2020届三轮冲刺上海高考数学基础知识回顾辅导讲义：第八讲向量(教师版)

1、世纪野旨Ufwr iir 2 vcri 7V eom中小学教育资源及组卷应用平台2020届上海高考数学基础知识回顾辅导讲义第八讲向量基础知识、向量的概念: (1)向量的概念：既有大小又有方向的量.向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？(向量可以任意平移) (2)零向量：长度为0的向量叫零向量，记作： 0,注意零向量的方向是任意的； (3)单位向量：长度为一个单位长度 的向量叫做单位向量； (4)相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量； (5)平行向量(也叫共线向量)：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：36,规定零向量和任何向量平行； (6)位置向

2、量：起点为原点的向量.、向量的几何运算:1、向量的基本运算 (1)向量的加法运算：三角形法则和平行四边形 法则； (2)向量的减法运算：三角形法则；(减数指向被减数)Ml ( 3)实数与向量的乘积：实数 与非零向量a的积是一个 向量，记作 a . 0,ga与a方向相同，长度为I|ga|； 0,ga与a方向相反，长度为|ga|；r r 0, ga 0.2、向量的数量积：r ruuu r uuu r (1)向量的夹角：对于两个非零向量 a和b,如果以O为原点，作OA a,OB b,那么射线uA与OBu的夹角 叫做：和b的夹角， 的取值范围是 0,；-r- (2)向量的投影：b在a上的投影为|b|c

3、os , 为向量a和b的夹角；21 世纪教育网() ( 3)向量的数量积公式：a* = a b cos2;(aa2)犬也史戮自 Uf ill 2 >CJFI jrv eom中小学教育资源及组卷应用平台21 世纪教育网()a b的几何意义：ab等于其中一个向量 a的模a与另一个向量b在向量a的方r向上的投影bcos的乘积. 3、向量的夹角公式：cos4、向量的平行与垂直(1)向量的平行：a/ b 5、(2)向量的垂直：平面向量分解定理r一向量a,有且只有一对实数6、三点共线： ( 1)平面上有A、点共线;：如果agDir.ua.e1和e2是同一平面内的两个 不共线向量，那么对该平面内的任B

4、、C三点，若uuuABur2 e2 uuurBC R ,贝U A、B、Cuuu uuu 一(2)设OA、OB不平行，点 P在AB上 存在实数 ， 使得uur OPuurOAuurOB且、向量的坐标表示与运算:1、向量的坐标表不： (1)i : x轴正方向单位向量，j： y轴正方向单位向量; (2)向量的坐标表不：平面直角坐标系中，以 i , j为基底，则平面内的任一向量a可r r 表示为a xir yjx,y，称x, y为向量a的坐标; (3)X1, y1,BuuuX2, y2AB(X2x1，y2 y1)2、向量的模 ( 1)X1,y； (2)已知X1,y1r,则a的单位向量uuaorara3

5、、向量的坐标运算：r (1) arX1,y1 ,bX2,y2X1X2,y y2 ；N 7世纪卦昌uicifujzvfri-fv eom中小学教育资源及组卷应用平台21 世纪教育网()r (2) a Xi,yi ,X,yirr (3) a Xi，yi ,bX2,y2r ragbXX2NiV24、向量的平行与垂直 ( 1)r向量的平行：axi,yir,bX2,y2,a/ /bxi y2X2W ; (2)r向量的垂直：axi,yir,bX2,y2r r,a bX1X2yi y20 5、定比分点i )定比分点公式：知 A(Xi,yi)、B(x2, y2)是直线上任一点，且uuuAPuuuPB( R,i

6、),令 P(x, y),则:XiX2iyiy2iXiX22小y22 ( 3)重心公式:若点G x, y为ABC重心，且 A(Xi,y)、 B(X2,y2)、C(X3, y3),x (2)中点公式：若点P(x, y)为A(x , y1)、B(x2, y2)两点中点，则 iXiX2X33yiy2y3题型与方法、向量的概念与运算(加法、减法、数乘)1例U在下列命题中：(i)rb ; (2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相uuu同，终点相同；(3)若ABuuuruur uuurDC ,则ABCD是平行四边形；(4)若ABCD是平行四边形，则AB DC ;r r r r r(5)若 a b,b c

7、,贝U arc ； (6)若r r r r r ra/b,b/c,则a/c.其中正确的是【答案】(4) (5)【例2】已知a 4,5 ,【难度】【答案】6.2【例3】已知点A(1,3), B(4, 1),则与向量AB同方向的单位向量为().34-43八 3 4_4 3A- 5, 5B- 5, 5C- 5, 3D-5, 5【难度】【答案】A【例4】已知a (1,x) , b (4,2)，若a b,则实数x 【难度】【答案】-21 一 一【例5】如图：在梯形ABCD中，AD/BC且AD 1 BC , AC与BD相交 2uiu r umr r r r uuu uuu于。，设 AB a, DC b,用

8、 a,b表示 BO ,则 BO =.【难度】、4 i 2【答案】一a b33I uumluuLTi【例6】在直角坐标系内 R(4, 3), P2( 2,6),点P在直线PP2上，且|PP2仔叫，求出P的坐标.【难度】【答案】P( 8,15)【巩固训练】1.判断下列命题是否正确，并说明理由.若向量a与b同向，且|a|>|b|,则a>b;若向量|a|=|b|,则a与b的长度相等且方向相同或相反；对于任意|a|=|b|,且a与b的方向相同，则 a=b;向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反.【难度】【答案】不正确；不正确；正确；不正确.I-I-fe-*-t2 .设 x R ,向量

9、 a(x,1), b(1, 2),且 ab,则 | ab | 中小学教育资源及组卷应用平台【难度】【答案】.102 .3.已知向量a k ,k1 ,b k,4，若a/b ,则实数k的值是【难度】一一1【答案】k 0或k 134.已知 A(3, 1),B( 4,uuu2) , P是直线AB上一点，若2APuur3AB,求点P的坐标.【难度】【答案】P(15 52, 25.有以下命题成立：设点设点Ai, A2, A3, A4, A5是uuruuuuuuiu uuuu uuur0AlOA2OA3 OA4 OA5【难度】【答案】5 2uur uuurP,Q是线段AB的三等分点，则有OP OQuuu u

10、uirOA OB .将此命题推广,线 段 AB 的uuu uuu OA OB .六 等 分 点， 则6.已知点P、Q是 ABC所在平面上的两个定点，且满足 uuuruuir|PQ|= |BC|,则正实数=.uuuPAuur r uuu uur uur uuirPC 0, 2QA QB QC BC，若【难度】、-1【答案】1 2二向量的数量积向量数量积运算的基本方法： rr【例7】已知向量a 3, 4 ,b【难度】1、向量的分解；2、坐标法；3、向量数量积的几何意义.0, 1 ,则向量a在向量b的方向上的投影是 【例8】平面向量a与b的夹角为60 ,r rr ra1 , b (3,0)，则 2a

11、 b21 世纪教育网()式N 7世纪野目 Uf Uf tu 2eom中小学教育资源及组卷应用平台【难度】【答案】.192【方法】a【例9】在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则EC EM的最大值为.【难度】【答案】32【方法】向量的分解；坐标法【例10】已知 ABC的外接圆的圆心为 O, AC 6,BC 7, AB 8,则人O 的 【难度】【答案】14【方法】向量数量积的几何意义【巩固训练】uuulUULTiuur uuir1.在平行四边形 ABCD 中，若 AB 2,|AD| 1, BAD 60°,则 AB BD 【难度】【答案】3T T UU UT

12、 T T2,已知向量a与向量b , a| 2, |b| 3 , a、b的夹角为60 ,当1 m 2, 0 n 2时,r rma nb 的最大值为.【难度】【答案】2、，19LULL LUIT3 .在Rt ABC中，AB AC 3, M ,N是斜边BC上的两个三等分点，则 AM AN的值为【难度】【答案】4【方法】向量的分解；坐标法21 世纪教育网()犬7N1世纪教目中小学教育资源及组卷应用平台uur uur 4 .如图，在圆 O中，若弦AB = 3,弦AC = 5,则AO BC的值是【方法】向量数量积的几何意义三、向量的应用（一）三点共线的应用;（二）三角形2.3.4.【例GAuuirAPOA

13、HAGB GCuur|AB|OBABC的重心.umr AC)( |AC|OCHB HB HC。为0） P经过ABC的内心.ABC的外，HC HA H为ABC的垂心.11】已知点G是4ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且uuuu AMuur uuir uuurxAB, AN yAC ,则xy-的值为【方法】三点共线ir uu【例12】设e1,号是平面内两个不共线的向量,uuuAB (air ur uur1)0 e2, ACirurb0 2e2, a 0,b 0.1 2右A, B, C二点共线，则的最小值是 a b【难度】【答案】4【方法】平面向量分解定理，三点共线21

14、世纪教育网()世纪野后Uf Uf ilr z vcri JV tom中小学教育资源及组卷应用平台uur uur uuu uur【例13】已知同一平面上的向量 PA, PB , AQ , BQ满足如下条件：uur uuuuiruur uurabAQuur | PAPB| | AB |2 ; -un-uuu-BQ0| AB | | AQ|uur uuir uuu ; | AB AQ| |ABuuu uuuAQ |,则| PQ |的最大值与最小值之差是【难度】【答案】2【方法】三角形“四心”【巩固训练】C1 .如图，在 ABC中，点。是BC的中点，过点。的直线分别交直线 AB,uuu uuuu um

15、ruurAC于不同的两点 M , N ,若AB mAM , AC nAN ,则m n的值为【难度】【答案】2【解析】取特殊位置，设 M与B重合，N与C重合，则 m n 1,所以 m n 2.【方法】三点共线2 .已知点。是 ABC的重心，内角 A、B、C所对的边长分别为a、B c,且 uuu uuu 2 3 uur r2a OA b OB c OC 0 ,则角C的大小是 3【难度】【答案】 3【方法】三角形重心易错题型零向量、向量的夹角 【例1】已知点A 1,3 , B4, 1 ,则与AB共线的单位向量为【难度】、34一3 4【答案】,一和555 5 a【解析】与向量a同向的单位向量为二aa【

16、易错点】长度为 1个单位的向量叫单位向量；与向量a同向的单位向量为 ：。学生记忆时大a多会记得第二点，容易忽略反向的单位向量。【变式训练】1 .与a 8, 15垂直的单位向量为【难度】8 15,17 17,815【答案】_8_, 15和17172.已知向量p【难度】c均为非零向量，则 p的取值范围是21 世纪教育网()【答案】03【例2】设 为两个非零向量a、b的夹角，已知对任意实数，b t0|的最小值为1,则 （）A、若确定，则a唯一确定B、若 确定，则B唯一确定C、若a确定，则【难度】【答案】B唯一确定 D、若b确定，则 唯一确定【解析】不妨设 aOA, bOB ,过点B作OA的平行线l

17、,设BP ta ,则P点在l上，即OP b ta,显然当OP BP时，Op|最小。此时，OP |b sin （图1）,或者同lb sin（图2）,即1 |b|sin ,所以若 确定，则|b唯一确定；若 付确定，则 可能有两解，故选 B【易错点】题目的难度在于未知量多，分析起来不好着手，容易犯错。这类向量的题型需要定量来分中小学教育资源及组卷应用平台tom析和求解。【变式训练】1满足：对任意t R,恒有ateA、 aB、 a2.已知3.已知2,1 与 b1,2 ,要使a tb最小,则实数t的值是是向量a、b的夹角，且对任意的t R, bta的最小值为1,则bsec【例3】在 ABC中，过中线AD

18、中点E任作一直线分别交AB、AC于M、N两点，设AMAN yAC xy 0 ,则4x y的最小值是1 - -D为BC中点知AD -AB22 Ac,又 AM xAB , AN yAC xyE为ADAE1 - -AD21 =一 AM4x AN4y点共线，4x4x14x14yy4xM 、2y x - 4x y5 9 y一 一,当且仅当4 44x4x4y38'3 .y 3时取等号。4【易错点】若OAOBOC为常数），则A、B、C三点共线的充要条件是21 世纪教育网()中小学教育资源及组卷应用平台urcifUJZTfn-vv eom【变式训练】1 .在 ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的

19、中点，AN AB AC ,则 的值为【难度】【答案】12 .在 ABC中，点。是BC的中点，过点。的直线分别交直线 AB, AC于不同的两点 M, N,若 AB mAM', AC mAN',则 m n的值为【难度】【答案】23 .已知等差数列an的前n项和为Sn,若OB 310A a2000c，且A、B、C三点共线(该直线不过原点0),则S200 【难度】【答案】1004 .已知在平面直角坐标系中， A 2,0 , B1,3,0为原点，且0m'OA oB (其中1, 均为实数)，若 N 1,0 ,则|M的最小值是【难度】【答案】3 2 2【例4】已知a, b, c分别为

20、 ABC中 A, B, C的对边，点 G为 ABC的重心，且a GA b GB c GC 0,则 ABC 为 ()A、等腰直角三角形B、直角三角形 C、等腰三角形D、等边三角形【难度】【答案】D【解析】 点G是 ABC的重心， Ga Gb Gc 0,又aGA b GB c GC 0 ,a GA b GB c GA GB 0 ,即 a c GA b c GB 0 , GA , GB 不共线，21 世纪教育网()acbc0,SPabc,ABC为等边三角形，故选 D【易错点】运用平面向量判定图形形状,主要是将“边相等、边平行、边垂直”分别对应转化为“向量的模相等、向量的平行、向量的垂直”等问题。【变

21、式训练】1 .已知。为 ABC所在平面内一点，满足 OB OC OB OC 2由，则 ABC一定是（）A、等腰直角三角形B、直角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形【难度】【答案】B2,已知 ABC,若对任意 t R, |bA tBC |aC|,则 ABC （）A、必为锐角三角形B、必为钝角三角形C、必为直角三角形D、答案不确定【难度】【答案】C 2CB,则 ABC是A、等边三角形 B、锐角三角形C、钝角三角形D、直角三角形4.已知非零向量AB与AC满足AB ACAB| ACBCAB ACAB ACA、三边均不相等的三角形B、直角三角形C、等腰非等边三角形D、等边三角形ABC 所在的平面内并

22、且满足-OB OCOP ABab|cosBACACcosC0 ,则点P的轨迹经过ABC 的()A、重心B、垂心 C、内心 D、夕卜心3.在 ABC中，若 AB AB AC BA BC CAurcifitu2Tfn>v eom【难度】【答案】D【解析】BCABACBC BC 0BC 与AB cos BAC cosCABAB|cosBAC一 OB OC 一 一：一AC一 垂直，不妨设 BC中点为M ,则OP OP OMAC cosC2可得MP与BC垂直，MP所在直线为BC的中垂线，故点 P的轨迹经过 ABC的外k【易错点】在转化ABAB cos BAC和田ABaCACcosC| Ab| co

23、s B| Ac| cosC关键。【变式训练】1.已知 ABC的三内角A、B、C所对边的长依次为 a、b、c, M为该三角形所在平面内的一点，若 aMA bMB” cMC 0,则 M 是 ABC 的（）A、重心 B、垂心 C、内心 D、外心【难度】【答案】C2.已知O为 ABC所在平面内一点，满足,2OBABC 的（）A、重心 B、垂心 C、内心 D、夕卜心【难度】3.已知O是平面上一定点，AB、 C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP OAABAC0,则动点P的轨迹一定通过ABC的AB sin BACsin C4N1世史或昌, wuftu tejri-TV. eom中小学教育资源及组卷应用平台中小学教育资源及组卷应用平台A、重心B、垂心 C、内心 D、外心【难度】【答案】A【例6】设点O在 ABC的内部，且有 OA 2OB 3OC 0,则 ABC的面积与 AOC的面积之比为【难度】【答案】3【解析】可根据“奔驰引理”，若点O在 ABC的内部，xOA yOB zOC 0,则必有S B0c : S A0c : S AOB x: y : z。也可以常规的转化向量去求解。【易错点】在求解平面三角形的面积比时，对向量的条件需要转化成同底或等底、同高或等高，需要 将题中的向量条件转化成较少的向量，再利用共线的条件