九年级数学圆的综合的专项培优练习题(含答案)及详细答案

1、九年级数学圆的综合的专项培优练习题(含答案)及详细答案一、圆的综合1 .如图，。是4ABC的外接圆，点 E为4ABC内切圆的圆心，连接 AE的延长线交 BC于 点F,交。O于点D;连接BD,过点D作直线DM,使/ BDM=/DAC.(1)求证：直线DM是。O的切线；【答案】(1)证明见解析(2) 2 J3【解析】【分析】(1)根据垂径定理的推论即可得到ODLBC,再根据/BDM=/DBC,即可判定 BC/ DM,进而彳#到ODLDM,据此可得直线 DM是。的切线；(2)根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到/BED=/EBD,即可得出DB=DE,再判定DBQ4DAB,即可得到 DB2=DF?

2、DA,据此解答即可.【详解】(1)如图所示，连接OD.点 E 是 4ABC的内心,Z BAD=Z CAD,Bd Cd ,OD BC.又. / BDM=/DAC, /DAC=/DBC, . / BDM=/DBC, . BC/ DM, .1.ODXDM.又OD为。O半径，.直线DM是。的切线.(2)连接 BE. E 为内心，/ABE=/CBE / BAD=Z CAD, / DBC=Z CAD, . / BAD=Z DBC, . / BAE+Z ABE=Z CBEZ DBC,即 ZBED=Z DBE, . BD=DE.又/ BDF=/ADB （公共角），. DBFs DAB, .正 里 即 DB2=

3、DF?DA DB DA . DF=2, AF=4, DA=DF+AF=6, . . DB2=DF?DA=12, . DB=DE=2 J3 .【点睛】本题主要考查了三角形的内心与外心，圆周角定理以及垂径定理的综合应用，解题时注 意：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；三角形的内心 到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.2.如图1,已知扇形MON的半径为五 , /MON=90，点B在弧MN上移动，联结BM , 作OD，BM,垂足为点 D, C为线段OD上一点，且 OC=BM,联结BC并延长交半径 OM于 点A,设OA=x, /COM的正切值为

4、 y.(1)如图2,当ABOM时，求证：AM=AC；(2)求y关于x的函数关系式，并写出定义域；(3)当4OAC为等腰三角形时，求 x的值.x【答案】(1)证明见解析；(2)y2x【解析】分析：(1)先判断出/ABM=/DOM,进而判断出 OAXBAM,即可得出结论;x 2 )；(3)(2)OA OE (3)-.OB=OM,ODXBM,BD=DM.1. DE/AB,DMBDME1 - x,AE-EM, OM-Jz， - AE-(爽 x).AE21. DE/AB,OAOC 2DMOE OD OD先判断出BD=DM,进而得出-DM ME,进而得出AE-1(J2 x),再判断出BD AE2OC 2D

5、M -，即可得出结论；OD OD分三种情况利用勾股定理或判断出不存在，即可得出结论.详解：(1) OD) BM, AB OM,/ ODM=/BAM=90. / ABM+Z M=Z DOM+Z M,/ ABM=Z DOM .Z OAC=Z BAM, OC=BM, OAC BAM,.AC=AM .(2)如图2,过点D作DE/AB,交OM于点E.DM OAx_oD 2OE, y T/2 (0/ AOC,，此种情况不存在.(iii)当 CO=CA 时，贝U ZCOA=ZCAO=a, / CAO / M , Z M=90 - a, . . a 90 a, a45 :/ BOA=2 A 90 : : /

6、BOAW 90 ，此种情况不存在.即：当4OAC为等腰三角形时，x的值为屈 衣.2点睛：本题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，勾股定 理，等腰三角形的性质，建立 y关于x的函数关系式是解答本题的关键.3.如图，A、B两点的坐标分别为(0, 6) , (0, 3),点P为x轴正半轴上一动点，过 点A作AP的垂线，过点B作BP的垂线，两垂线交于点 Q,连接PQ, M为线段PQ的中 点.(1)求证：A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上;(2)当。M与x轴相切时，求点 Q的坐标；QM扫过图形的面积.(3)当点P从点(2, 0)运动到点(3, 0)时，请直接写出线段【答

7、案】 见解析；(2) Q的坐标为(3J2，9) ;(3)-63 .8【解析】(1)解：连接AM、BM,. AQXAP, BQXBP - APQ和 BPQ都是直角三角形,M是斜边PQ的中点AM = BM = PM=QM= - PQ,2A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上。(2)解：作 MGy轴于G, MCx轴于C,. AM = BM.G 是 AB 的中点，由 A (0, 6) , B (0, 3)可得 MC= OG= 4.5，在点P运动的过程中，点 M到x轴的距离始终为4.5则点Q到x轴的距离始终为 9,即点Q的纵坐标始终为 9,当。M与x轴相切时则 PQx轴，作QHy轴于H,。BP 工H

8、B=93=6,设 OP= HQ= x由BOPQHB,彳X2 x2=3XG 8, x= 3 ”点Q的坐标为(3 J2 , 9)则 Mi (3, 4.5)(3)解：由相似可得：当点 P在Pi (2, 0)时，Qi (4, 当点 P在 P2 (3, 0)时，Q2 (6, 9),则 M2 (4.5, 4.5)93MiM2= - -3= 一 , QiQ2=6-4= 222线段QM扫过的图形为梯形 M1M2Q2Q1其面积为：1 X 3 + 2) X 45 63 .【解析】【分析】再根据这个条件结合题意直接根据已知可得出三角形 APQ和三角形BPQ都是直角三角形, 解答此题.【详解】(1)解：连接 AM、B

9、M,AQAP, BQ，BPAPQ和ABPQ都是直角三角形， M是斜边PQ的中点AM = BM = PM=QM= p PQ, A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上。(2)解：作 MG，y轴于G, MC，x轴于C,. AM = BM.G 是 AB 的中点，由 A (0, 6) , B (0, 3)可得 MC= OG= 4.5，在点P运动的过程中，点 M到x轴的距离始终为4.5则点Q到x轴的距离始终为 9,即点Q的纵坐标始终为 9,当。M与x轴相切时则 PQx轴，作QHy轴于H,HB= 9-3=6,设 OP= HQ= x由BOQHB,彳X2 x2= 3X 8, x= 3，点Q的坐标为(3标9)

10、(3)解：由相似可得：当点P在Pi(2, 0)时，Qi(4,9)则Mi(3,4.5)当点 P在 P2 (3, 0)时，Q2 (6, 9),则 M2 (4.5, 4.5)9 c 3 0 . M iM2=下 一 3=, QiQ2= 6 4=2线段QM扫过的图形为梯形 M1M2Q2Q1O PN其面积为：JxR+2)X4百号.【点睛】本题主要考查学生根据题意能找到三角形APQ和三角形BPQ都是直角三角形，而且考验学生对相似三角形性质的运用，掌握探索题目隐含条件是解决此题的关键4.如图，在平面直角坐标系 xoy中，E (8,0) , F(0,6).(1)当 G(4, 8)时，则 /FGE=(2)在图中的

11、网格区域内找一点P,使/FPE=90且四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形.要求：写出点P点坐标，画出过 P点的分割线并指出分割线(不必说明理由，不写画 法).【答案】(1) 90； (2)作图见解析，P(7, 7) , PH是分割线.【解析】试题分析：(1)根据勾股定理求出 4FEG的三边长，根据勾股定理逆定理可判定4FEG是直角三角形，且 / FGE=90 ,(2) 一方面，由于 /FPE=90,从而根据直径所对圆周角直角的性质，点P在以EF为直径的圆上；另一方面，由于四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形，从而 OP是正方形的对角

12、线，即点 P在/FOE的角平分线上，因此可得 P (7,7) , PH是分割线.试题解析：(1)连接FE,- E (8,0) , F(0,6), G(4, 8),根据勾股定理，得 FG=V5, EG=/, FE=10.FEG是直角三角形，且 /FGE=90 . 作图如下:P (7, 7) , PH是分割线.考点：1.网格问题；2.勾股定理和逆定理；3 .作图(设计)；4.圆周角定理.5.如图，已知4ABC内接于。O, AB是。的直径，点F在。上，且点C是叮的中 点，过点C作。的切线交AB的延长线于点 D,交AF的延长线于点 E.(1)求证：AE DE；(2)若/BAF=60, AF=4,求 C

13、E的长.【解析】试题分析：(1)首先连接OC,由OC=OA 点C,易证得AE DE;,易证得 OC/ AE,又由DE切。O于(2)由AB是。的直径，可得4ABC是直角三角形，易得 4AEC为直角三角形，根据1AE=3求得AC的长，然后连接 OF,可得4OAF为等边三角形，知 AF=OA=AB,在4ACB 中，利用已知条件求得答案.Z BAC=Z OCAOC,Z BAC=Z EACZ EAC玄 OCA, .OC/ AE,.DE切。O于点C, OCX DE, AEXDE;(2)解：.AB是。的直径， .ABC是直角三角形， / CBA=60 ；/ BAC=Z EAC=30 , AEC为直角三角形，

14、AE=3,.AC=k3,连接OF, , OF=OA, / OAF=Z BAC+/ EAC=60 ,.OAF为等边三角形，II.AF=OA= AB,在 RtA ACB 中,AC=2V3, tan / CBA=P,BC=2, .AB=4, .AF=2. 考点：切线的性质.6.如图，CD为。的直径，点 B在。上，连接BC BD,过点B的切线AE与CD的延长 线交于点A, ZAEO /C, OE交BC于点F.（1）求证：OE/ BD;2（2）当。的半径为5, sin DBA 时，求EF的长.5【答案】（1）证明见解析；（2） EF的长为 2【解析】试题分析：（1）连接OB,利用已知条件和切线的性质证明

15、； （2）根据锐角三角函数和相似三角形的性质，直接求解即可.试题解析：（1）连接OB, .CD为。的直径， CBD AE是。的切线，ABO ABD OBD 90 . OB、OC是。的半径，OB=OC C CBO. . . C E C , E ABD. OE/ BD.CBO OBD 90ABD CBO.ABD.（2）由（1）可得2BD 2sinZ C= / DBA=,在 RtOBE 中，sinZ C= - OC=55CD5 BD 4 CBD EBO 90C ,ACBDAEBO.CDEO25.2. OE/ BD, CO=OD, .CF=FB.EBDBOEO-1.OF BD 2.221EF OE O

16、F 一 27.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧Ab .1用直尺和圆规作出 Ab所在圆的圆心o；（要求保留作图痕迹，不写作法 ）2若AB的中点C到弦AB的距离为20m, AB80m,求AB所在圆的半径.【答案】（1）见解析；（2）50m【解析】分析：1连结AC、BC,分另1J作AC和BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O,如图1;2连接oa, oc, oc交ab于d,如图2,根据垂径定理的推论，由 c为Ab的中点得 1到 OC AB , AD BD -AB 40 ,则 CD 20,设 e O 的半径为 r,在 RtVOAD 2中利用勾股定理得到r2 （r 20）2 402,然后解方程即可.详

17、解：1如图1,图1点O为所求；2连接OA, OC, OC交AB于D,如图2,qc为Ab的中点,OC AB,1AD BD - AB 40 , 2设e O的半径为r,则OA r, OD OD CD r 20,在 RtVOAD 中，QOA2 OD2 AD2, 2_ _ 2_ 2r (r 20)40 ,解得 r 50,即Ab所在圆的半径是50m.点睛：本题考查了垂径定理及勾股定理的应用，在利用数学知识解决实际问题时，要善于把实际问题与数学中的理论知识联系起来，能将生活中的问题抽象为数学问题.8. (1)问题背景如图，BC是。O的直径，点 A在。O上,AB=AC, P为BmC上一动点(不与 B, C重合

18、),求证：夕PA=PB+PC小明同学观察到图中自点 A出发有三条线段 AB, AP, AC,且AB=AC这就为旋转作了铺垫.于是，小明同学有如下思考过程：第一步：将APAC绕着点A顺时针旋转90。至4QAB (如图)；第二步：证明Q, B, P三点共线，进而原题得证.请你根据小明同学的思考过程完成证明过程.(2)类比迁移如图，。的半径为3,点A, B在。O上，C为。内一点，AB=AC, AB AC,垂足为 A,求OC的最小值.(3)拓展延伸4如图，。的半径为3,点A, B在。O上，C为。内一点，AB=- AC, ABXAC,垂足为A,则OC的最小值为置图3【答案】(1)证明见解析；(2) OC

19、最小值是3J2-3； (3)-.2【解析】试题分析：(1)将APAC绕着点A顺时针旋转90至4QAB (如图)，只要证明4APQ 是等腰直角三角形即可解决问题；(2)如图中，连接 OA,将4OAC绕点O顺时针旋转90AQAB,连接OB, OQ,在 BOQ中，利用三边关系定理即可解决问题；4(3)如图构造相似二角形即可解决问题.作AQLOA,使得AQ=- OA,连接OQ,BQ, OB,由QABsOAC,推出BQ=OC,当3BQ最小时，OC最小;试题解析：（1）将PAC绕着点90至4QAB （如图）；A顺时针旋转, BC是直径，/ BAC=90 , AB=AC,/ ACB玄 ABC=45 ；由旋转

20、可得 / QBA=Z PCA, / ACB=Z APB=45 , PC=QB . /PCA+/ PBA=180 , / QBA+/PBA=180 , . Q, B, P三点共线， / QAB+Z BAP=Z BAP+Z PAC=90 , QP2=AP2+AQ2=2AP2,QP=72 AP=QB+BP=PC+PB 72 AP=PC+PB(2)如图中，连接OA,将OAC绕点A顺时针旋转90AQAB,连接OB, OQ,.ABIAC/. / BAC=90,由旋转可得 QB=OC, AQ=OA, / QAB=Z OAC,/ QAB+Z BAO=Z BAO+Z OAC=90 ,ABAC在 RtOAQ 中，

21、OQ=3V2, AO=3, .在 4OQB 中，BO OQ- OB=3& 3 ,即OC最小彳t是3J2-3；(3)如图中，作AQ OA,使得AQ=- OA,连接OQ, BQ, OB.3 QA / QAO=Z BAC=90 , / QAB=Z OAC, 一OA QABs OAC, BQ=4 OC, 3当 BQ最小时，OC最小，易知 OA=3, AQ=4, OQ=5, BOOQ- OB, .,.002,.BQ的最小值为2,33 OC的最小值为一X 2=-,423故答案为3.2【点睛】本题主要考查的圆、旋转、相似等知识，能根据题意正确的添加辅助线是解题的 关键.9.如图1,四边形ABCD为。内接四边

22、形，连接 AC CO、B0,点C为弧BD的中点.（1）求证：/ DAC=Z ACO+-Z ABO;（2）如图2,点E在OC上，连接EB,延长CO交AB于点F,若/ DAB=/ OBA+/ EBA 求 证：EF=EB（3）在（2）的条件下，如图 3,若OE+EB=AB CE=2 AB=13,求AD的长.题1圈2圄3【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） AD=7.【解析】试题分析：（1）如图1中，连接 OA,只要证明/CAB=/ 1 + /2=/ACO+/ABO,由点C是?D 中点，推出 CD CB ,推出 / BAC=Z DAC,即可推出 /DAC=/ ACO+Z ABO;（2）想

23、办法证明/ EFB=Z EBF即可；（3）如图3中，过点O作OH, AB,垂足为H,延长BE交HO的延长线于 G,作BNXCF 于N,作CKAD于K,连接OA/CT/ LAB于T.首先证明 4EFB是等边三角形，再证 明 AC右 ACT, RtDK RBTC,延长即可解决问题；试题解析：（1）如图1中，连接OA,. OA=OC, .1. Z1 = Z ACO,. OA=OB, .1. Z2=Z ABO,/ CAB=Z 1+/ 2=/ ACO+Z ABO,- -uur -UJIT uuu点 C是 BD 中点， CD CB，/BAC=/ dac,/ DAC=Z ACO+Z ABO.到(2)如图2中

24、， / BAD=Z BAC+/ DAC=2/ CAB, / COB=2/ BAC, . / BAD=Z BOC, / DAB=Z OBA+Z EBA,. / BOC=Z OBA+Z EBA,/ EFB=Z EBF,EF=EBBNXCF(3)如图3中，过点O作OHU AB,垂足为H,延长BE交HO的延长线于 G, 于 N,作 Ch AD 于 K,连接 OA. CC CTZ LAB 于 T.图3 / EBA+Z G=90 ； C CFB+Z HOF=90 ； / EFB=Z EBF,/ G=Z HOF, / HOF=Z EOG,/ G=Z EOGEG=EQ .OHXAB,AB=2HB, . OE+

25、EB=AB GE+EB=2HB，GB=2HB,HB 1 cosZ GBA= - ,ZGBA=60,GB 2 .EFB是等边三角形，设 HF=a, / FOH=30 ；. OF=2FH=2a13 .AB=13,EF=EB=FB=FH+BH=a-，2 .OE=EF- OF=FB- OF=13 - a, OB=OC=OE+EC13 - a+2=- -a,1113NE= - EF= a+ ，ON=OE=EN= （13-a）-2，BO2- ON2=EB2- EN2,（1 a+?=133a2442,17、2（一 -a） 22g- 3a） 2=022 .4221a+艺）242,解得a=3或-10 （舍弃），

26、2.OE=5, EB=8, OB=7,. /K=/ ATC=90 , Z KAC=Z TAC AC=AQ . .ACKACT, . CK=CT AK=AT,ULU uuu _.CD CB ,DC=BC； .RtDKe RtBTC . . DK=BT,. FT=1FC=5,DK=TB=FB- FT=3,AK=AT=AB- TB=10,AD=AK- DK=10- 3=7.210.如图1,在RtABC中，ZABC=90, BA=BC,直线MN是过点A的直线CD MN于点 D,连接BD.(1)观察猜想张老师在课堂上提出问题：线段 DC, AD, BD之间有什么数量关系.经过观 察思考，小明出一种思路：

27、如图1,过点B作BEX BD,交MN于点E,进而彳#出：DC+AD=BD.(2)探究证明将直线MN绕点A顺时针旋转到图2的位置写出此时线段 DC, AD, BD之间的数量关系， 并证明(3)拓展延伸在直线MN绕点A旋转的过程中，当 4ABD面积取得最大值时，若 CD长为1 ,请直接写 BD的长.【答案】(1) 五；(2) AD- DC=J2BD； (3) BD=AD=V2+1.【解析】【分析】(1)根据全等三角形的性质求出DC, AD, BD之间的数量关系(2)过点B作BEX BD,交MN于点E. AD交BC于O,证明 CDB0 AEB ,得到 CD AE , EB BD ,根据 BED为等腰

28、直角三角形，得到 DE J2BD , 再根据DE AD AE AD CD ,即可解出答案.(3)根据A、B、C、D四点共圆，得到当点 时， ABD的面积最大.在DA上截取一点H,使得CD=DH=1,则易证D在线段AB的垂直平分线上且在 AB的右侧CH AH &，由BD AD即可得出答案.【详解】解：(1)如图1中，.AE=CD, BE=BD .CD+AD=AD+AE=DE BDE是等腰直角三角形,.DE= 12 BD,.DC+AD=；2 BD,故答案为J2.（2）AD DC &BD.证明：如图，过点 B作BEX BD,交MN于点E. AD交BC于O.ABC DBE 90 ,ABE EBC CB

29、D EBC,ABE CBD .BAE AOB 90 , BCD COD 90 , AOBBAE BCD , ABE DBC .又 AB CB , CDB0 AEB,CD AE , EB BD ,BD为等腰直角三角形， DE J2BD . DE AD AE AD CD ,AD DC 夜BD (3)如图3中，易知A、B、C、D四点共圆，当点 D在线段AB的垂直平分线上且在 AB 的右侧时，4ABD的面积最大.图3此时DG，AB, DB=DA,在DA上截取一点 H,使得CD=DH=1,则易证 ch ah 后,BD AD 2 1-【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质以及图形的应用

30、，正确作辅助线和熟悉图形特性是解题的关键 .11.如图，线段BC所在的直线 是以AB为直径的圆的切线，点 D为圆上一点，满足 BD= BC,且点C、D位于直径AB的两侧，连接 CD交圆于点E点F是BD上一点，连接EF,分 别交AB、BD于点G、H,且EF= BD.(1)求证：EF/ BC;(2)若 EH= 4, HF= 2,求？E 的长.A【答案】 见解析；(2) -，3 3【分析】(1)根据EF= BD可得 即=?d ,进而得到 靠=?F，根据 在同圆或等圆中，同弧或 等弧所对的圆周角相等”即可得出角相等进而可证.(2)连接DF,根据切线的性质及垂径定理求出GF、GE的长，根据 在同圆或等圆

31、中，同弧或等弧所对的圆周角相等 ”及平行线求出相等的角，利用锐角三角函数求出ZBHG,进而求出/BDE的度数，确定 BE所对的圆心角的度数，根据 /DFH= 90确定DE为直径，代入 弧长公式即可求解.【详解】(1)EF= BD, Ef= 3D Be = Df / D= / DEF又 BD= BC,/ D= / C, / DEF=/C EF/ BC(2) .AB是直径，BC为切线，ABXBC又 EF/ BC,ABXEF7,弧 BF=CD=X4214，2 .CD-31（3）当点p在Ab上运动时，s*apcd=pccd2由（1）可得：CD=4 PC 3142 2 Sa pcd=- PC -PC =

32、 -PC2, 233 当PC最大时，APCD的面积最大，22 50 当PC为。直径时， PCD的最大面积=-X2=33【点睛】本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，锐角三角函数，求 出PC的长是本题的关键.13.（问题情境）如图1,点E是平行四边形 ABCD的边AD上一点，连接 BE、CE图1图二图3图1求证：Svbce S平行四边形ABCD.（说明：S表示面积）请以问题情境”为基础，继续下面的探究（探究应用1）如图2,以平行四边形 ABCD的边AD为直径作OO,。与BC边相切于点 H,与BD相交于点 M.若AD= 6, BD=y, AM = x，试求y与x之间的函数关

33、系式.（探究应用2）如图3,在图1的基础上，点 F在CD上，连接 AF、BF, AF与CE相交于点 G,若 AF= CE,求证：BG平分/AGC.（迁移拓展）如图 4,平行四边形 ABCD中，AB: BC= 4: 3, Z ABC= 120, E是AB的中 点，F在BC上，且BF： FC= 2： 1,过D分别作DGLAF于G, DHI CE于H,请直接写出 DG: DH的值.【答案】【问题情境】见解析；【探究应用拓展】.19:2,7.11 y ；【探究应用2】见解析；【迁移 x1（1）作EF_L BC于F,则Sk bce= BCX EF S平行四边形abcd= BCX EF即可得出结论；2（2

34、）连接OH,由切线的T生质得出 OH,BC, OH= 1 AD= 3,求出平行四边形 ABCD的面2积=人OH= 18,由圆周角定理得出 AMLBD,得出4ABD的面积=-BDX A阵。平行四22边形的面积=9,即可得出结果;，,，一 一，| 八，一一八一，一一 1 ，(3)作BMLAF于M, BNLCE于N,同图1得：4ABF的面积=4BCE的面积=平行2四边形ABCD的面积，得出 1AFX BM 1 CEX BN证出BM= BN,即可得出BG平分 22ZAGC.(4)作AP，BC于P, EQ! BC于Q,由平行四边形的性质得出 /ABP= 60,得出/ BAP= 30,设AB=4x,则BC

35、= 3x,由直角三角形的性质得出BP= - AB= 2x, BQ= 1 BE, AP=2273 BP= 2j3x,由已知得出 BE= 2x, BF= 2x,得出 BQ=x, EQ=屈 x, PF= 4x, QF= 3x, QC= 4x,由勾股定理求出 AF= JAP2 pf2 =2 x, CE= JeQ2 QC2 = 、,19x,连接DF、DE,由三角形的面积关系得出AFX DG CEX DH即可得出结果.【详解】(1)证明：作 EF BC于F,如图1所示：1 _则 SABCE= BCX EF S 平行四边形 ABCD= BCX EF2-SVBCE 二 SYABCD , 2解：连接OH,如图2

36、所示： 。0与BC边相切于点 H, OHXBC, OH= 1AD=3 2，平行四边形 ABCD的面积=ADX OH6X3= 18,.AD是。的直径，/ AMD =90 ,.-.AM BD, .ABD的面积=1 BDX A阵1平行四边形的面积= 9,22.1 一即一xy= 9,218y与xn间的函数关系式 y= 一； x(3)证明：作8“，人5于”，BNXCET N,如图3所示：1 一一，一_一同图1得：4ABF的面积=4BCE的面积=一平行四边形 ABCD的面积,2 1 AFX B阵 1CEX BN22.AF=CE，BM = BN,BG 平分 / AGC.(4)解：作 APIBC于P, EQ

37、BC于Q,如图4所示：.平行四边形 ABCD中，AB： BC= 4： 3, Z ABC= 120；/ ABP= 60 ；/ BAP= 30 ,设 AB= 4x,贝U BC= 3x,.BP= AB= 2x, BQ= BE, AP= J3 BP= 2 J3x, 22-E是AB的中点，F在BC上，且BF: FC= 2: 1,.BE=2x, BF= 2x,.BQ=x,EQ= 6x, PF= 4x, QF= 3x, QC= 4x,由勾股定理得：AF= TaP2PF2 =2 后 x, CE= JEQ_QC2 = Vl9x,-r-，一人，一一1 一，-连接DF、DE,则4CDE的面积=4ADF的面积=平行四

38、边形 ABCD的面积,2 .AFX DGCEX DHDG: DH= CE AF= 19x :2.7x .19 ：2.7 .【点睛】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、平行四边形的性质、三角形面积公式、含30。角的直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的判定等知识；本题综合性强，需要添加辅 助线，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键.14.如图，AB为。的直径，BC为。的弦，过。点作OD，BC,交。的切线CD于点 D,交。于点E,连接AC、AE,且AE与BC交于点F.(1)连接BD,求证：BD是。的切线；(2)若 AF: EF=2: 1,求 tan/CAF的值.D【答案】(1)证明见解析；(2) Y3.3【解析】【分析】(1)根据全等三角形的性质得到 / OBD=/ OCD=90 ,根据切线的判定定理即可得到结论；(2)根据已知条件得到 AC/ DE,设O