2019届高三数学备考冲刺140分问题22数列与不等式的相结合问题含解析

1、问题22数列与不等式的相结合问题一、考情分析数列与不等式的交汇题，是高考数学的常见题型.对数列不等式综合题的解答，往往要求能够熟练应用相关的基础知识和基本技能，同时还应具备比较娴熟的代数变换技能和技巧近年数列与不等式交汇题考查点：1 .以客观题考查不等式的性质、解法与数列、等差数列、等比数列的简单交汇2 .以解答题以中档题或压轴题的形式考查数列与不等式的交汇，还有可能涉及到导数、解析几何、三角函数的知识等，深度考查不等式的证明（主要比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法）和逻辑推理能力及分类讨论、化归的数学思想，试题新颖别致，难度相又祗$大.3 .将数列与不等式的交汇渗透于递推数列

2、及抽象数列中进行考查，主要考查转化及方程的思想.数列求和是历年高考命题的热点，可以以客观题形式考查，也可以以解答题形式考查数列，公式求和、裂项求和、错位相减法求和是常考问题二、经验分享常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关，其基本结构形式有如下4种：形如aik（k为常数）；形如石珥方十d，此性质可推广到多项求和：若色q0,则g+q+L+%*l）+/a）+L+%）（3）若需要用到乘法，则对应性质为：若门,则acbd,此性质也可推广到多项连乘，但要求涉及的不等式两侧均为正数常用的放缩手段：增加（或减少）某些项；增大分子（或减小分母）；增大（或减小）被开方数；利用二项式定理；利用基本不等式；利用函

3、数的单调性.常用的放缩技巧：（1）常见的数列求和方法和通项公式特点:等差数列求和公式：,anknm（关于n的一次函数或常值函数）一等比数列求和公式：凡=;g壬l）,ankqn（关于n的指数类函数）错位相减：通项公式为“等差等比”的形式裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项（2）与求和相关的不等式的放缩技巧：在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常

4、见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢.若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是微调：看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩.从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式；第二个方法就是推翻了原有放缩，重新进行设计，选择放缩程度更小的方式再进行尝试.（3）放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧：裂项相消：在放缩时，所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点，即作差的两项可视为同一数列的相邻两项（或等距离间隔项）等比数列：所面对的问题通常为“Sn常数”的形式，所构造的等比数列的公比也要满足q0,1,a1如果题目条件无法体现出放缩的目标，则可从所证不等式的常数入手”常数

5、可视为二二的形式，然后猜想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项公式，再与原通项公式进行比较，看不等号的1方向是否符合条件即可.例如常数2=:,即可猜想该等比数列的首项为3114注：此方法会存在风险，所猜出的等比数列未必能达到放缩效果，所以是否选择利用等比数列进行放缩，受数列通项公式的结构影响-,公比为1,即通项公式为24(4)与数列中的项相关的不等式问题：此类问题往往从递推公式入手，若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形在有些关于项的不等式证明中，可向求和问题进行划归，即将递推公式放缩变形成为可“累加”或“累乘”的形式，即或门匕八,(累乘时要求不等式两侧均为正数)，然后通过“累加”

6、或“累乘”达到一侧为an,另一侧为求和的结果，进而完成证明三、知识拓展常见的放缩变形：1111(1)川町十黯司5-1)，其中n2,nN：可称 F 为进可攻，退可守,可依照所证不等式不n等号的方向进行选择.1注：对于3,可联想到平方差公式,从而在分母添加一个常数,即可放缩为符合裂项相消特征的数列,例如:n11_1_111第1/二=(摩打十0，这种放缩的尺度要小于(1)中的式子.此外还可以构造匚 1_41_If1放缩程度更小的，如：“黯W-1|许一 1)(2+1)4（g+1-*7|-；=工工（册J-1）山+3+lJ 舛VJT+V-11注：对于7=还可放缩为：6(3)分子分母同加常数：一TO7m),

7、-(aj0Jrn0|口口十出a曰十m此结论容易记混，通常在解题时，这种方法作为一种思考的方向，到了具体问题时不妨先构造出形式再验证不等关系.可推广为：.同类放缩常见的有：、1=U_ji=1：j_.r（1）（如一1丁（2叩一1）Q库十1|二2用十J或（n一14啸再一I）4?7-14型都可放缩为裂项相消模型）为等比模型）时都可以提取出an利用指数函数的单调性将其放缩为等比模型四、题型分析（一）最值问题求解数列中的某些最值问题，有时须结合不等式来解决，其具体解法有：（1）建立目标函数，通过不等式确定（平方型、立方型、根式（5）士11、或,Z-17丁（香3力21）（a-bV（指数型可放缩(6)-1）2

8、-1 尸二 1；（7）1+广(8)2zr-l2n-1补充:般地,形如annnMnab或anab（这里ab1）的数列,在证明外飞4-+L+（k为常数）或+1（奇偶型放缩为可求积）变量范围，进而求得最值；（2）首先利用不等式判断数列的单调性，然后确定最值；（3）利用条件中的不等式关系确定最值【例1】设等差数列an的前n项和为Sn,若S410,S515,则a4的最大值为.【分析】根据条件将前4项与前5项和的不等关系转化为关于首项a1与公差d的不等式，然后利用此不等关系确定公差d的范围，由此可确定a4的最大值.（3）由题意可知，设儿在数列1。）中的项为勺，则由题意可知,所以当时，通。2（沙-2）+1+

9、2十4力=/42-4,N4上+-4201922019-1065=954=2x477曰/+7+477=9%,FI.所以当1m=%此时，%=2。1%【点评】解决数列恒成立问题一般会涉及到基本不等式及数列单调性T1.1111+I【小试牛刀】【广东省华南师范大学附属中学2018届高三综合测试】等比数列的前力项和山*匕一（为常数），若m恒成立，则实数）.的最大值是（）A.B.C.D.【答案】C解析%=牛%1=31rl 之 2：”为113力所以。，一得=35n二-尸-2222所以人 373R铮*J12X37所以口-二时 aS5.故选 C（三）证明问题此类不等式的证明常用的方法：（1）比较法，特别是差值比较

10、法是最根本的方法；（2）分析法与综合法般是利用分析法分析，再利用综合法分析；（3）放缩法，主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的.1=2+2/+广、k2,也，易解得k10,当比二9时,m=29+9-2=29+7乎4q2_4=1065因为【例3】设数列an满足a10,“I一气+1仁N,，其中c为实数.（I）证明：an0,1对任意nN成立的充分必要条件是(n)设01-（出）设0c,证明：口一叼+-+4炸+1-N）.3【分析】第（I）小题可考虑用数学归纳法证明；第（n）小题可利用综合法结合不等关系的迭代；第（出）小题利用不等式的传递性转化等比数列，然后利用前n项和求和，

11、再进行适当放缩.【解析】（1）设数列的公差”低题宣工 2-2+M 成等比数列;故有（2.办=式“4 叽化简得才-44=0.解得 d=0 或 d=4,当 d=0 时;q=2；当 d=4 时白=2-伽一 1）4=4 并一 21从而得数列他的通项公式为 q=2 或门 7”工5,60/1-800此时不存在正整数n,使得,成立.令前Mn+S00,即-30?!-4OT0解得n40或n10（舍去），S60,一 800此时存在正整数n,使得,成立，n的最小值为41.综上，当%2时，不存在满足题意的n；当an4n2时，存在满足题意的n,其最小值为41.【点评】本题an的表示式有两种，需要对着两种情况讨论，再确定

12、是否存在满足题意的n.解决数列与函数、不等式的综合问题的关键是从题设中提炼出数列的基本条件，综合函数与不等式的知识求解；数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点.c0,1;（n）当an2时，Sn2n.显然5?T-F800当an4n2时，。=rt2+(4rt-2)3江西省名校学术联盟2019届高三年级教学质量检测】若不等式恒成立，则实数1a的取值范围为A(-4B(-13)C.D-4,今【答案】D_W+】，、,(T)%-1。处16,1,【解析】当n为偶数时，由门”恒成立，得白 h4-士恒成立，1n1177由4 一二三 4-二 3所以

13、口丁，nzz21十】,，、,(-l)hcr-#00,16,_1,当n为奇数时，由n-恒成立，得-n4+一恒成立，2月,I1一,由卜+4,所以-1,Ctra1叼,081,工公Q,给出下列结论：(l)0ql,I,(3)晨的最大值为17,其中正确结论的个数为A.3B.2C.1D.0【答案】B【舒行】丫力二 1,口=_1m 口？/，-(1)0Q，0?1,所以 A 是数列(TJ 中的最大 I 页，故正确.故选：瓦和Sn有最大值，则当8n0时，n的最大值为()5.【安徽省宿州市2018届高三上学期第一次教学质量检测】在等差数列,a7an中，一a61,若它的前n项A.11B.12C.13D.14【答案】Aa

14、7.a7a6_【解析】数列an为等差数列，若,1,则60,可得d0a6a6a60,a7a60,a70一，S110%+6、T-+0己-,Sl20则当Sn0时，n的最大值为11,故选Aa.n-1HEAL，口9.已知数列an的通项公式&一4打十(一(8.No)力士2,若对任意恒成立，则a的取值范围是.【答案】3,5ti152fr【解析】由已知可得丐=防并上一为 6M=瓯一 4+2 修；由条件得勖+-2 力吠蒯-4+船；解之得8-4+8卉+L)+8-2。41)n(n-1),7=15+2*=n-n+15.a=rT-n+IJ.2rt15IS15令 f二 i 一一得门 x)=1 .,x父J，当用取

15、123 时兰 1 减小当币取大于等于 4 的自然数时 2” 1 的值增土 nn?r=3 时=3*5-1=7 了厂 4 时：=4*1=Z727二%的最小值为.故答案为：.4412.【广西陆川县中学2018届高三开学考试】已知函数fg-，点O为坐标原点，点训hN)x1-2向量i=(0,1),最是向量oQ与i的夹角,则使得乱叫丁漏sinO51-,好叫L恒成立的实数t的取值范围【解析】根据题意得,-0n是直线OA的倾斜角,7f 唯 F1=0曲1059.C059_C&sG_要使$in&受许与而与sin6n恒成立，（I）证明数列+是等比数列，并求数列伍j的通项公式；（n）设b*N,记数列a

16、J的前”项和为pn,若对任意的NEN*都有Sja9+,求实数m的取值范围【解析】（D 由 n+工二?%+i2%可得 4+?1%+1=%）.又发二 1,%=3,所以鼻-5 二 2 乎 0,故置:t=2-Wf：*1 程界所以位计】一的提首项为2、公比为 2 的等比数列.所以。计土一/=2巨阴总乳=叼+（附-%）1（n一a一）=I+242,十一+2=2-1（TTX氏_:三 J_Tjr7j三,一3/LJ/JH-hT（；”T二）一（产TXmTt）7U*驱5rl=%十%十2十九二（七-六1+（上-yr）+（土金）二1一则实数t的取值范围是t土故答案为：t:A413.1天一大联考20172018学年高中毕业班阶段性测试（四）】已知等差数列an的通项公式为ann,Qif.x前n项而为Sn,若不等式Ll（乌（nN恒成立，则M的最小值为.【答案】259【解析 1 由题可知：，,=”1|=寸；+0+恒成立，印11I5+地伊+2/时恒成立酸 ET 则巾+旧+