(word完整版)第08讲非负数-初二奥数教材

1、第八讲非负数所谓非负数，是指零和正实数.非负数的性质在解题中颇有用处.常 见的非负数有三种：实数的偶次幕、实数的绝对值和算术根.1 .实数的偶次幕是非负数若a是任意实数，则a2n>0(n为正整数)，特别地，当n=1时，有a2 >0.2 .实数的绝对值是非负数若a是实数，则L当时；I a I 当a = 0时壬 a,当3<0时.性质 绝对值最小的实数是零.'3 . 一个正实数的算术根是非负数性质疆实效1则，亚=I al4 .非负数的其他性质(1)数轴上，原点和原点右边的点表示的数都是非负数.(2)有限个非 负数的和仍为非负数，即若a?,an为非负数,则ai+a?+ an&

2、gt;0.(3)有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零，即若a,a2, a为非负数，且 a+a=0,则必有ai=a2 = = an=0.在利用非负数解决问题的过程中，这条性质使用的最多.(4)非负数的积和商(除数不为零)仍为非负数.(5)最小非负数为零，没有最大的非负数.(6) 一元二次方程ax2 + bx+ c=0(a*0)有实数根的充要条件是判别式 =b2-4ac为非负数.应用非负数解决问题的关键在于能否识别并揭示出题目中的非负数，正确运用非负数的有关概念及其性质，巧妙地进行相应关系的转化，从而使问题得到解决.例1己知I aT I斫1 = 8求丝?的值.解 因为I3-3 1 , 衍7

3、均为非负数，且其和为零，所以有 ! a-3 I = 0 且 Jb +2 0.解得a=3, b=-2.代入代数式得”b3kL2)5例2 化简；I I 20 t J-(20-向 I +20 L解 因为(20x-3)2为非负数，所以-(20x -3)2<0.又因为J-(2(加-保有意义,所以-(20x -3)2>0.由，可得：-(20x-3) 2=0,所以原式= | 20±0 | +20 | =40.说明 本题解法中应用了 “若a0且a&0,则a=0"，这是个很有用 的性质, xy = -r +- 1 + 71 -4k,求一的值.例3已知x, y为实数，且，解

4、 因为x, y为实数，要使y的表达式有意义，必有4x -10,* 1 -4 区30.所以苗-1=: 所以kg 从而¥ =,因此三43 V 4例4已知/斗/ 4 -2b+5=0,求代数式 尸 的值.J比-2而解因为 a2+b2-4a-2b+5=0,所以a2-4a+4+t2-2b+1=0,即(a -2)2+(b-1)2=0.(a-2)2=0,且(b -1)2=0.所以a=2, b=1.所以修十b 也十l应十1J3b-J3-2V2 42-2至 7应+1J2+1=3 + 272,例5已知x, y为实数，求u=5x2-6xy+2y2+2x-2y+3的最小值和取得最小值时的x, y的值.解 u=

5、5x2-6xy+2y2+2x-2y+3=x2+y2+1-2xy+2x-2y+4x2-4xy+yg2+2=(x-y+1)2+(2x-y) 2+2.因为x, y为实数，所以(x-y+1)2>0, (2x-y)2>0,所以 u>2.所以当fx - y + 1 = 0T2耳-y -0时，u有最小值2,此时x=1, y=2.例6确定方程(a2+1)x2-2ax+(a2+4)=0的实数根的个数.解将原方程化为a2x2-2ax+1+x2+a2+3=0,即(ax -1) 2+x2+a2+3=0.对于任意实数x,均有(ax-1)2>0, x2>0, a2>0, 3>0,

6、所以，(ax-1)2+x2+a2+3恒大于 0,(a 2+1)x 2-2ax+(a 2+4)=0 无实根.例7求方程41+2xy十/-y+4 = 4版匚/的实数根分析 本题是已知一个方程，但要求出两个未知数的值，而要确定两 个未知数的值，一般需要两个方程.因此，要将已知方程变形，看能否出 现新的形式，以利于解题.解方程+2号-y + 4 = 4j3s? -y可变形为 n2 + 23ty + y" 4 3 -y -4,3宣“丫 + 4 =G-y) 2+ C"3- -y -2)3 -0.因为佐十力，Ch解之得经检验，均为原方程的解.说明 应用非负数的性质“几个非负数之和为零，则

7、这几个非负数都 为零”，可将一个等式转化为几个等式，从而增加了求解的条件.例8已知方程组求实数Xi, X2,，Xn的值.解显然，Xl=X2=Xn = 0是方程组的解.由已知方程组可知，在X1, X2,Xn中，只要有一个值为零，则必 有Xl=X2=Xn=0.所以当XiWO, X2W0,，XnW0时，将原方程组化为将上面n个方程相加得又因为Xi为实数，所以(-1)Ci = h 2,所以(2-12 = 0. / = 1。= 1， 2,.n).经检验，原方程组的解为F罡1=。，工1 = 1,司=也粹3 = 1,4或T , ! ! ,a=S h = i.例9求满足方程| a-b | +ab=1的非负整数

8、a, b的值.解由于a, b为非负整数，所以例10当a, b为何值时，方程x2+2(1+a)x+3a 2+4ab+4t)+2=0 有实数根？解 因为方程有实数根，所以学0,即- =4(1+a) 2-4(3a2+4ab+4b2+2)=4a2+8a+4- 12a2- 16ab-16b2-8=-8a2-16ab-16b2+8a-4>0,所以2a2-4ab-4b2+2a-1 >0,- a2+2a-1-a2-4ab-4b2>0,- (a-1)2-(a+2b) 2>0.因为(a-1)2>0, (a+2b)2>0,所以a -1 = 0,a + 2b = 0.解之得a=lb

9、 =.所次= h b = -；时，方程有实数根.例11已知实数a, b, c, r, p满足pr > 1, pc-2b+ra=0,求证：一元二次方程ax2+2bx+c=0必有实数根.证由已知得2b=pc+ra,所以 =(2b) 2-4ac=(pc+ra) 2-4acJ=p2c2+2pcra+r 2a2-4ac=p2c2-2pcra+r 2a2+4pcra-4ac=(pc-ra) 2+4ac(pr-1).由已知 pr-1 >0,又(pc-ra) 20,所以当 ac >0时，zX>。；当ac<0时，也有 =(2b)2-4ao0.综上，总有学0, 故原方程必有实数根.例

10、12对任意实数x,比较3x2+2x-1与x2+5x-3的大小.解用比差法.(3x2+2x-1)-(x2+5x-3)=2x2-3x+2即(3x2+2x-1)-(x2+5x-3) >0,所以 3x2+2x-1>x2+5x-3.说明 比差法是比较两个代数式值的大小的常用方法，除此之外，为 判定差是大于零还是小于零，配方法也是常用的方法之一，本例正是有效 地利用了这两个方法，使问题得到解决.例13已知a, b, c为实数，设A+ B =b2 - 2c + , C = c2 -2a + .236证明：A, B, C中至少有一个值大于零.证由题设有A+B+C=-9 .3每士舞 +236=(a2

11、-2a+1)+(b 2-2b+1)+(c 2-2c+1)+ 兀-3=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+(兀-3).因为(a-1)2>0, (b-1)2>0, (c-1)2>0,冗-3>0,所以 A+B+C0.若 A00, B<0, C<0,则 A+B+俣 0 与 A+B+60 不符，所以 A, B, C 中至少有一个大于零.例14已知a>0, b>0,求证：，(9+ J (a+b)且代 中匕质.2 a分析与证明对要求证的不等式两边分别因式分解有(a + bXa + b/* 雷).士r/由不等式的性质知道，只须证明5(34垃).庙,a 1+

12、 b + .因为a>0, b>0,所以a + b - 2Tab = (Ja - Vb)1(X 所以 g (a + b)又因为1 厂 a + b-i ja - -Vb所以 d + b +石+ VE.所以原不等式成立.例15四边形四条边长分别为a, b, c, d,它们满足等式 a4+b4+c4+d=4abcd,试判断四边形的形状.解由已知可得a4+b4+c4+d4-4abcd=0,所以(a4-2a2b2+b4)+(c 2-2c2d2+d4)+(2a 2b2-4abcd+2c2d2)=0 ,即(a 2-b2)2+(c2-d2) 2+2(ab-cd) 2=0.因为a, b, c, d都是实数，所以(a2-b2)2>0, (c2-d2)2>0, (ab-cd)2>0,所以卜"b，卜= Ojah r cd = 0 ,由于a, b, c, d都为正数，所以，解，有a=b=c=d故此四边形为菱形.练习八1 .求x, y的值：(1) I jc-2y I + J2瓦-3y -1 = 0；(HI -2)JyYy” : 0.2 .混实数，求多项式白中玄琮取得最小值时的真的