导数压轴题题型(学生版)

1、导数压轴题题型【2016高考山东理数】(本小题满分13分)已知 f(x) ax ln x 2x2 1, a R. x(I)讨论f(x)的单调性；(II)当a 1时，证明f(x)>fx 3对于任意的x 1,2成立.21. 高考命题回顾例 1.已知函数 f(x)ae2x+(a - 2) ex x.1)讨论 f (x) 的单调性；2)f (x) 有两个零点，求a 的取值范围.2例 2.( 21)(本小题满分12 分)已知函数f x x 2 ex a x 1 有两个零点(I)求a的取值范围;(II)设xi,x2是f x的两个零点，证明：x1x22.例3.(本小题满分12分)31已知函数 f (x

2、) =x ax ，g(x) In x4(I)当a为何值时，x轴为曲线y f(x)的切线;(n )用 minm,n 表示 m,n 中的最小值，设函数 h(x) min f (x), g(x) (x 0),讨论h (x)零点的个数例4.(本小题满分13分)已知常数a 0,函数f(x) ln(1 ax)2xx 2(I )讨论f (x)在区间(0,)上的单调性；(n )若f (x)存在两个极值点 ox2,且f(xj fj) 0,求a的取值范围例 5 已知函数 f(x) = ex ln(x+ m).(1)设x=0是f(x)的极值点，求 m ,并讨论f(x)的单调性;(2)当 m<2 时，证明 f(

3、x)>0.例6 已知函数 f(x)满足 f(x) f'(1)ex1 f(0)x 1x22(1)求f(x)的解析式及单调区间；1 2(2)若 f(x) -x ax b,求(a 1)b 的最大值。a In x b例7已知函数f(x) -,曲线y f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为x 1 xx 2y 3 0。(i )求a、b的值；In x k(n)如果当x 0,且x 1时，f(x) ，求k的取值范围。x 1 x例 8 已知函数 f(x) = (x3+3x2+ax+b)e x若a=b=3，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(8, & ),(2,单噂增加，在(&

4、 ,2),(西碉减少，证明3-6.2.在解题中常用的有关结论X 曲线y f (x)在x xo处的切线的斜率等于 f (xo),且切线方程为y f (xo)(x x。) f(x。)。(2)若可导函数y f (x)在x xo处取得极值，则f (xo) 0。反之，不成立。对于可导函数f(x)，不等式f (x) 0(。的解集决定函数 f (x)的递增(减)区间。(4)函数f(x)在区间I上递增(减)的充要条件是:x I f (x) 0( 0)恒成立(f (x) 不恒为0).函数f (x)(非常量函数)在区间I上不单调等价于f (x)在区间I上有极值，则可等 价转化为方程f (x) 0在区间I上有实根且

5、为非二重根。(若 f (x)为二次函数且 I=R,则有0)。(6) f (x)在区间I上无极值等价于 f (x)在区间在上是单调函数，进而彳#到f (x) 0或 f (x) 0在I上恒成立若 x I, f (x)0恒成立，则f (x)min 0；若x I , f(x)0恒成立，则f ( x) max 0(8)x。If(x0) 0 f (x)max 0x0 If(x0) 0,则f(x)min 0.(9)设f (x)与g(x)的定义域的交集为 D,若 x D f(x) g(x) 恒成立，则有0.f(X)g min(10)若对XiI1、X2 I2 , f(Xl)g(X2)恒成立，则 f (X)min

6、g(x)max .若对XiIi ,X2I2,使得 f(Xi)g(X2)，则 f(X)min g(X)min .若对XiIi ,X2I2,使得 f (Xi)g(X2),则 f (X)maX g(X)maX.(11)已知f (X)在区间I1上的值域为A, g(X)在区间I2上值域为B,若对X1I1,X212 ,使得 f (Xi) = g(X2)成立，则 A B。(13)证题中常用的不等式： In x x 1 (x 0)Xe 1 x® In x x 1 /(x 1)x 12x x?1Vn(x+1 x (x 1)Xe 1 xD 1nx1X222x2 (x0)(12)若三次函数f(X)有三个零

7、点，则方程 f (X) 0有两个不等实根 X、X2,且极大值 大于0,极小值小于 0.3.题型归纳导数切线、定义、单调性、极值、最值、的直接应用(构造函数，最值定位)(分类讨论，区间划分)(极值比较)(零点存在性定理应用) (二阶导转换)1 a 例2(最值问题，两边分求)已知函数f(x) lnx ax 1 (a R).x1 一、当aw 一时，讨论f(x)的单调性； 2一.2_.1 .设g(x) x 2bx 4.当a 一时，右对任意x (0,2),存在x?1,2 ,使4f (x1)> g(x2),求实数b取值范围.交点与根的分布3_2_ _一一例3 （切线交点）已知函数f x ax bx

8、3x a,b R在点1,f 1处的切线方程 为 y 2 0.求函数f x的解析式；若对于区间2,2上任意两个自变量的值 x1，x2都有f x1f x2c,求实数c的最小值；若过点M 2, m m 2可作曲线y f x的三条切线，求实数 m的取值范围.,3 2f(x) ln(2 3x) x例4 (综合应用)已知函数2求f(x)在0,1上的极值;1 1 一一一x 一,一,不等式 |a lnx| ln f (x) 3x 0若对任意6 3成立，求实数a的取值范围；若关于x的方程f(x) 2x b在0, 1上恰有两个不同的实根，求实数 b的取值 范围.不等式证明例5 (变形构造法)已知函数(x)x 1

9、, a为正常数.9若f(x) 1nx (x),且a 2 ,求函数W刈的单调增区间；在中当a 0时，函数y f (x)的图象上任意不同的两点Ax1，y1 , Bx2,y2 ,线段AB的中点为C(x0，y0),记直线AB的斜率为k,试证明：k f(沏).g(x2) g 若 g(x) 11nxi(x),且对任意的 x1，x20，2 , x1 x2,都有x2 x1求a的取值范围.2例6 (高次处理证明不等式、取对数技巧)已知函数f(x) x ln(ax)(a 0).(1)若f'(x) x2对任意的x 0恒成立，求实数a的取值范围；、 f(x)/1g(x)xi，x2(- ,1), xi x2(2

10、)当al时，设函数x ，若ex1x2 (x1 x2)4例7 (绝对值处理)已知函数f(x) x3 ax2 bx c的图象经过坐标原点，且在x 1处取 得极大值.(I)求实数a的取值范围；(2a 3)2(II)右万程f(x) 恰好有两个不同的根，求 f(x)的解析式；9(III)对于(II)中的函数 f(x),对任意 、 R,求证：|f(2sin ) f(2sin )| 81.例8 (等价变形) 已知函数f (x) ax 1 ln x (a R).(I )讨论函数f (x)在定义域内的极值点的个数；(n )若函数f(x)在x 1处取得极值，对x (0,),f(x) bx 2恒成立,求实数b的取值

11、范围；(出)当0 x y e2且x e时，试比较与1 1n y的大小.x 1 1n x例9 (前后问联系法证明不等式)12f(x) 1nx,g(x) -x 已知27, mx 一(m 0)2 ，直线1与函数f(x),g(x)的图像都相切，且与函数f(x)的图像的切点的横坐标为 1。(I)求直线1的方程及m的值；(II)若h(x) f(x 1) g'(x)(其中g'(x)是g(x)的导函数)，求函数h(x)的最 大值。b af(a b) f(2a) ba(III)当0 b a时，求证：2a例10 (整体把握，贯穿全题)已知函数f 叱 1. x(1)试判断函数f(x)的单调性；(2)

12、设m 0,求f (x)在m,2m上的最大值；(3)试证明：对任意n N* ,不等式ln(L)e 5都成立(其中e是自然对数的底数) n n111 n2(出)证明：± 1-_n_ .a1a2ann 1例11 (数学归纳法)已知函数f(x)ln(x 1) mx ,当x 0时，函数f(x)取得极大值(1)求实数m的值;(2)已知结论：若函数f (x) ln(x 1) mx在区间(a,b)内导数都存在，且a 1 , 则存在x0 (a,b),使得f (x0)f (b) f (a) .试用这个结论证明：若b a1 x1 x2 ,函数 g(x)f (x1)一f (x2) (x xj f (x1),

13、则对任意x1 x2x (x1, x2),都有 f(x) g(x);(3)已知正数1, 2,L , n,满足12 L n 1 ,求证：当n 2, n N时，对任意大于 1 ,且互不相等的实数x1,x2,L ,xn ,都有f( 182x2 Lnxn)1f(x1)2f(x2) L nf(xn).恒成立、存在性问题求参数范围例12 (分离变量)已知函数f (x) x a1nx (a为实常数).(1)若a 2,求证：函数f(x)在(1,+ 8)上是增函数；(2)求函数f(x)在1,e上的最小值及相应的 x值；若存在x 1，e,使得f(x) (a 2)x成立，求实数a的取值范围例13 (先猜后证技巧)已知

14、函数f (x)1 1 n(x 1)x(I )求函数f (x)的定义域(n )确定函数f (x)在定义域上的单调性，并证明你的结论心 一，k(出)右x>0时f (x) 恒成立，求正整数k的最大值.x 1例14(创新题型)设函数f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x) g(x).(I )若x=0是F(x)的极值点，求a的值；(n )当 a=1 时，设 P(xi,f(xi), Q(x2, g(x 2)(xi>0,X2>0),且 PQ/x 轴，求 P、Q 两点间的最短 距离；(出)若*川日,函数y=F(x)的图象恒在y=F( x)的图象上方，求实数a的取值范围.2

15、例15(图像分析，综合应用)已知函数g(x) ax2ax 1 b(a 0，b 1) ，在区间2, 3f(x)幽上有最大值4,最小值1,设x .(I )求a，b的值;(n)不等式 f(2x) k 2x0在x 11上恒成立，求实数k的范围;求实数k的范围.皿方程f(12x11) k(3)0有三个不同的实数解,导数与数列 例16 (创新型问题) 设函数f(x) (x a)2(x b)ex, a、b R, x a是f(x)的一个 极大值点 若 a 0，求b 的取值范围；当a是给定的实常数，设 xn x2, x3是f(x)的3个极值点，问是否存在实数 b ,可 找 到x4R ， 使 得x1，x2，x3，

16、x4的 某 种 排 列xi1 , xi2 , xi3 , xi4( 其 中八i2,i3,i4= 1,2,3,4)依次成等差数列？若存在，求所有的b及相应的人；若不存在，说明理由导数与曲线新题型1例17 (形数转换)已知函数f (x) ln x , g(x) -ax2 bx (a 0).若a 2,函数h(x) f(x) g(x)在其定义域是增函数，求b的取值范围；在的结论下，设函数(x)=e 2x+bex,x C 0,ln2, 求函数 (x)的最小值；(3)设函数f(x)的图象Ci与函数g(x)的图象C2交于点P、Q,过线段PQ的中点R作x 轴的垂线分别交 Ci、Q于点M、N，问是否存在点 R使

17、Ci在M处的切线与C2在N 处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由.(0x2).例18 (全综合应用)已知函数f(x) 1 ln(1)是否存在点M(a,b),使得函数y f(x)的图像上任意一点 P关于点M对称的点Q也在函数yf(x)的图像上 *存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；2n 1(2)定义Sn12f(-) f ,2n1. .* 一f ()淇中 n N ,求 S2013 ；n(3)在(2)的条件下，令Sn1 2an，若不等式a 一m2(an)1对 n N且n 2恒成立，求实数m的取值范围. 导数与三角函数综合2例 19(换元替代，消除三角)设函数 f (x) x(x a) ( x R )，其中a R (i)当a 1时，求曲线y f(x)在点(2, f(2)处的切线方程；(n )当a 。时，求函数f(x)的极大值和极小值；(出)当a 3, k 1 0时，若不等式f(k 8sxp f(k2 cos' x)对任意的 x R 恒成立 ,