2020-2021中考数学直角三角形的边角关系(大题培优)含详细答案

1、2020-2021中考数学直角三角形的边角关系（大题培优）含详细答案一、直角三角形的边角关系1 .如图，在 4ABC中，/ABC=/ ACB,以AC为直径的。0分别交 AB BC于点M、N,点P在AB的延长线上,且 / CAB=2/ BCP（1）求证：直线CP是。的切线.(2)若 BC=2/ sin/BCP=5 ,求点 B 至ijAC 的距离.（3）在第（2）的条件下，求 4ACP的周长.【答案】（1）证明见解析（2） 4 （3） 20试题分析：（1）利用直径所对的圆周角为直角，2/CAN=/ CAB, /CAB=2/ BCP判断出/ ACP=90 即可；（2）利用锐角三角函数，即勾股定理即可

2、.试题解析：（1）ZABC=Z ACB, .AB=AC,.AC为。0的直径，/ ANC=90 ； / CAN+/ ACN=90 ； 2/ BAN=2/ CAN=Z CAB, / CAB=2/ BCP, / BCP玄 CAN,/ ACP=ZACN+Z BCP之 ACN+Z CAN=90 ；点D在。O上，直线CP是。的切线；(2)如图，作BF,AC,. AB=AC, /ANC=90；1.CN，CbW, / BCP玄 CAN, sin/ BCP=5 ,唧sin / CAN=，CN _k 丁.AC=5,.AB=AC=5,设 AF=x,贝U CF=5- x,在 RtABF 中，BF?=Ab2-AF2=2

3、5-x2,在 RtCBF中，BF2=BC2C声=2O (5x) 2,.25-x2=2O- (5-x) 2,.x=3,. BF2=25 - 32=16,BF=4,即点B到AC的距离为4.考点：切线的判定2.已知RtABC中，/ACB=90,点D、E分别在BC、AC边上，连结 BE、AD交于点P, 设AC=kBD, CD=kAE k为常数，试探究 /APE的度数：(1)如图1,若k=1,则/APE的度数为；(2)如图2,若k=J3,试问(1)中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出/APE的度数.(3)如图3,若k=,且D、E分别在CR CA的延长线上，(2)中的结论是否成立，请说明理

4、由.【答案】（1） 45。； （2） （1）中结论不成立，理由见解析；（3） （2）中结论成立，理由见解析.【解析】分析：（1）先判断出四边形 ADBF是平行四边形，得出 BD=AF, BF=AD,进而判断出 FA三ACD,得出EF=AD=BF再判断出/ EFB=90 ；即可得出结论；（2）先判断出四边形 ADBF是平行四边形，得出 BD=AF, BF=AD,进而判断出 FAEAACD,再判断出/EFB=90；即可得出结论；（3）先判断出四边形 ADBF是平行四边形，得出 BD=AF, BF=AD,进而判断出 ACDHEA,再判断出/ EFB=90；即可得出结论；详解：（1）如图1,过点A作A

5、F/ CB,过点B作BF/ AD相交于F,连接EF,aL却 ./FBE=Z APE, /FAC4 C=90 ；四边形 ADBF是平行四边形, BD=AF, BF=AD. . AC=BD, CD=AE .AF=AC. / FAC土 C=90 ； .FAEAACD,EF=AD=BF / FEA=Z ADC. / ADC+Z CAD=90 , / FEA+/ CAD=90 = Z EHD.1. AD/ BF,/ EFB=90 . .EF=BF/ FBE=45,/ APE=45 ,(2) (1)中结论不成立，理由如下：如图2,过点A作AF/ CB,过点B作BF/ AD相交于F,连接EF,CD图2./F

6、BE=Z APE, /FAC4 C=90 四边形 ADBF是平行四边形, BD=AF, BF=AD. AC=/3bD, CD= , 3 AE,蛆CD 3BD AE3 BD=AF,. 王CDq.AF AE4 / FAC叱 C=90 ;5 .FAEAACD,ACADBF-V3, /FEA之 ADC.AFEFEF6 / ADC+/ CAD=90 ,7 / FEA+/ CAD=90 = Z EMD.1. AD/ BF,/ EFB=90.在 RtEFB 中，tan/FBE=EFBF/ FBE=30,/ APE=30 ,OEBDH是平行四边形,CD, DH/BE, EH, DH 相交于 H,连接 AH,

7、.BE=DH, EH=BDAC= 3BD, CD=、.3AE,ACBDCDae3 / HEA=/ C=90 ；4 .ACDAHEAsADAHAC J3 , / ADC=Z HAE EH5 / CAD+/ ADC=90 ,6 / HAE+Z CAD=90 ；/ HAD=90 :AH在 RtDAH 中，tan/ADH= J3 AD / ADH=30 ；/ APE=30 ,点睛：此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，构造全等三角形和相似三角形的判定和性质.3.在正方形ABCD中，BD是一条对角线.点P在射线CD上（与点C, D不重合），

8、连接 AP,平移ADP,使点D移动到点C,得到ABCQ,过点Q作QHLBD于点H,连接AH、 PH.（1）若点P在线CD上，如图1,依题意补全图1 ;判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明；（2）若点P在线CD的延长线上，且 ZAHQ=152,正方形 ABCD的边长为1 ,请写出求 DP长的思路.（可以不写出计算结果）1 -Wnl71 【答案】（1）如图；AH =PH, AHPH.证明见解析（2） 3n加,或1 + tanl7 【解析】试题分析：（1）如图（1）;（1）法一：轴对称作法，判断：AH=PH,AHXPHI.连接CH,根据正方形的每条对角线平分一组对角得：4DHQ等腰RtA ,

9、根据平移的性质得DP=CQ,证得4HD国HQC,全等三角形的应边相等得PH= CH,等边对等角得/HPC=/HCP,再Z合BD是正方形的对称轴得出 /AHP= 180 - Z ADP= 90, .AH： PH且AH, PH.四点共圆作法，同上得：/HPC=/DAH,，A、D、P、H共向，/AHP= 90； / APH=/ADH=45 , . APH 等腰 Rt4 .（2）轴对称作法同（1）作HR，PC于R,DR HR / DCH= 17 ：设 DP= x,贝U可得出x的值.四点共圆作法，A、H、D、AD1PD = tan2B所62 口 62 口试题解析：（1）法一：轴对称作法，判断： AH=P

10、H, AH证：连接 CH,得：4DHQ等腰RtA ,/ HPC= / HCPBD为止方形 ABCD对称轴，AH = CH, / Z AHQ=152, ，/AHB= 62, . . / DAH= 1717HRRQ - rjtanl7工.由匕户代入HR, CR解方程即P 共向，Z APD= / AHB= 62,_ PH. DP= CQ,AHDPAAHQC, . PH= CH,:DAH= / HCP,AH= PH, / DAH= / HPC,/ AHP= 180 - Z ADP= 90 :AH= PH 且 AH, PH.法二：四点共圆作法，同上得：/HPC=/DAH,，A、/APH= / ADH=

11、45 ,. APH 等腰 RtA . DE, 当ED和EM为等腰三角形 EDM的两腰， OEXDM, 又 AD= AC,.ADC为等边三角形，/ CAD= 60 ；/ DAO= 30 ；/ DON= 60 ;,1在 RtADN 中，DN=AD=732 在 RtA ODN 中,ON=匣 DN= 13 ， 当ON等于1时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形；当MD=ME, DE为底边，如图 3,作DHXAE,. AD=2 73 , /DAE= 30。，.DH= 73, /DEA= 60 , DE= 2, .ODE为等边三角形，.OE=DE= 2, OH=1, . Z M = Z DAE= 30

12、 ；而 MD=ME,/ MDE= 75 ,Z ADM =90 - 75 = 15 ；/ DNO= 45 ；.NDH为等腰直角三角形，,-.nh=dh=也,ON= 73 - 1 ;综上所述，当ON等于1或J3 - 1时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形;(3)当。O变动时DP-DQ的值不变，DP - DQ= 2 J3 .理由如下：连AP、AQ,如图2,3 z c= Z CAD= 60 ；而 DPI AB,4 .AC/ DP,/ PDB= Z C= 60 ,又 / PAQ= / PDB,/ PAQ= 60 ,Z CAQ= / PAD5 . AC=AD, /AQC=/P,6 .AQCAAPD,

13、.DP= CQ,7 .DP- DQ= CQ- DQ= CA2 M .【点睛】在同圆和等圆中，相30的直角三角形三边的关本题考查了垂径定理和圆周角定理：平分弧的直径垂直弧所对的弦;等的弧所对的圆周角相等.也考查了等腰三角形的性质以及含系.10.如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60。方向前进实施拦截，红方行驶 1000米到达C处后，因前方 无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西 45。方向前进了相同的距离，刚好在 D处成功 拦截蓝方，求拦截点 D处到公路的距离（结果不取近似值）.D【答案】拦截点 D处到公路的距离是（500 + 50

14、。）米.【解析】试题分析：过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E；过C作AB的垂线，过D作AB的平行线，两线交于点F,则/ E=Z F=90。，拦截点D处到公路的距离1 1DA=BE+CF 解 RtBCE 求出 BE=7 BC. 乂 1000=50张；解 RCDF,求出J2CF二 CD=5006米，则 DA=BE+CF=（500+500百）米.试题解析：如图，过 B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E;过C作AB的垂线，过D作AB的平行线，两线交于点 F,则ZE=Z F=90。，拦截点D处到公路的距离 DA=BE+CF在 RtBCE中，. /E=90, /CBE=60,/

15、 BCE=30,1 1BE=- BC=- X 1000=50米；在 RtCDF中， ZF=90, /DCF=45, CD=BC=1000米，.CF=4CD=500忘米， .DA=BE+CF=( 500+500 卢)米,故拦截点D处到公路的距离是(500+500)米.AB考点：解直角三角形的应用 -方向角问题.11.如图，正方形 ABCD的边长为72+1,对角线AC、BD相交于点O, AE平分/BAC分别 交 BC BD 于 E、F,(1)求证：ABFsACE；(2)求 tan/BAE的值；(3)在线段AC上找一点P,使得PE+PF最小，求出最小值.DC【答案】(1)证明见解析；(2) tan/

16、EAB= J2 T ; (3) PE+PF的最小值为 22【解析】【分析】(1)根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可；(2)如图1中，作EHIAC于H.首先证明 BE=EH=HC设BE=EH=HC=x构建方程求出 x 即可解决问题；(3)如图2中，作点F关于直线AC的对称点H,连接EH交AC于点P,连接PF,此时PF+PE的值最小，最小值为线段 EH的长；【详解】(1)证明：二四边形ABCD是正方形，/ ACE= / ABF= / CAB- 45 ；1 . AE 平分 / CAB,/ EAC= / BAF= 22.5 ,2 .ABFAACE(2)解：如图1中，作EHIAC于H.图1 .EA

17、 平分/CAB, EHXAC, EB AB, .BE=EB, / HCE= 45 ； C CHE= 90 ;/ HCE= ZHEC= 45 ； .HC=EH,-.BE=EH= HC,设 BE= HE=HC= x,贝U EC= . 2 x, BC=拒+1,-x+x= 2+1,. . x= 1 ,在 RtA ABE 中， Z ABE= 90,BE _1_ -tan / EAB=尸v2 1 .AB .2 1(3)如图2中，作点F关于直线AC的对称点H,连接EH交AC于点P,连接此时 AC= Jab2 bc2 =2+ &,八 八 12、2.OA=OC= OB= -AC= ,22,-.OH = OF=

18、OA?tanZ OAF= OA?tan / EAB= 2 ? ( V2 - 1)=22八八 2.2.HM=OH+OM=在 RtA EHM 中,EH= Jem 2 HM 2 =22,=2 22.PE+PF的最/、值为22 22【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，勾股定理，最短问题等知识，解题的关键是 学会添加常用辅助线，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型.BDAE于 D.（1）求证：/DBA=/ ABC;1（2）如果 BD=1, tan/BAD,求。的半径.5【答案】（1）证明见解析；（2） .【解析】试题分析：（1）如图，连接 OA,由AE为。的切线,BD AE得至U / DAO=/ EDB=90 ,于是得到 DB/AO,推出/ DBA=/ BAO,由于 OA=OB,得到/ ABC=/ BAO,即可得到结 论；（2）根据三角函数的知识可求出AD,从而根据勾股定理求出