常微分方程与级数

1、实验6 微分方程与级数实验目的：1. 学习 Matlab 求解微分方程命令dsolve；2. 学习 Matlab Taylor 级数展开命令；3. 巩固幂级数的收敛半径、和等概念。l学习 Matlab 命令l求解一阶微分方程l求解二阶微分方程lTaylor 展开式l级数求和实验内容：1. 学习Matlab命令Matlab求解微分方程命令 dsolve 调用格式：dsolve(微分方程) 给出微分方程解析解，表示为的函数；dsolve(微分方程,初始条件) 给出微分方程初值问题的解析解，表示为的函数；dsolve(微分方程,变量 x) 给出微分方程的解析解，表示为 x 的函数；dsolve(微分

2、方程,初始条件,变量 x) 给出微分方程初值问题的解析解，表示为x的函数；求函数的Taylor 展开式 taylor 命令，调用格式：taylor(f(x) f(x) 的5次 Taylor 多项式；taylor(f(x),n) f(x)的n-1次Taylor多项式；taylor(f(x),a) f(x)在 a 点的Taylor多项式。求级数和命令 symsum，调用格式：symsum(S,n) symsum(S,k,m,n) nS nmkS2. 求解一阶微分方程微分方程在输入时，y应输入Dy，y”应输入D2y，D应大写。例1symssyms x; x;dsolve(Dy+2dsolve(Dy+

3、2* *x x* *y=xy=x* *e(-x2)e(-x2) 在 Command Window中键入：22xxexydxdy 求下面微分方程的通解ans = 1/2*e(-x2)+exp(-2*x*t)*C112221Ceeyxtx 系统默认的自变量是 t，把 x 当作常数，把 y 当作 t 的函数求解。若输入命令：symssyms x; x; dsolve(Dy+2*x*y=x*e(-x2),x)ans = -1/2/(-1+log(e)*exp(-x2*log(e)+exp(-x2)*C1例2下的特解；下的特解；在初始条件在初始条件求微分方程求微分方程eyeyyxxx201 dsolve

4、(x*Dy+y-exp(x),y(1)=2*exp(1),x) 在 Command Window中键入：ans = 1/x*exp(x)+1/x*exp(1) 例3下的特解；下的特解；条件条件在初始在初始求微分方程求微分方程10cos2)1(02 xyxxydxdyxdsolve(x2-1)*Dy+2*x*y-cos(x)=0, y(0)=1, x) 在 Command Window中键入： ans = (sin(x)-1)/(x2-1)3 求解二阶微分方程例4的通解；的通解；求微分方程求微分方程03 xeyy dsolve(D2y+3*Dy+exp(x)=0,x) 在 Command Win

5、dow中键入： ans = -1/4*exp(x)+C1+C2*exp(-3*x)例5的通解；的通解；求微分方程求微分方程02 yeyy dsolve(D2y-exp(2*y)*Dy=0,x) 在 Command Window中键入：ans = 1/2*log(-2*C1/(-1+exp(2*x*C1+2*C2*C1)+x*C1+C2*C1 C2展开式；展开式；阶阶处的处的展开式及在展开式及在阶阶点处的点处的在在求函数求函数TaylorxTaylorxxy6650cos syms x;taylor(cos(x)4 Taylor展开式例6ans = 1-1/2*x2+1/24*x4 syms x

6、;taylor(cos(x),pi/3,7)ans = 1/2-1/2*3(1/2)*(x-1/3*pi)-1/4*(x-1/3*pi)2+1/12*3(1/2)*(x-1/3*pi)3+1/48*(x-1/3*pi)4-1/240*3(1/2)*(x-1/3*pi)5-1/1440*(x-1/3*pi)6 5 级数求和；求求 121nn例7 syms n; symsum(1/2n,1,inf)ans = 1syms n;symsum(sin(pi/(n*(n+1),1,inf)例8的敛散性；的敛散性；判别级数判别级数 1)1(sinnnn ans = sum(sin(pi/n/(n+1),pi = 1 . inf)由结果看，其中仍含有sum，说明matlab不能求其和，可采用其它判别法。取比较级数为 p 级数 121nnp 级数收敛，故原级数收敛。limit(sin(pi/(n*(n+1)/(1/n2),n,inf)取二者通项比值的极限ans = pisyms n;limit(n+1)*(3/4)(n+1)/(n*(3/4)n),n,inf)例9的敛散性；的敛散性；判别级数判别级数 1)43(nnnans =3/4用比值判别法，求极限nnnn