【高考数学大题精做】专题05三角形中的边角、面积计算问题(第一篇)(解析版)

1、第一篇三角函数与解三角形专题05三角形中的边角、面积计算问题对应典例三角形边角面积的基本计算（方程思想的应用）典例1三角形的边角计算与三角函数求值相结合典例2以三角形为背景的开放性问题（新题型）典例3三角形形状的判断典例4解二角形与不等式相结合问题典例5解三角形与三角形的心相结合问题典例6解三角形与平面几何图形相结合问题典例7【典例1】【2019年全国统一高考数学试卷（理科 ）（新课标I）2. 2 _ 一VABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,设（sin B sinC） sin A sinBsinC .（1）求 A;若 J2a b 2c，求 sinC 【思路引导】（1）

2、利用正弦定理化简已知边角关系式可得：b2 c2 a2 bc ,从而可整理出cosA,根据A 0,可求得结果；（2）利用正弦定理可得 J2sin A sin B 2sin C ,利用sin B sin A C、两角和差正弦公式可得关于sin C和cosC的方程，结合同角三角函数关系解方程可求得结果2(1) sin B sinC解:sin BsinC2r2c . 2 Asin B 2sin BsinC sin Csin A,222即：sin2 B sin2Csin2 A sin Bsin C由正弦定理可得:222 b c a 1b c a bc cos A -2bc 2Q A 0,兀， A =.3

3、(2) Q 72a b 2c ,由正弦定理得：J2sin A sin B 2sin C又 sinB sin A C sin AcosC cos Asin C , a25 / 19-33cle 八2 cosC sinC 2sin C整理可得：3sinC63 cosc22 .Q sin C cos C_ 23sinC 63 1 sin2C解得：sinC -64叵或娓丧因为 sin B 2sin CV2sin A 2sinC 0所以 sinC2?故sin。、.6 、,24(2)法二：Q 近a2c ,由正弦定理得： .2 sin A sinB 2sin又 sinB sin A Csin AcosC c

4、os Asin C , a 3旧吏=cosC1 八八sinC 2sinC2整理可得:3sinC、673cosC，即 3sinc3 cosc2.3sin-6sin2 八(0,),C (36一,一),所以 C 一6 26sinCsin(- -)-64 6【典例2】【2020届安徽省亳州市高三上学期期末教学质量检测】bVABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知一 sin A Bacos A(1)求 A;(2)若2b 朋a 岳，求cosB.【思路引导】(1)由正弦定理将边化角，再利用两角和差的正弦公式化简可得;(2)利用正弦定理将边化角，利用三角恒等变换可得sin,从而求出角B ,再用两角和

5、的2余弦公式计算可得.【解】(1)由正弦定理得：sin-B sinC sin AcosCsin B sin Asin C sin AcosC即 sin A C sin AsinC sin AcosC整理，得 cosAsinC sin Asin C 因为 sin Csin A又 Q A 0,(2)由正弦定理得：2sin B3sin A、.2sinC2sin B /3 sin x 2 sinsin B cos Bsin,所以 cosB cos 一 34coscos43sin sin 432222【典例3】【山东省德州市 2019-2020学年高三上学期期末】已知a , b , c分别为 ABC内角

6、A, B ,C的对边，若ABC同时满足下列四个条件中的三个：ba 2痘 3c ; cos 2A 2cos2 -c 3(a b)1a 76 ; b 2V2.(1)满足有解三角形的序号组合有哪些?(2)在(1)所有组合中任选一组，并求对应ABC的面积.(若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分)【思路引导】(1)由可求得cosB的值，由可求出角 A的值，结合题意得出 A B ,推出矛盾，可得出不 能同时成为 ABC的条件，由此可得出结论;(2)在符合条件的两组三角形中利用余弦定理和正弦定理求出对应的边和角，然后利用三角形的面积公式可求出 ABC的面积.解：由詈鬻；3 a2 c2 b22鬲，

7、222-所以 cosB acb-6,2ac3由 cos 2A 2cos2 1 得，2cos A2 cos A 1 0 , 21 .，一.解得cosA 3或cosA 1 (舍)，所以A , 23因为cosB 1,且B 0,，所以B -，所以A B ，矛盾.323所以 ABC不能同时满足，故 ABC满足，或，;(2)若ABC满足，,因为b2a2 c2 2accosB ,所以 86 c2 2 6 c 二，即 c2 4c 230.解得 c .6 2.所以 ABC的面积S 1acsinB 近 V2. 2若 ABC满足，由正弦定理asinAbsinB2.2sin B，解得 sin B 1,所以c J2,所

8、以 ABC的面积S1 . 一 bcsin A 2J3.【典例4】【2020届广东省中山市高三上学期期末】已知 ABC的三个内角 A, B, C所对的边分别为a, b, c.(1)若 cos A: cos B : cosC2: 2: 7,求 sin B ;(2)若 sin A: cos B : tan A 2: 2: 7 ,试判断 ABC 的形状.【思路引导】cosB的值，结合同角(1)利用余弦定理将已知条件转化为边的形式，求得 c -,再利用余弦定理求得2三角函数的基本关系式求得sin B的值.（2）结合已知条件得到 sin A cosB , 2tan A7sinA,结合A为锐角，求得A由此证

9、得三角形ABC是直角三角形.2: 2: 7,解：（1） , cos A: cosB : cosC.2222. 2. b c a a ba b ,:2bc2ab2c2ac222a c 八 r . 2 一2 2:7, . 4a 7ac 2a22c2 04a c a2c 0,22a c2acb2a ,， 人，c 一或c 4a （舍去），cosB 2. D 215 sin B 1 cos B 4（2） sin A: cos B : tan A2: 2: 7 , 1 sin A cosB , 2tan A7sin A,A B 或 A B -22一（舍去），22cos A 0, A 为锐角.，A B 7

10、A B -2ABC为直角三角形.【典例5】【2020届山东省淄博实验中学高三上学期期末】在 ABC中，角A, b, C的对边分别为a , b , c,已知4acosA ccosB bcosC .（1）若a 4, ABC的面积为JT5,求b, c的值;（2）若sinB ksinC k 0 ,且角C为钝角，求实数k的取值范围.【思路引导】先由正弦定理和三角恒等变换，同角的三角函数基本关系求出cos A、sin A 的值;（1）利用余弦定理和三角形的面积公式列出方程组，求出b、c的值;（2）利用正弦定理和余弦定理，结合角C为钝角，求出k的取值范围.解：SBC 中，4ac0sA= ccosB bcos

11、C，-4sinAcosA= sinCcosB sin BcosC =sin（C+B）=1cosA 4, 加A * c0sA,154（1） a = 4, . a2= b2+c2-2bCcosA = b2+c2 gbc = 16;1又 AABC 的面积为：Saabc=1一 bc g5；15bcsin A 2=24bc = 8；由组成方程组，解得 b=4, c=2或b=2, c= 4;（2）当 sinB = ksinC（k>°），b=kc，a2= b2+c2- 2bc?cosA= ( kc) 2+c2- 2kc?s?1(k2 ：k+1) c2；又C为钝角，则a2+b2< c2,

12、一 c 1c -11即(k2 jk+1) +k2<1,解得Ovkvj；所以k的取值范围是 0,-.【典例6】【2020届湖南省湘潭市高三模拟考试】VABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c.已知C 2A, a 4, c 6 .(1)求 b;(2)求VABC内切圆的半径【思路引导】(1)由C 2A,得c 2acosA,即可计算出cosA,再由余弦定理计算出边 b.11（2）由面积公式s ABC a b c r （r为内切圆的半径），及S ABC - bcsinA解得. /LJ V-/解：（1）由 C 2A,得 sinC sin2A 2sin AcosA ,3贝U c 2aco

13、sA又 a 4, c 6 ,所以 cosA -.423由余弦te理得，a b c 2bccos A,即 16 36 b 2 6b _ ,4即 b2 9b 20 0,解得 b 4或 5.若b 4, a 4, C 2A,15、74则VABC为等腰直角三角形，与 c 6矛盾，舍去，故b 5.（2）当b 5时，VABC的面积为-bcsin A 2,15.7则VABC内切圆的半径r77.2C 44 5 6【典例7】【辽宁省丹东市2019-2020学年高三总复习阶段测试】B C .ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知bsin = asinB .(1)求 A;(2)若b= 2, c=

14、3, BAC平分线AD交BC于点D ,求AD的长.【思路引导】(1)由正弦定理化简已知等式，结合 sinBwQ可得sin-BC=sinA ,利用三角形内角和化简，进而可求2A的值(2)由已知利用三角形的面积公式可得3 AD - AD = 33 ,即可求解.422解：如图:2B C，由正弦te理可得 sinBsin=sinAsinB ,2一 B C一 一Q sinB 0, sin= sinA, Q A B C= 180 ,2.B C A AAA Asin= coscos 2sin cos Q cos 22 '222'2.A 1sin - - ,A= 60 .0,(2) Qb=2,

15、 c=3, A=60 ,SV ABCJbcsinA=全，c 1,3 c 1,1 Svabd=b AD sin30= AD, SvACD = _b AD sin30= AD, 2422山 31 E 3 .36,3由一AD AD =,可得 AD =4225【针对训练】1.12020届湖北省荆州中学、宜昌一中等 荆、荆、襄、宜四地七校高三上学期期末】 在 ABC中，角A、B、C所对的边分别为b、c,且 a b c, sin a、.2a2b(I)求角B的大小;J5,求c及ABC的面积.【思路引导】(1)由正弦定理化简得应sin A 2sinBsinA，再由 a根据三角形的内角的范围可求得角B的大小;(

16、2)根据余弦定理得b2c2 2ac cosB建立关于c的方程,解之可得c,再根据三角形的面积公式可求得三角形的面积解：(I)Q sinA、.2a2b2bsinA，由正弦定理可得2sinA2sinBsinA，sinA0,sinBQac,所以0 B(i)b 、,5,由余弦定理可得:、,5(72)2 c2 2 22 c -,即22c 3 0,解得c 3或c 1 (舍去)，故 c 3.所以sabc 2应砧22.1天津市和平区2019-2020学年高三上学期期末数学试题】b2 4bccosC，且 A C 2在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知c2a2(1)求cosC的值;(2)求cos

17、 B 的值. 3【思路引导】(1)C2 a2b2 4bccosC ,由余弦定理可得a 2c ,再由正弦定理可得 sin A 2sin C ,将A C2代入化简可得2sinCcosC ,从而求出cosC的值.(2)由条件a C一，可知 2cos B 一 35cos 62C ,又 cosC2.5，进而可求出5sin C , sin 2c ,以及cos2C的值，利用两角差的余弦即可求出结果 .解：(1) , c2 a2 b2 4bccosC ,由余弦定理可得 a 2c,由正弦定理得 sin A 2sin C ,又 AC,sin A sin C2一 cosC , 22sinC cosC ,又 sin2

18、C2 cosC 1，解得 cosC2 J5(2)由(1)知 sinC sin 2C 2sin C cosC42,cos 2C 52cos2 C 1 35-1 cos B - cos3cos2C55coscos2C sin 66sin2C.3 33 3103.12020届河南省高三上学年期末】ABC内角A, B , C的对边.已知a3, csinCsin A bsin B ,且 B 60(1)求ABC的面积；(2)若D , E是BC边上的三等分点，求 sin DAE.【思路引导】(1)利用正弦定理化简已知条件，结合余弦定理求得c ,根据三角形面积公式求得三角形ABC的面积.(2)首先利用余弦定理

19、求得 AD，求得b,判断出AC AD,由此证得 AE CD ,解直角三角形求得sin DAE.解：(1) . csinC sin A bsinB,，由正弦定理得 c2 a2 b2.a 3, b2 c2 3.1又 B 60 , . b2 c2 9 2 3 c- c2 3 , . c 4 ,21 ABC 的面积 S -acsin B 3向. 2(2)设D靠近点B ,则BD DE EC 1.在ABD中，由余弦定理，得 ad4-42 2 1 4 cos60J13.又 b 后飞 T13,，AC ad.DE EC , AE CD,故 sin DAE DE .AD 134 .【福建省福州市2019-2020

20、学年高三上学期期末质量检测】在 ABC 中，AC 1,BC <7 (1)若 A 150 ,求 cosB；(2) D为AB边上一点，且 BD 2AD 2CD ,求 ABC的面积.【思路引导】(1)根据已知条件和利用正弦定理可求出sinB,再利用同角三角函数基本关系式可求出cosB；ACD为等边三角形可得 A 60 ,从而求出(2)根据题意知ACD为等腰三角形，再利用余弦定理得出ABC的面积.解：(1)在 ABC中，由正弦定理及题设得sin B sin A sin B sin150近一,解得sin B12.7，即 7 9x2 1 6x cos A ,1 ,2x又0 B 30 所以CosB喜噜

21、(2)设AD CD x,则BD 2x.在 ABC中，由余弦定理得,2'_2_2 _ _BC AB AC 2AB AC cosA,» »1 AC在等月ACD中，有 八2cosA AD联立，解得x 1或x 1 (舍去).所以 ACD为等边三角形，所以 A 60 ,11所以 S ABC AB AC sin A 3 1 sin 6022解法二：(1)同解法(2)设 AD x,贝U CD x, BD 2x,因为 ADC BDC ,所以cos ADCcos BDC ,由余弦定理得，得4x2 x2 74x22x2 12T22x所以x2 1 ,解得x 1或x 1 (舍去).334所

22、以 ACD为等边三角形，所以 A 60 ,11所以 S ABC AB AC sin A 3 1 sin 60 225.12020届山东省枣庄、滕州市高三上学期期末】AC在 向bcosC a) csinB；2a c 2bcosC ；bsin A V3asin 这三个条件中任选一个,2补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题 在 ABC中，内角a, B,C的对边分别为a, b,c,且满足, b 2J3, a c 4,求 ABC的面积.【思路引导】无论选哪一个，都先由正弦定理化边为角后，由诱导公式sinA sin(B C),展开后，可求得 B角，再由余弦定理b2 a2 c2 2accosB求得ac

23、 ,从而易求得三角形面积.在横线上填写 ay/3(bcosC a) csinB” .解：由正弦定理，得 ,3(sin BcosC sin A) sin CsinB.由 sinA sin(B C) sin BcosC cosBsinC,得 73cos Bsin C sin CsinB.由 0 C ，得 sin C 0 .所以 J3cosB sin B .又 c0sB 0 (若 cosB 0 ,则 s1nB 0, sin2 B cos2 B 0 这与 sin2B cos2 B 1 矛盾)，.由余弦定理及b 2J3 ,所以tanB事.又0 B ，得B3一o o 02得(2悯a c2 ac cos,3

24、即12 (a c)2 ac.将a c 4代入，解得ac 4.所以Saabc1-acsin B2在横线上填写2a c 2bcosC”解：由 2a c 2bcosC 及正弦定理，得 2sin A sinC 2sin BcosC .又 sinA sin(B C) sin BcosC cosBsin C ,所以有 2cosBsinC sin C 0.1_因为C (0,),所以sin C 0 .从而有cos B一 .又B (0,),22 所以B 由余弦定理及b 2卮3得(2、3)2 a2 c2 2accos3即12 (a c)2 ac.将a c 4代入，解得ac 4.所以SvabC一 acsin B 2

25、在横线上填写 bsin A73a sin A-C ”2B解：由正弦te理，得 sin Bsin A y3sin Asin2由 0 A ，得 sin A ,B _ B B B所以 sin B J3cos由一倍角公式，得 2sin 一cos一 J3cos. 2222,_ BB -B 3 一 B2由0 ，得cos 0 ,所以sin .所以一，即B 一 22222233由余弦定理及b 2石，得（2，3）22accos23即12 (a c)2 ac.将a c 4代入，解得ac 4.所以SAABC-acsin B 26.12020届福建省莆田市(第一联盟体)上学期高三联考】在VABC中，内角A, B,C所

26、对的边分别为a,b, c,已知sin AcosBsin Bcos A2c b(1)求 A;(2)设AC 2,点D在AB上，且AD 3DB ,若VBCD的面积为J3 ,求BC的长.【思路引导】(1)由正弦定理边化角以及两角和的正弦公式化简即可求解;(2)由题意得出ABC的面积，由三角形面积公式得出c 8,再由余弦定理求出 BC的长.sin AcosB 2c b sin AcosB 2sinC sin B解：(1) ,sin BcosA b sinBcosA sin Bsin AcosBl- 2sin C sin Bcos Asin AcosB 2sin C cos A sin Bcos Asin

27、 AcosB sin B cosA 2sin CcosA. sin A B 2sin CcosA.sinC 2sin CcosA又二 C 0,，.二 sin C 0“1 r “ C"cosA 一，且 A 0, A 23(2)AD 3DB , Svabc4SVBDCSvBDCJ3，8VABC 46,且 AC 2-bcsin A 4芯,即 1 2c 3 4由222c 82.22,a b c 2bccosA2 a 64 4 2 8 2cos 3a 2.13.7.12020届福建省漳州市高三第一次教学质量检测】在VABC中，内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,且?t足Sin(2A

28、 C) 2 2cos(A C). sin A(1)当 sinB 2sinA时，求 cosA的值；(2)若D为AC的中点，且 AC 4, bd 2,求VABC的周长.【思路引导】(1)利用三角恒等变换将sin(2A C) 2 2cos(A C)化简为sinC 2sin A,再由正弦定理将角化边, sin A最后利用余弦定理即可求出 cosA的值.(2)设 BDC ，则 BDA a,在 BDC和 BDA中，分别利用余弦定理求出边 a ,即可求出三角形的周长.解：解：(1)由 sin(2A_C2 2 2cos(A C)可得 sin(2A C) 2sin A 2sin Acos(A C),sin A&

29、#39;sin Acos(A C) cosAsin(A C) 2sin A 2sin A cos(A C),sin Acos(A C) cosAsin(A C)2sin A,sinC 2sin A ,由正弦定理可得c 2a.Q sin B 2sin A, b 2a .(2 a)2 (2 a)2 a272 2a 2a 8222则由余弦定理可得 cosA b-c2bc在VBDC和V BDA中，利用余弦定理可得222BC2 DC2 BD22DC BDcos ，AB2 AD 2 BD2 2AD BDcos( ),2 2 2cos(结合(1)可得 a2 22 22 2 2 2cos , (2a)222

30、22两式相加可得5a2 16,即a 迤,故VABC的周长l a 2a 512,54 4 58.【2020年1月辽宁省沈阳市一模】VABC的内角A, B, C的对边分别为a,b, c,已知 acosBbcosA Jac7,sin2 A sin A.(1)求A及a;(2)若b c 2 ,求BC边上的高.【思路引导】(1)根据正弦定理化简可得 a;根据二倍角正弦公式化简可得 A;(2)先根据余弦定理求得 bc,再根据三角形面积公式求BC边上白高.解：(1) Q acosB b cos A5. A 。 Aac sin AcosB sin BcosA 7jasinC 77、sin C asin C a7

31、Q sin 2 A sin A 2sin Acos A sin A cos A1 - -Q A (0, 2(2)由余弦定理得a2 b2 c2 2bc cos Ab2c2 bc,7 (bc)2 bc,bc,bc3,设BC边上的高为h.>1 ,. 1S/abc-bcsinA -223.3V.Q S/ABC2 ah、7h3-3 u,h43:王14即BC边上的高为321149.【安徽省阜阳市2019-2020学年高三教学质量统测】ABC的内角A, B, C的对边分别为a , b, c,已知 sin A sinB absinC csinC，点 D为边BC的中点，且AD J7.(1)求 A;(2)若

32、b 2c,求ABC的面积.【思路引导】(1)化简等式代入余弦定理即可求得A;uuu(2)由AD为 ABC的中线得2ADuuuABuuu .AC ,同时平万可得28 c2 b2 bc,与 b2c联立解出b, c的值，代入三角形面积公式即可得解解：(1)由 sin A sin B a bbsinC csinC ,可得 a2 b2 bc c2,由余弦定理可得cosA2bc所以A .3(2)因为AD为 ABC的中线,uuu urn uuu2AD AB AC，uur2两边同时平方可得4ADuuu 2 uuur2AB ACuuu uuur2 AB AC cosA ,故 28 c2 b2 bc.因为b 2c

33、,所以c 2, b 4.所以 ABC的面积S ABC -bcsin A 2石.ABC 一210.【河南省八市重点高中联盟 2019-2020学年高三12月联考】在 ABC中，AB AC 10.1(1)当 cos ACB -, AC 3时，求 sin ABC 的值; 91(2)当 BC 6,cos BAC 一时，求 ABC 的面积.3【思路引导】(1)直接由cos ACB1 , ,45一求出sin ACB 空3,再由正弦定理可得求出相应的结果.99(2)由 cos 1BAC -求出sin BAC ,再利用余弦定理可求 AB AC ,然后代入三角形面积公式即可求 3解.4.59解：（1）因 AB AC 10, AC 3, AB 7cos ACB1-,sin ACB 9由正弦定理可得 sin ABC si