中考数学专题训练类比探究类问题解析版

1、类 比 探 究 类 问 题 解 析 版1、如图，在矩形 ABCM, AD=4 M是AD的中点，点 E是线段AB上一动点，连结EM并延长交线段 CD的延长线于点F.(1)如图1,求证：AE=DF(2)如图2,若AB=2过点M作MG EF交线段BC于点G判断4GEF的形状，并说明 理由；(3)如图3,若AB=2j3,过点M作MG EF交线段BC的延长线于点 G.直接写出线段AE长度的取值范围；判断4GEF的形状，并说明理由.【答案】 解：(1)在矩形 ABCD43, / EAM=Z FDMI900, / AME=Z FMD. AM=DMAE阵ADFM (ASA)。，AE=DF(2) GEF等腰直角

2、三角形。理由如下：过点G作GhU A计H, . /A=/ B=Z AHG=90 ,，四边形ABGK矩形。，GH=AB=2 . MGLEF,.-.ZGME=90 。 ./AME+/GMH=90。 . /AME+/AEM=90 , . . / AEMg GMHX AD=4, M是 AD的中点，AM2。. . AN=HG .AE阵AHMG (AAS。，ME=MG . . / EGM=45 。由(1)得 AE庐 DF Ml，ME=MF又 MGL EFGE=GF/ EGF=2/ EGM =90。GEF是等腰直角三角形。(3) 23 v AEW 2J3 。34GEF是等边三角形。理由如下：过点G作GhU

3、A或 AD延长线于点 H, / A=Z B=Z AHG=90 ,二.四边形 ABGK矩形。 .GH=ab=2'3。 . MGL EF,Z GME=90 。 . . / AME+/ GMH=90 。GHoAM<3。二 /0MEG=60 /AM曰/AEM=90 , ，/AEMgGMH又. / A=Z GHM=90°, .AEM HMG-.3EM- -人/MG GH 2 3在 Rt GMlE3,tan Z MEG= -EM AM 2由(1)得 AE庐 DFM，ME=MF又 MGL EF GE=GF. GEF1等边三角形。2、(1)如图1,在正方形 ABCM, E是AB上一点，

4、F是AD延长线上一点，且 DF= BE.求证：CE= CF;(2)如图2,在正方形 ABCD43, E是AB上一点，G是AD上一点，如果 / GCE= 45 ° ,请你利用(1)的结论证明：GE= BE+ GD(3)运用(1) (2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图 3,在直角梯形 ABCD43, AD/ BC(BC>AD), Z B= 90 ° , AB= BG E是 AB上一点,且/DCE= 45° , BE= 4, DE=10,求直角梯形 ABCM面积. .CBE GDI3(SAS。CE= CE(2)证明： 如图，延长 AD至F,使DF=BE连

5、接CE由(1)知CBMCDF/ BCE= / DCE / BC曰 / ECD= / DC斗 / ECD即 / EC曰 / BCD= 90°。又/GCE= 45 ° , ，/GC已/GCE= 45. CE= CF, /GCE=/GCR GC= GC. .ECg AFC(3 (SAS。.-.GE= GF,.GE= DF+ GD= BE+ GD(3)如图，过C作CG!AD,交AD延长线于G.在直角梯形 ABCD43, AD/ BC, . / A= / B= 90又 / CGA= 90° , AB= BC, 四边形ABCD为正方形。AG= BG已知 / DCE= 45 &

6、#176; ,根据(1) (2)可知，ED= BE+ DG 10=4+DG 即 DG=6设 AB= x,则 AE= x-4, AD= x-6,在 RtAE砰， DE=AE2+aE",即 102= (x-6) 2 解这个方程，得：x=12或x= 2 (舍去)。 .AB=12。一1 , _1,_、一 S梯形 abcd- (ADBC) AB-(612)12108。梯形ABCD勺面积为108。3、在正方形 ABCM,对角线AC,BD交于点O,点P在线段BC上(不含点B), / BPE= 1 ZACB, 2PE交BO于点E,过点B作BF± PE,垂足为F,交AC于点G.(1) 当点P

7、与点C重合时(如图).求证：BO® POE(4分)(2)通过观察、测量、猜想： 变=,并结合图证明你的猜想；(5分) PE 一(3)把正方形ABC改为菱形，其他条件不变(如图 )，若/ACB=a,BF求也 的值.(用含a的式子表不)(5分)PE（图勒阳）（图）【答案】 解：（1）证明：二四边形ABC比正方形，P与C重合,，OB=OP ,/BOC=BOG=90 。1 . PH BG , /PFB=90 , Z GBO=90 Z BGO, / EPO=90 乙 BGO。2 .Z GBO =EPO。. .BOBPOE(AAS。BF 1,(2) -o证明如下：PE 2如图，过 P作PM/AC

8、交BG于M,交BO于N, /PNE= BOC=9d, / BPN=Z OGB- / OBC= OCB =45°,/ NBP=Z NRBNB=NP. / MBN=9° / BMN/NPE=9°/BMNZMBN=NPEoABMN3APEN (ASA。BM=PE1 , _ , _ _. /BPE=1/ACB /BPN= ACB，/ BPF之 MPF。 2-.PF± BM,ZBFPMFP=9C°o又 PF=PF BPF MPFASA1°BF=MF ,即 BF=1 BM21 BF 1BF= PE, 即。2 PE 2(3)如图，过 P作PM/AC

9、交BG于点M 交BO于点N,/BPNW ACB=4 , /PNE= BOC=9C°o,11 _ ，一一由(2)同理可得 BF= BM / MBN= EPN。2. /BNM=PNE=90°, .BMN PENBM BNoPE PN/BEF4 A.(1) ZBEF=(用含a的代数式表示)；(2)当AB= AD时，猜想线段ED. EF的数量关系，并证明你的猜想;(3)当ABAD时，将“点E在AD上”改为“点E在AD的延长线上，且 AE>AB, AB【答案】解：(1) 180° 2a。(2) EB=EF证明如下:/ EBF=180 / BEF- / EFB元=/ E

10、FB。EB=EEBF 1=tan 。PE 24、如图 1,梯形 ABCN, AD/ BC, /ABC= 2/BCD= 2a，点 E在 AD上，点 F在 DC上，且= mDE AD= nDE"，其他条件不变(如图 2),求E：的值(用含 m n的代数式表示)。由(1)得：/ BEF=180 °-2 a =/ BDC_ ,OE OB 尤 OE OD又. / EOB=Z DOF.1.A EOB DOF，=,即=OD OF OB OF. /EOD=BOF, .EO'BOF。 . / EFB4 EDO=。在 RtBNPh tanBMPE= tan，即速=tan。 PE连接BD

11、交EF于点O,连接BFZADC=18 0 /C=180 - a。/BDCWADC- ZADB=180 2a。(3) 延长AB至G,使AG=AE连接BE, GE22皿 /,180 A 1801802贝U / G=Z AEG=1. AD/ BC,/EDF至 C=a , /GBC=A , / DEBW EBC。BNPN1. AD/ BC, ./A=180° - ZABC=1802 a ,. AB=ADADB=1 (180° /A)2EDF至 G。.一/ BEF4A , ./BE% GBCo / GBC+ EBC= DEB+ BEF ,即 / EBG= FED。 .DES AGBE

12、oEB 二 BGEF DE. AB=mDE AD=nDE . - AG=AE=(n+1) DEBG=AGrAB= (n+1) DE-mDE=(n+1 m) DEEB (n 1 m) DE .=n 1 m °EF DE5、探索发现： 已知：在梯形 ABCD43, CD/ AB, AD BC的延长线相交于点 E, AG BD相交于点O,连接EO并延长交AB于点M交CD于点No(1)如图，如果AD=BC求证：直线 EM是线段AB的垂直平分线；(2)如图，如果ADw BC那么线段 AM与BM是否相等？请说明理由。学以致用：仅用直尺(没有刻度)，试作出图中的矩形ABCM一条对称轴。(写出作【答

13、案】 解：(1)证明：AD=BC CD/ AB AC=BD / DAB=Z CBAAE=BE点E在线段AB的垂直平分线上。在4ABD和 ABAC中，-. AB=BA AD=BC AC=BD. .AB¥ ABAC (SSS。./DBAW CAB。，OA=OB点O在线段AB的垂直平分线上。直线EM是线段AB的垂直平分线。(2)相等。理由如下：. CD/ AB, . .EDNh AEAM, AEN(C EMB, AED(C EAB。DNDECNCEDECEDNCNBMCN , , 。 ：- 。 ：-AMAEBMBEAEBEAMBMAMDN. CD/ AB, . .ON»OMB, ON8AOM/ O