2017-2018学年浙教版八年级数学上册习题特殊三角形

1、第 2 2 章特殊三角形2.2.1 10101 基础题知识点 1 1 轴对称图形及其性质1 1 . .（余杭区仁和中学期末）下列图形是轴对称图形的是（ABCD2 2 . .下列轴对称图形中，只有两条对称轴的图形是（A）3 3 . .如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，下列说法错误的是（B）A.AM=BMB.AP=BNC.MN垂直平分线段ABD./ANM=ZBNM知识点 2 2 轴对称及其性质4 4 . .如图，4ABC和AAB先于直线MN成轴对称的是（B）A.AC=ACB.AB/BCC.AA-MN图形的轴对称A）5.5.如图，若ABC与4AB/F直线MN对称，BB交M

2、N于点O,则下列说法中，不一定正确的是（DD.BO=B0知识点 3 3 画轴对称图形6 6 . .如图所示，已知ABC和直线MN.求作：AABC,使AB禾CABC关于直线MN对称.（不要求写作法，只保留作图痕迹）解：如图所示.知识点 4 4 轴对称的应用7 7 . .如图所示，MN是线段AB的垂直平分线，点C在MN外，且与点A在MN的同一侧，BC交MN于点巳则（C）A.BOPC+APB.BCvPC+APC.BC=PC+APD.BOPC+AP8 8 . .如图，村庄A,B位于一条小河的两侧，若河岸a,b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD,问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？解：

3、略.0202 中档题9 9 . .如图，在直角ACB中，ZACB=90,ZA=25在AC边上的B处，则/ADB等于（D）A.25B,30C.35第9题图1010 . .如图是一台球桌面本意图，图中小止方形的边长均相等,D是AB上一点，将直角ABC沿CD折叠，使B点落D.40U二，i黝第10题图,黑球放在图示位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，视频讲解经桌边反弹最后进入球洞的序号是A.B.C.D.1111 . .如图，正方形ABCD的边长为4cm,则图中阴影部分的面积为8cm2.第11题图第12题图1212 . .如图所示，直线l是四边形ABCD的对称轴，AD/BC,现给出下列结论：AB/CD;A

4、B=BC;AB,BC;AO=OC,其中正确的结论是.(填序号)1313 . .在4X4的方格中，有五个同样大小的正方形如图所示摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图案是一个轴对称图形，请给出三种不同的画法.解：如图所示:1414 . .如图，P是/AOB内任一点，以OA,OB为对称轴分别画出点P经轴对称变换后的点Pi,P2,连结P1P2,分别与OA,OB相交于点C,D.若P1P2=8cm,求PCD的周长.解：根据轴对称变换的性质，可知PC=P1C,PD=P2D,PCD的周长为PC+CD+PD=P1C+CD+P2D=P1P2=8cm.0303 综合题1515 . .如图

5、，在折纸活动中，小明制作了一张ABC纸片，点D、E分别在边AB、AC上，将ABC沿着DE折叠压平，A与A重合.(1)若/A=75,则/1+Z2=150;(2)若/A=n,则/1+/2=2n_；(3)由(1)(2)探索/A与/1+Z2之间的数量关系，并说明理由.解：/1+/2=2/A.理由如下：./AED=/AED/ADE=/ADE又./AED+/AEDb/1=180,ZADE+ZADE+Z2=180,，/1+/2+2(/AED+/ADE)=360./1+/2+2(180/A)=360./1+Z2=2/A.10.10.已知：如图，在4ABC中，/C=904 4 . .如图，等边ABC的边长如图所

6、示，那么y=3.5 5 . .在活动课上，小红已有两根长分别为4cm,8cm的小木棒，她打算拼一个等腰三角形，则小红应取的第三根小木棒的长是8cm.6 6 . .如图所示，在4ABC中，AB=AC,D是AC上一点，AD=BD=BC,则图中有几个等腰三角形？分别指出它们的顶角、底角、腰和底边.解：有三个等腰三角形，它们分别是ABC,ADAB,ABCD.在ABC中，AB和AC是腰，BC是底边，/A是顶角，/ABC和/ACB是底角；在DAB中，AD和BD是腰，AB是底边，ZADB是顶角，/DAB和/ABD是底角;在BCD中，BC和BD是腰，CD是底边，/CBD是顶角，/BCD和/BDC是底角.知识点

7、 2 2 等腰（等边）三角形的轴对称性7 7 . .等腰三角形的对称轴是（D）A.顶角的平分线B,底边上的高C.底边上的中线D.底边的垂直平分线所在的直线8 8 . .（嘉兴期末）等腰三角形的对称轴有（D）A.1条B.2条C.3条D.1条或3条9.9.在等边三角形、角、正方形这三个图形中，对称轴最多的是正方形,有4条对称轴，最少的是有1条对称轴，剩下的图形有3条对称轴.解：如图所示.2.22.2 等腰三角形0101 基础题知识点 1 1 等腰（等边）三角形及相关概念1 1. .若4ABC的三边a,A.等腰三角形C.等边三角形2 2. .等腰三角形的周长是A.4C.7b,c满足关系式（ab）2+

8、（bc）2=0,则4ABC是（C）B.直角三角形D.锐角三角形16,底边长是4,则它的腰长是（B）B.6D.83.3.如图，在AACD中，若AD=DC,则腰是AD,DC,底角是/DAC,CDCA;若AB=BD=BC,则图中除了ABC是等腰三角形外，还有ABD,BCD是等腰三角形.将4ABC补成一个等腰三角形.y知识点 3 3 等腰三角形的作图1111 . .如图，已知线段a,b,请用直尺和圆规作出一个以线段a长为腰，线段b长为底的等腰三角形.解：图略.0202 中档题1212 . .（萧山区期中）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成9cm和12cm两部分，则等腰三角形的底边长为（D）A.9

9、cmB.5cmC.6cm或5cmD.5cm或9cm13.13.（莱芜中考）已知ABC中，AB=6,AC=8,BC=11,任作一条直线将ABC分成两个三角形，若其中有一个三角形是等腰三角形，则这样的直线最多有（C）A.3条B.5条C.7条D.8条1414 .在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知A,B是两格点，若C也是图中的格点，且使得ABC为等腰三角形，则点C的个数是（C）A.6B.7C.8D.91515 . .已知在ABC中，AB=3,BC=a+2,AC=7.若ABC为等腰三角形，求这个三角形的周长.解：ABC为等腰三角形，a+2=3或a+2=7.a=1或a=5.又当a=1时，

10、AB=3,BC=3,AC=7,此时这三边长不能构成三角形，aw1.ABC的周长为3+7+7=17.1616 . .如图，已知C为BE上一点，点A,D分别在BE两侧，AB/ED,AB=CE,BC=ED.问：ADC是等腰三角形吗？请说明理由.解：4ADC是等腰三角形，理由如下:AB/ED,./B=ZE.在ABC和ACED中，AB=CE,BZB=ZE,-BC=ED,ABCACED(SAS).AC=CD.ADC是等腰三角形.0303 综合题17.17.如图，在ABC中，BC边上的垂直平分线与四边形AEDC的周长之差为12,求线段DE解：:DE是BC边上的垂直平分线，BE=CE,BD=CD.EDC的周长

11、为24,ED+DC+EC=24.ABC与四边形AEDC的周长之差为12,(AB+AC+BC)(AE+ED+DC+AC)=(AB+AC+BC)(AE+DC+AC)-DE=12.BE+BDDE=12.BE=CE,BD=DC,，一，得DE=6.DE交边BC于点D,交边AB于点.若4EDC的周长为24,AABC的长.A AC2.32.3 等腰三角形的性质定理第1课时等腰三角形性质定理1及其推论0101 基础题8.8.如图，在ABC中，AD=BD=BC,若/DBC=28,求/ABC和/C的度数.解：设/A=x.AD=BD,A.40B,70C.100D,100或402.2.如果等腰三角形的底角为50。，那

12、么它的顶角为（D）6.6.如图，AB/CD,CP交AB于点O,AO=PO,若/C=50,则/人=25_度.7.7.如图，在ABC中，AB=AC,D是ABC内一点，且BD=CD.求证：/ABD=/ACD.A A知识点 1 1 在同一个三角形中,等边对等角1.1.在4ABC中，AB=AC,ZB=40,则/C=(A)A.50B.60C.70D.80iiDC第3题图工1匚第4题图4.4.（湘西中考）5.5.如图，在ABC中，AB=AC,/A=40,则4ABC的外角/BCD=110第5题图第6题图/ABC=/ACB.BD=CD,./DBC=ZDCB./ABC/DBC=/ACB/DCB,即/ABD=/AC

13、D.3 3. .（南宁中如图，在4ABC中，AB=AD=DC,/B=70,则/C的度数为（A）如图，等腰ABC中，AB=AC,BD平分/ABC,/A=36,则/1的度数为(C)A.36B.60C.72D.108证明:AB=AC,A.D.50B.40C.45ABD=ZA=x.BDC=2x. .BD=BC,.C=/BDC=2x. ./DBC=28,ZBDC+Z0+ZDBC=180, .2x+2x+28=180. x=38. /0=76,/ABC=/ABD+/DBC=38+28=66.知识点 2 2 等边三角形的各个内角都等于 60609 9 . .等边三角形的两条角平分线所夹的锐角的度数为（C）A

14、.30B,450.60D,901010 . .如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中/3的度数是（C）A.180B.2200.240D.3000202 中档题1111 . .如图，在4AB0中，AB=A0,/A=30,DE垂直平分AC,则/BCD的度数为（D）A.80B,750.65D,45第11题图第12题图1212 . .如图，/EAF=15,AB=B0=0D=DE=EF,则/DEF等于（0）A.90B,750.60D,451313 . .三个等边三角形的位置如图所示，若/3=50,则/1+/2=130.第13题图第14题图1414 . .如图,M、N是4AB0的边B

15、0上的两点,且BM=MN=N0=AM=AN,则ZBAN=90.1515 . .（萧山区期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36。，则该等腰三角形的底角的度数为63。或27。1616 . .如图，已知ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD,AD与BE相交于点F.习题解析(1)求证：ABEACAD;(2)求/BFD的度数.解：(1)证明：ABC为等边三角形，.ZBAE=ZC=60,AB=CA.在ABE和ACAD中，AB=CA,ZBAE=ZC,AE=CD,ABEACAD(SAS).(2)ABEACAD,ZABE=ZCAD./BFD=ZABE+ZBAD,：.ZBFD=ZC

16、AD+ZBAD=ZBAC=600303 综合题1117.17.如图，在AABC中，AB=AC,Z1=ZABC,Z2=ZACB,BD与CE交于点O,/BOC的大小与/A的一111大小有什么关系？若/1=-ZABC,Z2=-ZACB,则/BOC与/A的大小有什么关系？若/1=-/ABC,Z2=b,则a2b2”.(1)此命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例；(2)写出此命题的逆命题，并判断逆命题的真假.若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例.解：(1)假命题.反例：a=2,b=3,有ab,但a2vb2.(2)逆命题：若a2b2,则ab.假命题，反例：

17、a=3,b=2.知识点 2 2 定理与逆定理5 5 . .下列定理中，有逆定理的是(D)A.四边形的内角和等于360B.同角的余角相等C.全等三角形的对应角相等D.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等6 6 . .如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理.这两个定理叫做互逆定吼知识点 3 3 线段垂直平分线的性质定理的逆定理7 7 . .如图，AC=AD,BC=BD,则有(A)A.AB垂直平分CDB.CD垂直平分ABC.AB与CD互相垂直平分D.CD平分/ACB8 8 . .如图，ABC中，边AB,BC的垂直平分线交于点P.(1)求证：PA=PB=PC;(2)点P是

18、否也在边AC的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论?，PA=PB,PB=PC.PA=PB=PC.(2)点P在边AC的垂直平分线上，结论：三角形三边的垂直平分线相交于一点.0202 中档题9 9 . .写出符合下列条件的一个原命题：(1)原命题和逆命题都是真命题；(2)原命题是假命题，但逆命题是真命题；(3)原命题是真命题，但逆命题是假命题；(4)原命题和逆命题都是假命题.解：答案不唯一，如：(1)原命题：若a1,则a1;逆命题：若一a1.(2)原命题：若a+b0,则a0,b0;逆命题：若a0,b0,则a+b0.(3)原命题：若a0,b0,则a+b0;逆命题：若a+b0,则a0,b0.(4)原命

19、题：若a=1,b=2,则a+b=4;逆命题：若a+b=4,则a=1,b=2.1010 . .如图，点D,E在4ABC的边BC上，连结AD,AE.AB=AC;AD=AE;BD=CE.以此三个等式中的两个作为命题的条件，另一个作为命题的结论，构成三个命题：？；？；？.(1)以上三个命题是真命题的为？，？，？;(直接作答)(2)请选择一个真命题进行证明.(先写出所选命题，然后证明)解：选择？.证明：AB=AC,./B=ZC.在4ABD和4ACE中,，AB=AC,BZB=ZC,、BD=CE,ABDAACE.AD=AE.1111 . .如图，AF平分/BAC,P是AF上任意一点，过P向AB、AC作垂线P

20、D、PE,D、E分别为垂足，连结DE.解：(1)证明：二.点P是AB,BC的垂直平分线的交点A A求证：AF垂直平分DE.证明：AF平分/BAC,PDAB,PEXAC,./BAF=/CAF,ZADP=ZAEP=90,DP=EP.ADPAAEP.AD=AE.点A、P在DE的垂直平分线上，即AF垂直平分DE.0303 综合题1212 . .如图，四边形ABCD中，AD/BC,E是CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F.(1)求证：CF=AD;(2)若AD=2,AB=8,当BC的长为多少时，点B在线段AF的垂直平分线上，为什么？BCF解：(1)证明：AD/BC, ./ADC=ZFCE. .E

21、是CD的中点，DE=CE.在ADE和FCE中， .ZADC=ZFCE,DE=CE,/AED=/FEC,ADEAFCE(ASA).CF=AD.(2)当BC=6时，点B在线段AF的垂直平分线上理由如下： AD=2,CF=AD,CF=2.BF=BC+CF=6+2=8.AB=BF.点B在AF的垂直平分线上.2.62.6 直角三角形第1课时直角三角形的性质0101 基础题知识点 1 1 直角三角形的两个锐角互余1.1.下列性质中，直角三角形具有而等腰三角形不一定具有的是（C）A.两边之和大于第三边B.有一个角的平分线垂直于这个角的对边C.有两个锐角的和等于90D,内角和等于1802 2 . .如图，AD

22、是RtAABC的斜边BC上的高，则图中与/B互余的角有（B）A.1个B.2个C.3个D.4个3 3 . .如图，RtABC中，ZACB=90,DE过点C,且DE/AB,若/ACD=50,则/B的度数是（B）A.50B,40C.30D,254 4 . .直角三角形两锐角的平分线相交得到的钝角为（B）A.150B,135C.120D,120或1355 5 . .如图所示，在4ABC中，ZA=60,BD,CE分别是AC,AB上的高，H是BD,CE的交点，求/BHC的度解：BD,CE分别是AC,AB上的高， ./ADB=/BEH=90. ./ABD=90-ZA=9060=30，/BHE=90/ABD=

23、60. ./BHC=180-ZBHE=120.知识点 2 2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半6 6 . .（北京中考）如图，公路AC,BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AM的长为1.2km,则M,C两点间的距离为（D）A.0.5kmB.0.6kmC.0.9kmD.1.2km7 7 . .在RtABC中，CD是斜边AB上的中线，则以下判断正确的是（D）一-1一A.CD=2ABB.CD=2AC1C.CD=?BCD.CD=AD=BD8 8 . .如图，在ABC中，ZB=ZC,AD是中线，E为AB的中点，AC=6,则DE=(B)A.2B.3C.4D.69 9 . .如图所示，P

24、AXOA,PBXOB,垂足分别是A和B,点D是OP的中点，则DA与DB的长度关系是相等.0202 中档题1010 . .如图，在RtAABC中，/B=90,ED是AC的垂直平分线，交AC于点D,交BC于点E,已知/BAE=30,则/C的度数为（C）A.50B.60C.30D.401111 . .如图，在RtAABC中，/ACB=90,/A=50,将其折叠，使点A落在边CB上的A处，折痕为CD,则/ADB=(D)A.40B,30C.20D,101212 . .如图，BE、CF分另1J是ABC的高，M为BC的中点，EF=5,BC=8,则EFM的周长是（D）习题解析A.21B.18C.15D.131

25、313 . .如图，在4MNP中，/MNP=45,H是4MNP的高MQ和高NR的交点.求证：HN=PM.QN证明：-MQPN,/MNP=45,.MQ=NQ./HMR+/MHR=/QNH+/QHN=90,ZMHR=ZQHN,./HMR=/QNH.在4MQP和4NQH中,ZMQP=ZNQH=90,MQ=NQ,ZHMR=ZQNH,MQPANQH(ASA).HN=PM.1414 . .(萧山区期中)如图，在4ABC中，点D在边AC上，BD=BA,点E是AD的中点，点F是BC的中点._1(1)求证：EF=BC;(2)过点C作CG/EF,交BE的延长线于G,求证：BCG是等腰三角形.CAR证明：(1)BD

26、=BA,E是AD的中点，BEXAD.EBC为直角三角形.F是BC的中点，EF是直角三角形斜边上的中线.1EF=2BC.(2)CG/EF,./G=ZFEB.1 EF=2BC=BF, ./FEB=ZCBE. ./G=ZCBE.GC=BC. .BCG是等腰三角形.0303 综合题15.15.如图所示，一根长2a的木棍（AB）,斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行.（1）请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由；（2）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，4AOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值.解：(1)不变.

27、理由：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，因为斜边AB不变，所以斜边上的中线OP不变.(2)当AOB的斜边上的高h等于中线OP时，4AOB的面积最大.理由：若h与OP不相等，则总有hOP,故根据三角形面积公式，当h与OP相等时，4AOB的面积最大.此时一112SAAOB一2AB力=2*22aa,所以AOB的最大面积为a2第2课时直角三角形的判定0101 基础题知识点有两个角互余的三角形是直角三角形1,1,已知/A=37,/B=53,则4ABC为（C）A.锐角三角形B,钝角三角形C.直角三角形D.以上都有可能2 2 . .（温州八中月考）在下列条彳/A+/B=/C;/A：/B：/C=2：

28、3：4;/A=90/B;/1=/B=2/C中，能确定ABC是直角二角形的条件有（C）A.1个B.2个C.3个D.4个3 3 . .把等边ABC的边AB延长一彳到点D,则4ADC是（D）A.等腰三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形4 4 . .如图，ABC中，CD是AB边上的高，若2/ACB=3/B=6/A,则/BCD=30.5 5 . .如图，点E是4ABC中AC边上的一点，过E作EDXAB,垂足为D.若/1=72,则4ABC是直角三角形吗?为什么？解：4ABC是直角三角形.理由如下：:EDXAB,./ADE=90.1+ZA=90.又:/1=72,.2+ZA=90.ABC是直角

29、三角形.6 6 . .如图，已知AB/CD,/BEF与/DFE的平分线相交于点解：是.理由：AB/CD,./BEF+ZDFE=180G,4EFG是直角三角形吗？请说明理由.又EG、FG为角平分线，11.ZFEG=-ZBEF,ZEFG=-ZDFE.22.ZFEG+ZEFG=90.EFG是直角三角形.0202 中档题7.7.如图，等腰RtOAB中，ZAOB=90,等腰RtAEOF中，ZEOF=90,连结(1)AE=BF;(2)AE1BF.证明：(1).点D为BC中点，AB=AC,1ADBC,ZBAD=-/BAC.2.ZADB=ZADC=90.ZBAD+ZB=90,ZADE+ZEDC=90又/B=Z

30、ADE,1ZEDC=ZBAD=-/BAC.2(2)AB=AC,AD=AE,ZB=ZADE,AE,BF.求证:证明：(1).OAB与EOF是等腰直角三角形，AO=BO,OE=OF,ZAOE=90-ZBOE=ZBOF.AAEOABFO.AE=BF.(2)延长AE交BF于D,交OB于C,则ZBCD=ZACO,由(1)知，ZOAC=ZOBF,./BCD+ZOBF=90.ZADB=90.8 8.如图，在等腰ABC与等腰ADE中，AB=AC,AD=AE,且/B=ZADE.(1)如图1,当点D为BC中点时，求证：ZEDC=；/BAC;(2)如图2,连结CE,当ECXBC时，求证：ABC为等腰直角三角形./B

31、AC=/DAE./BAC=/BAD+/DAC,/DAE=/DAC+/CAE,./BAD=ZCAE.AB=AC,在BAD和CAE中，/BAD=/CAE,lAD=AE,BADCAE(SAS). ./B=ZACE=ZACB. ECXBC, .ZACB=ZACE=45,/B=45.ABC为等腰直角三角形.9 9 . .如图所示，在4ABC中，/BAC=2/B,AB=2AC.求证：ABC是直角三角形.证明：彳线段AB的垂直平分线，垂足为D,且与BC相交于点E,连结AE. 1-AD=1AB=1X2AC=AC,EA=EB.22 ./B=ZEAD. /BAC=2ZB,/EAD+/EAC=/BAC, ./EAC

32、=ZEAD.在AEC和AED中， AE=AE,/EAC=/EAD,AC=AD,AECAAED. ./C=ZEDA=90.ABC是直角三角形.0303 综合题1010 . .已知：ABC中，/A=90,AB=AC,D为BC的中点.(1)如图，E,F分别是AB,AC上的点，且BE=AF,求证：DEF为等腰直角三角形；(2)若E,F分别为AB,CA延长线上的点， 仍有BE=AF,其他条件不变， 那么，DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论.A AfiI)C解：(1)证明：连结AD, .AB=AC,/BAC=90,D为BC的中点，ADBC,BD=AD. ./B=ZDAC=45.又BE=AF,BDE

33、AADF(SAS). .ED=FD,/BDE=/ADF. ./EDF=ZEDA+ZADF=/EDA+/BDE=/BDA=90.DEF为等腰直角三角形.(2)DEF仍为等腰直角三角形.证明：连结AD, .AB=AC,.ABC为等腰三角形. /BAC=90,D为BC的中点，AD=BD,ADBC. ./DAC=ZABD=45. ./DAF=ZDBE=135.又AF=BE,DAFADBE(SAS).FD=ED,/FDA=/EDB. EDF=ZEDB+/FDB=/FDA+/FDB=/ADB=90.DEF仍为等腰直角三角形.A.A.49B.B.25C.C.12D.D.1E.E.在4ABC中，ZC=90,/

34、A、/B、/C的对边分别是a、b、c.(1)若b=2,c=3,求a的值；(2)若a：c=3：5,b=32,求a、c的值.解：(1)a2+b2=c2,a=c2b2=,5.(2)设a=3x,c=5x,.a2+b2=c2,(3x)2+322=(5x)2.解得x=8.a=24,c=40.知识点 2 2 在数轴上表示无理数F.F.如图，长方形ABCD中，AB=3,AD=1,AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于点M,则点M表示的数为（C）A.2B.5-1C.VW-1D.5知识点 3 3 勾股定理的实际应用6.6.（杭州期中）如图是某地的长方形大理石广场示意图，如果小琴从A

35、角走到C角，至少走（B）A.90米B.100米2.72.7 探索勾股定理第1课时探索勾股定理0101 基础题知识点 1 1 勾股定理1 1. .在RtAABCA.18cmC.8cm2.2.在RtAABCA.18C.6ZA=90,a=13cm,b=5cm,则第三边c为(B)B.12cmD.6cm斜边长BC=3,AB2+AC2+BC2的值为(A)B.9D.无法计算3.3.（萧山区期中）我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边分别是a和b,那么ab的值为（C）C.1

36、20米D,140米D.13m8 8.如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”.他们仅仅少走了4步路（假设2步为1米），却踩伤了花草.9 9 .中华人民共和国道路交通安全法规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过70km/h.如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪的正前方30m处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m.这辆小汽车超速了吗？A A观SISI点解：这辆小汽车超速了.依题意得AB=50m,AC=30m,由勾股定理，得BC=、AB2AC2=寸502302=40（m）.小汽车速度为40妥=20（

37、m/s）=72（km/h）.,一小汽车在城市道路上行驶速度不得超过70km/h,0202 中档题1010 . .（丽水岭头中学月考）已知直角三角形的两条边的长为3和4,则第三条边的长为（D）A.5B.4C.7D.5 或用1111 . .（杭州期中）如图，ABC中，/C=90,AB的中垂线DE交AB于E,交BC于D,若AB=10,AC=6,则4ACD的周长为（B）A.16B.14C.20D.181212 . .将一根长24cm的筷子，置于底面直径为15cm,高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm,则h的取值范围是（D）7.7.如果梯子的底端离建筑物9m,那么A.10m

38、B.11m15m长的梯子可以到达建筑物的高度是（C）C.12mC C小汽车，这辆小汽车超速了.r60 米第6题图第8题图小汽车A.h8cmC.15cmhw16cmD.7cmb0,贝U(C)A.ZA=90B,/B=906 6 . .下列命题中，是假命题的是（C）A.在ABC中，若/B=/C+/A,则ABC是直角三角形B.在ABC中，若a2=（b+c）（b-c）,则ABC是直角三角形C.在ABC中，若/A：/B：/C=3：4：5,则4ABC是直角三角形D.在ABC中，若a：b：c=5：4：3,则4ABC是直角三角形7 7 . .如图，已知ABC中，AB=5cm,BC=12cm,AC=13cm,那么

39、AC边上的中线BD的长为万cm.8 8 . .如图，在4ABC中，以4ABC各边为边在ABC外作正方形，Si,S2,S3分别表示这三个正方形的面积，已知S1=81,S2=144,S3=225,则4ABC是直角三角形.9 9 . .已知：在ABC中，/A、/B、/C的对边分别是a、b、c,三边分别为下列长度，判断该三角形是不是直角三角形，并指出哪一个角是直角.（1）a=5,b=7,c=9;（2）a=2,b=小，c=币.解：（1）不是.（2）是，/C是直角.A.13,16,19B.17,21,23C.18,24,36D.12,35,374.4. 如图，每个小正方形的边长为1,A,B,C是小正方形的

40、顶点，则/ABC的度数为（C）C./C=90D./CW901010 . .如图，在4ABC中，CDXAB于点D,AC=4,BC=3,DB=9.5(1)求CD,AD的值；(2)判断ABC的形状，并说明理由.解：(1)CDXAB,.CDB,ACAD为直角三角形.在RtACDB中，CD2=CB2-BD2=144.12.CD=5.在RtACAD中，AD2=AC2CD2：.16-AD=y.(2) ABC为直角三角形.理由：=AD=W，BD=W，55.AB=AD+BD=5.AC2+BC2=42+32=25=52=AB2.根据勾股定理的逆定理，得ABC为直角三角形.0202 中档题1111 . .如图，AD

41、为ABC的中线，且AB=13,A.10B.11C.12D.131212 . .五根小木棒，其长度分别为7,15,20,24,25,现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是(C)13.13.如图，在单位正方形组成的网格图中标有段是(B)AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线等于(D)D)A.CD、EF、GHB.AB、EF、GHC.AB、CD、GHD.AB、CD、EF1414 . .已知两条线段的长为3cm和2cm,当第三条线段的长为433cm时，这三条线段能组成一个直角三角形.1515 . .(丽水岭头中学月考)如图所示的一块地，/ADC=90,AD=4m,CD=3m,

42、AB=13m,BC=12m,求这块地的面积.解：连结AC,./ADC=90,AD=4,CD=3,AC2=AD2+CD2=42+32=25.又AC0,.AC=5.又BC=12,AB=13,.AC2+BC2=52+122=169.又,AB2=169,.AC2+BC2=AB2./ACB=90.CCCCC2C/2S四边形ABCD=SAABC-SAADC=306=24(m).0303 综合题1616 . .(萧山区期中)如图，P是等边ABC内的一点，连结PA,PB,PC,以BP为边作/PBQ=60,且BP=BQ,连ZCQ.(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并说明理由.(2)若PA=3,PB=4,

43、PC=5,连结PQ,判断PQC的形状并说明理由.解：(1)AP=CQ.理由如下：.ZABP+ZCBP=60,ZCBQ+ZCBP=60,./ABP=/CBQ.在ABP和CBQ中，AB=CB,彳/ABP=/CBQ,、BP=BQ,ABPACBQ(SAS).AP=CQ.(2) PQC为直角三角形.理由如下: ./PBQ=60,且BQ=BP, .BPQ为等边三角形.PQ=PB=4.（1）知CQ=PA=4. ,PQ2+CQ2=PC2, .PQC为直角三角形.2.82.8 直角三角形全等的判定C.AC=DF,AB=DED./zB2.（萧山区期中）如图，ODAB于点D,B=ZE,BC=EFADHdzdCEF川

44、PAABC的三边长，且满足Vc2_a2_b2+|a-b|=0,则4ABC的形状为（C）B.直角三角形D.等边三角形已知等腰三角形的一个外角等于100,则它的顶角是（C）8.20D,不能确定已知ABC中，ZACB=120,CE平分/ACB,AD/EC,交BC的延长线于点D.求/BCE的度数；试找出图中的等边三角形，并说明理由.解：(1)ACB=120,CE平分/ACB,./BCE=-/ABC=60.2(2) ACD是等边三角形，理由：BCE=60,AD/EC,./BCE=ZD=60./ACB=120,/ACD=60.ACD是等边三角形.6.6.（杭州下城区校级期中）如图，4ABC中，AB=AC,

45、AE=BC,AC的垂直平分线交AB于E,D为垂足，连结EC.（1）若CE=12,求BC长；（2）求/ECD的度数.3 3 . .（丽水岭头中学月考）A.等腰三角形C.等腰直角三角形4 4 . .（杭州青春中学期中）A.80C.80或205.5.如图，(1)(2)解：（1）ED垂直平分AC,.AE=EC. ,AE=BC,BC=CE=12.AE=CE=BC, ./A=ZACE,/B=/CEB. .AB=AC, ./B=ZACB. ./BEC=ZA+ZECA=2/A,.设/A=x,则/BEC=ZB=ZACB=2x.5x=180,x=36. ./ECD=ZA=36.逆命题与逆定理“平行四边形是中心对称

46、图形”的逆命题为具有中心对称的图形是平行四边形.证明：AD是BC边的中线，1 BD=CD=2BC.AD=2BC,AD=BD=CD. ./1=/B,/2=/C.知识点 3 37.7.命题:知识点 4 48.8.如图,直角三角形的性质与判定将三角尺与直尺贴在一起,使三角尺的直角顶点C（/ACB=90）在直尺的一边上，若/2=60/1的度数等于（D）A.75C.45B.9.9.如图，在4ABC中，ZACB=90,/ABC=60,BD平分/ABC,P点是BD的中点，若AD=8,则CP的长为（C）A.3C.410.10.（萧山区期中）是真命题请你证明，B.3.5D.4.5命题“直角三角形斜边上的中线等于

47、斜边的一半”的逆命题是什么？是真命题还是假命题？若若是假命题请你举反例说明.解：逆命题：有一边的中线等于该边一半的三角形是直角三角形;为真命题；1已知：在ABC中，AD是BC边的中线，AD=BC.求证：ABC是直角三角形.60D. /1+Z2=ZB+ZC,即/BAC=ZB+ZC.2/BAC=/BAC+/B+/C=180,/BAC=90.ABC是直角三角形.知识点 5 5 勾股定理1111 . .直角三角形的斜边比一直角边长2cm,另一直角边长为6cm,则它的斜边长为(C)A.4cmB.8cmC.10cmD.12cm1212 . .（平阳县校级月考）如图，校园内有两棵树，相距8米，一棵树高AB=

48、13米，另一棵树高CD=7米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞及米.abc1313 . .（金华月考）已知，在4ABC中，AB=c,BC=a,AC=b,2c-b=12,求ABC的面积.345设a=3k,贝Ub=4k,c=5k. -2c-b=12,10k-4k=12.k=2.a=6,b=8,c=10.,62+82=102,. a2+b2=c2.ABC为直角三角形.1ABC的面积为：gx6X8=24.知识点 6 6 直角三角形全等的判定,AB=DE,BC=EF,求证：AD=CF.证明：./ACB=ZCFE=90, ./ACB=ZDFE=90.在RtAACB和RtADFE中,A

49、B=DE,BC=EF, RtAACBRtADFE(HL).AC=DF.-，AC-AF=DF-AF,即AD=CF.解：:3=c514.14.如图，/ACB=/CFE=900202 中档题1515 . .如图，D是直角ABC斜边BC上一点，AB=AD,记/CAD=%/ABC=3若“=10,则3的度数是（B）A.40题图1616 . .如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（D）1717 . .如图， 底面周长为12,高为8的圆柱体上有一

50、只小蚂蚁要从点A爬到点B,A.C.习题解析D、E是4ABC内的两点，AD平分/BAC,/EBC=/E=60.B.6cmD.12cm21.21.如图，在4ABC中，AB=15,BC=14,AC=13.求BC边上的高AD.A.72B.52C.80D.76A.10B.8C.5D.418.18.（下城区校级期中）如图，RtAABC第17题图中，AC=BC=4,第18题图点D,E分别是AB,AC的中点，在CD上找一点P,使PA+PE最小，则这个最小值是（A.2C.25B.D.19.19.（萧山区期中）如图，RtAABCAB于F,下列结论：/ACD=ZC）224中，/ACB=90,CD是斜边AB上的高，角平