2020届陕西省西安地区八校联考高三下学期高考押题卷数学(理)试题(解析版)

1、2020届陕西省西安地区八校联考高三下学期高考押题卷数学(理)试题一、单选题1.已知集合4 =卜|一2<“一1<2, 3为函数/(x) = log2(x-l)的定义域，则 ACB= <).A. x|x<-lB. x|x > 3)C. x|x(一 1，典)1D. x|l < x<3)【答案】D【解析】解不等式2vx-lv2,即可求出集合A；根据对数函数的特点即可求出函 数/'(x) = log2(x l)的定义域，进而求出集合4,再根据集合的交集运算，即可求出 结果.【详解】因为 A = N-2vx l2,所以 4 = 文|-1 vxv3：又函数

2、/(x) = log2(xl)的定义域为。田)，所以8 =及门>1；所以4c8 = x|l vx3.故选：D.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，涉及对数函数定义域的求法，属于基础题.2.已知复数二和虚数单位i满足L + i = l.则同=().ZA. 72B. C. 2D. y2，【答案】B【解析】根据复数的除法运算公式，求出z=:+?，再利用复数的模的运算公式，即2 2可求出结果.【详解】11 1+/11.因为一 + ' = ,所以z = "j： = y-可 =7 + 不，ZI(1-,)(1 + ,22故选：B.【点睛】本题主要考查了复数的运算和复数模，属于基础题

3、.3.设等差数列也的前项和为3, %=5,0=8,则5。= （）.A. -55B. 55C. 135D. -65【答案】A【解析】根据条件求出首项和公差，即可求出前1。项和.【详解】 设数列也）的公差为小解得q =-19,=3 ,10x a, +aU2。=1-=-55.故选：A.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，考查前项和的计算，属于基础题.x-2y<24.已知X,满足约束条件，则Z = 2x - y的最小值是（）. x + l>0, 1A. -7B. -6C.D. 32【答案】B【解析】根据已知条件画出可行域，由Z = 2x -），可得y = 2x - z,作沿着可行域的方向

4、平移，截距最大的时候Z = 2x-y最小.【详解】作出可行域如图所示：x + 1 =0、可得：x + V = 3，即 A(T4)当 Z = 2x-y过 A(1,4)时，名门m=2x(-l)-4 = -6 ,故选：B【点睛】本题主要考查了线性规划问题，关犍是理解z的几何意义，属于基础题.4»5. 一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为().A. 24+4B. 24 + 8C. 4万+4D. 4乃+8【答案】B【解析】由几何体的三视图可知，这个几何体的上部为半个圆柱，底面半径为1，高为 4,下部为长方体，长、宽、高分别为4、2、1,由此能求出该几何体的体积.【详解】由几何体

5、的三视图可知，这个几何体的上部为半个圆柱，底而半径为1,高为4,下部为长方体，长、宽、高分别为4、2、1,所以该几何体的体积为V = /rxl2x4 + 4x2xl = 2；F + 8.2故选：B【点睛】本题主要考查了由三视图求几何体的体积，考查空间想象能力，属于中档题.6 .圆/ + ：/-2%=0上的动点尸到直线工一）,一3 =。的最近距离为（）.A. 72B, 2C. 72 + 1D. 72-1【答案】D【解析】先求出圆心到直线x ,'-3 =。的距离，根据距离的最小值为d r,即可求解.【详解】由圆的一般方程可得（X - 1尸+ ），2 = 1 ,圆心坐标为（1,0）,半径为1

6、,11-0-31 l圆心到直线的距离d = 一六一=V2 ,>/2所以圆上的点到直线的距离的最小值为忘-1 .故选：D.【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，圆的方程，属于较易题.7 .若x = l是函数/（" = ae'+xlnx的极值点，则曲线y = /（x）在（1, 7）处 的切线方程是（）.A. y = -B. x+y 1 = 0C. )'=eD. )' = 6【答案】A【解析】根据题意可知/'(I)=。，即可求出。得值，再求出/的值可得切点，斜率攵=:(1)=。，即可写出方程.【详解】由题意可得：/'() = "+l

7、+ lnx,因为x = 1是函数/ (x) = aex + xln x的极值点，所以''= ae + l = 0,解得 =一1,e所以 /(%)=一1，+xlnx, e可得/(l) = -；xe +lnl = -l,切点为斜率k = /'(l)=0,所以切线为：y = -i故选：A【点睛】本题主要考查了曲线在某点处的切线的斜率，涉及极值点处的导函数值等于0,属于中档题.8.执行如图所示程序框图，若输入的4 = 2, b = 6,则输出的S是().高三质量检测是7/输出5 /结束A. 15B. 16D. 18【答案】B 【解析】按程序框图运行即可得到正确答案.【详解】 第

8、一步：4 = 2, b = 6, 5 = 0,7 = 2x6 = 12, S = 12,。= 3, b = 5, 7 = 3x5 = 15,S>T不成立，第二步：S = 15» a = 4, b = 4, T = 4x4 = 16 S>T 不成立，第三步：S = 16, a = 5 , b = 3 , T = 5x3 = 15 > S>T 成立，输出S = 16，故选：B【点睛】本题主要考查了循环机构的程序框图，属于基础题.229 .若双曲线C:二一.二1卜/>0力>0）的一条渐近线与）'轴的夹角是（则双曲线C的离心率是（）A. V2B.

9、/C. 2D.里【解析】求得的值，再由。二a可求得双曲线。的离心率的值.【详解】2,2由于双曲线C:二一;二 0力 0)的一条渐近线与轴的夹角是孑,则直线)，= 2x的倾斜角为？，. = tang = J§, a3 a 3所以，双曲线C的离心率为e = £ =高三质量检测故选：C.【点睛】计算较为方便，考查本题考查利用双曲线的渐近线求离心率，利用公式6 二 计算能力,属于基础题.10 .已知某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取20%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分

10、别为()A. 100, 8B. 80, 20C. 100, 20D. 80, 8【答案】A【解析】由题设中提供的直方图与扇形统计图可知样本容量是 = 100,其中对四居室 满意的人数为20%x100x40% = 8,应选答案A.(1 f n11 .设函数/(x)= C -LP ,则当工o时，/(M)的展开式中常数项是 -xx0().A. -70B. -35C. 35D. 70【答案】D【解析】根据分段函数求出/(/(x)的解析式，再利用二项式展开式的通项公式即可 求出展开式的常数项.【详解】'(1YX函数/(') = « X)'-xx>0(1，当“0时，

11、/(/(x) = /(-x2)= -x2 + -其展开式的通项公式为: /令 164r = 0,解得r=4；，展开式的常数项为：n=(-1)七=70.故选：D.【点睛】本题主要考查了二项式定理.属于较易题.12 .设向量" = (J5sinx,sinx), B = (cosx,sinx) , xe。，； .则函数/(力=7的 最大值是()331A. -B.C. -D. 2222【答案】A【解析】根据向量的数量积公式、二倍角公式和辅角公式化简，可得/(x) = sin2x- + l 再根据xeo，W和三角函数的性质，即可求出结果.O 7 22【详解】1-cos 2x2= sin 2x+

12、 6； 2由题意可知,/(X)= a 3 =bsin xcosx+sin2 x = sin 2x+2所以当X = £时，即2x £ =工时，/(x)取最大值， 36 2/(X)最大值为/ g 卜sinj 2xg_') +J=sing + ；=f/J VJ / 乙乙 乙 乙故选:A.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积，三角恒等变换与三角函数的性质，属于基础题.二、填空题13 .函数/(x) = 2sin；“x + ?| (°>0)的最小正周期是3乃，则幻=，【答案】|/、b 2兀【解析】利用函数=411(5 +夕)的周期公式7 =同，即可求出结果.

13、【详解】由题意可知， = 3,所以3 = 2.co32故答案为：y【点睛】 本题主要考查了函数y = Asin(蛆+夕)周期公式的应用，属于基础题.14 .已知圆。内切于边长为2的正方形，在正方形内任取一点，则该点不在圆。内的概率是.【答案】【解析】【详解】4一江4计算正方形的面积和内切圆的而积后可得所求的概率正方形的面积为4,内切圆的面积为4，设事件A为“在正方形内任取一点，则该点不在圆。内”，则A中含有的基本事件对应的面积为4-%，故所求的概率为W.故答案为：.【点睛】 本题考查几何概型的概率计算，此类问题弄清楚用何种测度来计算概率是关键，本题属 于基础题.2215.已知椭圆二+二=1的两

14、个焦点是片、F2,点M是椭圆上一点，且94M4|g| = 2,则尸怎M的面积是.【答案】4【解析】根据椭圆的定义和已知条件，可求出|昭川咋|的值，再根据勾股定理，可 证明耳是以眼6卜|，叫|为直角边的直角三角形，由此即可求出结果.【详解】由椭圆的定义可知，|M用+|M4| = 6,伊华| +明周=6 i;fR| = 4八,式阿用一悭周=2'2国用"2又比用=26，所以|叫+四用2=|耳国）所以"马加是以|M国加国为直角边的直角三角形，所以"鸟M的而积为工|M用|ME| =x4x2 = 4.22故答案为：4.【点睛】本题主要考查了椭圆的定义和简单的性质，属于

15、基础题.16.第二十四届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图设计的，如图，会 标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如果小正方形的面 积为1,大正方形面积为25,直角三角形中较大锐角为6,贝Jcos2e=.（赵爽的弦图）【答案】-六2.（1一2）+. n + n21-22=z 乙，不等式S“2用+47<0,即一竺二 + 45v0, 2得（ + 10）5-9）0/<-10 （舍去），或 >9 （eN+）,故使得邑-2e+47<0成立的正整数的最小值为10.【点睛】本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式以及求和公式等有关知识的综合运用.属

16、于中档题.18.某单位招聘职员，共有三轮考核，每轮考核回答一个问题，能正确回答问题者进入4下一轮考核，否则被淘汰.已知甲选手能正确回答第一、二、三轮问题的概率分别是:、3 2->三.且各轮问题能否正确回答互不影响.（1）求该选手被淘汰的概率；（2）该选手在被考核中回答问题的个数记为X,求X的分布列和数学期望.【答案】（1）粤：（2）分布列见解析：期望为12525【解析】（1）设“该选手能正确回答第i轮问题”为事件A（i = l,2,3）,则“该选手被 淘汰”为事件4+4不+ 44%，再利用互斥事件、相互独立事件概率计算公式和题 中所给数据，即可求出该同学被淘汰的概率.；（2）由题意X的可

17、能值为1, 2, 3, 乂=近=1,2,3）表示前1轮均答对问题，而第 i次答错，利用独立事件求出概率，列出分布列，求出期望.【详解】（1）设“该选手能正确回答第i轮问题”为事件4（，= 1,2,3）,“该选手被淘汰”为事件M.432则p（4）=l p（a2）=-, p（a3）= -.uP（M） = P（Al+AA2+AlA2Ai）=p(司+p(A)p(%)+p(A)p(4)p(4)I 4 2 4 3 3=IX1x x 5 5 5 5 5 5101"125.该选手被淘汰的概率是詈(2) X的可能取值为1, 2, 3.P(X=1) = P(不)=/p(x = 2) = p(4A)= P

18、(A)(A)= jx|=A,4 3 12P(X=3) = P(AA2) = P(A)P(2) = -x- = -./. X的分布列为X123P£ 58251225AE(X) = lx- + 2x + 3x =.' ,52525 25【点睛】本题考查互斥、对立、独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和期望等知识，同时 考查利用概率知识分析问题、解决问题的能力.19.如图，四边形A8C。为菱形，G为AC与8。的交点，%：1平面48。.(1)证明：平面AEC_L平面3瓦)；(2)若NA3C = 120。，A3 = 2, AABE的面积为点，在棱8E上确定一点。，求3>/2使得

19、直线CP与平面CDE所成角的正弦值为匹时CP的长. 15【答案】（1）证明见解析：（2） 士.2【解析】（1）利用线而垂直和而而垂直的判定定理求解即可.（2）设七8 = x,利用己知条件求出边的长度，建立空间坐标，写出点的坐标，求面CDE 的一个法向量，利用直线CP与平而COE所成角的正弦值求解即可.【详解】（1）证明：因为四边形A3CO为菱形，所以AC_L3D，.BE1平面A8CQ,所以AC_L8K，BDcBE = B，故AC_L平面BE。，又4Cu平面AEC,所以平而AEC_L平面BED.（2）解：设= 则:x2xx = JJ,得4 =点.2在菱形A3CD中，由 NA5C = 120。，A

20、B = 2,可得 AG = GC = >/5, GB = GD = 1 ,过G作直线/_L平面ABC。，以G为原点，直线G8为4轴，直线GC为）'轴，/为z轴建立空间直角坐标系G -.则 G（O,O,O）, 8（100）, C（0,6,。），。（一1,0,0）,网1,。,艰），=（T>/l0）,CB = （1,-73,O）, BE =（0,0,5/2）设8P = /18石=（0,0,5/4）, （0W/IW1）：.CP = CB + BP = （1,-73,x/22）:设平面CDE的一个法向量为i = （x,y,z）,则有-x -退y = 0,x - 6y + /2a =

21、0,得 3=(_"1,回,8焉司叶卜后2阚一后;7解得八屋或九北(舍去).得CP的长为王.2【点睛】本题主要考查了线面垂直和而而垂直的判定定理，以及利用空间向量求解线面角的问题. 属于中档题.20.已知产为抛物线C：/=2py(p0)的焦点，点M (机,1)在抛物线上，且o明日=7直线八丁 =履+ 2与抛物线。交于A、8两点. 8(1)求抛物线。的方程；(2)设。为坐标原点，?轴上是否存在点P,使得当k变化时,总有ZOPA = ZOPB ? 若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】1)X2=1y； (2)存在；P (0, -2).2o【解析】(1)根据抛物线的定义到焦点

22、的距离等于到准线的距离，由|可=-,即可8n 9得到1+匕=,从而求出参数的值，即可得解； 2 8(2)设P(0/), A(xj),联立直线与抛物线方程，消去九 列出韦达定理，由NOQ4 = NOP8,则直线R4和直线08的倾斜角互补，故其斜率互为相反数， 即可得到方程，求出参数/?的值，即可得解：【详解】n 91解：(1)根据抛物线的定义，得1 +匕=一，解得=:.2 84，抛物线C的方程为X2 =-y. 2(2)在丁轴上存在点，使得当k变化时，总有NOQ4 = NOP8.理由如下:设尸(0力)，A(x，yJ, 8(，%),y = kx + 2,由<、1消去)'，得2/-6一2

23、 = 0,且=公+16>0恒成立.左 、 X + x-y = > x= -L y = 2n； , )、= 2x7 > ,NOPA = NOP8时，直线A4和直线夕8的倾斜角互补，故其斜率互为相反数.即、+" =+也a=(,+(必叫二0 玉 x2xx2x2 .2x： -bx2 + xt - 2xJ -lox1=0 ,即(23巧-/?)(x2+i) = O .(2得 =2,即点夕的坐标为(0, -2).所以，)'轴上存在点尸(0, -2),使得当A变化时，总有NOR4 = NO尸8【点睛】本题考查抛物线的定义的应用，直线与抛物线的综合应用，属于中档题.21.已知

24、函数/(x) = ln(x+l), g(x)W(x),其中/'(x)是/(、)的导函数.(1)求函数/(x)土"。) g(x)(加为常数)的单调区间；(2)若工之0时，/(“之(。1月(1)恒成立，求实数。的取值范围.【答案】(1)答案见解析：(2) (-oo,2.【解析】(1)先对函数厂(力求导，再对加分类讨论判断函数的单调性即可得出结论;(2)由题意转化已知条件令M(x) = ln(x + 1) ")求导，再对。分类讨论判断函数的单调性求最值即可求出实数。的取值范围.【详解】(1) v/(x) = ln(x+l)t/'(力=F(x) =(x)-(x) =

25、/nln(x + l)-xx+T(A, > -1 ),为帚=针当7W0时，F"(x)<0, E(x)在(一1,*。)上单调递减;1 />>当7>0时，由/'(x) = 0,得工=>一1,mX 1,时，/(X)V 0 .门_/、X ,+co 时，F"(x)>o. 7/,+8上单调递增.综上所述，当 740时，E(X)的单调递减区间是(一1,+8)：当7 >0时，尸(X)的单调递减区间是1-1,与”卜单调递增区间是13，+°°(2)当)之0时,不等式/(力之(。l)g(x)恒成立,即 ln(x + l)

26、-("T)xx + 12 0恒成立,设 M (%) = In (x +1) ( X > 0)»X + 1 (x + 1)(x + 1)当。42时，M'(x)2 仅当 =2, x = 0时，等号成立:”(另在。,长可上递增：f (x)N(4-l)g(x)恒成立;当a>2时，由M'(x) = 0,得工=4一2，当xe(O,a-2)时，Mf(x)<0,M(x)在(0,4 2)上递减，有用(a 2)vM=0, 即玉 £(0,-2)使 M(x) <0,综上所述，。的取值范围是(一,2.【点睛】本题主要考查了利用函数求函数的单调区间以及

27、利用导数求最值解决不等式恒成立问 题.考查了构造函数的思想和分类讨论思想.属于中档题.22.选修44：坐标系与参数方程x = 4 + 5 cos t已知曲线G的参数方程为< < .(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为p=2sin0.(I )把G的参数方程化为极坐标方程；(D)求G与C2交点的极坐标(pNO,怅。<2几)【答案】(1)p2-8pcos6»-10psin6> + 16 = 0； (2)(",3(2尚).【解析】【详解】试题分析：(1)先根据同角三角函数关系cos2t+sin2t=l消参数得普通 方程：(x-4) ?+(y-5)2=25 ,再根据x = pcosay = psin<9将普通方程化为极坐 标方程：p2 - 8p cos -1