人教版八年级上册数学期末试卷专题练习(解析版)

1、人教版八年级上册数学期末试卷专题练习（解析版）一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1.如图 1：在四边形 A8CD 中，AB=AD. ZBAD=120Q , Z6=Z ADC=90c . E, F 分别是BC, CD上的点.且N£AF=60° .探究图中线段EF, BE, F。之间的数量关系.小明同学探究的方法是：延长FD到点G.使。G=8E.连结AG,先证明阳正 ADG,再 证明4£心 AGF,可得出结论，他的结论是（直接写结论，不需证明）：如图2,若在四边形A8CD中，AB=AD. N8+N。=180° , E、1分别是8C, CD上的点，且N

2、E4F是N84D的二分之一，上述结论是否仍然成立，并说明理由.如图3,四边形A8c。是边长为5的正方形，NE8F=45°，直接写出三角形DEF的周 长.【解析】【分析】（1）如图1,延长FD到G,使得DG=DC,先证48Ega4）G,得至ljAE=4G, NBAE=NDAG,进一步根据题意得NEAF=NGAF,再证明得到EF=FG,最后 运用线段的和差证明即可.如图2,延长FD到点G.使0G=8E.连结在G,证得 40G,得至lj 4E=4G,NBAE=4 DAG,再结合题意得到N®F=NG4F,再证明日笆 AGF,得到EF=FG,最后运 用线段的和差证明即可.（3）如图3

3、,延长DC到点G,截取CG=AE,连接8G,先证 4EB合 CG8,得到8£=8G, NABE=NCBG, 结合已知条件得,.NCBF+NCBG=45°,再证明 £8是 G8F,得到 EF=FG,最后求三角形的周长即可.【详解】解答：（1）解：如图1,延长FD到G,使得DG=DC/£AABE /ADG 中，DC = DG，ZB = ZADGAB = AD：.a ABE 4 ADG (SAS),/. AE=AG. N84END4G,1Z EAF=-4 BAD,2/. Z GAF=4 DAG+Z DAF=A B4E+N DAF=4 BAD2 EAF=N EA

4、F,：.Z EAF=4 GAF,/£AAEF 和G4F 中，AE = AG,一 ZEAF = ZGAF ,AF = AF：. AEF AGF (SAS), EF=FG,< FG=DG+DF=BE+DF,：.EF=BEWF；故答案为：EF=BEWF.(2)解：结论EF=8E+DF仍然成立：理由：如图2,延长FD到点G.使0G=8E.连结4G在ABE和40G中，DG = BE< NB = ZADG ,AB = AD：. ABE 4 ADG (SAS),/. AE=AG. ZBAE=A DAG,1Z EAF=-4 BAD,2/. Z GAF” D4G+N DAF=A 84E+N

5、 DAF=£ BAD叱 EAF=N EAF,：.Z EAF=Z GAF,在AEF和G4F中，AE = AG ZEAF =乙GAF ,AF = AF ：. AEF拶 AGF (SAS),EF=FG9 I FG=DG+DF=BE+DF,：.EF=BE+DF；(3)解：如图3,延长OC到点G,截取CG=4E,连接8G, 在AEB与4CGB中，AE = CG NA = /BOGAF = BF：. AEB 4 CGB (SAS), BE=BG, NABE=N CBG.,/ Z £8F=45" , N48c=90° , N ABE+N C8F=45° ,/

6、. Z C8f+Z CBG=45c .在AEBF与aGBP中，BE = BG .一 /EBF = ZGBF , BF = BF：. EBF a GBF (SAS),. EF=GF,: & OEF 的周长=EF+ED+CF=AE+CF+OE+DF=40+CD=10.【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，灵活运用全等三角形的性质和判定是解答本题 的关键.但本题分为三问，难度不断增加，对提升思维能力大有好处.2.在四边形48CD中，E为8c边中点.(I )已知：如图，若4E平分N84), NAED=90°,点F为4D上一点，斯38.求证:(I) ABE AFEx (2) A

7、D=AB+CD()已知：如图，若4E平分N84D, 0E平分N4DC, N4ED=120。，点F, G均为A。上的点，AF=AB, GD=CD.求证：(1) ZkGEF 为等边三角形；(2) AD=AB- - 8C+CD.2【答案】(I) (1)证明见解析：(2)证明见解析：(II) (1)证明见解析：(2)证 明见解析.【解析】【分析】(I ) (1)运用SAS证明即可：(2)由(1)得出NAEB二NAEF, BE=EF,再证明DEFg/kDEC (SAS),得出 DF=DC,即可 得出结论：(II) (1)同(I ) (1)得ABEgZAFE (SAS) , ADGEADCE (SAS),

8、由全等三角 形的性质得出BE=FE, NAEB=NAEF, CE=GE, NCED=/GED,进而证明ZiEFG是等边三角 形：(2)由aEFG是等边三角形得出GF=EE=BE=LbC,即可得出结论.2【详解】(I ) (1):AE 平分NBAD, AZBAE=ZFAE,在aABE和4AFE中，AB=AF< NBAE= /FAE, AE=AEAAABEAAFE (SAS),(2) VaABEAAFE,AZAEB=ZAEF, BE=EF,E为BC的中点，ABE=CE,，FE=CE,/ ZAED=ZAEF+ZDEF=90°,，ZAEB+ZDEC=90°tAZDEF=ZDE

9、C,DEF 和ADEC 中，FE=CE" ZDEF=ZDEC ,DE=DE .AADEFADEC (SAS),ADF=DC,7AD=AF+DF,AAD=AB+CD；(n) (i),.在为bc的中点，1ABE=CE=-BC,2同(I ) (1)得：aABEAAFE (SAS), DEGADEC (SAS),ABE=FE, ZAEB=ZAEF, CE=GE, NCED=NGED,VBE=CE,，FE=GE,: ZAED=120% ZAEB+ZCED=180°-120o=60°, ZAEF+ZGED=60",AZGEF=60%EFG是等边三角形，(2) EFG

10、是等边三角形,1AGF=EF=BE=-BC,27AD=AF+FG+GD>AAD=AB+CD+-BC.2【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识：熟练掌握等边三 角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键.3.如图，在AA3C中，ZC = 90°, AC = 3, 8C = 7,点。是边上的动点，连接AD,以AO为斜边在的下方作等腰直角三角形AO石.(1)填空：AABC的而积等于；(2)连接CE,求证：CE是Z4C8的平分线：(3)点。在3C边上，且。=1,当。从点。出发运动至点3停止时，求点E相应的 运动路程.2【解析】【分析】(1)根据直角三角

11、形的面积计算公式直接计算可得：(2)如图所示作出辅助线，证明AEM名ADEN (AAS),得到ME=NE,即可利用角平分 线的判定证明：(3)由(2)可知点E在NACB的平分线上，当点D向点B运动时，点E的路径为一条直线，再根据全等三角形的性质得出CN='(AC + C。)，根据CD的长度计算出CE的长度即2可.【详解】解：(1) NC = 90。，4c = 3, 3C = 7, SjBC= -ACxBC = -x3x7 = 21故答案为：2（2）连接CE,过点E作EMLAC于点M,作EN_LBC于点N.Neman end=90°,XVZACB=90",AZMEN=

12、90%AZMED+Z DEN=90°,VAADE是等腰直角三角形AZAED=90 AE=DEA ZAEM+z MED=90%，ZAEM=Z DEN，在aem 与Aden 中，ZEMA=Z END=90 ZAEM=Z DEN, AE=DE AAAEMADEN (AAS) /. ME=NE .点E在NACB的平分线上，即CE是NAC3的平分线E(3)由(2)可知，点E在NACB的平分线上， .当点D向点B运动时，点E的路径为一条直线,VAAEMADEN，AM=DN,即 AC-CM=CN-CD在 RtZkCME 与 RtZkCNE 中，CE=CE, ME=NE,ARtACMERtACNE

13、(HL)ACM=CN.CN=(AC + CD),又NMCE=NNCE=45°, ZCME=90°, CE= y/2CN = 4 (AC + CO),当 AC=3, CD=CO=1 时，CE=W(3 + l) = 2>/7当 AC=3, CD=CB=7 时，CE=土：(3 + 7) = 5 忘2，点E的运动路程为：5近-2丘=3近,【点睛】本题考查了全等三角形的综合证明题，涉及角平分线的判定，几何中动点问题，全等三角 形的性质与判定，解题的关键是综合运用上述知识点.24.如图，在AABC中，BC = 5 ,高的相交于点。，且A石=8石.求线段A。的长；(2)动点P从点。

14、出发，沿线段0A以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q 从点8出发沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P,。两点同时出发，当点P到 达A点时，P，Q两点同时停止运动.设点。的运动时间为t秒，尸。的面积为S，请 用含/的式子表示S ,并直接写出相应的f的取值范围；在的条件下，点厂是直线4c上的一点且CF = 80.是否存在，值，使以点 B、O,P为顶点的三角形与以点尸,CQ为顶点的三角形全等?若存在，请直接写出符合条 件的，值;若不存在，请说明理由.【答案】(1)5： (2)当点。在线段8。上时，。=2-勿，/的取值范围是0</<-：当点。在射线。C上时，。=4/一2,，的

15、取值范围是(3) 22存在，1 = 1或1.【解析】【分析】(1)只要证明AOEg4BCE即可解决问题：(2)分两种情形讨论求解即可当点Q在线段BD上时，QD=2-4t,当点Q在射线DC 上时，DQ=4t-2时：(3)分两种情形求解即可如图2中，当OP=CQ时，BOPAFCQ.如图3中，当 OP=CQ 时，BOPg/kFCQ；【详解】解：（1）AO是高，ZAOC = 90 BE 是高,ZAEB = /BEC = 90:.ZEAO + ZACD = 90，NEBC + ZECB = 90， ZEAO = ZEBC在A4QE和MCE中，ZEAO = ZEBCAE = BEZAEO = /BEC .

16、 ,. AAOE g ABCE/. AO = BC = 5；（2） V BD = -CD, BC=5 3:BD=2, CD=3,根据题意，OP = l, bq = "当点。在线段53上时，QO = 2 4/,5 = 17（2-41） = -2/+/,/的取值范围是0，1, 22当点Q在射线0c上时，。=4/一2, S = h（4r-2） = 2产一/,的取值范围是! V，w 522（3）存在.如图 2 中，当 OP=CQ 时，VOB=CF, NPOB=NFCQ, AABOPAFCQ. A，CQ=OP,A5-4t= t,解得t=l,如佟I 3 中，当 OP=CQ 时，VOB=CF, N

17、POB=NFCQ,，BOPgAFCQ.A图3，CQ=OP,A4t-5=t,解得t=:.综上所述，t=l或2s时，ZkBOP与FCQ全等. 3【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是 灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.5.操作发现：如图，已知MBC和DE均为等腰三角形，AB=AC, AD=AE,将这两个三 角形放置在一起，使点8, D, E在同一直线上，连接CE.图2（1）如图 1,若N48C=N4CB=NADE=NA£D=55。，求证：aBADACAE；（2）在（1）的条件下，求N8EC的度数：拓广探索：（3）如图2,若NCA8

18、=NE4D=：L20。，8D=4, CF为aBCE中8E边上的高，请 直接写出汗的长度.【答案】（1）见解析：（2） 70°； （3） 2【解析】【分析】（1）根据SAS证明BADg/kCAE即可.（2）利用全等三角形的性质解决问题即可.（3）同法可证ABAD名ACAE,推出 EC=BD=4,由NBEC=NBAC=120°,推出NFCE=30°即可 解决问题.【详解】（1）证明：如图1中，D图1Z ABC=Z ACB = Z ADE=A AED, . Z EAD=Z CAB, . Z EAC=A DAB9 ：AE=AD. AC=AB. . BAD & CA

19、E (SAS).(2)解：如图1中,设AC交8E于0. N A8c=N4C8 = 55°, .Z BAC= 180° - 110° = 70°, BAD 4 CAE.Z ABO = Z. ECO, ,Z EOC=AAOB.Z CEO = Z 840=70°, 即 N BEC=70(3)解：如图2中,图2Z C48 = N £40 = 120°,Z BAD=Z CAE9AB=AC, AD=AE.a BAD x CAE (SAS),N BAD =，ACE, 8D=EC=4, 同理可证N BEC=N 847=120°,Z

20、 血=60°,CFLEF,Z F=90°,Z FCE=30°,1EF=-EC=2.2【点睛】 本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找 全等三角形解决问题，属于中考常考题型.6.已知点P是线段MN上一动点，分别以PM, PN为一边,在M/V的同侧作4PM, 8PN,并连接 8M, AN.图102图3(I )如图 1,当 PM=AP, P/=8P 且NAPM=N8PN=90°时，试猜想 8M, 4V 之间的数 量关系与位置关系，并证明你的猜想；(II)如图2,当4PM, 8P/V都是等边三角形时，(I )中8M, AN

21、之间的数量关系 是否仍然成立？若成立，请证明你的结论：若不成立，试说明理由.(III)在(H)的条件下，连接48得到图3,当PN=2PM时，求N%8度数.【答案】(1) BM=AN, BM±AN. (2)结论成立.(3) 90°.【解析】【分析】(1)根据已知条件可证MBPgANP,得出MB=AN, NPAN=NPMB,再延长MB交AN于点C,得出NMCN = 90。,因此有BMJ_AN：根据所给条件可证MPBgaAPN,得出结论BM=AN：(3)取PB的中点C,连接AC, AB,通过已知条件推出aAPC为等边三角形，ZPAC= NPCA=60。，再由CA=CB,进一步得出

22、NPAB的度数.【详解】解：(I )结论：BM=AN, BMLAN.理由：如图1中，-：MP=AP9 NAPM=NBPN=90°, P8 = PN, 工MBP/ANP ( SAS ),：.MB=AN.延长MB殳AN于点C.9：AMBP/ANP9:./PAN=/PMB, /%N+NP/A=90°,：.ZPMB+ZPNA = 90：.ZMC/V=1800 - ZPMB - NPNA=90°, ：.BMLAN.（II ）结论成立 理由：如图2中,图2 ： 4APM, BPN,都是等边三角形, ZAPM=ZBPN=60<>：.ZMPB=ZAPN=120又%=%

23、, P8 = PN,：.AMPBAAPN (SAS)：.MB=AN.图3 APM, P8N都是等边三角形 A ZAPM=ZBPN=60 PB=PN ,:点C是P8的中点，且PN=2PM, ：.2PC= 2PA = 2PM=PB = PN, NAPC=60°, 4PC为等边三角形， ，/%C=NPC4 = 60°, 又C4 = C8,：.ZCAB= ZABC=30°,：.ZPAB= N%C+NCA8 = 900.【点睛】本题是一道关于全等三角形的综合性题目，充分考查了学生对全等三角形的判定定理及其 性质的应用的能力，此类题目常常需要数形结合，借助辅助线才得以解决，因

24、此，作出合 理正确的辅助线是解题的关键.7.如图1,已知CF是48C的外角NACE的角平分线，。为CF上一点，且D4 = D8.01图2(1)求证：ZACB=ZADB；(2)求证：AC+BCV2BD；(3)如图 2,若N£CF=60。，证明：AC=BC+CD.【答案】(1)详见解析；(2)详见解析：(3)详见解析.【解析】【分析】(1)过点D分别作AC, CE的垂线，垂足分别为M, N,证明RtZkDAMgRtDBN,得出 NDAM二NDBN,则结论得证：(2)证明 Rt/kDMCgRtZDNC,可得 CM=CN,得出 AC+BO2BN,又 BNVBD,则结论得 证：(3)在AC上取

25、一点P,使CP=CD,连接DP,可证明ADPgBDC,得出AP=BC,则结论 可得出.【详解】(1)证明：过点。分别作4C，CE的垂线，垂足分别为M, N,CF是AABC的外角ZACE的角平分线,：.DM=DN,在 R3OAM 和 R3D8N 中，DA = DBDM = DN 'ARtADMRtADBA/ (HL),:./DAM=/DBN,，ZACB=ZADB；(2)证明：由(1)知 OM=ON,在 RtADMC 和 RtADNC 中，DC = DCDM = DN 'ARtADMCRtAD/VC (HL),:CM=CN,：.ACBC=AM+CMBC=AM+CN+BC=AM+BN

26、.又AM=8N,：.ACBC=2BN.: BN<BD,：.ACBC<2BD.(3)由(1)知NC4D=NCBD,在 4c上取一点 P,使 CP=CO, 连接DP,图2V Z£CF= 60% N4CF=60°,COP为等边三角形，：.DP=DC, ZDPC= 60%工 /APD=120°,V Z£CF= 60%，/8CD=120°,在ADP和ABDC中，ZAPD = /BCD /PAD = NCBD , DA = DB：.ADPABDC (AAS),：.AP=BC,4C=AP+CP,；.AC=BC+CP,：.AC=BC+CD.【点睛】

27、本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平 分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.8.如图，在边长为4的等边ABC中，点D从点A开始在射线AB上运动，速度为1个单 位/秒，点F同时从C出发，以相同的速度沿射线BC方向运动，过点D作DEJ_AC,连结 DF交射线AC于点G当DF_LAB时，求t的值；当点D在线段AB上运动时，是否始终有DG=GF?若成立，请说明理由。聪明的斯扬同学通过测量发现，当点D在线段AB上时，EG的长始终等于AC的一半， 他想当点D运动到图2的情况时，EG的长是否发生变化?若改变，说明理由：若不变，求 出EG的长。4【答

28、案】（1）y: （2）见详解：（3）不变.【解析】【分析】（1）设AD=x,则BD=4-x, BF=4+x.当DF_LAB时，通过解直角4BDF求得x的值，易得t 的值：（2）如图1,过点D作DHBC交AC于点H,构建全等三角形：DHG丝aFCG,结合全等 三角形的对应边相等的性质和图中相关线段间的和差关系求得DG=GF；（3）过 F 作 FH_LAC,可证ADEgACFH,得 DE=FH, AC=EH,再证GDEg4GFH,可得 EG=GH,即可解题.【详解】解：（1）设 AD=x,则 BD=4-x, BF=4+x.当 DF_LAB 时，V ZB=60°,.ZDFB=30°

29、;,BF=2BD,即 4+x=2 （4-x）,4解得X=y,故tg(2)如图1,过点D作DHBC交AC于点H,则NDHG=NFCG.图1ABC是等边三角形,.ADH是等边三角形, .AD=DH.又 AD=CF, .-.DH=FC.< 在aDHG与aFCG中， ZDGH=ZFGC< ZDHG=ZFCG ,DH=FCAADHGAFCG (AAS), ：.DG=GF；/AED= NFHC=9。< ZA=ZFCH ,AD=CFAAADEACFH (AAS),，DE=FH, AE=CH,AAC=EH,在aGDE和GFH中，ZDEG=ZFHG< /DGE=/FGH AAGDEAGF

30、H (AAS),DE=FH，EG=GH,AEG=-EH=-AC. 22【点睛】本题考查了三角形综合题，需要掌握全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的 性质，本题中求证GDEgAGFH是解题的关键.9.在平而直角坐标系中，直线A8分别交x轴，v轴于A （a, 0） , B （0, b）,且满足a2+b2+4a - 8b+20=0.（1）求明 b的值;（2）点P在直线A8的右侧：且N4P8=45。, 若点P在x轴上（图1）,则点P的坐标为:若8P为直角三角形，求P点的坐标.【答案】（1）。= - 2, 6=4： （2）（4, 0）；P 点坐标为（4, 2） , （2, - 2）.【解析】【

31、分析】（1）利用非负数的性质解决问题即可.（2）根据等腰直角三角形的性质即可解决问题.分两种情形：如图2中，若NABP=90。，过点P作PCJ_OB,垂足为C.如图3中，若 NBAP=90。，过点P作PDJ_OA,垂足为D.分别利用全等三角形的性质解决问题即可.【详解】（1） / /+4a+4+b2 - 86+16=0(a+2) 2+ (b-4) 2=0-2, b=4(2)如图1中，NAP8=45。，ZPO8 = 90°,，OP=O8=4, ：.P （4, 0）.故答案为（4. 0）.- 2, b=4，04 = 208=4又48P为直角三角形，N4P8=45°，只有两种情况

32、，N48P=90。或/8AP=90。垂足为C.如图2中,若NA8P=90。,过点P作PC_LO8,图2，NPC8=N8OA = 90。，又: N4P8=45°,，N8AP=N4P8=45。，：.BA = BP,又/ ZABO+ZOBP = ZOBP+ ZBPC= 90°,工 zabo=zbpc9:.ABO4ABPC (AAS),，PC=O8=4, 8c=04 = 2,，OC=O8-8C=4-2 = 2,：.P (4, 2).如图3中，若N8AP=90。，过点P作PD_LOA,垂足为图3：.ZPDA=ZAOB=90Qt 又: N4P8=45°,，ZABP=ZAPB=

33、A5q9：.AP=AB,又 Y N8AD+NOAP=90。， ND%+ND4P=90°, ：.ZBAD=ZDPA.：.ABAO/APP (A4S), ：.PD=OA = 2. 40=08 = 4, ：.OD=AD-OA=4- 2 = 2, ：.P (2, - 2).综上述，P点坐标为(4, 2) , (2, -2).【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质 等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等 三角形解决问题.10.如图，N BAD=N CAE=90°, AB=AD, AE=AC, AF

34、±CB,垂足为 F.(1)求证:A ABC合 ADE：(2)求N FAE的度数：(3)求证：CD=2BF+DE.【答案】(1)证明见解析：(2) ZFAE=135° ： (3)证明见解析.【解析】【分析】(1)根据已知条件易证N BAC=Z DAE ,再由AB=AD , AE=AC ,根据SAS即可证得 ABC合 ADE ；(2)已知/ CAE=9O° , AC=AE，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得N E=45° ,由(1)知 BAS a DAE ,根据全等三角形的性质可得N BCA=Z E=45° ,再求得 Z CAF=45&#

35、176; ,由N FAE=Z FAC+Z CAE 即可得 N FAE 的度数：(3 )延长BF到G,使得FG=FB ,易证 AFB合 AFG ,根据全等三角形的性质可得 AB=AG , Z ABF=N G ,再由 BAC DAE ,可得 AB=AD , Z CBA=Z EDA , CB=ED ,所以 AG=AD , Z ABF=Z CDA ,即可得N G=Z CDA ,利用AAS证得 CG的 CDA ,由全等三角形 的性质可得 CG=CD ,所以 CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF .【详解】(1 ) / Z BAD=Z CAE=90° r/. Z BAC+Z CAD

36、=90° , Z CAD+Z DAE=90° rZ BAC=Z DAE ,在 BAC和 DAE中，AB = AD< ZBAC = ZDAE , AC = AE/. a BAC2 DAE ( SAS )；(2 ) ,/ Z CAE=90° f AC=AE , Z E=45° r由(1)知a BAC合 DAE , . Z BCA=Z E=45° r / AF±BC , , Z CFA=90° , . Z CAF=45° r/. Z FAE=Z FAC+Z CAE=45°+90o=135° ；

37、(3)延长BF到G,使得FG=FB, / AF±BG ,Z AFG=Z AFB=90° r 在 AFB和aAFG中，BF = GF ZAFB = ZAFG , AF = AF AFB合 AFG ( SAS ), ，AB=AG , Z ABF=Z G , / A BAC DAE , , AB=AD , Z CBA=Z EDA , CB=ED ,/. AG=AD , Z ABF=Z CDA ,/. Z G=Z CDA , 在 CGA和 CDA中，ZGCA = ZDCA 乙CGA = ZCDA , AG = AD CGA合 & CDA ,/. CG=CD ,CG=CB+B

38、F+FG=CB+2BF=DE+2BF ,/. CD=2BF+DE .【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解决第3间需作辅助线，延长BF到G,使得FG邛B,证得 CG的4 CDA是解题的关键.二、八年级数学轴对称解答题压轴题(难)11.如图，在等腰直角zMBC中，AB = AC, ZBAC = 90°,点。是AABC内一点， 连接A£，AE_LAO且AE = A。，连接8。、CE交于点F.(1)如图1，求N8R7的度数：(2)如图2,连接石。交8C于点G,连接4G,若4G平分NEM),求证：ZEAC = 2/EDF：(3)如图3,在(2)的条件下，BF交AG、4c分别于点

39、M、N, DH A.AM .连 接HN,若A4ON的而积与QHV的面积差为6, DF = 6,求四边形AM庄的面积.【答案】(1) ZBFC=90°： (2)见解析：(3) S四边形am在=20 【解析】【分析】(1)根据SAS证明aAB。经ACE,所以NA5Q = NACF,所以 ZBFC = Z5AC = 90°.(2)根据题意先求出NA8G + NA0G = 18O。，在48上截取AK = AO,连接KG,由 AKGADG , ZBKG+ZAKG = S00,可证得 NBKG = /KBG, GB = GK = DG,所以ZDBG = ZBDG = AEDF = a

40、,因为NC4E = ZBAZ) = 2a,所以Z.CAE = 2/EDF.(3)根据题意和(2)中结论先证明AD = 4N = AE,过A作8尸、CE垂线，垂足分 别为A、T，连接4尸，证明丝4ET,所以AH = AT,然后根据等腰三角形的 性质可得出。M = F7V,过点H作HP_LFM,垂足为夕，所以HP=PM = DP，设 DP = x, DR = y,所以S_w)nSsn=y(x+y) = 6, DF = 2x + 2y = 6,求22出x, y,不难得到Sg". = 4V户=Smw =4 ,然后可得S四边形a”在=20.【详解】(1)因为是等腰直角三角形，所以AB = AC

41、, ABAC = 90° = ZDAE所以 ABAD = ZCAE,因为 A£ = AE，所以A8£丝”ICE,所以 NABD = NACF,所以 ZBFC = ZBAC = 90°.(2)因为 AD = A£, ZZME = 90°,所以NAEO = 45。= NACG ,所以/CAE = /CGE,由(1)知：ABAD = ZCAE,所以 NB4O = NCGD,设 ABAD = 2a = /CGD，所以 ZBGQ = 180。2a ,所以 ZBAQ + NBGZ) = 180。,所以NA3G + NAQG = 180。，因为 A

42、G平分NBA。，所以NBAG = NZMG = a ,在A8上截取AK = A。，连接KG,因为AG = AG,所以4KG04QG,所以NAKG = NAOG, DG = KG ,因为 NBKG + /4KG = 180。，所以 4BKG = /KBG,所以GB = GK = DG, 所以ZDBG = ZBDG = /EDF = a,因为 /CAE =/BAD = 2a,所以 NCAE = 2NEDF .(3)由(2)知：/BAG = ZDBG = a,因为NBAC = 90。，ZABC = 45°,所以 ZABN = 45。 %因为NBAD = 2a,所以NAOV = 450+a,

43、因为mW = 90° 2a,所以ZAND = 45°+a = ZADN,所以AQ = AN,因为AD = A£,所以AE = 4V，过A作BE、CE垂线，垂足分别为H、T,连接AE,因为 ZAC£ = ZA3O = 45。一。，Z.CAE = 2a,所以 ZAET = 45°+a = ZAM?,因为AE = 4N,所以ANR/aAET,所以AH = A7,所以以平分N8F7，所以NAFN = NAFE = 45。，因为N/WN = 45。，所以NABW = N>M,所以 AF = AM ,所以FR = MR,因为DR = RN,所以OM

44、= FN,过点作垂足为P, 因为 NAMV = 45。，ZD/M =90°,所以 ZMHP = ZDHP = ZHDP = 45。,所以 HP = PM = DP,设OP = x,所以。M = RV = 2x,设。R = y,所以£W = 2y,所以MR = 2x + y,因 为 NMM = 45。，所以4R = MH = 2x+y,所以5»皿-5坨制=1DNAR DNHP 22= y(x+y)=6,因为 O/7 = 2x + 2y = 6 ,所以x+y = 3,所以 y = 2, x = ,因为人/=4/，ZANF = ZAEF,所以AEFANF，所以FN =

45、EF，因为 AR=AT所以 S*ef = Smnf =» 因 '为 Sun” = t，DM - AR = 4 ,乙所以 S四边形4“正=+ Sm),v + SuAF + S耳EF = 20 .【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定 和性质等知识点，解题的难点在于学会添加常用辅助线，构造三角形全等解决问题，属于 中考压轴题.12. （1）如图，D是等边4ABC的边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC,以 DC为边，在BC上方作等边DCF,连接AF,你能发现AF与BD之间的数量关系吗？并证 明你发现的结论；（2）如图，当动点D

46、运动至等边AABC边BA的延长线时，其他作法与（1）相同，猜 想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；（3） I .如图，当动点D在等边AABC边BA上运动时（点D与B不重合），连接DC, 以DC为边在BC上方和下方分别作等边4DCF和等边DCF',连接AF, BF',探究AF, BF'与AB有何数量关系？并证明你的探究的结论：H.如图，当动点D在等边AABC的边BA的延长线上运动时，其他作法与图相同， I中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论.【答案】(1) AF=BD,理由见解析：(2) AF与BD在(1)中的结论成立，理由

47、见解析:(3) I.AFtBF'二AB,理由见解析，II. I中的结论不成立，新的结论是AF=AB+BF', 理由见解析.【解析】【分析】(1)由等边三角形的性质得BC=AC, NBCA=60° , DC=CF, NDCF=60° ,从而得NBCD=NACF,根据SAS证明BCDgACF ,进而即可得到结论：(2)根据SAS证明BCDACF ,进而即可得到结论；(3) I .易证BCDgZACF (SAS) , BCF' AACD (SAS),进而即可得到结论：II .证明BCl gACD ,结合AF=BD,即可得到结论.【详解】(1)结论：AF=B

48、D,理由如下：如图1中，二ABC是等边三角形，BC二AC, NBCA二60。，同理知,DC=CF, ZDCF=60° ,A Z BCA-Z DCA= Z DCF-ZDCA,即：NBCD=NACF,在4BCD和4ACF中，BC = AC: /BCD = ZACF , DC = FCAABCDAACF (SAS),，BD 二 AF；(2) AF与BD在(1)中的结论成立，理由如下：如图2中，:ABC是等边三角形,，BC二AC, NBCA二60，同理知,DC=CF, ZDCF=60° ,，NBCA+NDCANDCF+NDCA,即 NBCD= NACF,在4BCD和4ACF中，BC

49、 = AC/BCD = ZACF , DC = FCAABCDAACF (SAS),，BD 二 AF；(3) I . AF+BF'=AB,理由如下：由(1)知，ABCDAACF (SAS),则 BD二AF；同理：BCF' AACD (SAS),则 BF'=AD,AAF+BFr =BD+AD=AB；11. I中的结论不成立,新的结论是AF=AB-BF',理由如下:同理可得：NBCF' = ZACD , Ff C = DC，在aBCF'和4ACD 中，BC = AC< NBCF' = ZACD ,尸 C = DC.BCF' AA

50、CD （SAS）,ABF'二AD,又由（2）知，AF=BD,.AF二BD=AB+AD二ABtBF',即 AF=AB+BF'.【点睛】本题主要考查等边三角形的性质定理，三角形全等的判定和性质定理，熟练掌握三角形全 等的判定和性质定理，是解题的关键.13.如图，在等边A43C中，线段AM为3c边上的中线.动点。在直线AM上时，以 CO为一边在CO的下方作等边ACDE,连结把.（1）求NC4M的度数：（2）若点。在线段AW上时，求证：AADC = ABEC；（3）当动点。在直线AM上时，设直线8E与直线AW的交点为。，试判断NAQ3是否 为定值？并说明理由.备用图1备用图2【

51、答案】（1）30。： （2）证明见解析；（3） NAO8是定值，ZAOB = 60°.【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论：（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC = AC, DC = EC,ZACB = ZDCE = 60°，由等式的性质就可以NBCE = NACZ）,根据S4s就可以得出 MDC = AB EC,（3）分情况讨论：当点。在线段AM上时，如图1，由（2）可知A4CO三MCE,就可 以求出结论：当点。在线段AW的延长线上时，如图2,可以得出&A8三MCE而有 /。3七=/040 = 30。而得出结论；当点0在线段知4的延长线上

52、时，如图3,通过得出 A4CQ三MCE同样可以得出结论.【详解】(1).48。是等边三角形，/. ABAC = 60°.线段AW为边上的中线，ZCAM=-ZBAC,2.,ZC4M=30°.(2) .A48C与MEC都是等边三角形，/.AC = BC, CD = CE, ZACB = ZDCE = eO0, ZACD + ZDCB = ADCB + ABCE,:.NACD = NBCE.在MDC和ABEC中AC = BC< ZACD = ABCE , CD = CE：.ACD = ABCE(SAS)：(3) NAO8是定值，ZAOB = 60°, 理由如下：当

53、点。在线段AM上时，如图1，由(2)可知 A4C。三MCE,则 NC3E = NC4。= 30。， 又 NA3C = 60。，.-.ZCBE + ZABC = 60o + 30o = 90°,.AABC是等边三角形，线段AM为8C边上的中线 平分 ZBAC, HP ABAM = - ABAC = lx 60° = 30°22.ZBCM = 90o-30° = 60°.当点。在线段AM的延长线上时，如图2, MBC与AOEC都是等边三角形，/.AC = BC, CD = CE, ZACB = ZDCE = (°, ：.ZACB+ZDCB

54、 = ZDCB+ZDCE ,:.NACD = NBCE,在AACQ和MCE中AC = BC< ZACD = ZBCE ,CD = CE ：.AACD m ABCE(SAS),：.ZCBE = ZCAD = 30P,同理可得：NB4M =30。，.ZBtM = 90°-30o = 60°.当点D在线段MA的延长线上时，AA5C与ADEC都是等边三角形，/. AC = BC CD = CE，ZACB = NDCE = &)。,：.ZACD+ZACE= ZBCE+ZACE = 60° ,:.NACD = NBCE，在MCD和ABCE中AC = BC<

55、 ZACD = ZBCE ,CD = CE< . AACD = ABCE(SAS),/. ZCBE = ACAD,同理可得：ZCAM = 30°/.ZCBE = ZC4D = 150°/.ZCeO = 30%< ABAM = 30°,/. NBQ4 = 90O-300 = 60°.【点睛】此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形三线合一的性质，解 题中注意分类讨论的思想解题.14.再读教材：宽与长的比是且（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调,匀称的美感. 2世界各国许多著名的建筑.为取得最佳的视觉效果

56、,都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽 为2的矩形纸片折叠黄金矩形.（提示;MN=2）第一步，在矩形纸片一端.利用图的方法折出一个正方形，然后把纸片展平. 第二步，如图.把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平.第四步，展平纸片,按照所得的点D折出DE,使DEJ_ND,则图中就会出现黄金矩形, 问题解决：（1）图中AB=（保留根号）；（2）如图，判断四边形BADQ的形状，并说明理由；（3）请写出图中所有的黄金矩形,并选择其中一个说明理由.（4）结合图.请在矩形BCDE中添加一条线段，设计一个新的黄金矩形，用字母表示出来，并 写出它的长和宽.【答案】（1）（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析.【解析】分析：（1）由勾股定理计算即可；（2）根据菱形的判定方法即可判断；（3）根据黄金矩形的