1.2.1几个常见函数的导数

1、第一章 1.2 1.2.1 几个常用函数的导数A 级 基础巩固、选择题1已知物体的运动方程为s=t2+t(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t=2时的速度(D)19A 417B 41513C 4 D 433 13解析飞=2t 12 ,，s|t= 2=4-4= 4 ,故选 D.2 下列结论中不正确的是( B )A.若 y=x4,则 y' |x=2=321B.若 y= x,则 y |x=2=15C.若 y=x,则 y' |x=i=2D.若 y=x-5,则 y' |x=T = -51113解析.(x)' =(x 2)' =-2x- 22- y |x=2 = 8

2、.故 B 错误33.若 f(x)=x,则 f (-1) = ( D )1A 0 B 31C 3 D 31解析才3=幻,12. f'(x)=3x 3121. f'(1)=3( 1) 3=3, .选D.4,函数f(x)=x3的斜率等于1的切线有(B )A. 1条B. 2条C. 3条D.不确定解析f'(x)=3x2,23,3x2=1,解得 x=耳，故存在两条切线，选 B.5. (2017 武汉期末)若 f(x) = x5, f' (x0) = 20,则 xo 的值为(B )A. B. 土C. - 2 D . i2解析函数的导数f'(x)=5x4,.f'

3、(xo)= 20,44. 5x0=20,得 x0=4,则 x0= +故选B.6. (2018长春高二检测)曲线y=3x3在x= 1处切线的倾斜角为(C )兀A. 1 B. - 4兀5兀C. 4 D . 4. f'(a)=a2, 3.斛析，y= 3x , y |x= 1 = 1,，切线的倾斜角a满足tan a= 1,兀=0 W a< Tt, 1- a= 4 .二、填空题117.已知函数 f(x)=x,且 f (a)-f(a) = -2,则 a= 1 或2.1解析f'(x)=x2,11. f'(a) f(a) = a2 a,.-a2+ a= 2,1解a = 1或一2.

4、8.若曲线y=x3的某一切线与直线 y=12x+6平行，则切点坐标是(2,8)或(2, 8).解析设切点坐标为(xo, x3),222因为V' =3x2,所以切线的斜率k=3x0,又切线与直线 y=12x+ 6平行，所以3x0=12,解得xo= ±2,故切点为(2,8)或(一2, 8).三、解答题9 .将石块投入平静的水面，使它产生同心圆波纹.若最外一圈波纹的半径R以6m/s的速度增大，求在 2s末被扰动水面面积的增长率.解析设被扰动水面的面积为S,时间为t,依题意有 S= 42=36疝2,所以S =72疝，所以2s末被扰动水面面积的增长率为St=2= 144兀(m/s).1

5、0 . (2017北京理，19(1)已知函数f(x)=excos x-x,求曲线y= f(x)在点(0, f(0)处的切 线方程.解析因为 f(x)= excos x-x,所以 f'(x)=ex(cos x sin x) 1, f'(0)=0.又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0, f(0)处的切线方程为y=1.B级素养提升一、选择题3 一12“1,已知曲线y = xA. 3 B. 3C. D. 9解析由导数的定义容易求得，曲线 y=x31在x= x0处切线的斜率 k1 = 3x0,曲线y1与曲线y= 3-2x2在x=刈处的切线互相垂直，则x。的值为(D )1 92

6、=32x在x=xo处切线的斜率为k2=xo,由于两曲线在x=xo处的切线互相垂直，3x0( xo) = 1,，xo= 9,故选 D.2. (2018全国卷I理，5)设函数f(x)=x3+(a全x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x) 在点(0,0)处的切线方程为(D )A . y= - 2x B. y= xC. y= 2xD. y= x解析f(x) = x3+(a1)x2+ax,f'(x)=3x2+2(a1)x+a.又f(x)为奇函数，f(x)= f(x)恒成立，即一x3+ (a 1)x2 ax= x3 (a 1)x2 ax 恒成立，a=1, .f(x)= 3x2+1, .f

7、=1,曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y = x.故选D.二、填空题3 .(2018全国卷出理，14)曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为一2,则a = £.解析:y' =(ax+a+1)ex,，当 x= 0 时，y' =a+1,= a + 1 = 2 , 得 a = - 3.4 .函数y = x2(x>0)的图象在点(ak, ak)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,其中kC N ,若 a1 = 16,则 a1 + a3+a5的值是 21 解析=2x, 在点(ak, ak)的切线方程为y-a2=2ak(x-ak),又该切线与

8、x轴的交11点为(ak+1,0),所以ak+1 = 2ak,即数列ak是等比数列，首项a1=16,其公比q = 2, . 33=4,a5=1,向 + a3+a5= 21.三、解答题15.已知曲线C: y=t x经过点P(2, 1),求(1)曲线在点P处的切线的斜率.(2)曲线在点P处的切线的方程.过点0(0,0)的曲线C的切线方程.1解析(1)将P(2, 1)代入y=tx中得t=1,1. y= 1 x.1. y' 41 -x,Ay 1Jim Axf0 A x= (1 -x,1曲线在点P处切线的斜率为 k= y'|x=2= (1-2=1.(2)曲线在点P处的切线方程为y+1=1X

9、(x 2),即x-y 3=0.(3)点0(0,0)不在曲线C上，设过点0的曲线C的切线与曲线 C相切于点M(x。，y。),y0 1111则切线斜率k=x0=(1 -x0,由于y°=1x0,x0=2, 切点M(2, 2),切线斜率k=4,切1线方程为 y 2=4(x 2),即 y=4x.ax2 x 16. (2018全国卷出文，21(1)已知函数f(x)= ex .求曲线y= f(x)在点(0, 1)处的切线方程 ax2 (2a 1解析f'(x)=ex , f'(0)=2.因此曲线y=f(x)在(0, 1)处的切线方程是2x- y- 1 = 0.C 级 能力拔高求抛物线y=x2上的点到直线xy2=0的最短距离.解析解法1:设切点坐标为(x°, xO),依题意知与直线 x- y2 = 0平行的抛物线y =x2的切线的切点到直线x- y2 = 0的距离最短.21-y x )' =2x, -2x0= 1, -x0= 2,11，切点坐标为(2, 4), 2|2所求的最短距离d= 2 =8.解法2：设与抛物线y=x2相切且与直线xy2 = 0平行的直线l的方程为x y+m= 0(mw2),x-y + m= 0,2由 y= x2 得 xxm=0.直线l与抛物线y = x2相切,1判别式 A= 1+4m=0, . m=- 4,直