利用数学实验探索条件概率

1、利用数学实验探索条件概率在课改后的新普通高中课程标准实验教科书数学选修23中含有“条件概率”的内容，条件概率是比较难理解的概念。教科书利用“抽奖”这一典型实例，以“无放回抽取奖券”的方式，通过比较抽奖前和在第一名同学没有中奖的条件下，最后一名同学中奖的概率，从而引入条件概率的概念，给出两种计算条件概率的方法，同时指出条件概率具有的性质，并给出了条件概率的两个性质。以上编排对理解能力、抽象思维能力较强的学生是恰当、高效的，但是对于大部分学生来说，依据课本上的推导、介绍来理解、接受条件概率的概念，并利用其性质去解决实际问题，存在较大的困难。为了解决上述问题，使学生真正理解条件概率的数学本质，体验条

2、件概率反映的数学内涵，运用条件概率的性质去解决数学问题和现实生活中遇到的与条件概率有关的实际问题，同时培养学生的创新意识和探索精神，实现普通高中数学课程中“高中数学课程应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力”的基本理念，通过数学实验来探索条件概率能很好地解决问题，达成上述目的。为此，在学习了教材中条件概率的知识后，我在接下来的课堂教学中组织学生进行了如下实验：实验课题利用数学实验探索条件概率的概念和性质课题背景条件概率是现实生活中经常会遇到的一种概率问题，它能为人们对某些问题进行正确的判断、选择、决策提供依据

3、。高中数学中所学条件概率内容虽只是初等定义和基本性质，但在概率理论中占有十分重要的地位，对解决现实生活中的概率问题也非常实用。但条件概率的概念和性质都比较抽象，学生难于理解其数学实质，在处理实际问题时理解不到位，无法区分在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率P(B|A)、事件B发生的概率P(B)、 事件A、B同时发生的概率P(AB)这三个概念。为此，我们可以通过数学实验让学生自己动手、动脑，自主探索条件概率的概念和性质，体验哪些问题是条件概率问题，其实验结果是如何利用条件概率的性质计算出来的。实验目标(1)知识目标：通过实际条件概率问题的实验，理解条件概率的概念，并依据实验的结果去探索并获得

4、条件概率的性质、计算公式。(2)能力目标：培养学生动手、动脑的实践能力，观察、统计、分析、抽象、概括等数学思维能力，培养学生自觉利用所学的数学知识解决身边的实际问题，发展数学应用意识，提高实践能力。(3)情感目标：使学生体验数学在解决实际问题中的作用，体验成功的乐趣；逐步学会合作学习，感受团结协作进行学习的快乐。实验准备1. 问题一：有一个电视娱乐节目：在一个有三个框的架子上，每个框格上有一扇完全相同的门，其中仅有一扇门后藏有100元现金；节目主持人请任一观众上台选中一扇门，若所选门后藏有现金，则将其作为对该观众的奖赏；一观众上台后从三扇门中任意选定了一扇门，现主持人将未被选中的没有藏现金的一

5、扇门打开，为了更大可能地获得奖金，请问该观众是否应选择另一扇门，为什么？问题二：假设一对夫妇生男生女的概率相同，现这个家庭中有两个小孩，已知其中一个是男孩，请判断另一个也是男孩的概率有多大？2. 组织学生对上述两个问题进行讨论，分别得到如下的结论：问题一：（1）没有必要选择另一扇门，因为所剩两扇门，换不换获奖的概率都是1/2，持上述观点的学生在全班48人中占31人；（2）应换选另一扇门，因为不换选获奖的概率为1/3，换选后获奖的概率为2/3，持这种观点的学生有11人；（3）应换选另一扇门，因为不换选获奖的概率为1/3，换选后获奖的概率为1/2，持这种观点的学生有6人；问题二：（1）另一个也是男

6、孩的概率为1/2，因为生男生女的概率相同，生物课上老师也讲了一个小孩是否为男孩的概率始终是1/2，与第一个小孩的性别无关，持上述观点的学生在全班48人中占34人；（2）另一个也是男孩的概率为1/4，因为另一个也是男孩即两个都是男孩，其概率为1/4，持这种观点的学生有5人；（3）另一个也是男孩的概率为1/3，因为另一个也是男孩是在已知有一个是男孩的条件下来判断的，根据条件概率的计算公式：P(B|A)=P(AB)÷P(A)=(1/4)÷(3/4)=1/3, 持这种观点的学生有9人；3. 学生分组与分工：四人一组，每组准备一付扑克牌，两枚质地均匀的一元硬币；每组指定两人配合进行实

7、验，一人进行监督观察，一人负责对实验结果进行记录；4. 教师导引：为了解决问题一又便于实验操作，我们可以用三张扑克牌表示三扇门，用大王表示获奖的一扇门进行问题一的实验；为了解决问题二，我们可以用每次抛两枚质地均匀的硬币来模拟问题二的实验，硬币落下后正面向上表示男孩，反面向上表示女孩，实验中若两枚硬币均反面向上，则该次实验不符合题意，不作记录；引导学生理解实验的含义，认可实验与问题一、问题二相对应，体会、掌握实验的操作过程。实验过程1、 教师进行演示实验（学生观察，以便掌握试验的操作、记录方法）：（一） 拿三张背面完全一样的扑克牌（其中一张为大王）扑放在讲台上，请一学生上台选定一张，老师掀开不是

8、大王的一张，该学生不改变选择，连续做十次，另一学生用画“正”字的方法记录试验总次数和学生是否选中大王的次数；同上面的操作方法，在老师掀开不是大王的一张后，该学生改变选择，另一同学记录结果；（二） 教师同时抛两枚质地均匀的硬币20次，让一学生记录有一枚正面朝上的次数（相当于两个小孩中有一个是男孩），记录另一枚也正面朝上的次数（相当于另一个小孩也是男孩）；2、 在教师的导引下学生分组进行实验，对问题一要求每组对不改变选择和改变选择分别进行100次以上的实验；对问题二要求每组得到符合要求的实验次数在100次以上。试验报告（事先打印好报告表格）问题一：试验次数中奖次数中奖概率原因分析改变选择不改变选择

9、问题二：试验总次数符合要求的试验次数（即其中有一枚正面向上）另一枚也正面向上次数另一枚也正面向上的概率原因分析各小组将实验结果分别填入上述表格，并对结果进行讨论，理解条件概率的概念，体会条件概率的性质、计算方法。分析、归纳与总结最后，教师再组织学生将每六个小组的结果进行累计，再将十二个小组的结果进行累计，分别计算出相应的概率，填入上述表格；引导全班学生对各小组所得实验结果及三次累计所得结果进行比较、分析、讨论，进一步体会概率问题中试验结果的随机性，且当试验次数越来越大时，频率将稳定在概率处波动。上述数学实验的实施，让学生在实验的情境中进行认知学习，发现学习，建构数学知识，使学生从数学实验中体验发现问题、探索问题和解决问题的乐趣，加深对数学本质的认识，牢固掌握条件概率的概念和性质、计算公式，就如“一个人只要学会了骑自行车，不论他多长时间不骑自行车，他也一辈子都会骑自行车”一样，相信学生们通过亲手进行数学实验感知、发现、归纳所得的条件概率的有