【高中数学题型归纳】8.4直线、平面平行的判定与性质

1、第四节直线、平面平行的判定与性质考纲解读1 .要理解空间直线和平而各种位置关系的定义.2 .以立体几何的定义，公理和定理为出发点，认识和理解空间中线而平行的有关性质与判定，理解其判 定定理与性质定理.命题趋势探究有关平行的问题是高考的必考内容，主要分为两大类：一类是空间线而关系的判定和推理；一类是 几何量的计算，主要考查学生的空间想象能力，思维能力和解决问题的能力.平行关系是立体几何中的一种重要位置关系，在高考中，选择题、填空题几乎每年都考，难度一般 为中档题，且常常以棱柱、棱锥为背景.（1）高考始终把直线与平面、平而与平面平行的判定与性质作为考查的重点，通常以棱柱、棱锥为 背景设计命题.考查

2、的方向是直线与平面、平面与平面的位置关系，结合平而几何有关知识考查.（2）以棱柱、棱锥为依托考查两平行平面的距离，可转化为点面距离，线面距离和两异面直线间的 距离问题，通常是算、证结合，考查学生的渗透转化思想.预测2015年高考对直线、平而平行的判定与性质的考查集中在两个方面：客观题中，结合线面垂直 考查平行，垂直的判定，主要针对判定定理的条件是否充分、平行条件是否可以推广到空间中来进行考查; 解答题中，考查在特定的几何题中证明线而、面而平行.知识点精讲一、直线和平而平行1 .定义直线与平而没有公共点，则称此直线/与平面。平行，记作/ a2 .判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）（见表8-

3、9）表8-9文字语言图形语言符号语言线线 =线 面如果平面外的一条直线和 这个平面内的一条直线平 行，那么这条直线和这个平 面平行（简记为“线线平行 二线而平行Z_/1/1,4 u a / = / a / ex a而而 =线 而如果两个平面平行，那么在 一个平面内的所有直线都 平行于另一个平而Z_/ / /a/ pa ua3.性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）（见表8-10）表 8-10文字语言图形语言符号语言线而=线线如果一条直线和一个 平面平行，经过这条 直线的平面和这个平 面相交，那么这条直 线就和交线平行vl/alu/3/W二、两个平面平行1.定义没有公共点的两个平面叫作平行平面

4、,用符号表示为：对于平面a和若则a /2,判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）（见表8T1）表 8-11文字语言图形语言符号语言判定定理 线面 n而 面如果一个平而内有两条相 交的直线都平行于另一个 平面，那么这两个平面平 行（简记为“线面平行= 而而平行£_/a ua,Z?ua,nO = Pa夕，b/p>a/p线_L而 n而 而如果两个平而同垂直于一 条直线，那么这两个平面 平行1 三I La = a p/“J"3.性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）（见表8-12）表842文字语言图形语言符号语言而而= 线面如果两个平面平行，那 么在一个平面中的所 有直线

5、都平行于另外 一个平面z_y/ /alipa uct0aHl3性质定理如果两个平行平而同 时和第三个平面相交， 那么他们的交线平行 （简记为“而而平行 =线而平行”）7p7 L/alip2 n 7 =勺=。/ ". pCy = b而面二 线_L而如果两个平面中有一 个垂直于一条直线，那 么另一个平而也垂直 于这条直线27al/pI LaJ题型归纳及思路提示题型114证明空间中直线、平面的平行关系思路提示：线线平行、线而平行、而而平行的转换如图8-90所示.图 8-90（1）证明直线与平面平行的常用方法：G利用定义，证明直线。与平而。没有公共点，一般结合反证法证明：利用线而平行的判定定

6、理，即线线平行二线面平行.辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同 向进而，得平行四边形的对边，不同向进而，延长交于一点得平行于第三边的线段；利用而而平行的性质定理，把而面平行转化成线而平行：（2） 证明而而平行的常用方法：G利用而而平行的定义，此法一般与反证法结合：利用而而平行的判定定理；利用两个平面垂直于同一条直线：证明两个平而同时平行于第三个平面.（3）证明线线平行的常用方法：利用直线和平面平行的判定定理：利用平行公理：一、线面平行的判定定理与线面平行的性质定理的应用例8.24已知7,72是两条不同的直线，。,力,/是三个不同的平面，下列命题正确的是（）A.若?则B.若a_1_八4则。

7、/力.C.若 7 / /?,则 a 4D.若? _L tz, a,则? / /解析:举反例排除，如图8-91正方体模型所示,AB底面ACI，底面4G,但AB和AD不平行，A选项 错误，同理，平面AC_L平面B£,平面4与_L平面BC故8选项错误，A3底面AC1,A5底而AC, 而两个平而为相交关系，故。错，选D图 8-91评注：此类问题可以特殊化为一个长方体的：棱，面等，进而进行转化.变式1已知是两条不同的直线，a,4是二个不同的平面，给出下列四个命题:Q m _L a,ml In,则 _L a. a/0、mua,u ?则?/.G> ml la、”/，贝 / /a.Q>a

8、t I py m / In, m _L a,则 _L p.其中正确的序号是（）A.0 B.（2）QC.QG）D.（2）（2）变式2给出以下四个命题：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直；如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线平行；如果一个平而经过另一个平而的一条垂线，那么这两个平面相互垂直.变式3若平面24，直线4/Q,点Be/7,则在平面夕内过点3的直线中（）A.不一定存在与a平行的直线.B.只有两条与平行的直线.C存在无数条与。平行的直线.D只有一条与平行的直线.

9、例8.25如图8-92所示，已知EEG,“分别为空间四边形A8CO的边上的点，若 求证：EH/BD.解析 因为EH/FG ,七2平面8CO , FGu平面3CD ,所以EH/平面BCD .又EH u 平面ABD,平面ABDD 平面BCD=BD，所以 EH/BD.评注线面平行的性质定理是证明线线平行的首选方法，也是高考中使用的最多的证明方法.有时结合平行传 递性来证明.变式1如图8-93所示，在四棱柱ABCQ-Ai&GQi中，AQ8C,E是。的中点，F是平而&C/与直线 AA/I勺交点，证明：EF/MjDi.图 8-93变式2 （2012北京海淀区一模理16（1）如图8.94所示

10、，在四棱锥P-A8C。中，A8CQ设平面用8n平 面 PCO=求证：CD/m .B _图 8-93二、线面平行的证明方法：线面平行的证明方法主要有两种：（1）由线线平行二线而平行，其证明途径通过平面外的直线 与平面内的直线平行，推得直线与平面平行，也可以作辅助线，构造相似三角形或平行四边形，得到 线线平行，从而推出线面平行；（2）由面面平行二线面平行，由已知或构造直线所在的平面与已知 平面平行，证明直线与平面平行.方法1：由线线平行和线面平行的相互转化，求证线而平行.例8-26如图8-95所示，圆锥顶点为P,底而圆心为。，A8和C£）是底面圆。上的两条平行弦，证明：平 面PAB与平面

11、PCD的交线平行于底面.分析：本题是线面平行性质判定定理及性质定理的综合, 即线线平行= 线而平行二 线线平行.解析：设平而以8和平面PCO的交线为/.因为AW/CQAB <z平面PCD ,CD u平面PC。，所以A8平而PCD.又因为A8u平面PAB,平面PABD平面PCD=/.所以A8/,由直线AB在底而上，/在底而外，所以有 /与底面平行.图 8-95变式1如图8.96所示，在三棱锥RA8C中，E,F,分别是用了。的中点，记平面5EF与平面A8C的交线 为/,试判断直线/与平面以C的位置关系，并加以证明.图 8-96方案二：平行进面法（同向进而法） 思路提示：如图8-97所示，证明

12、A8a.图 8-97分析过程：ABI lau ABH CD U四边形ABCD为平行四边形u ACBD.例8. 27如图8-98所示，四棱锥尸-ABC。中，四边形ABC。是平行四边形，E/分别是A8和尸。的中点, 求证AF平面PCE.解析：如图8.99所示，取PC中点为G,连接EG/G由F为P。的中点，则FG1cD. =2由已知有AE1cD".AE/FG,故四边形AEGF为平行四边形，因此A/7/EG =2=又EGu平面PCE, AFu平面PCE,所以AF平面PC£图 8-98图 8-99评注：通过同向进而法能有效的在平而PCE中找到与A八平行的直线，点A沿AE方向进平而于点

13、£点厂 同向沿AE进平而于点G,连接EG,构造平行四边形AEG凡 只要证明EGAF即可.变式1如图8-100所示，在四棱锥O-A5CD中，底面A3CD为平行四边形，财为OA的中点，N为3c的 中点，求证:直线MN平面OCD图 8-100变式2如图8-101所示，在多而体A8CDE尸中，四边形A8C。是正方形，EFAB,AB=2EF,H为BC的中点, 求证：FH/平面EDB.例8.28 (2012福建理18 (2)如图8-102所示，在长方体ABCQ-Ai&CiA中，E为CD的中点，在棱A4iAP上是否存在点P,使得OP平而8N瓦若存在，求一 的值：若不存在，说明理由.AA分析

14、:先假设存在，推理出点P的位置,再证明，根据平行进而法,点、D沿着DC方向到达点£且DE=-DCf 2若存在，则点P也可沿同样方向运动且等距离进入平面314E从而易猜出P为A4中点.A p 1解析：在棱A4上存在点P使得OP平面8状瓦且一 证明如下：AA12如图8-103所示，取A4中点P, A&中点。连接PQ,PDQE,则在 A4片中,PQ为中位线，即PQH ,A片.2又长方体ABCZXAiaG。中，E为CQ中点，故DE1aB/1A|B =2i=2故PQ幺DE,所以四边形PQEO为平行四边形，所以。P七。，又DPcz平面B|AE, £(?<=平面83

15、3;,所以OP平而B1AE.图 8-102图 8-103变式1如图8-104所示，在四棱锥RA8CO中，底而ABCO是梯形，A8CZM5=2CD在棱尸B上是否存在PM点M使得CM平面力。?若存在，求 的值，若不存在，请说明理由.PB图 8404变式2如图8-105所示，在正方体ABCQ-Ai&G"中，E是棱。工中点，在棱G5上是否存在一点E便 得8/平而AIE?证明你的结论.图 8-105方法三：相交进而法（不同向进而法）思路提示：如图8-106思）思）所示，证明AB o oE分析过程(i)：EC EDAB/ a弘8CD仁在三角形ABE中逐一9 分析过程(2)：EA EBAB

16、/ aUA8CZ在三角形COE中就一而例8.29如图8-107 (“)所示，三棱柱ABCA181cl中，。是3c的中点。求证：A1C平而A81。,图 8-107分析： 要证明线而平行，可通过线线平行=线而平行，关键是在平面内找到一条直线与己知直线平行。 观察图形，易知采用相交进而法(不同向进而法)：点C进入平面A81Q到点。延长到5,连接A18,与 平面A31。相交于点E,从而证明A1C。石即可。解析： 如图8-107 (b)所示,连接A18nA81=E,连接。七.因为ABCA181cl是三棱柱，所以四边形 A1B15A是平行四边形，故E为A18的中点。又因为。是8c的中点，所以。E是4R41

17、C的中位线，所 以OEA1G 因为DEU平面A81。，从1。2平而A81O,所以A1C平面AlBD。变式1如图8.108所示，三棱锥P-ABC中，E、F、。分别为RI、PB、AC的中点，G为。的中点。求证：FG平面8。£,变式2(2012辽宁理18 (1)如图8-109所示，在三棱柱ABC-/T夕C中，点M、N分别为48和9C的中点。证明：MN平面A3CC图 8-109变式3如图8-110所示，在四面体A-8CQ中，M是A。的中点，尸是8W的中点，点。在线段AC上, 且A0=3QC。求证：尸。平面8co图 8-110例8.30如图8.111所示，三棱柱/WC-A181G中，。为AC的

18、中点。在8G上是否存在一点匕使得。上 平面AM8当,若不存在，说明理由：若存在，确定点上的位置。图 8-111图 8-112解析： 在BG上存在点E,使得。七平而且七为8G的中点，证明如下：如图8.112所示， 连接aC,设5<nBG=E,连接。及 由三棱柱ABC-Ai&g,得四边形BCGB为平行四边形，故E为 &C中点，又。为AC中点，所以0E为dA&C的中位线，所以。上月庆，有。陛平面A1A8&, A&u 平面AN8员,所以0E平面A1A581。得证.图 8-113,变式1 (2012北京东城高三上期末理17 (2)改编)如图8-113所示，在

19、四棱锥RA8CO中，底而A8C。 为平行四边形，。为A。的中点，点M在线段PC上，PM=tPC,试确定，的值，使 平而“。瓦方法四：由而面平行证线面平行思路提示：证明A8 ”。 分析法过程：AB/ “<=平面£ a(ABu£),(其中平面£通常为平而ABX) u " to I例8.31 (2012北京西城一模理17 (2)改编)如图8-114所示，四边形ABCD与5DEF均为平行四边形。 求证：FC平面E4。图 8-114分析本题利用线线平行证明线而平行很难入手，因此考虑利用面面平行的性质定理，及面而平行证明线而平行。解析 因为四边形ABCO与8D

20、EF均为平行四边形，所以8CA。，BF/DE,又8CQ平而E4。，A。平而 EAD,故8C平而E4X同理8E平面EAO,又BCcBF=B, BC、BFU平面FBC,所以平面F3C平而 EAD.又FCU平而用C,所以FC平而E4D评注本题证明线而平行是通过而而平行证明线而平行，直接由线线平行证明线面平行较之难度大。变式1如图8-115所示，几何体EA8CO是四棱锥，4A3O为正三角形，CB=CD0若NBCO=120", M为 线段AE的中点，求证：OM平面8EC。三、而而平行的证明思路提示：常用证明而而平行的方法是在一个平面内找到两条相交直线与另一个平面分别平行或找一条直线同 时垂直于

21、这两个平而。例8-32如图8-116所示，已知三棱柱A3C-4&G中，D、E、F分别为5C、BBi、/Vh的中点。求证：平 面aFC平而E4ZXB图 8-116解析 因为在三棱柱A8CA181cl中，。、E、E分别为8C、BB1、A41的中点，所以AF81E,故四边 形AM1E是平行四边形，AE/B1F.又 AEG平面 BIFC, 81FU平面 31FC,故 AE平而在dBCBl中，。七是中位线，板DECB,又OEQ平面81FC CB1U平面31FC,故OE平面81FC©。 由及AEnOE二E, AE. OEU平而£4。，得平面51FC平而£4。, 评注证

22、明面而平行关键是找到两组相交直线分别平行。变式1（2012北京海淀二模理16 （1）如图8-117所示，点。在以AB为直径的。上，点E为线段 尸8的中点，点M在A8上，且0MAC 求证：平面MOE平而出C。图 8-117最有效训练题34 （限时45分）i.在空间中，下列命题中正确的是（）A.平行直线的平行投影重合B.平行于同一直线的两个平而平行C.垂直于同一平面的两个平面平行。.垂直于同一平面的两条直线平行2,设小、是平面a内的两条不同直线：I、2是平而£内的两条相交直线，则a £的一个充分而不必 要条件是（）A.帆£且仁8.?乙且/2 C.小£且

23、63;。,，£且 43 .对于平而a和共面的直线?、，下列命题中是真命题的是（）A.若加、与a所成的角相等，则加B.若】a, a,则?C.若a, 】_!_，则aD.若小Uq, 0,pllj m/n4 .已知hn为两条不同的直线，a、£为两个不同的平而，则下列命题中正确的命题是（）A.若机Uq, Ua, £, “£,则 a£B.若，Uq, U£, a£,则C.若，_La,贝ljaD.若 m/n> ;?±a» 则 ？_La5 .平而a平面£的一个充分条件是（）A,存在一条直线a, a. a£B.存在一条直线a, “Uq, “£C.存在两条平行直线”、，“Ua, bU