2020-2021学年最新北京市海淀区七年级上期末模拟数学试题及答案解析

1、七年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）第110题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1. - 5的相反数是（）A- -B-C 5D-52. 10月18日上午9时，中国共产党第十九次全国代表大会在京开幕，网站PC端成为报道大会的主阵地.据统计，关键词“十九大”在1.3万个网站中产生数据174000条，其中174000用科学记数法表示为（）A. 17.4M05B. 1.74X1053 .下列各式中，不相等的是（）A. （3） 2和一32B. （ 3） 2和 324 .下列是一元一次方程的是（）2A. x-2x- 3=0 B. 2x+y= 55 .如图，下列结论正确的是（）工&

2、#171; 7* >口 T 0匕 1 cA .- 7A. c>a>bB. T；-o e6.下列等式变形正确的是（）3A.若3x= 5,贝U x=一三"B.若尚声:二 1,则 2x+3 （x-1） =1C.若 5x 6=2x+8,贝U 5x+2x= 8+6C. 17.4X04D, 1.74 X06C. (2) 3和23D. | 2|3和| 一23|C.1D. x+1 = 0C. |a|<|b|D. abo 0D.若 3 （x+1） 2x= 1,贝U 3x+3 2x= 17.下列结论正确的是（）A. - 3ab2和b2a是同类项B. 一丁不是单项式C. a比一a大

3、D. 2是方程2x+1 = 4的解8.将一副三角板按如图所示位置摆放，其中/a与/ B一定互余的是（A.9 .已知点A, B, C在同一条直线上，若线段AB= 3, BO2, AO 1,则下列判断正确的是（A.点A在线段BC上B .点B在线段AC上C.点C在线段AB上D.点A在线段CB的延长线上10 .由m个相同的正方体组成一个立体图形，下面的图形分别是从正面和上面看它得到的平面图形，则m能取到的最大值是（从H面看从上面看A. 6B. 5C. 4D. 3二、填空题（每小题2分，共16分）11 .计算：48 37'+53 35'=.12 .小何买了 4本笔记本，10支圆珠笔，设笔

4、记本的单价为 a元，圆珠笔的单价为b元则小何共花费 元.（用含a, b的代数式表示）13 .已知 |a2|+ （b+3） 2 = 0,贝U ba的值等于.14 .北京西站和北京南站是北京的两个铁路客运中心，如图，A, B, C分别表示天安门、北京西站、北京南站, 经测量，北京西站在天安门的南偏西 77°方向，北京南站在天安门的南偏西18°方向.则ZBACo15.若2是关于x的儿OB次方程2 （x 1） = ax的解，贝U a=16.规定图形表示运算a- b- c,图形表小运算x_ z y+w.4 57 6（直接写出答案）.17 .线段AB= 6,点C在直线AB上，BC= 4

5、,则AC的长度为18 .在某多媒体电子杂志的某一期上刊登了 “正方形雪花图案的形成”的演示案例：作一个正方形，设每边长为4a,将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为 a的小正方形，得到图形如图（2）所示，称为第一次变化，再对图（2）的每个边做相同的变化，得到图形如图（3）,称为第二次变化.如此连续作几次，便可得到一个绚丽多彩的雪花图案.如不断发展下去到第n次变化时，图形的面积是否会变化,（填写“会”或者“不会”），图形的周长为(11三、解答题（本题共54分，第19,20题每题6分，第21题4分，第2225题每题6分，第26, 27题每题7分）19 .计算:(1)(-夕 X (-8) + (-6)

6、;(2) T4+( -2)十(二)-|-9|. J20.解方程:(1) 3 (2x 1) = 15;21 .已知 3a 7b= - 3,求代数式 2 (2a+b 1) +5 (a 4b) 3b 的值.22 .作图题:如图，已知点A,点B,直线l及l上一点M.(1)连接MA,并在直线l上作出一点N,使得点N在点M的左边，且满足 MN=MA;(2)请在直线l上确定一点O,使点。到点A与点。到点B的距离之和最短，并写出画图的依据.(1) 23.几何计算：如图，已知/ AOB= 40° , zBOO3ZAOB, OD平分/ AOC,求/ COD的度数.解：因为/ BOO 3/ AOB, /

7、AO况 40所以/ BOO 0所以 / AOC=+=+因为OD平分/ AOC所以 / COD=五=° .24.如图1,线段AB= 10,点C, E, F在线段AB上.(1)如图2,当点E,点F是线段AC和线段BC的中点时，求线段EF的长；(2)当点E,点F是线段AB和线段BC的中点时，请你写出线段EF与线段AC之间的数量关 系并简要说明理由.4«AECF 3却 ««v .，AEC F R邸ACB者用图25 .先阅读，然后答题.阿基米德测皇冠的故事叙古拉国王艾希罗交给金匠一块黄金， 让他做一顶王冠.王冠做成后，国王拿在手里觉得有点 轻.他怀疑金匠掺了假，可

8、是金匠以脑袋担保说没有，并当面拿秤来称，结果与原来的金 块一样重.国王还是有些怀疑，可他又拿不出证据，于是把阿基米德叫来，要他来解决这 个难题.回家后，阿基米德闭门谢客，冥思苦想，但百思不得其解.一天，他的夫人逼他 洗澡.当他跳入池中时，水从池中溢了出来.阿基米德听到那哗哗哗的流水声，灵感一下 子冒了出来.他从池中跳出来，连衣服都没穿，就冲到街上，高喊着：“优勒加！优勒加！（意为发现了）夫人这回可真着急了，嘴里嘟嚷着“真疯了，真疯了 “，便随后追了 出去.街上的人不知发生了什么事，也都跟在后面追着看.原来，阿基米德由澡盆溢水找 到了解决王冠问题的办法：相同质量的相同物质泡在水里，溢出的水的体积

9、应该相同.如 果把王冠放到水了，溢出的水的体积应该与相同质量的金块的体积相同，否则王冠里肯定 掺有假.阿基为德跑到王宫后立即找来一盆水，又找来同样重量的一块黄金，一块白银， 分两次泡进盆里，白银溢出的水比黄金溢出的几乎要多一倍，然后他又把王冠和金块分别 泡进水盆里，王冠溢出的水比金块多，显然王冠的质量不等于金块的质量，王冠里肯定掺 了假.在铁的事实面前，金匠不得不低头承认，王冠里确实掺了白银.烦人的王冠之谜终 于解开了.小明受阿基米德测皇冠的故事的启发，想要做以下的一个探究：小明准备了一个长方体的无盖容器和 A, B两种型号的钢球若干.先往容器里加入一定量的水， 如图，水高度为30mm,水足以

10、淹没所有的钢球.探究一：小明做了两次实验，先放入 3个A型号钢球，水面的高度涨到36mm；把3个A型号钢球捞出，再放入2个B型号钢球，水面的高度恰好也涨到 36mm.由此可知A型号与B型号钢球的体积比为 ;探究二：小明把之前的钢球全部捞出，然后再放入 A型号与B型号钢球共10个后，水面高度涨到57mm,问放入水中的A型号与B型号钢球各几个？26 .对于任意四个有理数a, b, c, d,可以组成两个有理数对(a, b)与(c, d).我们规定:(a, b) ( c, d) = bc-ad.例如：(1, 2) (3, 4) =2刈1M = 2.根据上述规定解决下列问题：(1)有理数对(2, -

11、3) ( 3, - 2) =(2)若有理数对(-3, 2x-1)(，x+1) =7,则 x=(3)当满足等式(-3, 2x- 1) (k, x+k) =5+2k的x是整数时，求整数k的化27 .如图1,在数轴上A, B两点对应的数分别是 6, -6, /DC&90° C与O重合，D点在数轴的正半轴上)(1)如图1,若CF平分/ACE则/AO已(2)如图2,将/DCE沿数轴的正半轴向右平移t (0<t<3)个单位后，再绕点顶点C逆时针 旋转30t度，作CF平分/ ACE此时记/ DC已a.当t= 1时，a =；猜想/BCE和a的数量关系，并证明；(3)如图3,开始/

12、 DiCiEi与/ DCE重合，将/ DCE沿数轴的正半轴向右平移 t (0<t<3)个 单位，再绕点顶点C逆时针旋转30t度，作CF平分/ ACE此时记/ DC已与此同时， 将/ DiCiEi沿数轴的负半轴向左平移t (0<t<3)个单位，再绕点顶点。顺时针旋转30t度, 作CiFi平分/ ACEi,记/ DiGFi= B,若a与B满足|a- B| = 20°请直接写出t的值为.七年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）第110题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1. - 5的相反数是（）A 口B. -C. 5D. -

13、5【分析】依据相反数的定义求解即可.【解答】解：-5的相反数是5.故选：C.【点评】本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键.2. 10月18日上午9时，中国共产党第十九次全国代表大会在京开幕，网站PC端成为报道大会的主阵地.据统计，关键词“十九大”在1.3万个网站中产生数据174000条，其中174000 用科学记数法表示为（）A. 17.4M05B. 1.74X105C. 17.4X04D. 1.74 X06【分析】科学记数法的表示形式为 aM0n的形式，其中10|a|<10, n为整数.确定n的值时， 要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动

14、的位数相同.当原数 绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值< 1时，n是负数.【解答】解：174000用科学记数法表示为1.74M05,故选：B.【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aM0n的形式，其中10|a| <10, n为整数，表示时关键要正确确定 a的值以及n的值.3. 下列各式中，不相等的是（）A. （ 3）2和32B. （- 3）2和 32 C. （ 2）3和23D. | 2|3和| 一23|【分析】根据有理数的乘方、绝对值和负整数指数幕的知识点进行解答，即可判断.【解答】解：A、 （ 3） 2= 9, 32= 9,故（3） 2* 32;B

15、、 （ 3） 2 = 9, 32= 9,故（3） 2= 32;C、（ - 2） 3= - 8, - 23= - 8,则（-2） 3= - 23;D、 | 一2|3 = 23= 8, | 一23|=| 8| = 8,贝 U | 2|3= | - 23|.故选：A.【点评】此题确定底数是关键，要特别注意-32和（-3） 2的区别.4 .下列是一元一次方程的是（）2八ccfcA. x2- 2x- 3=0 B. 2x+y= 5C.0U= 1D. x+1 = 02 1次方程可一次【分析】根据只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1,这样的方程叫一元得答案.【解答】解：A、不是一元一次方程，故此选项错误

16、；B、不是一元一次方程，故此选项错误；C、不是一元一次方程，故此选项错误；D、是一元一次方程，故此选项正确；故选：D.【点评】此题主要考查了一元一次方程定义，关键是掌握一元指方程仅含有一个未知数, 指未知数的次数为1,且未知数的系数不为0.5 .如图，下列结论正确的是（）-woA. c>a>bB.C. |a|<|b|D. abo0【分析】A、根据数轴上的数右边的总比左边的大，可得结论；B、根据0<b<1<c,可得结论；C、根据数轴上数a表示的点离原点比较远，可得|a|> |b|;D、根据a<0, b>0, c>0,可得结论.【解答】解

17、：A、由数轴得：a<b<c,故选项A不正确；B、v 0<b<1<c,故选项B正确；C、由数轴得：间>|b|,故选项C不正确；D、v a<0, b>0, c>0,abc< 0,故选项D不正确;故选：B.【点评】本题考查了数轴的意义、绝对值的定义及有理数的乘法法则，熟练掌握数轴的有关性 质是关键.6.下列等式变形正确的是()A.若-3x= 5,贝 Ux=一1B.若亳产打,则2x+3 (x-1) =1C.若 5x- 6=2x+8,贝U 5x+2x= 8+6D.若 3 (x+1) 2x= 1,贝U 3x+3 2x= 1【分析】根据等式的基本性

18、质1:等式的两边都加上或者减去同一个数或同一个整式，所得结 果仍是等式；等式性质2:等式的两边都乘以或者除以同一个数(除数不为零)，所得结果 仍是等式，针对每一个选项进行判断即可解决.【解答】解：A、若-3x= 5,则x=-守，错误；B、若三二贝U 2x+3 (x1) =6,错误；C、若 5x 6 = 2x+8,贝U 5x 2x= 8+6, 错误；D、若 3 (x+1) - 2x= 1,则 3x+3- 2x= 1,正确；故选：D.【点评】此题主要考查了等式的性质，关键是熟练掌握等式的性质定理.7 .下列结论正确的是()A. - 3ab2和b2a是同类项B. 一丁不是单项式C. a比一a大D.

19、2是方程2x+1 = 4的解【分析】根据同类项、单项式、有理数的大小比较、一元一次方程的解逐个判断即可.【解答】解：A、- 3ab2和b2a是同类项，故本选项符合题意；B、二，是单项式，故本选项不符合题意；G当a=0时，a= - a,故本选项不符合题意；D、1.5是方程2x+1 = 4的解，2不是方程的解，故本选项不符合题意；故选：A.【点评】本题考查了同类项、单项式、有理数的大小比较、一元一次方程的解，能熟记知识点 的内容是解此题的关键.8 .将一副三角板按如图所示位置摆放，其中/a与/ B一定互余的是（）B.A.【分析】根据图形，结合互余的定义判断即可.【解答】解：A、/ a与/ B不互余

20、，故本选项错误；B、/8与/ B不互余，故本选项错误；G / a与/ B互余，故本选项正确；D、/ a与/ B不互余，/ a和/ B互补，故本选项错误；故选：C.【点评】本题考查了对余角和补角的应用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力.9 .已知点A, B, C在同一条直线上，若线段AB= 3, BO2, AO 1,则下列判断正确的是（A.点A在线段BC上B .点B在线段AC上C.点C在线段AB上D.点A在线段CB的延长线上【分析】依据点A, B, C在同一条直线上，线段 AB= 3, BO 2, AO 1,即可得到点C在线段AB上.【解答】解：如图，;点 A, B, C在同一条直线上，线

21、段 AB= 3, BO2, AC= 1,点A在线段BC的延长线上，故A错误；点B在线段AC延长线上，故B错误；点C在线段AB上，故C正确；点A在线段CB的反向延长线上，故D错误；故选：C. ACB【点评】本题主要考查了两点间的距离，解决问题的关键是判段点C的位置在线段AB上.10 .由m个相同的正方体组成一个立体图形，下面的图形分别是从正面和上面看它得到的平面图形，则m能取到的最大值是（）从正面看从上面百A. 6B. 5C. 4D. 3【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数.【解答】解：由题中所给出的主视图知物体共两列

22、，且左侧一列高一层，右侧一列最高两层；由俯视图可知左侧一行，右侧两行，于是，可确定左侧只有一个小正方体，而右侧可能是一行 单层一行两层，出可能两行都是两层.所以图中的小正方体最少4块，最多5块.故选：B.【点评】本题主要考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查.如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得 到答案.二、填空题（每小题2分，共16分）11 .计算：48 37'+53 35'=10212'.【分析】1度=60分，即1。毛0' , 1分=60秒，即1' =60，依据度分秒的换算即可得到结

23、果.【解答】解：48 37'+53 35'= 10172'= 102 12',故答案为：10212'.【点评】本题主要考查了度分秒的换算，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方 法.12 .小何买了 4本笔记本，10支圆珠笔，设笔记本的单价为 a元，圆珠笔的单价为b元则小 何共花费(4a+10b) 元.(用含a, b的代数式表示)【分析】根据单价x数量=总费用进行解答.【解答】解：依题意得：4a+10b；故答案是：(4a+10b).【点评】本题考查列代数式.解题的关键是读懂题意，找到题目相关条件间的数量关系.13 .已知 |a2|+ (b+3)

24、2 = 0,贝U ba的值等于 9 .【分析】本题可根据非负数的性质“两个非负数相加，和为 0,这两个非负数的值都为0"解 出a、b的值，再代入原式中即可.【解答】解：依题意得：a-2 = 0, b+3= 0,a= 2, b= - 3. .ba= ( - 3) 2=9.【点评】本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：(1)绝对值；(2)偶次方；(3)二次根式(算术平方根).当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于 0.根据这个结论可以求解这类题目.14.北京西站和北京南站是北京的两个铁路客运中心，如图，A, B, C分别表示天安门、北京西站、北京南站，经测量，北京西

25、站在天安门的南偏西 77方向，北京南站在天安门的南偏西18°方向.则ZBAC59【分析】根据题意可得/ CAS= 18。，JBAS77° ,然后利用角的和差关系可得答案.【解答】解：/ BAO770 480 69° ,故答案为：59.【点评】此题主要考查了方向角，方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于900的15.若2是关于x的次方程2 (x 1) = ax的解，则a= 1【分析】根据次方程的解的定义列出方程，解方程即可.【解答】解：: 2是关于x的次方程2 (x-1) = ax的解,. 2a= 2,解得，a= 1,故答案为：1.【点评】本题考查的是方程的

26、解的定义，使次方程左右两边相等的未知数的值叫做次方程的解.16.规定图形表示运算a- b- c,图形表示运算 x- z-y+w.贝I/1?一8 (直接写出答案).【分析】原式利用已知的新定义计算即可求出值.【解答】解：根据题中的新定义得：原式=(1-2-3)+(4- 6-7+5)=-4-4= -8,故答案为：-8【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.17 .线段AB= 6,点C在直线AB上，BC= 4,则AC的长度为 2或10 .【分析】分类讨论：C在线段AB上，C在线段AB的延长线上，根据线段的和差，可得答案.【解答】解：当C在线段AB上时，AC= 1B- BO

27、6-4 = 2;当C在线段AB的延长线上时，AOAB+BC= 10.综上所述：AC的长度为2或10.故选：2或10.【点评】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差是解题关键，要分类讨论，以防遗漏.18 .在某多媒体电子杂志的某一期上刊登了 “正方形雪花图案的形成”的演示案例：作一个正方形，设每边长为4a,将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为 a的小正方形，得到图形如图（2）所示，称为第一次变化，再对图（2）的每个边做相同的变化，得到图形如图（3）,称为第二次变化.如此连续作几次，便可得到一个绚丽多彩的雪花图案.如不断发展下去到第n次变化时，图形的面积是否会变化,不会 （填写“会”或者“不会”）

28、，图形【分析】观察图形，发现对正方形每进行 1次分形，周长增加1倍；每增加一个小正方形同时又减少一个相同的小正方形，即面积不变.【解答】解：周长依次为16a, 32a, 64a, 128a,2n+4a,即无限增加, 所以不断发展下去到第n次变化时，图形的周长为2n+4a；图形进行分形时，每增加一个小正方形同时又减少一个相同的小正方形，即面积不变，是一个 定值16a2.故答案为：不会、2n+4a.【点评】此题考查了图形的变化类，主要培养学生的观察能力和概括能力，观察出后一个图形 的周长比它的前一个增加1倍是解题的关键，本题有一定难度.三、解答题(本题共54分，第19, 20题每题6分，第21题4

29、分，第2225题每题6分，第26, 27题每题7分)19 .计算：(1) (-y) X (-8) + (-6) 2;(2) -14+ (-2)(4)-1-1.【分析】(1)根据有理数的乘法和加法可以解答本题；(2)根据幕的乘方、有理数的除法和减法可以解答本题.,2【解答】解：(1) (-一)X (-8) + (-6) 2= 4+36= 40;(2) - 14+ (-2)IJ1 1+2 >3-9 =1+6 9 =4.【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法.20.解方程:(1) 3 (2x 1) = 15;【分析】(1)根据一元一次方程的解法，去括号，

30、移项，合并同类项，系数化为1即可;(2)这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，合并同类项，系数化为1,从而得到方程的解.【解答】解：(1)去括号得，6x- 3=15,移项得，6x= 15+3,合并同类项得，6x= 18,系数化为1得，x= 3;(2)去分母得，2 (x-7) -3 (1+x) =6,去括号得，2x- 14-3-3x = 6,移项得，2x - 3x = 6+14+3,合并同类项得，-x=23,系数化为1得，x= - 23.【点评】本题主要考查了解一元一次方程，注意在去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍 数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子(如果是一个多项

31、式)作为一个整体加上括 号.21 .已知 3a 7b= - 3,求代数式 2 (2a+b- 1) +5 (a 4b) 3b 的值.【分析】根据整式的运算法则即可求出答案.【解答】解：当3a 7b= - 3时，原式=4a+2b- 2+5a- 20b- 3b= 9a-21b- 2=3 (3a- 7b) - 2=-9 - 2=T1【点评】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题 型.22 .作图题:如图，已知点A,点B,直线l及l上一点M.(1)连接MA,并在直线l上作出一点N,使得点N在点M的左边，且满足 MN=MA;(2)请在直线l上确定一点O,使点。到点A与点

32、。到点B的距离之和最短，并写出画图的 依据.(1) 【分析】(1)连接AM,以M为圆心，MA为半径画弧交直线l于N,点N即为所求;(2)连接AB交直线l于点。，点。即为所求；【解答】解：(1)作图如图1所示:(2)作图如图2所示：作图依据是：两点之间线段最短. -V(1)【点评】本题考查作图-复杂作图，两点之间线段最短等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.23.几何计算:如图，已知/ AOB= 40° , zBOO3ZAOB, OD平分/ AOC,求/ COD的度数.解：因为/ BOO 3/AOB, /AOB= 40°所以/ BOO 120所以 /AOO

33、/AOB + /BOC = 40 + 120 ° =160因为OD平分/ AOC所以/ COA二 /AOC = 80【分析】先求出/ BOC的度数，再求出/ AOC的度数，根据角平分线定义求出即可.【解答】解：BOO 3/AOB, /AOB= 40° , /BOO 120° , /AOO /AOB+Z BOO 40 +120° 460° ,. OD平分/ AOC丁. / COD=f-Z AOOyX 1600故答案为：120, /AOB, / BOC 40, 120, 160, / AOC 80.【点评】本题考查了角平分线定义和角的有关计算，能求

34、出/AOC的度数和得出/ CO&4AOC是解此题的关键.24 .如图1,线段AB= 10,点C, E, F在线段AB上.(1)如图2,当点E,点F是线段AC和线段BC的中点时，求线段EF的长;(2)当点E,点F是线段AB和线段BC的中点时，请你写出线段EF与线段AC之间的数量关系并简要说明理由.999 一月EC F R图2e4«AC B备用图【分析】(1)根据线段的中点得出AE= CE=-AC, C已FB=CB,求出 EF=AB,代入求出即可;(2)根据线段的中点得出AE= CE=AC, CF= F况,CB,即可求出EF-；-AC.【解答】解：(1)二.当点E、点F是线段AC

35、和线段BC的中点,AE= CE= :-AC, CF= FB= CB,. AB= 10,EF= CE+CF二-AC+%B=(AC+CB = AB=) X10=5;1«*4(2)如图：E已VAC, AE C F B理由是：二.当点E、点F是线段AB和线段BC的中点,AE= EB= f7AB, CF= FB= ' CB, .EF= EB- FB= -jrAB-±CB=, (AB- CB)=,AC.AE= EB=【点评】本题考查了求两点之间的距离和线段的中点，能根据线段的中点定义得出7TAB和CF= FB= /"CB是解此题的关键.25 .先阅读，然后答题.阿基米

36、德测皇冠的故事叙古拉国王艾希罗交给金匠一块黄金， 让他做一顶王冠.王冠做成后，国王拿在手里觉得有点 轻.他怀疑金匠掺了假，可是金匠以脑袋担保说没有，并当面拿秤来称，结果与原来的金 块一样重.国王还是有些怀疑，可他又拿不出证据，于是把阿基米德叫来，要他来解决这 个难题.回家后，阿基米德闭门谢客，冥思苦想，但百思不得其解.一天，他的夫人逼他 洗澡.当他跳入池中时，水从池中溢了出来.阿基米德听到那哗哗哗的流水声，灵感一下 子冒了出来.他从池中跳出来，连衣服都没穿，就冲到街上，高喊着：“优勒加！优勒加！（意为发现了）夫人这回可真着急了，嘴里嘟嚷着“真疯了，真疯了 “，便随后追了 出去.街上的人不知发生

37、了什么事，也都跟在后面追着看.原来，阿基米德由澡盆溢水找 到了解决王冠问题的办法：相同质量的相同物质泡在水里，溢出的水的体积应该相同.如 果把王冠放到水了，溢出的水的体积应该与相同质量的金块的体积相同，否则王冠里肯定 掺有假.阿基为德跑到王宫后立即找来一盆水，又找来同样重量的一块黄金，一块白银， 分两次泡进盆里，白银溢出的水比黄金溢出的几乎要多一倍，然后他又把王冠和金块分别 泡进水盆里，王冠溢出的水比金块多，显然王冠的质量不等于金块的质量，王冠里肯定掺 了假.在铁的事实面前，金匠不得不低头承认，王冠里确实掺了白银.烦人的王冠之谜终 于解开了.小明受阿基米德测皇冠的故事的启发，想要做以下的一个探

38、究：小明准备了一个长方体的无盖容器和 A, B两种型号的钢球若干.先往容器里加入一定量的水， 如图，水高度为30mm,水足以淹没所有的钢球.探究一：小明做了两次实验，先放入 3个A型号钢球，水面的高度涨到36mm；把3个A型号 钢球捞出，再放入2个B型号钢球，水面的高度恰好也涨到 36mm.由此可知A型号与B型号钢球的体积比为 2: 3 ;探究二：小明把之前的钢球全部捞出，然后再放入 A型号与B型号钢球共10个后，水面高度涨至ij 57mm,问放入水中的A型号与B型号钢球各几个?30催请【分析】探究一：依据3个A型号钢球与2个B型号钢球的体积相等，即可得到 A型号与B型号钢球的体积比为2： 3

39、;探究二：设放入水中的A型号钢球为x个，则B型号钢球为(10-x)个，则由放入 A型号与B型号钢球共10个后，水面高度涨到57mm,可得方程，进而得出结论.【解答】解：探究一：由题可得，3个A型号钢球与2个B型号钢球的体积相等,. A型号与B型号钢球的体积比为2: 3;故答案为：2: 3;探究二：每个A型号钢球使得水面上升 (36- 30) =2 mm, R-J每个B型号钢球使得水面上升-(36- 30) =3mm,设放入水中的A型号钢球为x个，则B型号钢球为(10-x)个，则由题意列方程:2x+3 (10-x) =57-30,解得：x= 3,所以 10-x=7,答：放入水中的A型号钢球3个，

40、B型号钢球7个.【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，解决问题的关键是依据等量关系列方程求解.26 .对于任意四个有理数a, b, c, d,可以组成两个有理数对(a, b)与(c, d).我们规定:(a, b) ( c, d) = bc-ad.例如：(1, 2) (3, 4) =2刈1M = 2.根据上述规定解决下列问题：(1)有理数对(2, - 3) ( 3, - 2) =- 5 ;(2)若有理数对(-3, 2x-1)(，x+1) =7,则 x= 1 :(3)当满足等式(-3, 2x- 1) (k, x+k) =5+2k的x是整数时，求整数k的值.【分析】(1)原式利用题中的新定义计算即可求出值；(2)原式利用题中的新定义计算即可求出 x的值；(3)原式利用题中的新定义计算，求出整数 k的值即可.【解答】解：(1)根据题意得：原式=-9+4= - 5;故答案为：-5;(2)根据题意化简得：2x- 1+3x+3= 7,移项合并得：5x = 5,解得：x= 1;故答案为：1;(3)二.等式(3, 2x - 1) (k, x+k) =5+2k 的 x 是整数,(2x- 1) k- (3) (x+k) =5+2k,（2k+3） x=5,x-"+3，.k