培养新思维的沃土。可以说，反思性教学突出了教学的情境性、过程性、评价性和反馈校正性，使得“学会教学”和“学会学习”结合了起来，无疑是提供了教学改革的新思路。二、反思性教学对数学思维品质的影响。教育心理学认为，只有经过自己探究、思考与概括的认识，才能真正纳入自己已有的认知结构，获得深刻的理解。只有通过学生本人的积极探索和思考，才能提高数学思维品质。由于反思性教学突出探究性，强调学生通过反思来发现问题并解决问题，所以十分有利于培养学生思维的批判性、周密性、广阔性、深刻性、创新性，克服思维定势负迁移的影响，从而较好地发展数学思维品质。1、有

5、助于发现错误培养思维的批判性。思维的批判性是指在思维活动中周到、缜密、严谨，善于以批判的眼光精细地检查思维过程，善于发现问题、提出质疑、纠正错误、评价优劣的思维品质。实施反思性教学可在解题过程中引导学生反思：这数学问题是否具有科学性（严谨、清晰、合乎逻辑）？解题过程中有没有逻辑错误？是否充分利用了题目条件？步骤是否完整？等等，往往能帮助学生发展思维的批判性，养成周密、严谨地思考问题的习惯。例如出题：设 ，由此证明 或 。有学生证： 或 引导学生反思证明过程，是个简单的推理，好象每步都正确，究竟有纰漏吗？学生不难发现： 是有条件的，即推理的前提不成立，题目本身缺乏科学性。反思1：对结论能否举出一

6、个反例，说明其不正确？考虑 ，则但是 与 都不存在。反思2：怎样修改题目，可使结论成立？显然，只要当 ， （极限分别存在）时，结论必成立。可见，经常对解题过程进行反思，养成检验的习惯，是增强思维批判性的有效方法。2、有助于拓展思路培养思维广阔性。数学思维的广阔性是指思路宽广，善于多方探求，善于从不同角度全面地看问题，又称为思维的发散性；是一种不依常规、寻求变异，从多角度、多方面去思考问题、寻求解答的思维品质，被人称之为“立体思维”。实施反思性教学，可使学生在解题过程中通过对思路的反思，发现新的思路，从而不受一解、一法、一式的限制，进一步拓展思路，逐渐养成多向思维的习惯，形成“立体思维”。例如：

7、设A为n阶可逆矩阵，证明A*也可逆，并求 (A*1 。一般，学生证明：A可逆， ，A*= | A |·A1，两边取行列式得：A*可逆，将A*= | A |·A1两边取逆，得引导学生反思：这样证A*可逆的主要依据是什么？（生答：是利用矩阵可逆的充要条件| A* |0），是否仅有这种证法？还可以怎么证？有更好的方法吗？得证法二：利用逆矩阵定义，A可逆，| A |0，由AA*=A*A= | A | I，各边乘以 ，得 ，A*可逆，且再反思：还有其它思路吗？启发学生可用反证法证之。证法三：假设A*不可逆，则 | A* |0同证法一可知 | A*|= | | A |·A1|

8、= | A| n·|A1|=| A| n10| A |0这与A可逆矛盾，假设不成立。A*可逆。从而归纳出证明矩阵A可逆的常用方法有三种：利用A可逆的充要条件| A |0；利用逆矩阵定义或推论；用反证法。由此可见，通过对解题思路的反思，往往能发现还有另外的思路，从而得出新的解法。这能有效地增强思维的广阔性。3、有助于把握本质和规律培养思维的深刻性。数学思维的深刻性经常被称之为分清实质的能力，它表现为能洞察所研究的问题的实质及问题的相互关系，善于从复杂的现象中把握事物的本质及规律，善于将已有事实变更、推广为更深刻的结果等。实施反思性教学，能使学生在理解概念、性质与解题方法时，通过反思：这

9、概念的要义、本质是什么？能否采取变式？这性质与何有联系或区别？这类题目解法有何规律？等等，去表及里、去伪存真、把握规律、掌握本质属性，从而学会自觉地思考事物的本质，发展思维的深刻性。例如学习函数f (x 在某点x0连续的概念，一般先按课本定义有：设f (x在x=x0的某个邻域包括点x0有定义，若 存在，且 ，则f (x在点x0处连续。可引导学生反思：这定义的本质属性是什么？定义方式是不是最好？能否用其它方式来下这定义？为了帮助学生思考，可出判断题：关于函数在某点连续的说法下列正确的是： 学生发现：将 用“”语言表述，就是： ，因总有 ，故可把0| xx0 |改成 | xx0 |，所以说法与定义

10、等价。只要将 改写为 ，设x=xx0为自变量x在x0的改变量，则 为函数f (x在点x0对应于x的改变量，显然xx0 即x0；f (x f (x0 即y0，所以 ，故说法也正确。由此可见f (x 在点x0连续的本质是：当自变量x的改变量x是无穷小时，相对应的函数改变量也为无穷小。这样反思概念的定义方式，显然能帮助学生正确认识概念的本质属性。多做这种训练，对提高思维的深刻性有明显帮助。4、有助于发现新的方法和技巧培养思维的创新性。数学思维的创新性，是指思维的结果相对于已有的认识成果来说，具有独特性和新颖性。它的特点是主体对知识经验和思维材料进行新颖的组合分析、抽象概括，是一种探新的思维活动。在数

11、学学习过程中，主要表现为善于独立地思索、分析和解答问题，善于追求独特、新颖的解题方法等等。在数学教学中，通过反思引导学生克服思维保守、封闭的状态，将知识融会贯通、综合应用，往往有助于发现新的方法和技巧，以发展创新思维。例如：证明一般，根据定义，要对 找正数M，使xM时 恒成立。学生会发现，直接从这不等式找M走不通。引导反思：既然直接找不到M，能不能跳出这圈子，通过其它途径找？联想此类证明常用“放大”的方法，但 怎么放大？能否变式使分子分母形式较为统一？启发学生令 ，则因a1，故b=1+h1，因此所证即为，再对x作处理，因x+，不妨设mxm+1（m为正整数），则由此，对于任意的0，要 ，只要 ，

12、即对于任意的0，存在 ，当xM时，恒有 本题的解决，采用了新颖的技巧。多做这样的反思训练，无疑能增强学生创新思维。三、反思性教学的实施要点反思性教学试图超越传统的经验型教学和操作型教学的弊端，在启迪和发展学生的思维品质上下功夫，开辟了提高教育质量的新途径。本人认为，实施反思性教学，教师首先要有反思意识，改变传统的教学观念，并注意以下要点：1、创设情景，善于设疑，激发反思意识。很多教师对高等数学的教学习惯于传统的讲解法，平铺直叙地给出概念、性质、公式和习题解法，把重点放在了传授知识上。而实施反思性教学，就要善于创设情景，适当而巧妙地设置疑问，引发学生强烈的认知冲突，以激发学生的反思意识。特别要从

13、学生易忽视的角度（或环节）提出问题，使学生在紧张思索、探讨的气氛中寻求答案，变被动学为主动学。2、环环相扣，善于引导，促使反思深入。教师在巧妙创设情景，激发起学生的反思意识后，还要注意环环相扣，按一定的教学目的，从理论应用和实践两个角度引导学生的反思步步深入，才能充分发展学生的思维空间。例如在讲完连续函数定义、引入函数间断点时，先可让学生反思1：学过的初等函数是否处处连续？请结合图形考虑。学生马上会想到某点不连续的情况，如： 在x=0点不连续。进一步提出反思2：根据函数f (x 在点x0连续的定义，f (x 在点x0出现哪些情形时才会不连续？应用理论学生发现有下列三种情况： f (x在x=x0没有定义； 不存在； 虽在x0有定义，且 存在，但 ，都不符合连续定义。再提出反思3：对这几种情况你能一一举出实例吗？从实践的角度让学生充分思考，寻找实例。例如 在点x=0处的情况， 在x=1处的情况， 与 在点x处的情况，然后把各种情况分析归类，最后给出第一类间断点、第二类间断点、可去间断点的概念。这样的教学整个过程气氛活跃，随着反思的步步深入，学生的思维品质得到了较好的发展，不仅学到了知识，而且学到了学习和思考问题的方法。