人教版高中数学《三角函数》全部教案

1、第四章 三角函数第一教时教材：角的概念的推广目的：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。过程：一、提出课题：“三角函数” 回忆初中学过的“锐角三角函数”它是利用直角三角形中两边的比值来定义的。相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。二、角的概念的推广1 回忆：初中是任何定义角的？（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘” 2 讲解：“旋转”形成角（P4）突出“旋转” 注意：“顶点”“

2、始边”“终边”“始边”往往合于轴正半轴 3 “正角”与“负角”这是由旋转的方向所决定的。记法：角或 可以简记成4 由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。1 角有正负之分 如：a=210 b=-150 g=-6602 角可以任意大 实例：体操动作：旋转2周（3602=720） 3周（3603=1080）3 还有零角 一条射线，没有旋转三、关于“象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角 角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）例如：30 390 -330是

3、第象限角 300 -60是第象限角 585 1180是第象限角 -2000是第象限角等四、关于终边相同的角 1观察：390，-330角，它们的终边都与30角的终边相同2终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与个周角的和 390=30+360 -330=30-360 30=30+0360 1470=30+4360 -1770=30-5360 3所有与a终边相同的角连同a在内可以构成一个集合 即：任何一个与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和4例一 （P5 略）五、小结： 1 角的概念的推广 用“旋转”定义角 角的范围的扩大 2“象限角”与“终边相同的角”六、作业： P7 练习1

4、、2、3、4 习题1.4 1 第三教时教材：弧度制目的：要求学生掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的集合与实数集一一对应关系的概念。过程：一、回忆（复习）度量角的大小第一种单位制角度制的定义。 二、提出课题：弧度制另一种度量角的单位制 它的单位是rad 读作弧度orC2rad1radrl=2roAAB 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。 如图：AOB=1rad AOC=2rad 周角=2prad 1 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是02 角a的弧度数的绝对值 （为弧长，为半径）3 用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是

5、0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。三、角度制与弧度制的换算 抓住：360=2prad 180=p rad 1= 例一 把化成弧度 解： 例二 把化成度 解： 注意几点：1度数与弧度数的换算也可借助“计算器”中学数学用表进行； 2今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略 如：3表示3rad sinp表示prad角的正弦 3一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住（见课本P9表） 4应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。正角零角负角正实数零负实数 任意角的集合 实数集R四、练习（

6、P11 练习1 2） 例三 用弧度制表示：1终边在轴上的角的集合 2终边在轴上的角的集合 3终边在坐标轴上的角的集合 解：1终边在轴上的角的集合 2终边在轴上的角的集合 3终边在坐标轴上的角的集合 例四 老精编P118-119 4、5、6、7五、 小结：1弧度制定义 2与弧度制的互化六、作业： 课本 P11 练习 3、4 P12习题4.2 2、3第四教时教材：弧度制（续）目的：加深学生对弧度制的理解，逐步习惯在具体应用中运用弧度制解决具体的问题。过程：一、复习：弧度制的定义，它与角度制互化的方法。 口答教学与测试P101-102练习题 15 并注意紧扣，巩固弧度制的概念，然后再讲P101例二

7、二、由公式： 比相应的公式简单 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 例一 （课本P10例三） 利用弧度制证明扇形面积公式其中是扇形弧长，是圆的半径。oRS 证： 如图：圆心角为1rad的扇形面积为：l 弧长为的扇形圆心角为 比较这与扇形面积公式 要简单 例二 教学与测试P101例一 直径为20cm的圆中，求下列各圆心所对的弧长 解： ： ： oAB 例三 如图，已知扇形的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。解：设扇形的半径为r，弧长为，则有 扇形的面积例四 计算 解： 例五 将下列各角化成0到的角加上的形式 解：R=4560 例六 求图中公路弯道处弧AB的长

8、（精确到1m）图中长度单位为：m 解： 三、练习：P11 6、7 教学与测试P102 练习6四、作业： 课本 P11 -12 练习8、9、10 P12-13 习题4.2 514教学与测试P102 7、8及思考题第五教时教材：任意角的三角函数（定义）目的：要求学生掌握任意角的三角函数的定义，继而理解a角与b=2kp+a(kZ)的同名三角函数值相等的道理。过程：一、提出课题：讲解定义：1 设a是一个任意角，在a的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）则P与原点的距离（图示见P13略）2比值叫做a的正弦 记作： 比值叫做a的余弦 记作： 比值叫做a的正切 记作： 比值叫做a的余切 记作： 比值叫做

9、a的正割 记作： 比值叫做a的余割 记作： 注意突出几个问题： 角是“任意角”，当b=2kp+a(kZ)时，b与a的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。 实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。（下面有例子说明） 三角函数是以“比值”为函数值的函数 ，而x,y的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定（今后将专题研究） 定义域： 二、例一 已知a的终边经过点P(2,-3)，求a的六个三角函数值xoyP(2,-3) 解： sina=- cosa= tana=- cota=- seca= csca=- 例二 求下列各角的六个三角函数值 0 p 解：

10、的解答见P16-17 当a=时 sin=1 cos=0 tan不存在 cot=0 sec不存在 csc=1 例三 教学与测试P103 例一 求函数的值域解： 定义域：cosx0 x的终边不在x轴上 又tanx0 x的终边不在y轴上当x是第象限角时， cosx=|cosx| tanx=|tanx| y=2 ,|cosx|=-cosx |tanx|=-tanx y=-2 , |cosx|=-cosx |tanx|=tanx y=0例四 教学与测试P103 例二 已知角a的终边经过P(4,-3),求2sina+cosa的值 已知角a的终边经过P(4a,-3a),(a0)求2sina+cosa的值 解

11、：由定义 ： sina=- cosa= 2sina+cosa=- 若 则sina=- cosa= 2sina+cosa=- 若 则sina= cosa=- 2sina+cosa=三、小结：定义及有关注意内容四、作业： 课本 P19 练习1 P20习题4.3 3 教学与测试P104 4、5、6、 7第六教时教材：三角函数线目的：要求学生掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。过程：一、复习三角函数的定义，指出：“定义”从代数的角度揭示了三角函数是一个“比值”二、提出课题：从几何的观点来揭示三角函数的定义：用单位圆中的线段表示三角函数值三、新授：2 介绍

12、（定义）“单位圆”圆心在原点O，半径等于单位长度的圆3 作图：（课本P14 图4-12 ）此处略 设任意角a的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，角a的终边也与单位圆交于P，坐标轴正半轴分别与单位圆交于A、B两点 过P(x,y)作PMx轴于M，过点A(1,0)作单位圆切线，与a角的终边或其反向延长线交于T，过点B(0,1)作单位圆的切线，与a角的终边或其反向延长线交于S4 简单介绍“向量”（带有“方向”的量用正负号表示）“有向线段”（带有方向的线段）方向可取与坐标轴方向相同，长度用绝对值表示。例：有向线段OM，OP 长度分别为 当OM=x时 若 OM看作与x轴同向 OM具有正值x 若 OM看作

13、与x轴反向 OM具有负值x5 有向线段MP,OM,AT,BS分别称作 a角的正弦线,余弦线,正切线,余切线 四、例一利用三角函数线比较下列各组数的大小：1 与 2 tan与tan 3 cot与cotABoT2T1 S2 S1P2P1 M2 M1 S1 解： 如图可知： tan tan cot cot 例二 利用单位圆寻找适合下列条件的0到360的角xyoTA21030xyoP1P21 sina 2 tana 解： 1 2 30a150 30a90或210a270xyoP1P2M1M2例三 求证：若时，则sina1sina2证明： 分别作a1,a2的正弦线x的终边不在x轴上 sina1=M1P1

14、 sina2=M2P2 M1P1 M2P2 即sina1sina2五、小结：单位圆，有向线段，三角函数线六、作业： 课本 P15 练习 P20习题4.3 2 补充：解不等式：() 1sinx 2 tanx 3sin2x第七教时教材：三角函数的值在各象限的符号目的：通过启发让学生根据三角函数的定义，确定三角函数的值在各象限的符号，并由此熟练地处理一些问题。过程：一、复习三角函数的定义；用单位圆中的线段表示三角函数值二、提出课题 然后师生共同操作：1 第一象限：sina0,cosa0,tana0,cota0,seca0,csca0 第二象限：sina0,cosa0,tana0,cota0,seca

15、0,csca0 第三象限：sina0,cosa0,tana0,cota0,seca0,csca0 第四象限：sina0,cosa0,tana0,cota0,seca0,csca0 记忆法则： 为正 全正为正 为正 2 由定义：sin(a+2kp)=sina cos(a+2kp)=cosa tan(a+2kp)=tana cot(a+2kp)=coa sec(a+2kp)=seca csc(a+2kp)=csca三、例一 （P18例三 略）例二 （P18例四）求证角q为第三象限角的充分条件是 证：必要性：若q是第三象限角，则必有sinq0,tanq0 充分性： 若 两式成立 若sinq0 则q角

16、的终边可能位于第三、第四象限，也可能位于y轴的非正半轴若tanq0，则角q的终边可能位于第一或第三象限 都成立 q角的终边只能位于第三象限 角q为第三象限角例三 （P19 例五 略）四、练习：1 若三角形的两内角a，b满足sinacosb0，则此三角形必为（B）A：锐角三角形 B：钝角三角形 C：直角三角形 D：以上三种情况都可能2 若是第三象限角，则下列各式中不成立的是（B）A：sina+cosa0 B：tana-sina0C：cosa-cota0 D：cotacsca03 已知q是第三象限角且，问是第几象限角？解： 则是第二或第四象限角 又 则是第二或第三象限角 必为第二象限角4 已知，则

17、q为第几象限角？解： 由 sin2q0 2kp2q2kp+p kpqkp+ q为第一或第三象限角五、小结：符号法则，诱导公式六、作业： 课本 P19 练习4,5,6 P20-21习题4.3 6-10第八教时教材：同角三角函数的基本关系目的：要求学生能根据三角函数的定义，导出同角三角函数的基本关系，并能正确运用进行三角函数式的求值运算。过程：一、 复习任意角的三角函数的定义：计算下列各式的值： 二、1导入新课：引导学生观察上述题目的结果（并像公式“方向”引导）引导猜想： 2理论证明：（采用定义） 3推广：这种关系称为平方关系。类似的平方关系还有： 这种关系称为商数关系。类似的商数关系还有： 这种

18、关系称为倒数关系。类似的倒数关系还有： 4点题：三种关系，八个公式，称为同角三角函数的基本关系。 5注意： 1“同角”的概念与角的表达形式无关，如： 2上述关系（公式）都必须在定义域允许的范围内成立。 3据此，由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用（实际上，至多只要用一次）。 三、 例题：例一、（课本P25 例一） 略 注：已知角的象限，利用平方关系，也只可能是一解。例二、（课本P25 例二） 略 注：根据已知的三角函数值可以分象限讨论。例三、（课本P25 例三） 略实际上： 即 而 四、 小结：三种关系

19、，八个公式五、 作业：P27 练习 14P2728 习题44 14第九教时教材：同角三角函数的基本关系(2)求值目的：要求学生能运用同角三角函数的基本关系求一些三角函数（式）的值，并从中了解一些三角运算的基本技巧。过程：二、 复习同角的三角函数的基本关系：练习：已知解：若a在第一、二象限，则 若a在第三、四象限，则六、 例一、（见P25 例四）化简： 解：原式例二、已知，求解： 强调（指出）技巧：1分子、分母是正余弦的一次（或二次）齐次式 2“化1法” 例三、已知，求解：将 两边平方，得： 例四、已知 解：由题设： ()例五、已知，求 解：1 由 由 联立： 2 例六、已知 求 解：sin2a

20、 + cos2a = 1 化简，整理得： 当m = 0时，当m = 8时，七、 小结：几个技巧八、 作业：课课练P12 例题推荐 1、2、3P13 课时练习 6、7、8、9、10 P14 例题推荐 1 精编P35 14第十教时教材：同角三角函数的基本关系(3)证明 教学与测试第50课目的：运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数恒等式的证明。过程：三、 复习同角的三角函数的基本关系：例：（练习、教学与测试P25 例一）已知，求解： 即： 九、 提出课题：利用同角的三角函数的基本关系证明三角恒等式（或化简）例一、（见P25 例四）化简： 解：原式例二、已知（教学与测试例二）解： （注意象限、符号

21、）例三、求证： （课本P26 例5）证一： （利用平方关系）证二： （利用比例关系）证三： （作差）例三、已知方程的两根分别是，求 （教学与测试 例三） 解： （化弦法）例四、已知 证：由题设： 例五、消去式子中的解：由由 （平方消去法）例六、（备用）已知解：由题设： /： +： 十、 小结：几种技巧十一、 作业：课本P27 练习 5，6， P28 习题4.4 8，9 教学与测试P106 4，5，6，7，8，思考题第十一教时教材：诱导公式（1） 360 k + a, 180 - a, 180 + a, 360 - a, - a目的：要求学生掌握上述诱导公式的推导过程，并能运用化简三角式，从而了

22、解、领会把未知问题化归为已知问题的数学思想。过程：一、 诱导公式的含义：任意角的三角函数 0到360角的三角函数 锐角三角函数 sin(360k+a) = sina, cos(360k+a) = cosa. tan(360k+a) = tga, cot(360k+a) = ctga. sec(360k+a) = seca, csc(360k+a) = csca二、 诱导公式1 公式1：（复习） 2 对于任一0到360的角，有四种可能（其中a为不大于90的非负角） （以下设a为任意角）xyoP (x,y)3 公式2： 设a的终边与单位圆交于点P(x,y)，则180+a终边与单位圆交于点P(-x,

23、-y) sin(180+a) = -sina, cos(180+a) = -cosa. P (-x,-y) tan(180+a) = tga, cot(180+a) = ctga. sec(180+a) = -seca, csc(180+a) = -cscaxyoP(x,-y)P(x,y)M4公式3： 如图：在单位圆中作出与角的终边，同样可得： sin(-a) = -sina, cos(-a) = cosa. tan(-a) = -tana, cot(-a) = -cota. sec(-a) = seca, csc(-a) = -csca5 公式4： sin(180-a) = sin180+(

24、-a) = -sin(-a) = sina, cos(180-a) = cos180+(-a) = -cos(-a) = -cosa, 同理可得： sin(180-a) = sina, cos(180-a) = -cosa. tan(180-a) = -tana, cot(180-a) = -cota. sec(180-a) = -seca, csc(180-a) = csca6公式5： sin(360-a) = -sina, cos(360-a) = cosa. tan(360-a) = -tana, cot(360-a) = -cota. sec(360-a) = seca, csc(36

25、0-a) = -csca三、小结：360 k + a, 180 - a, 180 + a, 360 - a, - a的三角函数值等于a的同名三角函数值再加上一个把a看成锐角时原函数值的符号四、 例题：P2930 例一、例二、例三 P3132 例四、例五、例六 略五、 作业：P30 练习 P32 练习 P33 习题4.5第十二教时教材：诱导公式（2） 90 k a, 270 a, 目的：能熟练掌握上述诱导公式一至五，并运用求任意角的三角函数值，同时学会另外四套诱导公式，并能应用，进行简单的三角函数式的化简及论证。过程：三、 复习诱导公式一至五：练习：1已知 解： 2已知 解：四、 诱导公式sin

26、(90 -a) = cosa, cos(90 -a) = sina. tan(90 -a) = cota, cot(90 -a) = tana. sec(90 -a) = csca, csc(90 -a) = seca1 公式6：（复习） xyoPP(x,y)MMM2 公式7： 如图，可证： 则 sin(90 +a) = MP = OM = cosa sin(90 +a) = cosa, cos(90 +a) = -sina. tan(90 +a) = -cota, cot(90 +a) = -tana. sec(90 +a) = -csca, csc(90+a) = seca cos(90

27、+a) = OM = PM = -MP = -sina 从而：或证：sin(90 +a) = sin180- (90 -a) = sin(90 -a) = cosacos(90 +a) = cos180- (90 -a) = -sin(90 -a) = -cosasin(270 -a) = -cosa, cos(270 -a) = -sina. tan(270 -a) = cota, cot(270 -a) = tana. sec(270 -a) = -csca, csc(270-a) = seca 3 公式8：sin(270 -a) = sin180+ (90 -a) = -sin(90 -

28、a) = -cosa（其余类似可得，学生自己完成） sin(270 +a) = -cosa, cos(270 +a) = sina. tan(270 +a) = -cota, cot(270 +a) = -tana. sec(270 +a) = csca, csc(270+a) = -seca4 公式9： （学生证明）三、小结：90 a, 270 a的三角函数值等于a的余函数的值，前面再加上一个把a看成锐角时原函数值的符号六、 例一、 证： 左边 = 右边 等式成立例二、 解： 例三、 解： 从而：例四、 解： 七、 作业：1.2. 课课练P1617 课时9 例题推荐 13 练习 610第十三

29、教时教材：诱导公式(3)综合练习 目的：通过复习与练习，要求学生能更熟练地运用诱导公式，化简三角函数式。过程：四、 复习：诱导公式十二、 例一、（教学与测试 例一）计算：sin315-sin(-480)+cos(-330) 解：原式 = sin(360-45) + sin(360+120) + cos(-360+30) = -sin45 + sin60 + cos30 =小结：应用诱导公式化简三角函数的一般步骤：1用“- a”公式化为正角的三角函数2用“2kp + a”公式化为0，2p角的三角函数3用“pa”或“2p - a”公式化为锐角的三角函数例二、已知（教学与测试例三）解： 小结：此类角

30、变换应熟悉例三、求证： 证：若k是偶数，即k = 2 n (nZ) 则： 若k是奇数，即k = 2 n + 1 (nZ) 则：原式成立小结：注意讨论例四、已知方程sin(a - 3p) = 2cos(a - 4p)，求的值。（精编 38例五） 解： sin(a - 3p) = 2cos(a - 4p) - sin(3p - a) = 2cos(4p - a) - sin(p - a) = 2cos(- a) sina = - 2cosa 且cosa 0 例五、已知（精编P40 例八）解：由题设： 由此：当a 0时，tana 0, cosa 0, a为第二象限角， 当a = 0时，tana =

31、0, a = kp, cosa = 1， cosa = -1 , 综上所述：例六、若关于x的方程2cos2(p + x) - sinx + a = 0 有实根，求实数a的取值范围。 解：原方程变形为：2cos2x - sinx + a = 0 即 2 - 2sin2x - sinx + a = 0 - 1sinx1 ； a的取值范围是十三、 作业：教学与测试P108 58，思考题课课练P4647 23，25，26 第十三教时教材：单元复习 目的：复习整节内容，使其逐渐形成熟练技巧,为继续学习以后的内容打下基础。过程：五、 复习：梳理整节内容：同角的三角函数关系两套基本公式预备概念角的概念的扩充

32、弧度制诱导公式任意角三角函数 十四、 处理教学与测试P109 第52课 略1“基础训练题” 142例题 133口答练习题 1，2十五、 处理课课练P20 第11课1“例题推荐” 13 注意采用讲练结合2口答“课时练习” 14 十六、 备用例题： 精编P4041 例九，例十一a) 已知sin(p - a) - cos(p + a) =(0ap)，求sin(p + a) + cos(2p - a)的值解：sin(p - a) - cos(p + a) = 即：sin a + cos a = 又01，0a0, cosa0令a = sin(p + a) + cos(2p - a) = - sina +

33、 cosa 则 a0由得：2sinacosa = b) 已知2sin(p - a) - cos(p + a) = 1 (0ap)，求cos(2p - a) + sin(p + a)的值 解：将已知条件化简得：2sin a + cos a = 1 设cos(2p - a) + sin(p + a) = a , 则 a = cos a - sin a 联立得：sin2a + cos2a = 1 5a2 + 2a - 7 = 0, 解之得：a1 = , a2 = 1(舍去)(否则sina = 0, 与0a0，cosb=0 a可能在一、二象限，b在一、四象限若a、b均在第一象限，则cosa=，sinb

34、= cos(a-b)=若a在第一象限，b在四象限，则cosa=，sinb=- cos(a-b)=若a在第二象限，b在一象限，则cosa=-，sinb= cos(a-b)=若a在第二象限，b在四象限，则cosa=-，sinb=- cos(a-b)=五、小结：距离公式，两角和与差的余弦六、作业： P38-39 练习2中(3)(4) 3中(2)(3) 5中(2)(4)P40-41 习题4.6 2中(2)(4) 3中(3)(4)(6) 7中(2)(3) 补充：1已知cos(a-b)=求(sina+sinb)2+(cosa+cosb)2的值。 2sina-sinb=-，cosa-cosb=，a(0, )

35、,b(0, ),求cos(a-b)的值第十六教时教材：两角和与差的正弦 目的：能由两角和的余弦公式推导出两角和的正弦公式，并进而推得两角和的正弦公式，并运用进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。过程：一、复习：两角和与差的余弦 练习：1求cos75的值 解：cos75=cos(45+30)=cos45cos30-sin45sin30=2计算：1 cos65cos115-cos25sin115 2 -cos70cos20+sin110sin20解：原式= cos65cos115-sin65sin115=cos(65+115)=cos180=-1 原式=-cos70cos20+sin70sin20=-cos(70+20)=03已知锐角a,b满足cosa= cos(a+b)=求cosb.解：cosa= sina=又cos(a+b)=0 a+b为钝角 sin(a+b)=cosb=cos(a+b)-a=cos(a+b)cosa+sin(a+b)sina = （角变换技巧）二、两角和与差的正弦 7 推导sin(a+b)=cos-(a+b)=cos(-a)-b=cos(-a)cosb+sin(-a)sinb=sinacosb+cosasinb即： sin(a+b)=sinacosb+cosasinb （Sa+b）以-b代b得： s