初三数学圆的综合的专项培优练习题

1、初三数学圆的综合的专项培优练习题一、圆的综合1 .如图，四边形 OABC是平行四边形，以 。为圆心，OA为半径的圆交 AB于D,延长AO 交。于E,连接CD, CE,若CE是。的切线，解答下列问题：(1)求证：CD是。的切线；OABC的面积.试题分析：(1)连接OD,求出/EOCN DOC,根据SAS推出EOeDOC,推出/ODC=/ OEC=90,。根据切线的判定推出即可；(2)根据切线长定理求出 CE=CD=4根据平行四边形性质求出OA=OD=4,根据平行四边形的面积公式二24 COD的面积即可求解.试题解析：(1)证明：连接OD,-.OD=OA, / ODA=/ A, .四边形OABC是

2、平行四边形， .OC/ AB, / EOC=Z A, / COD=/ ODA, / EOC二Z DOC,在EOC和ADOC中，OE ODEOC DOCOC OC.,.EOCADOC (SAS , / ODC=/ OEC=90 ；即 OD, DC, .CD是。O的切线；(2)由(1)知CD是圆O的切线, .CDO为直角三角形， .Sa cdcf CD?OD2，又 oafbcfOd=4Sacdo= X 6X 4=,122，平行四边形OABC的面积S=2S cdo=24.2.图1和图2,半圆O的直径AB=2,点P (不与点A, B重合)为半圆上一点，将图形延 BP折叠，分别得到点 A, O的对称点A

3、', O',设/ABP=a.A0(1)当a =15时,过点 由.A作A QI AB,如图1,判断A西半圆O的位置关系，并说明理(2)如图2,当a -(3)当线段BO与半圆时；BA'与半圆O相切.当a=时，。点O'落在河上.O只有一个公共点 B时，求a的取值范围.【答案】<90°.1) Ag半圆O相切；理由见解析；(2) 45; 30; (3) 0°< a< 30°或45° < a【解析】试题分析:(1)过O作ODLA什点D,交A 行点E,利用含30°角的直角三角形的性II 11质可求得 D

4、E+OE=A' B=AB=OA,可判定 A g半圆相切;(2)当BA'与半圆相切时，可知 OB，A' H则可知a =45；当O'在尸"上时，连接AO,则可知(3)1BO =AB,利用(2)得出满足条件的可求得/ O' BA=60可求得a =30；可知当a =30时，线段O' B与圆交于O',当a =45时交于点B,结合题意可 a的范围.试题解析：(1)相切，理由如下：如图1,过O作OD过O作ODLA'什点D,交A 行点E, / ABA ZCA' B=30 ° 1 1.DE=-A，* OE=BE, 111

5、11 .DO=DE+Oe2 (A' E+BE='AB=OA, A'与半圆O相切；(2)当BA'与半圆O相切时，则 OB, BA', ./OBA' =2 a =90O'在历上时，如图2,1连接AO ,则可知BO= AB,/ O' AB=30 ° ./ABO' =60 °=3Q °(3)二.点 P, A 不重合，a>0,由(2)可知当a增大到30。时，点O'在半圆上，. 当0°V a< 30时点O'在半圆内，线段 BO与半圆只有一个公共点B;B.当“增大到45

6、。时BA'与半圆相切，即线段 BO与半圆只有一个公共点当a继续增大时，点 P逐渐靠近点B,但是点P, B不重合， a< 90 :当45 ° VB0线段BO与半圆只有一个公共点B.综上所述 0°< a<30°或 45° Wq90°.考点：圆的综合题.3.已知e O的半径为5,弦AB的长度为m,点C是弦AB所对优弧上的一动点.1如图，若m 5,则 C的度数为°；2如图，若m 6.求 C的正切值；若VABC为等腰三角形，求 VABC面积.【解析】1连接OA, OB,判断出VAOB是等边三角形，即可得出结论;2先求出

7、AD 10,再用勾股定理求出 BD 8,进而求出tan ADB ,即可得出结 论；分三种情况，利用等腰三角形的性质和垂径定理以及勾股定理即可得出结论. 【详解】1如图1,连接OB, OA,OB OC 5,Q AB m 5, OB OC AB , VAOB是等边三角形,AOB 600，八 1coACB AOB 30 ， 2故答案为30;2如图2,连接AO并延长交3。于口，连接BD,Q AD为e O的直径,AD 10, ABD 900,在RtVABD中，AB m 6,根据勾股定理得,AB 3tan ADB ,BD 4一， 3C的正切值为一；4I、当AC BC时，如图3,连接CO并延长交AB于E,Q

8、AC BC, AO BO,CE为AB的垂直平分线，AE BE 3,在RtVAEO中，OA 5,根据勾股定理得，OE 4,CE OE OC 9,C1 1 - C S7ABe AB CE 6 9 27 ;22n、当AC AB 6时，如图4,图4连接OA交BC于F,QAC AB , OC OB ,AO是BC的垂直平分线， 过点O作OG AB于G,1_1AOG - AOB , AG -AB 3,22Q AOB 2 ACB ,ACF AOG ,在 RtVAOG 中，sin AOGAGACsin ACF353在 RtVACF 中，sin ACF 3, 5AF 3 AC5185CF24SvABC1-AF B

9、C21 18 24 4322 55256时，如图5,由对称性知，Svabc43225出、当BA BC【点睛】圆的综合题，主要圆的性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，三角形的面积 公式，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键.4.如图，AB是半圆。的直径，C是窟的中点，D是,密的中点，AC与BD相交于点E.(1)求证：BD平分/ABC；(2)求证：BE=2AD;(3)求DE的值. BE【答案】(1)答案见解析(2) BE=AF=2AD (3) & 12【解析】试题分析：(1)根据中点弧的性质，可得弦 AD=CD,然后根据弦、弧、圆周角、圆心角 的性质求解即可；(2)延长BC与A

10、D相交于点F,证明BCEACF根据全等三角形的性质可得BE=AF=2AD(3)连接OD,交AC于H.简要思路如下：设 OH为1,则BC为2, OB=OD=J2 ,DH= J2 1,然后根据相似三角形的性质可求解.试题解析：(1);D是费的中点.AD=DC/ CBD=Z ABDBD 平分 / ABC(2)提示：延长 BC与AD相交于点F,证明BCEACF,BE=AF=2AD(3)连接OD交AC于H.简要思路如下:设 OH 为 1,贝U BC 为 2, OB=OD=J2 ,DH=,2 1,DE DHBE - BCDE = V2 1BE -25.如图，已知四边形 ABCD是矩形，点P在BC边的延长线

11、上，且 PD=BC OA经过点B, 与AD边交于点E,连接CE .（1）求证：直线PD是。A的切线；._2（2）若PC=2j5, sin/P=：,求图中阴影部份的面积（结果保留无理数）.【答案】（1）见解析；（2） 20-4兀.【解析】分析：（1）过点A作AHLPD,垂足为H,只要证明AH为半径即可.（2）分别算出RtCED的面积，扇形 ABE的面积，矩形 ABCD的面积即可.详解：（1）证明：如图，过 A作AHLPD,垂足为H,四边形ABCD是矩形，.AD=BC, AD/ BC, / PCD=Z BCD=90 ,° ，/ADH=/ P, /AHD=/ PCD=90 ,°

12、又 PD=BC .-.AD=PD,.ADHADPC,AH=CD,.CD=AB,且AB是。A的半径， .AH=AB,即AH是。A的半径， .PD是。A的切线.3 , PC=2x/5 ,2-(2x)2=(2V5)2,.一 . .CD(2)如图，在 RtPDC中，1. sinZ P=PD令CD=2x, PD=3x,由由勾股定理得：（3x）解得：x=2,，CD=4, PD=6, .AB=AE=CD=4 AD=BC=PD=6 DE=2,1矩形ABCD的面积为6X 4=24RtCED的面积为一X4X2=42一一12扇形ABE的面积为一兀x2=4 02图中阴影部份的面积为24-4-4兀=24兀.点睛：本题考

13、查了全等三角形的判定，圆的切线证明，三角形的面积，扇形的面积，矩形 的面积.6.已知，如图：Oi为x轴上一点，以 Oi为圆心作。交x轴于C、D两点，交y轴于M、N两点，/CMD的外角平分线交 OOi于点E, AB是弦，且 AB/CD,直线DM的解析 式为 y=3x+3.(1)如图1,求。Oi半径及点E的坐标.(2)如图2,过E作EF，BC于F,若A、B为弧CND上两动点且弦 AB/ CD,试问：BF+CF 与AC之间是否存在某种等量关系？请写出你的结论，并证明.(3)在(2)的条件下，EF交OOi于点G,问弦BG的长度是否变化？若不变直接写出BG的长(不写过程)，若变化自画图说明理由.圄1国2

14、【答案】(i) r=5 E (4, 5) (2) BF+CF=AC (3)弦BG的长度不变，等于 5庭【解析】分析：(i)连接 ED EG EQ、MOi,如图 i,可以证到 / ECD=/ SME=/EMC=/EDC,从 而可以证到/ EQD=/EOiC=90°.由直线DM的解析式为y=3x+3可得OD=i, OM=3,设 OOi的半径为r.在RtA MOOi中利用勾股定理就可解决问题.(2)过点Oi作OiPEG于P,过点Oi作OiQ± BC于Q,连接E。、DB,如图2.由 AB/ DC可证到BD=AC,易证四边形 OiPFQ是矩形，从而有 OiP=FQ, Z POiQ=9

15、0°,进而有 /EOiP=/ COiQ,从而可以证到 EPOi0CQ。，则有PQ=QOi.根据三角形中位线定理 可得FQ=BD.从而可以得到 BF+CF=2FQ=AC.2(3)连接 E。，ED, EB, BG,如图 3.易证 EF/ BD,则有 Z GEB=Z EBD,从而有 BG=?D，也就有BG=DE.在RtA EQD中运用勾股定理求出 ED,就可解决问题. 详解：(i)连接ED EG EQ、MOi,如图i. ME 平分 / SMC,/ SME=Z EMC. / SME=Z ECD, / EMC=Z EDC,/ ECD=Z EDC,/ EOiD=Z EOiC. ZEOiD+Z E

16、OiC=i80 °,ZEOiD=Z EOiC=90 °. 直线DM的解析式为y=3x+3, 点M的坐标为(0, 3),点D的坐标为(-i , 0), .OD=i, OM=3.设。Oi的半径为r,则MOi=DOi=r.在 RtA MOOi 中，(r i) 2+32=r2.解得：r=5,OOi=4, EQ=5,，。01 半径为 5,点 E 的坐标为(4, 5).(2) BF+CF=AC.理由如下：过点Oi作OiP, EG于 巳 过点Oi作OiQBC于Q,连接E。、DB,如图2. AB/ DC, ./DCAf/BAC,Ad = Bc, ?d = Ac ' bd=ac.Oi

17、P± EG, OiQ± BC, EF±BF, z. ZOiPF=Z PFQ=Z OiQF=90 °, .四边形 OiPFQ是矩 形，,OiP=FQ, /PQQ=90 °,ZEOiP=90 °- ZPOiC=ZCOiQ.EO1PCOiQ在EPQ 和 ACQ。中，EPOiCQOi ,OiE QC2 .EPOiACQO,POi=QOi,FQ=QOi.QOi± BC,，BQ=CQ3 CO=DOi,OiQ=iBD),，FQ=1bD.22 BF+CF=FC+BQ+CF=FQ+CQ+CF=2FQ, . BF+CF=BD=AC.(3)连接

18、EQ, ED, EB, BG,如图 3. DC是。Oi 的直径，Z DBC=90 °,Z DBC+Z EFB=i80 °, . EF/ BD,/ GEB=Z EBD,Bg = ?D , . BG=DE. DOi=EOi=5, EOi ± DOi , . . DE=5&,，BG=5& , ，弦BG的长度不变，等于 5衣.却图2图I点睛：本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、弧与弦的关系、垂径定理、全等三 角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的判定与性质、勾股 定理等知识，综合性比较强，有一定的难度.而由 AB/ DC证到A

19、C=BD是解决第(2)小题 的关键，由EG/ DB证到BG=DE是解决第(3)小题的关键.7.如图，AB是半圆 O的直径，半径 OCX AB, OB= 4, D是OB的中点，点 E是弧BC上的 动点，连接AE, DE(1)当点E是弧BC的中点时，求 4ADE的面积；3, ，一(2)若 tan AED 一,求 AE的长；2(3)点F是半径OC上一动点，设点 E到直线OC的距离为m,当 DEF是等腰直角三角 形时，求m的值.O D B【答案】(1)Sade6应；(2)AE16 v5；(3) m2厌，m2日5m 7 1 .【解析】【分析】(1)作 EHI±AB,连接 OE, EB,设 DH

20、=a,贝U HB= 2- a, OH= 2+a,贝U EH= OH=2+a, 根据RtAEB中，EH2=AH?BH,即可求出a的值，即可求出 Sxade的值； AFAD(2)作DF±AE,垂足为F,连接BE,设EF= 2x, DF= 3x,根据DF/ BE故 .EF BD得出AF= 6x,再利用RtAFD中，AF2+DF2=AD2,即可求出x,进而求出 AE的长；(3)根据等腰直角三角形的不同顶点进行分类讨论，分别求出 m的值.【详解】解：(1)如图，作 EHI±AB,连接OE, EB,设 DH=a,贝U HB=2-a, OH=2+a,点E是弧BC中点，/ COE= / E

21、OH= 45 ;,-.EH=OH= 2+a,在 RtMEB中，EH2=AH?BH,(2+a) 2= ( 6+a) ( 2 - a),解得 a= 2 J2 2，a= 2>/2 2，EH=2&，1_ _ _S>aade= n AD n EH 6.2;2(2)如图，作 DF±AE,垂足为F,连接BEO D B设 EF= 2x, DF= 3x1) DF/ BEADBD6一=32.afEF.af2x.AF = 6x在 RtMFD 中,AF2+DF2= AD2 (6x) 2+ (3x) 2= (6) 2解得x= 2 /5516AE= 8x=55(3)当点D为等腰直角三角形直角

22、顶点时，如图设 DH=a由 DF=DE/ DOF=Z EHD=90 , / FDO+Z DFO=Z FDO+Z EDH,/ DFO=Z EDH.,.ODFAHED.OD=EH= 2在 RtMBE 中，EH2=AH?BH2) ) 2= ( 6+a) ? (2-a)解得 a= +23 2m= 2石当点E为等腰直角三角形直角顶点时，如图同理得AEFCADEH设 DH=a，贝UGE= a, EH= FG= 2+a在 RtMBE 中，EH2=AH?BH(2+a) 2= ( 6+a) ( 2 - a)解得a= 2 2 2 .m= 242当点F为等腰直角三角形直角顶点时，如图4O D H B同理得 EFM

23、FDO设 OF= a,则 ME=a, MF = OD = 2.EH=a+2在 RtMBE 中，EH2=AH?BH(a+2) 2= (4+a) ? (4- a)解得a= ±77 1m=用1【点睛】此题主要考查圆内综合问题，解题的关键是熟知全等三角形、等腰三角形、相似三角形的 判定与性质.8.如图，。的直径AB=26, P是AB上(不与点A、B重合)的任一点，点 C D为。上 的两点，若/APD=/BPC则称/CPD为直径AB的 回旋角若/BPJ/DPJ 60。，则/CPD是直径AB的 回旋角”吗？并说明理由；13(2)若Cd的长为一兀，求 回旋角/ cpd的度数；4(3)若直径AB的回

24、旋角”为120°,且4PCD的周长为24+13J3,直接写出AP的长.【答案】(1)/CPD是直径AB的回旋角”，理由见解析；(2)回旋角”/CPD的度数为45°(3)满足条件的AP的长为3或23.【解析】【分析】(1)由/CPD / BPC得至ij / APD,得到/BPC=/APD,所以/ CPD是直径AB的 回旋 角”；(2)利用CD弧长公式求出ZCOD= 45°,作C已AB交。于E,连接PE,利用/CPD为直径AB的 回旋角"，得到/APD=/BPC, Z OPE= Z APD,得到，八。 1Z OPE+Z CPD+Z BPC= 180 ；即点

25、D, P, E三点共线， Z CED= - Z COD= 22.5 ,2得到 / OPE= 90 - 22.5 = 67.5 °,贝U / APD= / BPC= 67.5 °,所以 / CPD= 45° ( 3)分出情况P在OA上或者OB上的情况，在 OA上时，同理(2)的方法得到点 D,巳F在同一条 直线上，得到 4PCF是等边三角形，连接 OC, OD,过点O作OGL CD于G,利用sin/DOG,求得CD,利用周长求得 DF,过O作OHLDF于H,利用勾股定理求得OP,进而得到 AP;在OB上时，同理 OA计算方法即可【详解】/CPD是直径AB的 回旋角”

26、，理由： Z CPD= / BPC= 60°,/ APD= 180 - / CPD- ZBPC= 180 - 60 - 60 = 60 1/ BPC= / APD, / CPD是直径AB的回旋角”；(2)如图 1 , AB= 26,.OC= OD= OA= 13,设/ COD= n°,一13 - Cd的长为国 4n n13 13 一1804n = 45,/ COD= 45 ;作CE! AB交。于E,连接PE,/ BPC= / OPE,/ CPD为直径AB的回旋角”，/ APD= / BPC,/ OPE= / APD, / APD+Z CPD+Z BPC= 180 ； / O

27、PE+Z CPD+Z BPC= 180 ； 点D, P, E三点共线，“1 / CED= /COD= 22.5 ,2/ OPE= 90 - 22.5 = 67.5 ,°/ APD= / BPC= 67.5 ,°/ CPD= 45 ；即：回旋角”/CPD的度数为45。， 当点P在半径OA上时，如图2,过点C作CF±AB交。于F,连接PF,PF= PC,同(2)的方法得，点D, P, F在同一条直线上, 直径AB的回旋角”为120 ；/ APD= B BPC= 30 ;/ CPF= 60 °, .PCF是等边三角形， / CFD- 60 ；连接OC, OD,

28、 / COD- 120 ；过点O作OGL CD于G,- 1 -.CD=2DG, /DOG=/COD- 60 ,213 3.DG=ODsinZ DOG= 13 x sin60 2- CD= 13 3，.PCD的周长为 24+13 3，.PD+PC= 24, PC= PF, .PD+PF= DF= 24, 过O作OHDF于H,.DH= 1DF= 12,2在 RtOHD 中，OH= JOD2 DH25在 RtAOHP中，/ OPH= 30°,.OP= 10,-.AP=OA- OP=3;当点P在半径OB上时，同的方法得，BP= 3,.AP = AB- BP=23,即：满足条件的 AP的长为3

29、或23.【点睛】本题是新定义问题，同时涉及到三角函数、勾股定理、等边三角形性质等知识点，综合程P点的分类讨论度比较高，前两问解题关键在于看懂题目给到的定义，第三问关键在于9.如图，AB是圆。的直径，。为圆心，AD、BD是半圆的弦，且 / PDA=/ PBD.延长PD 交圆的切线BE于点E(1)判断直线PD是否为。的切线，并说明理由;(2)如果 / BED=60°, PD=J3,求 PA 的长；(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段 DF,点F正好在圆。上，如图2,求证：四 边形DFBE为菱形.【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】ZADO+ZPDA=90 ,即可得(1)连接O

30、D,由AB是圆。的直径可得ZADB=90 ,进而求得出直线PD为。的切线;(2)根据BE是。的切线，则/EBA=90,即可求得Z P=30° ,再由PD为。的切线，得/PDO=90 ；根据三角函数的定义求得OD,由勾股定理得OP,即可得出PAs(3)根据题意可证得 /ADF=/ PDA=Z PBD=Z ABF,由AB是圆。的直径，得 Z ADB=90 ,设/ PBD=X，则可表示出 /DAF=/ PAD=90 +x°, / DBF=2X ,由圆内接四边形的性质得出x的值，可得出4BDE是等边三角形.进而证出四边形DFBE为菱形.【详解】(1)直线PD为。的切线,理由如下：如

31、图1,连接OD,.AB是圆。的直径，/ ADB=90 ,° / ADO+Z BDO=90 ； 又 DO=BO,/ BDO=Z PBD, / PDA=Z PBD,/ BDO=Z PDA, / ADO+Z PDA=90 ；即 PD± OD, 点D在。O上， 直线PD为。的切线；(2) BE是。的切线，/ EBA=90 ,° / BED=60 ；/ P=30 ,° .PD为。的切线,/ PDO=90 ；在 RtA PDO 中,/ P=30°, PD= ,-0 OD -tan 30而"，解得 OD=1,PO . PD2 OD2 =2，PA=P

32、O- AO=2- 1=1;(3)如图2,依题意得：/ ADF=Z PDA, / PAD=Z DAF, / PDA=Z PBDZ ADF=Z ABF,/ ADF=Z PDA=Z PBD=Z ABF,.AB是圆O的直径，/ ADB=90 ,°设 / PBD=x ,贝U / DAF=Z PAD=90 +x°, / DBF=2x , 四边形AFBD内接于OO, / DAF+Z DBF=180 ,°即 90°+x+2x=180°,解得 x=30°,/ ADF=Z PDA=Z PBD=Z ABF=30 ,°.BE、ED是。的切线，.DE

33、=BE / EBA=90 :/ DBE=60 ,° 4BDE是等边三角形，.BD=DE=BE又 / FDB=Z ADB- / ADF=90 30 =60 / DBF=2x =60°, .BDF是等边三角形， .BD=DF=BF .DE=BE=DF=BF 四边形DFBE为菱形.本题是一道综合性的题目，考查了切线的判定和性质，圆周角定理和菱形的性质，是中档 题，难度较大.10.如图1,四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上,/AEF=90, AE=EF过点F作射线BC的垂线，垂足为 H,连接AC.(1)试判断BE与FH的数量关系，并说明理由；(2)求证：/

34、ACF=90°连接AF,过A, E, F三点作圆，如图 2.若EC=4, ZCEF=15°,求熊的长.图1图2【答案】(1) BE="FH"理由见解析(2)证明见解析正=2兀【解析】试题分析：(1)由ABEEHF (SAS即可得到BE=FH(2)由(1)可知AB=EH,而BC=AB, FH=EB从而可知 FHC是等腰直角三角形，/ FCH为45°,而/ ACB也为45°,从而可证明(3)由已知可知/EAC=30, AF是直径，设圆心为 O,连接E0,过点E作ENL AC于点N, 则可得4ECN为等腰直角三角形，从而可得EN的长，进而可

35、得 AE的长，得到半径，得到常所对圆心角的度数，从而求得弧长 试题解析：(1) BE=FH理由如下：四边形 ABCD是正方形/ B=90 ； . FHXBC / FHE=90 °又,：L AEF=90/ AEB+/ HEF="90"且 / BAE+/ AEB=90/ HEF=Z BAE/ AEB=Z EFH 又AE=EF. .AB图 EHF (SA§，BE=FH(2)AABEAEHFBC=EH, BE=FH 又BE+EC=EC+CH BE="CH".CH=FH/ FCH=45 ,°/ FCM=45 °.AC是正方形

36、对角线，Z ACD=45 °/ ACF=Z FCM +/ ACD =90 °(3) AE=EF，4AEF是等腰直角三角形 AEF外接圆的圆心在斜边 AF的中点上.设该中点为 O.连结EO得/AOE=90°过E作EN± AC于点NRtA ENC 中，EC=4, Z ECA=45°, . . EN=NC=0RtA ENA 中，EN =2 应又 / EAF=45 / CAF=Z CEF=15 (等弧对等角)/ EAC=30 °.AE=RtA AFE 中，AE=|T2 = EF,，AF=8AE所在的圆O半径为4,其所对的圆心角为 Z AOE=

37、90°症=2 兀- 490 - 36。° =2 兀考点：1、正方形；2、等腰直角三角形；3、圆周角定理；4、三角函数11.在匚中，£即。=90 口。=*？=久D,万分别是边收/?,力C的中点，若等腰 尺必/1。/?绕点卜1逆时针旋转，得到等腰RM，。西,设旋转角为,记直线丹小 与西的交点为斗(1)问题发现如图1,当聿二90'时，线段方。】的长等于 ,线段的长等于 .(2)探究证明如图2,当优=135=时，求证：孙二% 且即1 CE(3)问题解决求点到所在直线的距离的最大值.(直接写出结果)cmi©图2【答案】(1) 2同；2/； (2)详见解析；

38、(3) l + y3【解析】【分析】(1)利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理分别得出BD的长和C6的长；(2)根据旋转的性质得出，/ D1AB=/EiAC=135°,进而求出 DiABEiAC ( SAS ,即可得出答案；(3)首先作PGil AB,交AB所在直线于点G,则Di,日在以A为圆心，AD为半径的圆 上，当BDi所在直线与。A相切时，直线BDi与CE1的交点P到直线AB的距离最大，此时 四边形ADip日是正方形，进而求出 PG的长.【详解】(1)解：./A=90°, AC=AB=4, D, E 分别是边 AB, AC 的中点，.AE=AD=2,等腰RtADE绕点

39、A逆时针旋转，得到等腰 RtA ADiEi,设旋转角为 a ( 0V a W 180 °,当 a =90寸，AEi=2, /EiAE=90°,. . BDi=严 + 至=2 5.e IC =产= 25；故答案为：芹，2$，(2)证明：由题意可知,用=布=4,悝=4斤=2,.甲"小口内是由用绕点逆时针旋转|135*得到, /6 二八£/以%二上小加口13514D)=/LDiAli = aEACAH = AC师1AB力心再咐5),. 孙二。防，有。八二SHALCAB = 90"段1 1 C耳1 ?. .叩1=匚机且HD】_1。舟(3)点D的运动轨迹

40、是在|。川的上半圆周,点的运动轨迹是在|。0的弧百尸段. 即当丹。1与0/1相切时，有最大值.点1到所在直线的距离的最大值为 1 + 43.【点睛】此题主要考查了几何变换以及等腰腰直角三角形的性质和勾股定理以及切线的性质等知 识，根据题意得出 PG的最长时P点的位置是解题关键.12.如图，在RtABC中,/ ACB=60°,。是4ABC的外接圆，BC是。的直径，过点B作。O 的切线BD,与CA的延长线交于点 D,与半径AO的延长线交于点 E,过点A作。O的切线AF, 与直径BC的延长线交于点 F.连接EF,求证:EF是。O的切线；(2)在圆上是否存在一点 P,使点P与点A,B,F构成

41、一个菱形 *存在，请说明理由.【答案】(1)见解析；(2)存在，理由见解析【解析】【分析】(1)过。作OMLEF于M,根据SAS证明OAFOBE,从而得到 OE=OF再证明EO平分 /BEF,从而得到结论；(2)存在，先证明 4OAC为等边三角形，从而得出 /OAC=/AOC=60°再得到AB=AF,再证 明AB=AF=FP=BP从而得至IJ结论.【详解】证明:如图，过。作OMLEF于M,. OA=OB,Z OAF=Z OBE=90，/ BOE=Z AOF, .,.OAFAOB.OE=OF,EOF=Z AOB=120 ;:/ OEM=/ OFM=30 :/ OEB=Z OEM=30

42、:即 EO平分 / BEF又/ OBE=Z OME=90°,：OM=OB,：EF为。O的切线.(2)存在.BC为。O的直径，:/ BAC=90 ;/ ACB=60 :/ ABC=30 :又 / ACB=60°,OA=OC: OAC为等边三角形，即/ OAC=Z AOC=60 ;.AF为。O的切线，:/ OAF=90 :/ CAF=Z AFC=30 ；：/ ABC=Z AFC：AB=AF.当点P在(1)中的点M位置时，此时/OPF=90°,:/ OAF=Z OPF=90 ,又OA=OPQF为公共边,.-.OAFAOPF,：AF=PF/ BFE=Z AFC=30 :1

43、又歹/ FOP=Z OBP=Z OPB=30°,：BP=FP：AB=AF=FP=BP:四边形AFPB是菱形.【点睛】考查了切线的判定定理和菱形的判定，经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切 线.要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂 直即可.13.如图，已知ABC, AB=J2, BC 3, /B=45,点D在边BC上，联结AD,以点A 为圆心，AD为半径画圆，与边 AC交于点E,点F在圆A上，且AF± AD.(1)设BD为x,点D、F之间的距离为V,求y关于x的函数解析式，并写出定义域；(2)如果E是DF的中点，求BD:CD的值；

44、(3)联结CF,如果四边形 ADCF是梯形，求BD的长.8/、_二_ "45BD的长是1或1+-5 .2(1)过点 A作AHBC,垂足为点 H.【答案】(1) y= J4- 4x+ 2x2 (0 wxW3);【解析】 【分析】(1)过点A作AHLBC,垂足为点H.构造直角三角形，利用解直角三角形和勾股定理求得AD的长度.联结 DF,点D、F之间的距离y即为DF的长度，在RtADF中，利用锐角 三角形函数的定义求得 DF的长度，易得函数关系式.(2)由勾股定理求得： AC=JA甲市三.设DF与AE相交于点Q,通过解RDCQ和DQ 1RtA AHC推知-.故设DQ=k, CQ=2k, A

45、Q=DQ=k,所以再次利用勾股定理推知DCCQ 2的长度，结合图形求得线段BD的长度，易得答案.(3)如果四边形 ADCF是梯形，则需要分类讨论：当AF/ DC 当AD/ FC.根据相似三角形的判定与性质，结合图形解答.【详解】/ B=45 ； AB=V2, . BH AH AB cosB 1. BD 为 x, ，DH在RtAADH 中，AHD 90，ad Jah2dh2 J2 2x x2 - 联结DF,点D> F之间的距离y即为DF的长度.点 F在圆 A上，且 AF±AD,AD AF , ADF在 Rt ADF 中，DAF 90， DFADcos ADFy 4 4x 2x2,

46、、_ uuLr -(2) .£是DF的中点,AEAE平分DF . BC=3, HC 3 1HC2设DF与AE相交于点Q,在 RtA DCQ 中,DQC_DQ90 , tan DCQ CQ在 RtAHC 中， AHC 90 , tan ACHAHHCDQ 1DCQ ACH ,一CQ 2设DQk,CQ 2k , AQ DQ k, 3k6 k 反，.DC Jdq2 CQ2 3 BD4BC DC , . BD : CD3(3)如果四边形ADCF是梯形则当 AF/ DC时，AFD FDC. ADF 45 ,当AD/ FC时，B 45 , AD BC,即点D与点ADF CFD 45 .H重合.

47、BD 1 .B BADADFFDC , BAD FDC .ABD s DFC .ABDFADDCDF拒AD，DCBCBC BD .即 22-2x x23 x,2，_15整理得(负数舍去).x2 x 1 0 ,解得 x L52综上所述，如果四边形 ADCF是梯形，BD的长是1或止后2【点睛】此题属于圆的综合题，涉及了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数值以及勾股定理等知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来.14.如图，已知 AB是。的直径，BC是弦，弦 BD平分/ABC交AC于F,弦DELAB于H,交AC于G.求证

48、：AG= GD; 当/ABC满足什么条件时， 4DFG是等边三角形？一.3若 AB=10, sin/ABD=，求 BC 的长.【答案】(1)证明见解析；(2)当/ABC= 60。时，4DFG是等边三角形.理由见解析;，一 ，14(3) BC的长为一.【解析】【分析】(1)首先连接AD,由DE±AB, AB是e O的直径，根据垂径定理，即可得到AD AE ,然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，证得/ADE=/ABD,又由弦BD平分/ABC,可得ZDBC=ZABD,根据等角对等边的性质，即可证得AG=GR(2)当/ABC=60时，4DFG是等边三角形，根据半圆(或直径)所

49、对的圆周角是直角与三角形的外角的性质，易求得 /DGF=/ DFG=60 ,即可证得结论； 34 一 一 .(3)利用二角函数先求出 tan Z ABD , cos/ ABD=,再求出DF、BF,然后即可求出BC.【详解】(1)证明：连接AD,. DEXAB, AB是。的直径，Ad Ae ,/ ADE= / ABD,.弦BD平分/ ABC,/ DBC= / ABD, / DBC= / DAC,/ ADE= / DAC, .AG=GD;(2)解：当/ABC= 60°时，4DFG是等边三角形. 理由：二,弦BD平分/ ABC,/ DBC= ZABD=30 ;.AB是。的直径，/ ACB=

50、 90 ；/ CAB= 90 - / ABC 30 ；/ DFG= / FAB吆 DBA= 60 °,.DEXAB,/ DGF= / AGH= 90 - / CAB= 60 °,.DGF是等边三角形；(3)解：.AB是。的直径，/ ADB= / ACB= 90 ； / DAC= / DBO / ABD,3" AB = 10, sin/ABD=,5 在 RtMBD 中，AD= AB?sin/ABD= 6, -BD= ayABBD=8，AD3BD 4tan / ABD= , cos/ ABD=一,BD4AB 5,39在 RtA ADF 中,DF= AD?tan / DAF= AD?tan / ABD= 6X-=-,4297 BF= BD DF= 8 = ,227 414 .在 RtBCF 中，BC= BF?cosZ DBC= BF?cosZ ABD=-=.2 55、,14BC的长为：5【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、直角三角形的性质、三角函数的性质以及勾股定理等 知识.此题综合性较强，难度较大，解题的关键是掌握数形结合思想与转化思想的应用， 注意