备战2017高考技巧大全之高中数学黄金解题模板：专题22 平面向量共线定理（解析版）

1、专业文档【高考地位】随着向量在科学研究中的工具性应用，与它在社会生产生活中所起的巨大作用，所以近年来数学高考题中，命入了共线向量内容考题。在今后的高考试题中，共线向量必将增长态势。其在高考题型多以选择题、填空题出现，其试题难度属低中档题.【方法点评】类型一 在几何问题中的应用使用情景：平面几何证明、求值等问题中的应用解题模板：第一步 将已知条件进行向量处理；第二步 利用平面向量的运算法则和线性运算等性质进行求解；第三步 得出结论.例1平面内有一个和一点，线段的中点分别为的中点分别为，设.（1）试用表示向量；（2）证明线段交于一点且互相平分.【答案】（1），；（2）证明见解析.【解析】试题解析：

2、（1） ，.（2）证明：设线段的中点为，则，设中点分别为，同理：，即其交于一点且互相平分.考点：1、向量的三角形法则；2、向量的线性运算 例2如图，等腰三角形，.分别为边上的动点，且满足，其中，分别是的中点，则的最小值为_.【答案】【解析】试题分析：连接，等腰三角形中，是的中线，同理，可得， 考点：向量在几何中的应用【思路点睛】由等腰三角形中，算出连接，利用三角形中线的性质，得到，进而得到将此式平方，代入题中数据化简可得，结合消去，得，结合二次函数的性质可得当时，的最小值为，所以的最小值为本题的关键是用基底向量的关系式表示出向量，再求向量模的最小值，主要考查平面向量数量积公式及其运算性质和二次

3、函数的最值求法等知识，属于中档题【变式演练1】已知向量是两个不共线的向量，若与共线，则（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：由，所以，解得，故选C. 资*源%库考点：向量的共线的应用.【变式演练2】已知非零向量满足，给出以下结论：若与不共线，与共线，则；若与不共线，与共线，则；存在实数，使得与不共线，与共线；不存在实数，使得与不共线，与共线.其中正确结论的个数是（ ）A1个 B2个 C3个 D4个【答案】B【解析】考点：共线向量定理【变式演练3】如图，四边形是边长为1的正方形，点为内（含边界）的动点，设，则的最大值等于（ ）A B1 C D【答案】类型二 在求动点轨迹中的应用使用情景

4、：题设中有“向量的数量积”“平行”即共线等求点的轨迹解题模板：第一步 将已知条件转化为向量的表示；第二步 利用平面向量的运算法则和平面向量的性质对其进行求解；第三步 得出结论.例3 如图,过A(-1,0)，斜率为k的直线与抛物线C:交于P、Q两点，若曲线C的焦点F与P、Q、R三点按图中顺序构成平行四边形，求点R的轨迹方程。【答案】.【点评】本题若不用向量法，一般采用联立方程，考虑判别式，结合韦达定理的方法，尽管思路清晰，但计算量大，且技巧性强，不易掌握，而利用向量法解答，简单明快，容易接受. 【变式演练4】已知椭圆，直线，P是上一点，射线OP交椭圆于R，又点Q在OP上且满足|OQ|OP|=，求

5、点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？资*源%库【答案】点Q的轨迹是以（1，1）为中心，长、短半轴分别为和且长轴与轴平行的椭圆.【解析】设（其中、不同时为0）由非零向量、共线，可设，则,分别代入椭圆方程、直线方程得：【点评】本题我们注意到点Q在OP上，于是存在、共线，因此可借助两个非零向量共线的充要条件，巧设参数、转化已知条件|OQ|OP|=为，使得消元过程异常简捷。向量与解题交汇的综合题已成为高考命题的热点. 【变式演练5】如图所示，已知圆为圆上一动点，点在上，点在上，且满足的轨迹为曲线。求曲线的方程；若过定点F（0，2）的直线交曲线于不同的两点（点在点之间），且满足，求的取值范围。【答案】

6、； 。【解析】（2）当直线GH斜率存在时，设直线GH方程为得设，又当直线GH斜率不存在，方程为.考点：向量的运算；椭圆的定义；椭圆的简单性质；直线与椭圆的综合应用。点评：求轨迹方程的一般方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。本题求轨迹方程用到的是定义法。用定义法求轨迹方程的关键是条件的转化转化成某一已知曲线的定义条件。【高考再现】1.【2015高考新课标1，理7】设为所在平面内一点，则（ ）Z（A） (B) $来&源：（C） (D) 【答案】A【解析】由题知=，故选A.【考点定位】平面向量的线性运算【名师点睛】本题以三角形为载体考查了平面向量的加法、减法及实数与向量的积的法

7、则与运算性质，是基础题，解答本题的关键是结合图形会利用向量加法将向量表示为，再用已知条件和向量减法将用表示出来.2.【2015高考北京，理13】在中，点，满足，若，则；【答案】【考点定位】本题考点为平面向量有关知识与计算，利用向量相等解题.【名师点睛】本题考查平面向量的有关知识及及向量运算，利用向量相等条件求值，本题属于基础题.利用坐标运算要建立适当的之间坐标系，准确写出相关点的坐标、向量的坐标，利用向量相等，列方程组，解出未知数的值. 3.【2015高考新课标2，理13】设向量，不平行，向量与平行，则实数_ 【答案】【考点定位】向量共线【名师点睛】本题考查向量共线，明确平面向量共线定理，利用

8、待定系数法得参数的关系是解题关键，属于基础题4.【2015江苏高考，6】已知向量a=，b=, 若ma+nb=(), 则的值为_.【答案】【解析】由题意得：【考点定位】向量相等【名师点晴】明确两向量相等的充要条件，它们的对应坐标相等.其实质为平面向量基本定理应用. 向量共线的充要条件的坐标表示：若，则.向量垂直的充要条件的坐标表示：若，则.【反馈练习】1. 【2015-2016学年江西省横峰中学高一下学期期中考试数学试卷，理5】己知 ,则与共线的条件为（ ）A. B. C. D. 或【答案】D【解析】试题分析：若共线，则存在使，即，所以当共线时，有或.故选D.WWW考点：向量共线的充要条件及坐标

9、表示.2【2015-2016学年安徽六安一中高一下周末作业九数学试卷，理10】如图，四边形是正方形，延长至，使得.若动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点，其中，下列判断正确的是（ ）A满足的点必为的中点B满足的点有且只有一个C满足的最大值为3D满足的最小值不存在【答案】C【解析】时，有，综上，选项A，取 满足 ，此时，因此点不一定是的中点，不正确；选项B，当点取或的中点时：满足的点不唯一，因此不正确；选项C，当点取点时，且，解得，取得最大值为；选项D，当取点时，取得最小值，因此不正确故选C. 考点：1、向量的几何运算；2、向量的坐标运算；3、向量的数乘.3【 2016届山东省滨

10、州市高三第二次模拟考试数学试卷，理9】在中，为边上的任意一点，点在线段上，且满足，若，则的值为（ ）A B C D【答案】A【解析】考点：平面向量4. 【2016届海南省海南中学高三考前模拟十二数学试卷，理9】如图，正方形中，点是的中点，点 是的一个三等分点，那么等于（ ）A BC D【答案】D【解析】试题分析：根据向量加法、减法的三角形法则可知,故选D.考点：平面向量的线性运算.5. 【2017届黑龙江双鸭山一中高三上学期质检一数学试卷，文15】已知等差数列的前项和为，若，且三点共线（为该直线外一点），则=_【答案】【解析】考点：（1）等差数列的性质；（2）平面向量基本定理.6【 2015-

11、2016学年安徽省六安一中高一下期中数学试卷，理16】如图，是直角边等于4的等腰直角三角形，是斜边的中点，向量的终点在的内部（不含边界），则实数的取值范围是 .【答案】【解析】试题分析：如图所示，设，过点作，分别交于点，分别过作交于则，在的内部（不含边界），点在线段上（不含点），当点取点时， ，可得，而在的内部（不含边界），因此当点取点时，此时可得，而在的内部（不含边界），因此所以答案应填：考点：、向量的平行四边形法则；、平面向量的基本定理；3、共面向量的基本定理7【2015-2016学年湖南衡阳八中高二下第一次月考数学卷，文15】如图，在矩形OABC中，点E，F分别在AB，BC上，且满足AB=3AE，BC=3CF，若=+（，R），则+= 【答案】【解析】考点：平面向量的线性运算.8【 2015-2016学年福建省上杭一中高一下周末练数学试卷，理17】设两个非零向量与不共线.如果,求证：、三点共线；试确定实数的值，使和共线.【答案】证明见解析；.【解析】试题分析：把表示为，即利用向量共线定理证明与共线即可；利用向量共线定理列出关于的二元二次方程组即可求出考点：（1）平行向量与共线向量；（2）平面向量基本定理及其意义.9【2015届江西