2020届江苏省南京市高三年级第三次模拟考试数学(理)试题

1、南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学理科注意事项：1 .本试卷共4页，包括填空题（第 1题第14题）、解答题（第15题第20题）两 部分.本试卷满分为 160分，考试时间为120分钟.2 .答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内.试题的 答案写在答题卡,上对应题目的答案空格内.考试结束后，交回答题卡.一、填空题（本大题共 14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上）1,已知集合 A=x|2vxv4, B=x|1vxv3,则 AU B= 2,若z=-a-+i （i是虚数单位）是实数，则实数 a的值为 1 + i3 .某校共有教

2、师 300人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样从所有师生中抽 取一个容量为125的样本，则从男学生中抽取的人数为.4 .如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为.5 .将甲、乙、丙三人随机排成一行，则甲、乙两人相邻的概率为.6 .已知函数f（x）=2sin（cox+昉（其中0, 2v K夕的部分图象如图所示，则 f（2）的值为S0I For i From 1 To 4SS+ iI End ForPrint SI（第4题图）7 .已知数列an为等比数列.若 a1=2,且a1，a2, a32成等差数列，则an的前n项和 为 .8 .在平面直角坐标系 xOy中，已知双曲线*=1（20,

3、 b0）的右焦点为F.若以F为圆心，a为半径的圆交该双曲线的一条渐近线于A, B两点，且 AB=2b,则该双曲线的离心率为.9 .若正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为2,则三棱锥 ABiCDi的体积为.,一 一 x+2, x1,则x的取值范围为.， f( x) , xU, ii 11 .在平面直角坐标系 xOy中，A, B是圆O: x2 + y2 = 2上两个动点，且 OA，OB.若A, B两点到直线l: 3x+ 4y1U=U的距离分别为di, d2,则di+d2的最大值为.12 .若对任意aCe, +8 ) (e为自然对数的底数)，不等式xb0）经过点（2,0）和（1,3）,a，b2

4、椭圆C上三点A, M, B与原点O构成一个平行四边形 AMBO.（1）求椭圆C的方程；（2）若点B是椭圆C的左顶点，求点 M的坐标；（3）若A, M, B,。四点共圆，求直线 AB的斜率.19 .(本小题满分16分) x已知函数f(x)= 2 e (aC R),其中e为自然对数的底数. x2 ax+ a(1)若a= 1,求函数f(x)的单调减区间；(2)若函数f(x)的定义域为R,且f(2)f(a),求a的取值范围；(3)证明：对任意a (2, 4),曲线y=f(x)上有且仅有三个不同的点，在这三点处的切线 经过坐标原点.20 .(本小题满分16分)若数列an满足n2, nCN*时，anW 0

5、,则称数列( n C N*)为 an的“L数列” an+ 1(1)若a1 = 1,且an的L数列”为，求数列an的通项公式；(2)若an=n+k 3(k0),且an的“L数列”为递增数列，求k的取值范围；(3)若an=1 + p-1,其中p1,记an的“L数列”的前n项和为Sn,试判断是否存在等差数列Cn,对任意nCN*,者B有CnVSnVCn+1成立，并证明你的结论.南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学附加题高三数学试题第3页（共4页）注意事项：1 .附加题供选修物理的考生使用.2 .本试卷共40分，考试时间30分钟.3 .答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封

6、线内.试题 的答案写在答理,卡上对应题目的答案空格内.考试结束后，交回答题卡.21.【选做题】在 A、B、C三小题中只能选做 2题，每小题10分，共计20分.请在答卷 卡指定区域内 作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-2:矩阵与变换已知矩阵A= 1 1 , aC R.若点P(1, 1)在矩阵A的变换下得到点 P (0-2).a 0(1)求矩阵A;(2)求点Q(0, 3)经过矩阵A的2次变换后对应点 Q的坐标.B.选修4 4:坐标系与参数方程 x= 1 + cos fl.在平面直角坐标系 xOy中，曲线C的参数万程为(。为参数),直线l的参数y= sin 0方程为y113t

7、 t。为参数)，求曲线c上的点到直线i的距离的最大值.C.选修45:不等式选讲已知a, b为非负实数，求证：a3+ b3-/ab(a2+ b2).【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答卷卡指定区域内 作答.解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.如图，在直三棱柱 ABC AiBiCi 中，ABXAC, AB=3, AC= 4, BiCACi,(1)求AAi的长.(2)试判断在侧棱 BBi上是否存在点 P,使得直线PC与平面AAiCiC所成角和二面角 BAiCA的大小相等，并说明理由.CAiCi23.(本小题满分i0分)口袋中有大小、 形状、质地相同的两个白球和三个黑球.

8、现有一抽奖游戏规则如下：抽奖者每次有放回的从口袋中随机取出一个球，最多取球2n+i(nCN*)次.若取出白球的累计次数达到n + i时，则终止取球且获奖，其它情况均不获奖.记获奖概率为Pn.(i)求 Pi；(2)证明：Pn + iVPn.南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学参考答案及评分标准说明：1 .本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容 比照评分标准制订相应的评分细则.2 .对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重

9、的错误，就不再给分.3 .解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4 .只给整数分数，填空题不给中间分数.一、填空题(本大题共 i4小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上)1. x|ivx40-4001因为圆心B到直线AC的距离d = J=8,而圆B的半径= 8旷5,42+ 32所以dvr,此时直线AC与圆B相交，所以快艇有触礁的危险.答：若快艇立即出发有触礁的危险. 8分E.(2)设快艇所走的直线 AE与圆B相切，且与科考船相遇于点设直线 AE 的方程为 y=k（x100）,即 kx-y-100k= 0.因为直线AE与圆B相切，所以圆心

10、B到直线AC的距离d= |60k74=100k|=8J5, 12+k21一 ，即 2k2+5k + 2=0,斛得 k= 2 或 k=万.10 分.1 人，由（1）可知k= 一舍去.y=2x,y=- 2(x 100),因为cos/ AOD =誓,所以tan/AOD = 2,所以直线OD的方程为y=2x.解得 x=50；所以 E(50, 100),y = 100,所以 AE=50V5, OE= 50/5,12 分此时两船的时间差为5035 5505=545，所以x5-V5-2= 3-乖.答：x的最小值为（3乖）小时. 14分18 .（本小题满分16分）解：（1）因为椭圆 x2 + y2=1（a b

11、0）过点（2, 0）和（1,走）， a2 b22所以 a=2, 22-2= 1,解得 b2=1, a 4b，、X2C八所以椭圆C的方程为人+y2=1.2分4（2）因为B为左顶点，所以 B （ 2, 0）.因为四边形AMBO为平行四边形，所以 AM / BO,且AM = BO=2.设点M（x。,y0),则 A(x0+2, y0).A在椭圆C上，所以(x。+ 2)24解得+ y02= 1,所以M（-1, 士当.（3）因为直线AB的斜率存在，所以设直线 AB的方程为y=kx+m, A（x1，y1），B（x2, y2）.y= kx+ m,由 x22d 消去 y，得(4k2 + 1)x2+8kmx+4m

12、24 = 0,4 十 y 门上一8km4m2-4则有 x1 + x2=1, x1x2=r.1 + 4k21 + 4k2因为平行四边形 AMBO ,所以 OM = OA+OB = (x+x2 , y1 + y2).日48km. 、一 , - 8km , 2m因为 x1 + x2=2，所以 y1+ y2= k(x +x2) +2m= k *2 + 2m=2,1 + 4k21 + 4k21 + 4k28km 2m所以 M( +4卜2， + 4k2) ,10分因为点M在椭圆C上，所以将点 M的坐标代入椭圆 C的方程,化彳4 4m2=4k2+1.12分因为A, M, B,。四点共圆，所以平行四边形 AM

13、BO是矩形，且 OALOB,所以。A OB =xx2+yy2= 0.因为 y1y2= (kx1 + m)( kx1 + m) = k2x1x2+ km(x1 + x2) + m2 m2-4 k24m24 m2 4k2所以 x1x2+y1y2=o T= ，化得 5m2 = 4k2 + 4. y y 1 + 4k21 + 4k214分由解得k2 = 11, m2=3, 4此时 0,因此k=近1216分所以所求直线AB的斜率为土19.(本小题满分16分)x解：(1)当 a=1 时，f(x) = , x2-x+ 1所以函数f(x)的定义域为R,ex(x1)(x 2)f(x)x+1)2 .令 f(x)v

14、 0,解得 1vxv 2,所以函数f(x)的单调减区间为(1, 2).(2)由函数f(x)的定义域为 R,得x2ax+aw。恒成立,所以 a24av0,解得 0vav4.方法1由 f(x)=xrfx 得 f(x)=exxux印当a=2时，f(2) = f(a),不符题意.当0vav2时,因为当avxv2时，fx)v0,所以f(x)在(a, 2)上单调递减,所以f(a)f(2),不符题意.当2va4时,因为当2vxva时，fx)v0,所以f(x)在(2, a)上单调递减,所以f(a)f(a),得/-，. c ea因为0vav4,所以不等式可化为e2e(4-a).ax设函数 g(x)=e(4 x)

15、e2,0Vxv4.6 分x因为g(x) = ex(x；2)2wo恒成立,所以g(x)在(0, 4)上单调递减. x又因为g(2)=0,所以g(x)。的解集为(2, 4).所以，a的取值范围为(2, 4).8分ex(xo-2)(x0- a)证明：设切点为(x, f(x),则(仅。)：；。(+ a)a)，x_xz所以切线方程为 y-e=e (x-2)(x-a) x(x x).x ax+ a(x ax + a)xx由 0= e(x2)(x。a)X(_x),x02-ax0+ a(x02 ax0+ a)2化简得/3(a+3)x02+3ax0a=0.10 分设 h(x)= x3(a+3)x2+3axa,

16、a (2, 4),则只要证明函数 h(x)有且仅有三个不同的零点.由(2)可知 aC(2, 4)时，函数 h(x)的定义域为 R, h(x) = 3x22(a+3)x+3a.3 c因为 = 4(a+ 3)2 36a = 4(a-2)2 + 270 恒成立，所以h(x) = 0有两不相等的实数根xi和x2 ,不妨xK x2.因为x(8, x1)x1(x1 , x2)x2(x2, + %)h(x)十0一0十h(x)增极大减极小增所以函数h(x)最多有三个零点. 12分因为 aC(2, 4),所以 h(0) = - a0, h(2)= a-40,所以 h(0)h(1)0, h(1)h(2)2时，an

17、=-ata二空ai=1222 1 = 2(n-1)+(广2尸+1 =2/.an-1 an-2a1n(n 1)又a1=1符合上式，所以an的通项公式为an=2F, nC N*. 2分(2)因为 an= n+k-3(k0),且 n2, nCN*时，anW0,所以 kw1.方法1设 bn=d, nCN*,所以 bn=n+k-3=1 1一.an+1(n+1)+k 3n+k 2因为bn为递增数列，所以 bn+1bn0对n C N*恒成立，11即- 0对n N*恒成立. 4分n+k 2 n+k 1因为一，、，n + k 2 n+k 1 (n+k2)(n+k 1)所以 一1一 一 一1 0 等价于(n+k

18、2)(n+k-1)0. n+k-2 n+k1当0vkv1时，因为n=1时，(n+k2)(n+k1)1 时，n+k 1n+k-20,所以(n+k-2)(n+k-1)0,综上，k的取值范围是(1, +8).8分方法2令f(x)= 11,所以f(x)在区间(一8, 2k)和区间(2k, +8止单调递增.x+ k- 2当0vkv1时，f(1)= 1- -1, f(2)=1-1 1,所以 b2 1时，因为2-ki,所以i1。，所以nvsn+(i,)d+4+ 熹+4), pp p p p p2pn 1 p即 n Sn n+ - 1 (-)n.p p p p因为工1 _(1)nl，所以nVSnV吐1 . p

19、 T p p p二八一nrni1-n+1n 1口- c位 Cn=,则 Cn+1Cn=-，且 CnV SnV Cn + 1 ,pp p p所以存在等差数列 Cn满足题意.高三数学试题第15页（共4页）南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准说明：1 .本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容 比照评分标准制订相应的评分细则.2 .对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分， 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3 .解答右

20、端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4 .只给整数分数，填空题不给中间分数.21.【选做题】在 A、B、C三小题中只能选做 2题，每小题10分，共计20分.请在答卷.纸指定区域内 作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.-10A.选修4-2:矩阵与变换1解： a因为点P（1, 1）在矩阵A的变换下得到点P （02）,所以a=2,所以A =1 1-2 0（2）因为A =1 1，-2 0所以A2=1 1-2 01 1-2 03 1-2 2 03 - 10-3所以 A 3 = 2 23 = 6所以，点Q的坐标为（3, 6）.10分B.选修4 4:坐标系与参数方程解：由l的参数方程

21、；13t ； （t为参数）得直线l方程为x- b 时，a Jb,从而(yja)5 (Jb)5,得(班一钟)kV0)5(福)5o.6分若 ab时，jagb,从而(yo)50.8 分综上，a3+b3 牺(a2+b2).10 分22.(本小题满分10分)解：(1)因为三棱柱ABC AiBiCi为直三棱柱，所以 AAi,平面ABC, 所以 AA1AB, AA1 AC.又ABAC,所以以AB, AC, AA1为正交基底建立如图所示的 空间直角坐标系 Axyz.设 AA1=t(t0),又 AB=3, AC=4,则 A(0, 0, 0), C1(0, 4, t), B1(3, 0, t), C(0, 4,

22、0),所以 AC = (0, 4, t), B1C=(3, 4, - t).2分因为 B1CXAC1,所以 B1C AC1 = 0,即 1612=0,解得 t = 4,所以AA的长为4.4分(2)由(1)知 B(3, 0, 0), C(0, 4, 0), A1(0, 0, 4),所以 A1C=(0, 4, 4), BC = (-3, 4, 0).设n = (x, y, z)为平面Acb的法向量,则 n A1C=0, n BC=0,即4y 4z= 0,-3x+4y=0.取y=3,解得z= 3, x=4,所以n = (4, 3, 3)为平面ACB的一个法向量.又因为AB上面AA1C1C,所以AB=

23、(3, 0, 0)为平面A1CA的一个法向量,123木2+ 32+ 32 取则 cosv n, AB = JAB n |AB| |n|一 , 二一 3以 sin v n, AB = -. i7设 P(3, 0, m),其中 0WmW4,则 Cp = (3, 4, m).因为AB = (3, 0, 0)为平面AiCA的一个法向量,g、1AB CP所以 cosv CP , AB = |AB| |CP|3 ,32+ (4)2+ m2 dm2+ 25所以直线PC与平面AAiCiC的所成角的正弦值为m2 + 25高三数学试题第i6页(共4页)因为直线PC与平面AAiCiC所成角和二面角 BAiCA的大小相等,所以m2+25i7,此时方程无解,所以侧棱BBi上不存在点P,使得直线PC与平面AAiCiC所成角和二面角 B-AiC-A的大小相等.i0分23.(本小题满分i0分)解：(i)根据题意，每次取出的球是白球的概率为2取出的球是黑球的概率为 355所以 Pi = 5x2+C2x(5)(2)证明：累计取出白球次数是n + i的情况有:前n次取出n次白球，第n + i次取出的是白球，概率为Cnx(|)n+i;前n + i次取出n次白