(完整版)仁华学校数学思维训练导引解析(五年级)

1、仁华学校数学思维训练导引解析（五年级）仁华思维导引解析1讲：循环小数与分数 仁华思维导引解析2讲：和差倍分问题. 仁华思维导引解析3讲：行程问题之三 仁华思维导引解析4讲：数的整除仁华思维导引解析5讲：质数与合数仁华思维导引解析6讲：格点与割补仁华思维导引解析7讲：数字谜综合之一仁华思维导引解析8讲：包含与排除仁华思维导引解析9讲：复杂抽屉原理仁华思维导引解析1 0讲:仁华思维导引解析1 1讲:仁华思维导引解析1 2讲:仁华思维导引解析1 3讲:仁华思维导引解析1 4讲:仁华思维导引解析1 5讲:仁华思维导引解析1 6讲:仁华思维导引解析1 7讲:仁华思维导引解析1 8讲:仁华思维导引解析1

2、9讲:仁华思维导引解析2 0讲:逻辑推理之一估算与比较、通分与裂项行程问题之四应用题综合之一约数与倍数余数问题直线形而积圆与扇形数列与数表综合数字谜综合之二计数综合之一仁华思维导引解析1讲：循环小数与分数【内容.概述】循环4、数局分数的互化，循环小数之间简单的加、源运算，涉及循环小故马分数的主要利用运算定律进 行简算的问题.【典型问题】碓度手级 1.真分数多化为少数后，如果从小数点后第一位檄字开始窿续若干个数字之和是1992,那么建多少？分析马解-=0.142857, -=0.285714 ,0,4 22571 . - = 0.571428, -=0.714285.777771=0,S57M2

3、.因此.真分数g优为小数后，从小数点第一位开遍用连续六个敬手之和邪是1+4+2+8+5+7=21又因为19923 27=732L 27-21=6,而6=2232111以 1.23a=1.23 X90= 1-90乂90111.PO 904,所以3 = 05力4之，艮%=67唯度等级 2.吴学生将1身乘以一4数曲，把L*误看成1.23,使乘积比正确结果被少03则正敏果该是多 少？-33分析与解由题意得，123aLi.23a =0.3, 0Ps 0 003a=0.3 所以京 .解得m=9(h 所唯比学级 3.计期 0.1 + 0 125*0.30第果保第三位小孩.分析与解方法一：0.1 + ) 12

4、5MJ.3 + 0,160.311140.12504-0.3333*0 1666=07359*0.736.方法二！ 0.1 + 0 125*0.3 + 0.16_ 1 i 3 15 一9 8 9 90.11 14-1S 8_ 53 72=0.73610.736.I唯度考飘 4.计嘉 0.0U0,12 4-0.234 034+0.7X4-0 S9.分析与解方法一：0.0H 0.12 * 0.23 + 0.344 0.7S*0.89112-123 - 234 - 378 - 789-8909090909090216=90= 24.方法二：OOH 0.12-1-C,23 + 0.34+0 78+0

5、89=0+0.140.240.3+0.74.0.84( 0.01+9.02+ 0.0 3 + 0.04 + 0.08 4 0.09)=2.1+ o.ol X( 1424-JM+8*?)=2.1 X2790=2.1+0.3=24.难度级 5.将储环小数:与。；7907 2相乘，取近限值,要求保留一百位小数，那么该近似值的匿后一位小 数是多少？分析与解0,027X 0.179672 =丽 99999937 999999999999偏环节有6位，10。+6=漳因此第L00位小数是循环节中的第4位玄第101位是5,这悻四舍五八 后第L00位为9.趣度等级 6.将下列分数妁成案简分毅,166666666

6、6 666666666664份析与解找规律：166 11666 116666 I664 46664 466664 4羸以 1666翻 6666 6 _ 1 以 66666666664=7喧度等坂7.将下列筑式的计售结果耳成带分数0 5x236 x 59H9分析与解55K 236 K59 118x59曜度等级 。3 /的 21934185568-计苴7酝-湎“痂?分析与解7相跳 219343333 25909I185561 3525562811 25909 35255 X X8333 21934 53SH3x7x3x99713x19935x641x1113x6412x11x997 3x3x 3x

7、 19937x5273唯炭等级 义计容:分析与解 原式= 鼠三;+c.cc十a二三 十 “工 十；/十777+7778128 8128 40642032 1016508 254=11118128 40642032 1016 50S 254I ( (1 t1 t 1 ( 1一+砺4荻+曲11111 =112032 2032 1016 508 254一 11 L 1-Tol?+1010 + 503 + 2541,1 I=_.十.+ 508 508 2541 I十28 25410.”期 lx 4.85 -7-3.64-6.15x31+ 55-1.75x |+17 5 7 19分析与解原式二一又 3.

8、63.85-1 + 6.1514-一 x-= -x3.6xl0 + 55- 4= 94-5.5-4.5= 10.琪良等级J !1.计算：4I,2X8,HIIX 91+537X0 19.分析与螂原式=412x081+11 X9.25+0/912,125)= 412 X.C,81 +0.19 +11x9.2510.19x125= 412+11x84-11x1.25 +19 xL?5= 4l2-f-85 + 1.25x30= 5004 J7.5=5375,渣度等级包计郎(9台用呜用。分析与解原式=停+:)，修+ ()= 3停+矶-修+；)=13.唯度献 13 计区 2x34-6 + 4 乂取 12*

9、7“14 乂 21 1x3x5 4.2x6x10 + 4x12x207x21x35 ,圻匚故 1 1 2x3xH?4-23454.73 1_ 1x2x3 _ 2分析与屏Ix3x5xT+2443+715 T植皮争级 14. (1)已知等式(U26X79+12：XE1-65+25 = 10.咯 那么所代表的数是多少？ (2)设上题答窠为a.在茸式(1993.814)X0的。内,埴入一个适当的一位自然数,使乘积的个位数字达至I霞小值.闷。内的所填数字是多少？33分析与解1设所代表的数是方0.126义79M206a 25=10 08,解得：环。.03,即口所代 表的数是0D3.Q)设O内的所埴数字是y

10、11993.81+ 0.03lxp = 1993一84 x)，有当y为8时 1993.84 xy = 1993 84X3= 1 5050.94.难度手坂 15.求下述算式计算结果的壑数割分：湖.(2 3 5 7 M I3J分析与解I 匝式=；x385 + Rg5 f 385 + + 335 +4385 + /385 192.5 4-123 3 + 77 55 + 35 4-29.6=517.4所以原式的整数部分是517.仁华思维导引解析2讲：和差倍问题【内容概述】各种具有和差倍分关系的期合应用题,重点是包含分数的问题,基本的解题方法是将已知条件用恰当形 式写出或受形，开箝合起来选仃比较何事出相

11、关的堇，具卬驶在意单位“广的恰当选职.【典型问题】睢度号级1 .有甲、乙两个数，如果把甲数的小数点向左移两位，就是乙数的二.那么甲数是乙数的多少倍？分析与解甲数的小数颉左移动两位，则甲数癌小到原来的言，设这时的甲数为L”,则乙数为 1X8=8.那么殡来的甲数=1X100= 100,则申数是乙数的10008=125倍.瑕及争圾 2 .有三堆棋子，母堆旗子数一样纭笄且都只有黑、臼两色板子.已知第一堆里的思子和第二堆里的白子一样多，第三堆里的鬼子占全部果子的|.如果把这三雉根子集中在一起，那么白子占全髓子的几分 初？3 分析与解1如下表所示：第一堆阳于、白于第二增离丁七T第三增黑子白子设至黑子为“5

12、k份，第三雄里的黑子则为“2勿份，那么剁下的寓子占52=份，而第一雉里的黑子和第二堆里的白子一样多，将第一埴黑子和第二堆白子喝换.则第二域全部为果子.所以第二堆棋子息数为士份，三堆棋子总数为3X3= 9”份，具中黑子占第5”份则白子占剩下 的9-5= 4”份.那么白于占全部根子的4$9= Z.3.中、乙两厂共同充成一批机床的生产任务，已知甲厂比乙厂少生产治机床，并且甲厂的廿至是乙 厂的程，那么甲、乙两厂一共生产了机床多少台？分析与解因为甲厂生产的是乙厂的余 也就是甲厂为1谕，乙厂为13份，那么甲厂比乙厂少1份=8 台总共=8X(1213)= 2。治.睢友级 土 足球赛门票】5元一张,降价后双众

13、增加了一半，收入噌加了五分之一那么一张门票降价多少元。分析与解设想来人数为U”，则现在有0.5=15原来收入为1X15=15,降价后收人为15X (l + gj = 18元，那么降价后门票为18+15=12元，则一张门 票降价了 15-12=玩,松应等级 3工学刚给军愿王羽期运蜂常媒，第一次运了全部的I第二次运了5。块.这时，已运来的，的是没运来的.回还有多少块蜂窝煤没有运来？分析与第1己优运来的是没有运来的,，则运来的是5份，没有运来的是7份，也就是远来的占总数的 亮.则其有50;七目=】2(10块，还乘9下12叩X春=700块.唯度寻城1 6 .誉两条纸带，一条长21座米，一条长13厘米，

14、把两彖纸带都剪下同样长的一段以后，发现短延带剁 下的长度是长纸带剌下的长度呜.间剪下的一段长多少厘米2分析与解方法一工开始固，两条纸带的长度差为2113=炎履米因为两条纸带都购去同样长变，所以两条纸带前后的长度差不变.设剪后短纸带长度为“8伶，长纸带即为“13”份，有它们的差为138=5份，则每份为8+5=1.皈厘 米）.所以，剪后短飘带长为L6 乂8= 12,炙厘米），于是翦去1312.$=0,2（厘米）.方法二，设苑下理木，则名，交叉相乘得；】3乂（13 幻=8乂（H吩 解得:=02 即,福一段长0.2厘米.睢度竽圾J 7-T玄7 .为挖通3。0米长的隧道，甲、乙两个旌工队分别从隧道两端同

15、时相对施工.第一天甲、乙两队备足进 了 1。米，队笫二天起，甲队每天的工作效率总是前一天的2倍，ZJ队每天的工作炊率总是前一天的I；倍.那 么，两队挖通这条溪道需耍多少天？分怖与解见下无&明在第五天没有全天干活，那么第四天干匐&后剌下，3。-231 25=58 75米，那么共用时间为4十6&75十2 .0 625= 4空天.天独12345甲102040SO160乙10152ZJ33.75刀3当天工作或2035625113.75210.625已充成工作被2055117.523125441.375唯鼠税 8 .得一块茱地和一块芨地.菜地的一半和麦地的三分之一族在一起是13公顷.麦地的一半和菜地的三

16、 分之一放在一起是I您顷.那么菜地是多少公顷学分析与解2走吗ni讼怎菜地&麦地2=78公顷菜地2麦地3=72公顷菜地;麦地g012公顷即5便率地公顷效+5倍表照公顷数=78+72=150,所以菜地与麦地共有150=5=3贯公顷），而菜池够去爱地，为7872=皈公顷%所以菜地百0卜6）亍2=1巩公顷1.唯良圣圾 9 .春风小学原计划栽种杨树、聊树和槐树共15式棵.枪将开始后，当栽种了杨树总裁的g和30裸柳树 以后，又施时运来1溜槐树，这时剩下的3种树的樵数恰好相等.问原计划更栽植这3种树备多少赞？分析与解将杨树分为5份，以这样的一份为一个限位,则杨树=5份；柳树=端+如梯，槐树=2份一1跚，则

17、T& 为（1500 30+15尸（5）= 165 株，有：杨树=5、165=82勰：柳捌=165乂30=36。黑 槐树=1652-15=315槐.举义争板 10 .师徒二人共同加工17阶零件，师簿加工零件个敢的?比徒弟加工零件个数的:还多1。，、.那么， 徒弟一共加工了多少个零件？1分析与解我们用“师”未示师傅加工的零件个数，“徒”表示徒弟加工的零件个数，有，；“师”-1 徒”=10, 4 师一3 徒”=120.而 4 前+4 徒=170X4=680.那么有7徒” =6前一 12。=560, “徒徒弟一共加工了8年零件.11 . 一批工人到甲、乙两个工地进行活理工作，甲工地的工作量是乙工地的工

18、作整的12倍，上午去申27工地的人数是去乙工地人数的3伯，下午这批工人中有，的人去甲工地,其他人到己工地.到傍班时，甲工地的工作已做齐，乙工地的工作i丕需4名工人再做庆.那么这批工人共有多少名2分析与解设用地的工作量为 ,则乙地的工作量为“产.中乙“3311r 干 =1+3 414-3 47下午122一 12 12门于是用工地一整天平均用了这批工人的| ： 2一一a?乙工地一整天平均用了这批工人的L-：=这批工人的g完成了 “1.5”的工作量，那么;畿批工人无成1.5。2= 0 75”的工作量,于是乙工地 还利卜1一。.75二 0一25”田工作富，这“0.25的工作室需要4人工作L大.而和 乙

19、工地的工作量为1.5+1 = 25那么需25+0.25X4=40人工作1天.所以原来这批工人共有4。-4 = 36人.植度争级I 12 .有一个分数，如果分子阅I，这个分数就不于g,如果分母加1，这个分数就等于问原来的分数 是多切分析与解如果分子加E，则分奴为:，设这时的分数为： ,则原来的分数为?，分母加】后 22r2r为，黑7!交叉相乘得工3(x-l=2X+L解得x=4,则原分数为3.2尹 I 3S唯度争级 13 .图21是某市的园林规划图，其中草地占正方形的;，竹林占II形的：，正方形和圆形的公共部分 47是水池.已知竹林的面积比草地的面积大450平方米.同水池的面积是多少平方米7分析与

20、解因为水池是正方形的)，是圆的：，则正方形是水池的4倍，图是水池的7倍，相差74= 473倍，若45。平方米，则水池=450+3= 15。平方米.及度争级 34.唐僧师徒四人吃了许多馒头.唐僧和猪八戒共吃了总数的;.唐僧和沙僧共吃了总数的;，唐僧和孙悟空共吃了总数的!.那么唐僧吃了总数的几分之几？4分析与解唐+指=、唐沙=!、唐,外=（两边同时加摄溥4指+唐+沙+唐+孙唐+猪+ 234沙十孙尸漉十=m=i M则：2唐=，唐=l2 3 4121224唐1能了总数的看.琉良等级 15.小李和小张同时开始制作同一种零件，每人每分钟能制作1个零件，但小李每制作3个零件要休息1 分钟，小张每制作4个零件

21、要休息15分钟.现在他们要共同完成制作3。0个零件的任务，需要多少分钟？分析与解方法一，先估算出大款所需时间，砺再进行调整.因为小季、小张的工作效率大致相等,那么完成时小李完成30052= 150个零件左右，小李寿R150个零（牛需要15C=3X 4=200分跑在200分钟左右，1比分钟是5.5的整数倍，此时乙生产19B+5. 5X4=144个零件，并且用休息完.所以 在汾钟后，即200分钟时完成*4+2= 146个零件：那么在200分钟时,小季、小张共生产1断146=296个零件，还剿下4个零件未完成，被A再需2分钟， 小季生产2个零件，小张生产24喔件，正好完成.所以共需20 2分钟才能完

22、成.方法二！把休息时间包括迸豆小李每4分钳1敞3个,小张街5 5分钟做4个.则在44分钟内小李做了，44=4X3= 33个，小并做了：相+ 55乂4=3冲，他们一共侬了，33-32=65 个.30045=4-40.也就是他们其同做了4个44分钟即，44X4= 176分钟后，座剩下4好零件没有做 完.而22=4+4+4+4+4+2=5.5X4 所以22分钟内小李破了，3+3+3+%3+2= 17个.小张做了： 4X2 = 16 个，那么丕轲下，4。一|7一3=7个、4分钟内小李做:个，小张侬4个，共像介3=7个，即这41H零件庄需要 2份神.厮以大用时间：44X4+26=202分钟.仁华思维导引

23、解析3讲：行程问题之三【内容概述】涉及分数的行程问题，顺水速度、逆水速度马流速的关系，以及与此相关的问题.环形道路上的行程同 邈.解题时要注意发牌不的辅助作用，有时宜恰当遗择运动过程中的关法点分段加以芍点.【典型问题】松炭等版J 1 .干师傅m王从甲时开往了他交保.加巢他往诋都以否小时60千米的法医行监。不好可以椅时退回田 地.可是，当到达乙她时，他发现从甲地到乙地的速度只有埒小时55干米.如果他想按明返回甲地，他应以 多大的速度往回开2分析与解设甲地到乙地的路程为单位“1”，骼么按时的往返一次需讨间高.现在从甲到乙花费了时间1+55=所以从乙地返回到甲地时所需的时间只能是之一士= L .55

24、6055 66如如黑的照安时返回甲地，他皮以每小时6并米的速度往回开.睢及坂 2 .甲、乙两地相距100千米！小张先骑摩托车从年地出发，1 小时后小李驾驶汽车从用地出发,两人同时 到达乙地.摩托车开始速度是每”前50千米，中途减通后为每小时4许米.汽车速度是每小时80千米 汽车 曾在途中停驶10分他 那么小张莺驶的摩托车砸是在他出发后的多少，J时？分析与解汽车从甲地到乙地的行驶时间为10CBO=L2孙时=1小时15分浊 加上中途停唆的1。分 钟，共用时L小时25分钟.而小张先小李H司出发，但却同时到达，所以小学从甲到乙共用了2小时2盼他 即2怖小时.以下冷出两种解法；方法一：没小张鸳驶的摩托车

25、减速是在他出发后乂小时，WS0X40X |2x = 100,解得三1.所以小张驾驶的陛托车诫速是在他出发后1 W.方法二！如果全程以每4冏50千米的逵度行驶，需1。0+50=2小时的时间，全程以每小时40千米的速度 行驶，需100+40=25小时.依据呜兔同茏的思想知，小张以野力制50千米的速度行驶了= 1的路程，即行驶了! X10O2.5- 266=生千米的路程处，距出发* +50=打时333欢度争级3.一位少年短跑选手.顺风跑如米用了 1例钟,在同样的贝速下，逆国跑70米，也用了 I瞰铮.问！ 在无风的时候，他跑10眯要用多少秒？分析与解1找你知道风速度=无限速度，风连，送风速度=无风速度

26、一风速.有顺风时速度为90+ 10= 9米做，逆风速度为70 +10=7米做.有无风谑度=邈邈鬻=写=8格秒.所以无风的时f媲1。0米，需10。8=12.5秒，难度争级J 4. 一条小河沛过4 B. C三镇.A, B两镇之间有汽船耒往，汽船在静水中的速度为每小时L1千米.B, C两镇I之间有木船摆渡，木船在静水中的速度为督小时3.5千米.已知A, C两演水路相距5阡米，水流速度为 每小时1.5千米.某人从A镇上船顺流而不到B铺.吃午僚用去P卜时接羞桑木船又顺流而下到C镇，共用8小 时.那么A, B两成间的距离是多少手米？分析与解如下画出示意图，小& 1.53本/小*50千蠡Ai 丁 IA 电电

27、R 表升C以术，ll-f #./4J.4T犁4 3l54*Jd4有A-B段顺水的速度为11，15:12.5千米/小时.有BfC段顺水的速度为3 543 5= 5千米川、时.而从AC全程的行驶时间为81 =m时.设AB佚肝米，有短十与一=7,解得x=25.所以4 B两亚间的距就是2$千米.徭，更争级 5. 一条大河有A, B两个潘匚1,水由A探向B,水锻谏席是每小时4千米 甲、乙两舱同时由炯B行驶， 各自不停地在4 B之间往返肮行，甲船在静水中的速度是每小时28千米，乙船在群水中的速度是每小时2呼 米.已知两船第二枚迎面相遇的地点与卬的第二次JLL乙船(不算甲、乙在被H司时开始出发的那一长)的地

28、 点相距4阡米,求A, B两个港口之I间的距离.分析与解ifcAB而他的席程为单位”1” .剜1甲、乙两人在hB条因行走，均从A点同时同向出发.则第4次同向相遇。匕 甲、乙两人寤程差 为2n甲、乙两人在M 8鬃0行走，均从A点同时同为出发则第n次相向相遇时，甲、匕两人出路程和 为兄甲、乙种人在A、B柒回齐走.分期从A、B而点相向也发，则第0次向向相遇时.甲、乙而人的珞 UA(u-i)8甲、乙而人在A、S条田布走.分别从A、R而点相向出发，则等。次相向相遇时，甲, 已种人妁珞 程和为(In 1).有甲船的顺水速度为32千木川时，逆水速度为24千；口卜时，乙船的吸水速度为24千米同冏，逆水速度为用

29、千米川甜.两艇第二次幽相遇时，它们的路程和为人T ：甲船第二次追上乙船时，它们的路程差为“4.有第二次迎面相遇时，一定是甲走了23个AB长度，乙走了21个AB长度，设甲走了交AB的 长度，则乙走了 2一汗AB的长度，W二 )A： 。|二B$ = %*，解得一；，即第二次迎面相遇的地点距.* AB的距瑟.有第二次用迨上乙时，有用行走2#z(y为整数.工石1)个例的长度.则乙行走了 2y钎RbAB的 长度，有今京宁言化尚有加，显然无法满足y为整数，.情况图.情况图.有第二次甲追上乙时，有甲行走2尹1也y为娶数，乙专1)个检的长度，则乙行走了“一3十4AB的长 度.有=1+ 与+ 3 化同有3/M=

30、13,有2=05 y=4.3224 24 1A lo 16期第二次甲追上乙时的地点距昧；AB的距尚郎么距A也是的距巴所以 题中两次相遇点的距离为-3=),抽，为4好米，所以AB全长为240千米.唯员等级 6 .甲、乙两船分别在一空河的4 B两地同时相向而行，甲顺流而下，乙逆流而上.相遇时，甲乙两船 行了相等的肮程，相遇后触爰前迸，甲到达B地、乙到达网后，部立即按原来路线返航:,两秒第二波相遇 时.甲船二匕乙船少行100。米.如果从第一次相遇到第二次相遇时间相施I小的2吩，那么河水的流逶为每小时 多少千米？分析与解因为甲、乙第一次相遇时行驶的路程相等，所以有甲、乙同时刻各自到达B、A两地.接看

31、两船再分别从B、A两她aAB中间行驶.所以在第二次相遇前蛤蜴是 船逆流、 船顺祁,那么它们的速度 和始终等于它们在静水中的速度和，：干静水速度子水速=乙吊水速度一水速.还有从开始到甲第一次至达B地，乙第一次到达Ag之前，两船在河流中的速度相等,所以甲船比乙般少 行驶的10。米是在甲、乙各自返肮时产生的.甲乙返床时，有甲在河流中行驶的速度为甲静水速度一水逵，乙在河流中的速度为乙鄢水逵度一水 速.它们力速度差为4倍小速.从第一次相遇到第二次相暹.两龄共行驶了2AB的路程，而从返航到第二次相遇两船共行驶了AB的路 程.薇j间80+2=40分钟.有4管水速= 103 +二 150眯，有水速=375米/

32、小时=0.37汗米/小时.即河水的茄派为筌小时0一苏干米.娘良等破J 7 .申、乙二人骑自行车从塔形公路上同一地点同时出发，背向而行.现在已知甲走一圈的时间是70分 钟，如案在出发后45分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是多少分钟？分析与解用行走4吩神，再行走70-45=25分钟即可走完一圈.而用行走。汾抻，乙行走45分钟也 能走齐一圈.所以甲行走25分钵的路程相当于乙行走45分许的路程.甲行走一圈需7时钟, 所以乙需70+25X45= 12盼钟.即乙走一圈的时间是126分钟.【唯度等经J 8 .如图3-1,甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以勺速按相反的方向绕此网形路线运乡场

33、地的局长.动，当乙走了 100米以后.他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二枚相遇.求此分析与解注怠观察图形，当甲、乙第一次框遇时，甲乙共走完g围的路程，当甲、乙第二次相遇 时，甲乙共走完1+3 = 5圈的洛程.所以从开始至原一/二次相遇所需的时间比为1：3,所以第二次相遇时乙行走的总路程为第一次相遇时 行走的总路程的3倍,既）1口乂3=30。米.有甲、乙第二次相遇时，共行走（1圈-60）*300,为:图 所以此圆形场地的周长为480格地质停级 五甲、乙二人在同一条愉速形跑道上作特殊训强：他们耐从同一地直出发，沿相反方向能，后人跑 完第一圈到达出发点后立即回头如速跑第二回，跑第一圈时，乙

34、的速度是甲建度的g.甲跑第二酗速度比第一圈捏高了乙跑第二圈时速度徨高了;.已知沿跑道看从甲、乙两人嵬二次相遇点到第一次相遇点的最近路程是19咪，那么这条椭圆形跑道长多少米？分析与解设甲跑第一回的速度为3那么乙跑第一圈的速度为2.甲跑第二圈的速度为4,乙跑第二圈的速嚏为y .如下图，第一次相送地点逆时针方向的距出发点=的跑道长度. 5有甲回到出发点时，乙才跑了 g的跑道长度.在乙跨下来跑了;跑道的距离时，甲以“4”体速度跑了-+2X4= 2 圈33所以还剩下:的跑度长度，甲以4的速度.乙以，的速度相对而跑,后以乙跑了 gx/凰也就是第二浏目遇点逆切方向距出发点蝉.甲s少r瞅一媾斯与缸浏造点相四十

35、融, 所以，这条愉图形跑道的长奏为igoe葛=4oo米.难度等级 10 .如图12,在400米的环形跑道上，A, D两点相距100米.甲、乙两人分另IJ从A, D两怠同射出发，鼓 逆时针方向跑步.甲每秒跑$米，乙4秒跑4米，每人雪跑100米，部耍停1啾钟.那么甲追上乙需费时间是 多少秒？S 3-2分析与解1如果甲、乙均不休息,那么甲追上乙的时间为100+（5-4）=10。秒.此时甲跑了 100乂 5 = 500格 乙跑了 1。0乂 4=400关.而实标上用跑50。米，所需的时间为1OOMX1O=14。秒.所以L3150秒时甲都在逆时针经8点500处.而乙跑400米所需的时间为100+3X 10

36、=130秒,所以13OMC秒时乙走在逆时针距B点400处.昱恭队开始计算140秒时，甲、乙在同一地点，即甲追上乙需要时间是14瞅.唯良*级 11 .周长为400米的圆形跑道上，有相距100米的4 B两点.甲，乙两人分别从A, B两点同时相背而 跑.两人用遇后，乙即辂身与年同向而翔当中跑到曲，乙恰好跑到氏如果以后甲、乙跑的速度和方向都 不变，邓公甲追上乙时，甲从出发开始，共跑了多少天。当甲跑了AC的路程时，乙跑了BC的路程：而当甲跑了40。米时,乙跑了 2BC的路程,由乙的速度保持不变,所以甲、乙第一次相向相遇所需的时间是甲声:次创达4w府需时间的;即纪=gx400=200（米），也就是甲跑了2

37、00米时,乙跑了100米,所以甲的速度是乙速度的2倍.百甲则达和y到之田J，甲电上乙刖需比乙多跑4wiw= wu米的路程所以此后甲还需跑wu+（z 1）X2=600米，加上开始跑的3圈4QO米.所以甲从出发到甲追上羽，共跑了6003= 180潦.曜及等级 12 .如图33 一个长方形的席星长13米，克端.甲、乙两人分别从房妄的两个崎角出发，甲每秒钟行 3米，乙每秒钟行2米.闷：经过多长时间中第一次看见乙？图3-3分析与解开始时，甲在顺时针方向距乙8十K+8 = 29米.因为一边展长为13,所以最少要追至只相 差13,即至少要追上2913 = 16米.当用这上乙16米毋需时间为16+（32）=1

38、6秒,此时田行了3X16= 48%,乙行了2X16=3蹴.有甲、乙的位苴如下图！显然中还是看不见乙，但是因为甲的速度比乙快,所以甲就在乙离开上面的那条边之前至I达上面的边. 从而看见乙.而用怕哥状卜面的汾时，需函跑泳.所翔间为2+3=:检, 所源过16+ | = 16；秒后甲第一次看见乙，唯晨等级 13 .如图3学校操扬的40讲踊道中专音3。0米小跑道，六跑道小的道行二00串器代相英.甲以药利 6米的速度沿大的道逆时针方向患 乙以每物保的速度沿小跑道顺时针方位维 西人同时共西跑道的交点A 处出发，与他们第二次在跑道上相邃时，甲共跑了多少米？分析与解如下图，甲、乙只可能在大雨道上相邀,并且只能在

39、他醐针的半跑道上，易知小跑道AB逆时针路程为1001区时针路程为2。0.大跑道上AB的顺、逆时斜路程均是2。0*.我们格 甲、乙的行程状况分析浩整.当印至一波到达B时,乙还没有到达哈.所以第一次相遇一定在逆时外的庐处.而当乙第一次到达B点时，所需时间为必:4=诩,此时甲跑了5。乂6=38米，在B点妫-20。= 1的 米处.乙跑巴小跑道到达A需100+4=25秒.则甲又跑了25X6=150柒，在途左边100+150) 200=&米处.所以当甲到达B处时，乙还未到B处，那么甲必定能在B点右边某处与乙第二次组遇.从二再役到达A处开始计再，还需14。050)+(4)=35秒,甲、乙第二次相遇，此时甲其

40、跑了5M25,3 5- 11 瞰.所以，从开始到甲、乙第二次相遇甲共跑了 110X6=660米.唯良等城 如图3；正方形ABCD是一条环形公昭.已知汽车在AB上时速是河千米，在B。上的时速是U0千 米，在CD上的时速是60千米，在DA上的时速是3阡%.从CD上一点P,同时反向各发出一辆汽车，它们将 在AB卬点相遇.如,果从PC的卬晅M,同时反向各发出一辆汽车，它们将在AB上一点用目遇.间A至M的距离 除以N至B的距菌所得到的商是多少。分析与解如下图，设甲始终顺时针运动，乙始终逆时针运动，并设正方形ABCD的边长先单位有甲从P到达AB中点。所需时间为黑4祟4维=挈4=I或：60 80 加 60

41、80 90乙从P到包中点。所需腼为需啮+需=冷 高嚼.有甲、乙同时从P点出发，则在AB的中点。相遇，所以有；PD 1 _ PC 苑+而=而十说a yj, 1 - PCIPC 1an/B 5且有FD=DC-PC = 1-PG 代人有7+ =解得PC=w.6020601208A?M=MC= . DP= 168理在乱 乙同时从PC的中点出发.相遇在N点，设AN的距离为x.有甲从画达N点所需时间为萼-祟+桨=与粤+ M高 6080906080 90*乙从画达N点所需时间为簪+黑+等= % + ；+嫖60 120 903 120 9035有至一3+工+土二坦一-十上，解得双=上，即心1=2，BM=1-=

42、.60 SO 90 M 1209032323232AbHBN= + ?=2 32 32 31雄度等利 15.如图36 8时1班.有甲、乙两人以相同的速度分别从相距G0米的A，B两地顺时针方向沿长方形ABC D的边走向D点.甲8时20分到D点后，丙、丁两人立即以相同速度从D点出发.丙国而碇去,&灰24分与乙 在E点相遇；丁由D向C走去, 8时30分在F点被乙追上.问三角形BEF的面积为多少平方米。8图3-6分析与解如下图，标出部分时刻甲、乙、丙、丁的位苴.8附2。小 力TB 附 1。*先分析甲的憎况，甲10分钟，行走了AD的路程；海看乙的情况，乙的速度等于甲的速度，乙：4分钟行走 了604AE的

43、跖程，乙20分屣了6IHAD4DF的路程.所图乙1。分冲走了(68助到玲一(AD)=6(UDF的路程.k AD 60 +工后 60 + DF -(AD6QDFTcH io_ be月E + ED) = 5 + /IE)较后分析丙的情况，两4分钟.行号走ED的路篦 道看丁的情况.丁的速度等于丙的速度，丁】吩钟行 走了 DF的距客“力)为2 )助60 + DF p-87 联立7(/ *助)=5(60 + 4/，解得即=18 . 于是，1懒蝴硒位置关系：3尸=4587 BI。”,BE广四边形ABCD7AAM书义*乜8）一 ? 乂60义87 1 X18X45- ； X15X （87+18）=2497.

44、5（平方米）仁华思维导引解析4讲：数的整除【内容概述】能被2, 3, 4, 5, 8. 9, 1L提除的故的数字特征，以及与此相关的整数的组成与补埴问题，乘积末尾零 的个数的计尊.【典型问题】难度等级】1 . 3口是一个四位数.戴学老师说：“我在具中的方框内中先后埴入3个数字，所得到的3个四位敷： 依次可被9, 11. 6整除，”间：故:学老师先后埴入的3个数字的和是多少？分析与解I方法一利用整除特征注卷盛斌9, 11, 6壁陈拘票的持征，拢祓9度除拘数，其敢夺和是9的稳教；处被11整除的故.其一数传数写和写偶然位数写初的是为11的倨然 或符其后三位与前路开，将的级或 的两个数咋差，杵是11的

45、倍皴r能被逐除的数，其数字和走3的偌皴，且末位为0, 2. %品g的其中之一.力3= II，当口内堵入碇，*35的数字和为18,为9的倍数，所以当口内埴7所组成的数为9的倍数；173口的奇数位数字和为7+口,偶位数数字和为升3=4所以当口内地11Z7=8时，击敏位数字和与 偶数位数字和的差为”所组成的数为11的倍教；1+7+3=11,当口内埴入1, 4, 7时，为3的倍数，但只有4为偶数，所以当口内填入4姐成的数为。的倍 氧所以，这三种情况下埴入口内的数字的和为立24= |九方法二，采用流除法用 17 血除，1730：9=19二2.1730-5-11=15?3,1730+6= 2 瞬2.所以衣

46、次液上(9-2= )7、(U-3=)8s ($-2=)4后得到的1737、173队1734依次建被9、11、6整除.所以，这三种情况下埴入口内的数字的和为7+8M=19.唯度学氨2 .如臬六位数1992口口能被105整除，那么它的能后两位数是多少7分析与解因为105=3X1X5,所以当这个六位散向时勒定能林3、7、$整除的数的特征即可.而挺途7革数的教.在箕后三位与方陶井.4条新纪度拘而小款件聂.轿R?的传毂：拢被j星数的效，月末位只能是。或兄方法一：利用整除特征末位只能为0或5.-如果末位战入0,那么数字和为1*“*2*口*0=2止口3嬖求数字如是3的倍数，所以口可以为0, 3, 6, 9,

47、鉴证均不是200 199=1, 230-199=31.-1“=61, 29。- 139=91,有91 是7的倍新 即 199 幺川是7的倍数，所以题中数字的末两位为yu,.加果末位埴人工同上弊法，蛉诙没有数同时前足能板3、7、5整除的特征.所以；题中数的末两位只能是96方法二，耒用试除法用199200试除，199200+105=189715,余15可以看成不足(10515=)90,所以补上90,即在末两位的方格内填入9窕|3可.唯丈争级】 3 .呆个七位数1四3口口能镣同时被2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9绘除，那么它的最后三位数学依次是多 少？分析与解方法一工利用整除特征因为这个

48、效能被5整除，所以末位只能是0或5,又能被2整除，所以其末位为偶效，所以只能是在满足以上条件的情况下，还能被4整除，那么末两位只馥是2叭40 6。或80.又因为还能同时被9整除，所以这个敌的数字和也应该是9的倍数，有1993n2。，l?93F40 , 1993c小I993D80的数字和分别为24+4 26电 协C, 304 对应的A、B、C、D只能是3, 1 8. 6.即末三位可能是320.M0，秒0. 680,而只有320, 680是8的信数，再验证只有1993320, 1993680中只有1993320是7的倍数.因为若同时能被2, 4 5, 7 8,。整除的数.一定能同时襟2, 3, 4

49、 5, 6, 7, 8,四几个数:整除，所 以I99332C为所求的这个敌.显然，其来三位依次为3, 2 0.方法二，采用试除法一个数能同时被2, 3, 4, 5,67, & 9整除，而将这些敷一一分解质因故：2 3456759U。UUUUUU,所以这个数一定能被23乂3以5X7= 8 乂 9X5义7=2520整除.用123而&试验,2300520=7902200,余220。可以看成不足2520-2200= 320,所以在末三位 的方格内值入3208n可.【琅度等破J 4 .从& L 2, 3, 4, 5, 6, 7. & 舱】依数字可选出5个不同的数字组成一个五位数，使它能被3, 5, 7,

50、 13整除，这个数最大是多少？分析与解因为(3, 5. 7, 13 = 1365.在100)00之内层大的1365的倍数为9964式10000021365 = 7 3355, 100000-355= 99645) 竺_j口吧二2 一定是7的信数.20号醉笠际上我们已经将末尾的6个飒法这样,我们格数字9、5均6个一组除去，最后剩下的数为5_5 ” ,即55CJgg. 我们只用计篁55口99当“口”取何值时能祓7整除，有口弼醉翔睫,吁%V收度等级 3,用数字6, 7, 8各两个，组成一个六位数，使它能被1的整除，这个六位数是多少？ 分析与解因为168=M3XZ所1脂成的六位数可以械柒3、7整除.能轻被8整除的数的特征违末三住如成的就一定是8的，僖数，末两位处成的数一定是4的倍致，未佳为偶在题中条件下，验证只有6舐、768是2的倍数,所以末三位只能是6居我768,而又要求是7的俗效，由上 题知Acabc形式的数一定是?、11、13的得效,所以768768一