河南省洛阳市2020届高三数学第三次统一考试试题理(含解析)

1、洛阳市2020学年高中三年级第三次统一考试数学试卷（理）、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 .若复数/满足= |4+洞，则讶的虚部为（A. -4B.C.D.先根据已知求出复数z,再求F及其虚部得解.【详解】由题得/ =5（3+ 川） 5（3 + 41） 3 + 也3-4, 一3-41）（3 +幻）一25所以，的虚部为-4.故选：B【点睛】本题主要考查复数的除法运算，考查复数的模的计算和共轲复数的概念，考查复数 的虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力2 .设全集廿=凡丹=团B = 阿1则刊门。；&

2、quot;阴=（）A.归力B.C.。二茎；D.WO<X<1【答案】C【解析】【分析】 先化简集合A,B,再结合集合补集交集的定义进行求解即可.【详解】A - jt|/-2x <G = xQ<x<2,则（心=川*】或“吐则4 n （C泄）= x|K<2,故选：c.【点睛】本题主要考查集合的基本运算，结合集合补集交集的定义是解决本题的关键.3 .已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示.为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取 2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()小学箱中离中年侬 &A. 100 ,

3、 10【答案】DB. 100 , 20C. 200 , 10D. 200 , 20根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论.【详解】由题得样本容量为 (3500 + 2000 + 4500) 乂2%= 10000 x2% = 200 ,抽取的高中生人数为2000 x 2% = 40人，则近视人数为40x03 = 20人，故选：D.【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键.4.在等比数列4)中，已知则% =()A. 6B.C. -8D. 8【答案】D【解析】设等比数列册J的公比为工则4= 4,所以口 i = qn / = 2,则%j = jqi = 8,选D.5

4、.已知向量屈=(2r1),点D(4，则向量而在说|方向上的投影为(A.1-¥B. 一至匚C.)D.【答案】C【解析】分析：运用向量的加减运算可得 cl)= (5, 5),运用向量的数量积的坐标表示，以及向量心缶不方向上的投影为即可得到所求值.详解：而二L),点 C(1 0), D (4, 5),可得&= (5, 5),? =2X5+1X5=15,|直|=5嗣,可得向量月方在方向上的投影为：脑.心3色的了故选：C.点睛：这个题目考查了向量的点积运算和模长的求法；对于向量的题目一般是以小题的形式出现，常见的解题思路为：向量基底化，用已知长度和夹角的向量表示要求的向量，或者建系实现

5、向量坐标化，或者应用数形结合.6 .某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为(B.D.,由此计算体积即可.,、一八一，一，一，、，1由已知三视图得到几何体是底面半径为2,局为3的圆枉的£【详解】由已知三视图得到几何体是底面半径为2,高为3的圆柱的二，所以几何体的体积为 x?tx22x3 = 2tt;故选：H.【点睛】本题考查了几何体的三视图，关键是正确还原几何体的形状，利用公式求体积.7 .执行如图所示的框图，若输入的 内是7,则输出户的值是（）*=t,凡/粕4/A. 720B.120C.5040D.1440【答案】C【解析】【分析】直接模拟程序框图运行程序即得

6、解.【详解】由题得k=1,p=1,p=1,1 < 7,k=2,p=2,2 <7,k=3,p=6,3 <7,k=4,p=24,4 < 7,k=5,p=120,5 <7,k=6,p=720,6 <7,k=7,p=5040,7 >7,输出 P=5040.故选：C【点睛】本题主要考查程序框图和循环结构，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分 析推理能力8 .欧阳修的卖油翁中写到：“（翁）乃取一葫芦，置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为:km的圆，中间有边长为1cm的正方形孔，若

7、随机向铜钱上滴一滴油（油滴的直径忽略不计），则正好落入孔中的概率是（）B.D.求出铜钱面积的大小和中间正方形孔面积的大小，然后代入几何概型计算公式进行求解.【详解】如图所示：,"正林=1，5国=尸乂弓产=彳，【点睛】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要求出铜钱面积的大小和中间正方形 孔面积的大小，然后代入几何概型计算公式进行求解.9 .已知抛物线| = 4度的焦点为F,过焦点广的直线交抛物线于 K 8两点，。为坐标原点，若C.D. 4|Q?|=6,则用的面积为（）A.卜吊|B.而【答案】A【解析】解：设直线的方程为：ly二总工一1）,与抛物线方程联立可得：y2-y-4 = 0

8、, k则：，由弦长公式可得:三角形的面积为:本题选择A选项.10.若中盟/E (0.1),且Hg3m =395 =旧,则(【解析】【分析】设Mg/l =1的=火"<0）,再求出；:利用哥函数的性质比较得解巾.打，P【详解】设 5gmm =打唱? = igp = aa < 0）,所以小=5/=时=（舸；p访=10武=（"而片=式铲）口，+ OO）单调递减,因为函数y=xaa M0）在（0,且兴尹 >轲3力卧，所以m: < n <p故选：A【点睛】本题主要考查对数指数运算，考查哥函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识 的理解掌握水平和分析推理能力

9、 .对称，则关于函数1y =©（工）以11 .函数（幻=占布（左一的图象与函数 仪幻的图象关于直线下说法正确的是（）A.最大值为1 ,图象关于直线对称C.在一百百|上单调递增，为偶函数B.在o'）上单调递减，为奇函数D.周期为叮，图象关于点（器,0）对称【答案】B【解析】分析】先求出函数y=g（x）的解析式，再利用三角函数的图像和性质对每一个选项逐一分析判断【详解】设点 P（x,y）是函数1y =或了）图像上的任意一点，则点Q-x + -ry)在函数y=f(x)的图 4像上,对于选项A,函数所以该选项是错误白对于选项B,li;对于选项C,由前偶函数，故该选项对于选项D,函数白

10、以该选项是错误的#方-MM犷斤+ 4TTy= sin2( - z +1,但是=0# + 1,所以图象不关于直线“别称,以函数g（x）是奇函数，解ZA斤一万三2万M 2#犷+ 得历以函数在（0,看上单调递减，所以该选项是正确的;y=g（x）的增区间为M斤+ *上斤+ Z）,且函数y=g（x）不是所以函数图像的对称中心为苧）a七幻，所故选：B【点睛】本题主要三角函数的解析式的求法，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力12 .已知函数月打=（展>0），若f< 0的解集为（印），且（川 中恰有两个整数,则【解析】【分析】XX设以公=,所以函数 次工）

11、在电1）为增函数，在（L + 5）为减函数，作函数 贝"=一的图象与 ex一，L XI） > -2, z 2 11 直线歹=区-2,由其位置关系得：目> 2k一2,解得另+得解.U（3）<3fc-21 世H【详解】设目=:,则90） J ：当0cxM 时，g'#） > 0,当此 >时，火工）< 0 ,所以函数（为在0 1）为增函数，在（1, + 3;为减函数，处。的解集为（比等价于（Ax-2；的解集为| 3。，a即当且仅当在区间|区。上函数双幻=；的图象在直线，二仙-2|的上方,函数 必）=:的图象与直线y二小*-2的位置关系如图所示，6一

12、 -1暝“ 一4由图可知：目> 2卜-2 ,I成3）我一221 .1解得：-+-<1+ ,J *中【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和图像，考查利用导数研究不等式的有解问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力第n卷（非选择题，共 90分）二、填空题：本大题共 4个小题，每小题 5分，共20分.JT13.若则&一川上十/丁的展开式中,含3项的系数为 【答案】【解析】【分析】先根据打6"，rdr求出n=6,再求卜+ 的的系数, 0最后求含当6 - 现/=2该项 系数为:“德=135, 3当6-1=口时，”斗该项的系数为：射4=12】5 所以含

13、/项的系数为135-2X 1215=-2295.【点睛】本题主要考查定积分的计算，考查二项式展开式的系数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14 .甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是团支书，一位是学习委员，已知丙比学习委员的年龄大，甲与团支书的年龄不同，团支书比乙的年龄小，据此推断班长是 【答案】乙【解析】【分析】推导出丙是团支书，年龄从大到小是乙|>|丙> 团支书，由此得到乙不是学委，故乙是班长.【详解】根据甲与团支书的年龄不同，团支书比乙年龄小，得到丙是团支书，丙的年龄比学委的大，甲与团支书的年龄不同，团支书比乙年龄小，得到年龄从大到小是乙| 二

14、丙二学委，由此得到乙不是学委，故乙是班长.故答案为：乙.【点睛】本题考查简单推理的应用，考查合情推理等基础知识，是基础题.15 .若数列满足口1 = 1,且对于任意的nwN*都有%+ 1 = % +打+ 1 ,则工+工+口】a2°2017 °2018咯案】儒【解析】先利用累加法求出数列的通项，再利用裂项相消法求解 【详解】由题得白工-。工=2冉3-附=3,，-% = 4二必册二?192 2)1所以%1 = 2 + 3 + 鼾"% = 1+ 2 + 3 + 口 = /(打 + 1；,适合 n=i.12 J 1 1所以- = -/F”=2( -J,12019, I。.

15、%打 5 + 1) R R + 1 1 1 1 1 1所以一+ - + ,+= 2 (1口 I02a201?0 2010故答案上。口1010【点睛】本题主要考查累加法求数列的通项，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16 .如图所示，在棱长为6的正方体力的八-久叫6。1|中，点£/分别是棱,为自的中点,如图，延长打AS相交于相,连接4M,交R%于",延长出力。1相交于州，连接力N交。于G, 可得截面五边形为口是边长为6的正方体，且aF分别是棱。/曲/；1的 中点，；.£/=：九% /G = AH=梅+ 4*=, EG = PH=

16、、b、K =截面的周长为他十邓,故答案为613+3.三、解答题：本大题共 6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17 .在A川虞中，已知内角A, H, £'所对的边分别为|a,'d，向量帚=1、学一2$历的|, 而二 (2s，4-Le襦砌，且加加D为锐角.(1)求角H的大小；(2)若b=2,求A/IBC的面积的最大值.【答案】(1)；嘏【解析】【分析】先利用正弦定(1)由启“得出必2H十2叫左口弓卜0,再化简得到角 川 大小；(2)一一 44 一2n一一一一，”一一.一，一，、理得a = -=si依4, c = -；口由6且内+ C = 一

17、.再利用二角函数的图像和性质求必根的面积的最大值.【详解】（1）矫二（&-25MH l,而=cos2-fcos2Hy 且而R.j1率 852B + ZsinBricos1=0,2s汨伊+§ = »因为B为锐角，所以TT所以 2K + -=?r.n(2)由(1)知8 =，在八月C中，由正弦定理得时面积有最大值nA =3【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理解三角形和三角函数的图像和性质, 在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力18 .如图，四棱锥 P-ABCD43,底面 ABCM菱形，PA!底面ABCD AC=，,PA=2, E是PC上的一点，PE=

18、2EC(I ) 证明PC平面BED(II )设二面角A-PB-C为90° ,求PD与平面PBC所成角的大小【答案】【解析】解法一：因为底面 ABCM菱形，所以BD_LAC,又PAI AB CD,/. PC1BD2 分设ACcBD = F,连接EF,因为 AC=2 JI PA = 2, PE = 2EC,故 PC-TlEC 二七,FC=从而生=63FC空=戊EC.AC =PC ace = /PCA：所以AFCE 二 APCAC, F C,ZEEC = ZPAC = 90:由此知PC _LEFPC与平面BED内两条相交直线BD,EF都垂直，所以PC，平面BED6分(2)在平面PAB内过点

19、A作AG，PB,G为垂足，因为二面角A-PBY为 90°,所以平面PAB 一平面PBC又平面PABc平面PBC=PB,故AG 一平面PBCAG.BC, RC与平面PAB内两条相交直线PA：AG都垂直， 故BC_平面PAB,于是BC_AB,所以底面ABB为正方形， AD = 2, PD =7PA:+AD: = 272吩设D到平面PBC的距离为d,因为ADBC,且AD7平面PBQBC u平面PBC, 故AD平面PB C, A, D两点到平面PBC的距离相等，即d=AG=0设PD与平面PRC所成的角为“则鬲皿=4=: 所以PD与平面PBC所成的角为30°解法二：以力为坐标原点，射

20、彻1C为X轴的正半轴，建立如图所示的空间爱直角坐标系4 ryz 设C (2,0,0)(也b,0),其中b>0厕P(0,0,2)E(挈0,3,8(以一瓦0)2分r L r 42 2干是PC = (2扃0,0 - 2), BE =从而无.晶=0, PGDE = 0.-.PC lBEtPC IDE BE n DE = E所以PC 1平面"DE6分19 .某商场营销人员对某商品 M进行市场营销调查，发现每回馈消费者一定的点数，该商品每天的销量就会发生一定的变化，经过统计得到下表：回馈点数012345销量（百件）/天0.50.611.41.7（1）经分析发现，可用线性回归模型拟合该商品每

21、天的销量y （百件）与返还点数4之间的相关关系.请用最小二乘法求卜关于1的线性回归方程 "加+ a,并预测若回馈6个点时该商品每 天销量；（2）已知节日期间某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，营销调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了抽样调查，得到如下频数表：返还点数预期值区间13瓜7)719J1)|1113|频数206060302010（i）求这200位拟购买该商品的消费者对返点点数的心理预期值的样本平均数及中位数的估计值（同一区间的预期值可用该区间的中点值代替；估计值精确到 0.1 ）;（ii ）将对返点点数的心理预期值在 1,3；和113的消费者分别定义为“

22、欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，设抽出的 3人中“欲望紧缩型”消费者的人数为随机变量 ,，求，的分布列及数学期望.参考公式及数据：nV nty 匚£ n = J.【答案】(1) y0.32f + 0 08, 2 百件；(2) (i) 6,|57; (ii ) 2.(1)利用最小二乘法求y关于(的线性回归方程f二次+自，并预测若回馈6个点时该商品每天销量；(2) (i )利用频率分布直方图的平均数公式和中位数公式求样本平均数及中位数的估计值；(ii )由题得X=1,2,3

23、,再求X的分布列及数学期望.【详解】(1)易知f=l + 2 + 3 + 4 + 5 = ：,= 505 + 0.6 + 1 + 1.4 + L7= 1.04,5工匕= 12+22 + 32 + 42+ =55,从而5108-5x3 x 1,04 =0.3255-5x3?所以.则3关于f的线性回归方程为 夕二Q.32t + 0.08,当工二6时，|y = 2.00,即返回6个点时该商品每天销量约为2百件.(2) (i)根据题意，这200位拟购买该商品的消费者对返回点数的心里预期值的平均值贝U |r = 2x 0.1 + 4 X 03 + 6x 0J + 8x 0.15 + 1OX D: + I

24、Zx 0.U5 = 6,所以中位数的估计值为 5+2X100-20-6060(ii )抽取6名消费者中“欲望紧缩型”消费者人数为10“欲望膨胀型”消费者人数为 6父m=2JU故随机变量的分布列为1231 耳35115所以 【点睛】本题主要考查回归方程的求法，考查频率分布直方图中平均数和中位数的计算，考查分布列的求法和期望的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力O v2#20 .在平面直角坐标系xOy中，椭圆£： 1+可=1(口0,b。)经过点小一上川2),且点 ab2为其一个焦点.(1)求椭圆同的方程；(2)设椭圆同与y轴的两个交点为4, 2,不在9轴上的动点P在直

25、线y二M上运动，直线 风, 期拉别与椭圆E交于点N,证明：直线MN通过一个定点，且 从川州的周长为定值.21【答案】(1) 土 = 1； (2)证明见解析. 43【解析】【分析】(1)根据题意可得 a,b的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程；(2)不妨设勺(02),%(0,-21.为直线|y = 4上一点(卜o注口)，幽/必卜N(勺必).求出M,N的坐标，再写出直线MN的方程，再证明直线的声通过一个定点，求出此时 削;MN的周长为定值.,32,. 十 二1 【详解】(1)根据题意可得 21az好 ,)b2-fl2 = l可解得府泞，22椭圆匹的方程为 + - = 1.43(2)不妨设一则2),

26、 A-2).以q.4 I为直线，=,1上一点(。¥ 0),丈+2,直线|P用J方程为/=气-乙J0点”（马必|,力的坐标满足方程组，22rjr y=1342y = x + 2可得I点M勺，y"， -2的坐标满足方程组J J 月6y= x-2 I几可得I27+ W!6 / 2Xg61直线的方程为y-工+?故直线MN恒过定点 仇&I）.又 F（O1，,陶UJ）是椭圆冏的焦点,. MMN 周长=阚 + |MB| + BN + NF =4b = e.【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系和定点问题定值问 题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分

27、析推理计算能力。21 .已知函数，=lnx-k其中k w 为常数.（1）讨论函数幻的单调性；inx2 > 2inx1（2）若 “幻有两个相异零点，。式/叼）,求证:【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】 【分析】(1)对f ' (x)=上把(工>0中的k分类讨论，根据f ' (x)的正负判断函数”灯的单调 x性即可.(2)由题意得 lnx i -kxi = 0,lnx2-kx2=0,两式作差可得，Inxi-lnx2=k (xi-X2),k =,要证lnxi+lnx2>2即k (xi+x2)>2,将k代换后，化简变形得 加),xz 打 + x2设

28、t =>1,构造函数g (t),利用新函数的导数求出单调区间，证得 g (t) >g (1) = 0X2即可.【详解】(1)11 kx 1叫=& =(x > 0,XX当时，/(©>0,在区间(0. + S)上单调递增;当上0时,由得口所以/(月在区间ft上单调递增，在区间+ OQ上单调递减.(2)因为卜】，是(工的两个零点，则 ,-k勺=口，饰x忆” =o所以nx2-inx1=k(x2-x1.,+ lnx2=k(x1 +x2).要证历勺> 2 -帕马,只要证旧，1 +5勺> 2 ,即证k(x1 +> 2lnx-. - Ex，即证x2设勺 设以。=成-三J 则,虱口 = _- >o,所以b在1+ s)上单调递增士+1t(t + I)2所以4t)>g(l)=Q即以丝二所以加+ />?,即加勺>2-5打【点睛】本题主要考查导数在求函数单调区间中的应用和利用导数证明不等式的成立，考查 分类讨论思想方法和构造函数法，考查化简整理的运算能力，属于难题.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑选彳4-4 :坐标系与参数方程22 .已知极点与坐标原点 口重合，极轴与,轴非负半轴重合，M是曲线。：第出9上任一点，点满足