2020-2021成都中考数学综合题专练∶相似

1、2020-2021成都中考数学综合题专练：相似一、相似1.如图，矩形 OABC的两边在坐标轴上，点 A的坐标为(10, 0),抛物线y=ax2+bx+4过 点B, C两点，且与x轴的一个交点为 D (-2, 0),点P是线段CB上的动点，设 CP=t(0vtv 10)(1)请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式;(2)过点P作PH BC,交抛物线于点E,连接BE,当t为何值时，Z PBE=/OCD?(3)点Q是x轴上的动点，过点 P作PM/ BQ,交CQ于点M,作PN/ CQ,交BQ于点N,当四边形PMQN为正方形时，请求出 t的值.【答案】(1)解：在y= ax2 + bx+ 4中，令x

2、= 0可得y= 4,C (0, 4),四边形OABC为矩形，且 A (10, 0),.B (10, 4),押& +$皿+ 4 = q把B、D坐标代入抛物线解析式可得加工为0-6 二一、解得,，抛物线解析式为 y= t：x2+x+4;(2)解：由题意可设 P (t, 4),则E (t,心t2+ J t + 4),13I J T.PB= 10- t, PE=4 t2+ 3 t+4- 4=启 t2+ J t, / BPE= / COD= 90 °,当/ PBE= / OCD时，则PB上OCD, PE 掰.8& ,即 BP?OD= CO?PE15 T:.2 (10- t) =

3、 4 (& t2+ & t),解得 t= 3 或 t=10 (不合题意，舍去)， 当 t=3 时，/PBE= /OCD;当/ PBE= / CDO 时，贝MPB&aODC,PE PB . oc 血，即 BP?OC= DO7PE,，4 (10-t) = 2 (& t (10-t),解得 t= 3 时，同理可求得t =+ J t),解得t= 12或t= 10 (均不合题意，舍去)综上所述.,当t=3时，/PBE=/OCD(3)解：当四边形 PMQN 为正方形时，则 Z PMC= Z PNB= Z CQB= 90°, PM=PN, / CQO+ / AQB=

4、 90 °, / CQO+ / OCQ= 90 °,/ OCQ= / AQB, RtA COg RtAQAB,CO 0Q.阳 如,即 OQ?AQ= CO?AB设 OQ= m,则 AQ= 10- m,1. m (10-m) =4x4 解得 m=2 或 m=8,当m = 2时，CQ= '火*=入$CQ,sin/CBQ=.PM = PC?sinZ PCQ=t, PN=PB?sin/ CBQ=I(10-t),1626.当四边形【解析】PMQN为正方形时，t的值为J或了【分析】(1)先求出抛物线与 y轴的交点C的坐标，再根据矩形 ABCO及点A的坐标为(10, 0),求出点B

5、的坐标，然后利用待定系数法，将点B、D的坐标分别代入函数解析式求出二次函数解析式。(2)设P (t, 4),利用抛物线的解析式表示出点E的坐标，可求出 PR PE的长，再分情况讨论：当 /PBE=/OCD时，可证 PB&4OCD,利用相似三角形的性质，的长BP?OD= CO?PE建立关于t的方程，求出符合题意的 t的值；当/PBE=/CDO时，可得 PBEAODC,利用相似三角形的性质得出 BP?OC= DO?PE,建立关于t的方程，求出t 的值，综上所述就可得出符合题意的 t的值。(3)当四边形 PMQN为正方形时，贝U Z PMC= Z PNB= Z CQB= 90°,

6、PM= PN,再证明RtACOQsRtAQAB,利用相似三角形的性质得出OQ?AQ= CO?AB,设 OQ= m,贝U AQ= 10-m,建立关于 m的方程，求出 m的值，再分别根据 m的值求出C。BQ的长，再利用 解直角三角形用含t的代数式分别表示出 PM、PN的长，由PM=PN可得出关于t的方程， 再解方程，就可求出符合题意的 t的值。2.如图，M 为等腰 4ABD的底 AB的中点，过 D作 DC/ AB,连结 BC; AB=8cm, DM=4cm, DC=1cm,动点P自A点出发，在 AB上匀速运动，动点 Q自点B出发，在折线 BC- CD上匀速运动，速度均为1cm/s,当其中一个动点到

7、达终点时，它们同时停止运动，设点P运动t (s)时，4MPQ的面积为S (不能构成4MPQ的动点除外).门7 P H 3(1) t (s)为何值时，点 Q在BC上运动，t (s)为何值时，点 Q在CD上运动;(2)求S与t之间的函数关系式；(3)当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？(4)当点Q在CD上运动时，直接写出t为何值时，4MPQ是等腰三角形.【答案】(1)解：过点C作CH AB,垂足为E,如图1, DA=DB, AM=BM ,.-.DM ±AB. .CE± AB,.ZCEB = 90 . .CE/ DM. . DC/ ME,CE/ DM,上也蛙=90 ,，四边形

8、DCEM是矩形，.CE=DM=4, ME=DC=1. .AM=BM,AB=8,.AM=BM=4.BE=BM-ME=3./£即二如: CE i,欧= 3, .CB=5.当t=4时，点P与点M重合，不能构成 AMPQ,t 丰 4.当。: F W 3且t W 4时，点Q在BC上运动；当5 W f W 6 (s)时，点Q在CD上运动.(2)解： 当0<t<4时，点P在线段AM上，点Q在线段BC上, 过点Q作QFLAB,垂足为F,如图2, CA P " E 尸 3图21 . QFXAB, CELAB,ZQFB = /CEB = 902 .QF/ CE.3 .QFBACEB

9、.;14t28tS =-PM =-(4 - t) r =一二声 #.二二55-j当/ ： t W 5时，点p在线段BM上，点Q在线段BC上,过点Q作QF,AB,垂足为F,如图3,-.QF±AB,CEL AB,4 .QF/ CE.QFEACEB.I141 28tS 二 W OF = -(t - 4)'二二二产 225 n5当51F W6时，点P在线段BM上，点Q在线段DC上,过点Q作QF，AB,垂足为F,如图4,此时 QF=DM=4.5 PM=AP-AM=t-4 ,J1S =-PM * OF =-(t - 4) X 4 = 2i - R二,J2 at2 , 8ts ='

10、. # ,s =尸二i综上所述：当 0<t<4时 53,当,F W时，5$ 当5 1 W后时，S=2t-8.(3)解：当0<t<4时,0<2<4,8当t=2时,S取到最大值，最大值为二对称轴为x=2.当x>2时，S随着t的增大而增大,当t=5时,S取到最大值，最大值为当 5 f W d时，S=2t-8.2>0,，S随着t的增大而增大，当t=6时，S取到最大值，最大值为2X 6-8=4.综上所述：当t=6时，S取到最大值，最大值为45, MP=t-4<6-4 ,即 MP<2,QMw MP QPw MP若4MPQ是等腰三角形，则 QM=Q

11、P. QM=QP, QFXMP, .MF=PF=12MP. MF=DQ=5+1-t=6-t , MP=t-4 , 1 -4）. 士16 解得："亍 16当t= J秒时， MPQ是等腰三角形【解析】【分析】（1）过点C作CH AB于E,结合题中条件得出四边形DCEM是矩形，结合矩形性质和勾股定理求出BC的长，最后考虑不能构成 MPQ,即可解决问题。（2）由于点P、Q的位置不一样，导致 PM、QF的长度不一样，所以 S与t的函数关系式不同， 所以分三种情况讨论 当0<t<4时当4 < t <的当5 < t <时。（3）利用二次函 数性质和一次函数性质分

12、别求出最大值，然后比较得出最后结论。（4）根据等腰三角形性质及题中条件易得 QWMP, QBMP,所以当4MPQ是等腰三角形时，只有QM=QP.利用它建立关于t的等量关系，解出t即可3.如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球A t ,f/(1)球在地面上的影子是什么形状？(2)当把白炽灯向上平移时，影子的大小会怎样变化？(3)若白炽灯到球心的距离是1 m,到地面的距离是 3 m,球的半径是0.2 m,则球在地面上影子的面积是多少？【答案】(1)解：球在地面上的影子的形状是圆.(2)解：当把白炽灯向上平移时 ，影子会变小.I oA(3)解：由已知可作轴截面，如图所示：If F 。依题可得：OE

13、=1 m, AE=0.2 m, OF=3 m, AB± OF于 H, 在 RtA OAE 中,l; ;, M.OA=|J纺二小=产-2 = 5 (m), / AOH=/ EOA, / AHO=/ EAO=90 ,°.OAHsOEA,又 / OAE=Z AHE=90 , / AEO=Z HEA, .OAEAAHE,OE Ah.OA = Ah忸A£ 2 j.-AH=2625 (m).依题可得： AHOsCFQahcf=ohof ,. CF= AH?OFOH = 2625X 32425=64 (m) S 影子=兀 2=CF - (64)2 = 38 兀=0)375 兀(

14、m答：球在地面上影子的面积是0.375兀m.【解析】【分析】(1)球在灯光的正下方，根据中心投影的特点可得影子是圆.(2)根据中心投影的特点：在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长；所以白炽灯向上移时，阴影会逐渐变小(3)作轴截面(如图)由相似三角形的判定得三组三角形相似，再根据相似三角形的性质 对应边成比例，可求得阴影的半径，再根据面积公式即可求出面积4.如图，在等腰 4ABC中，AB=BC以BC为直径的OO与AC相交于点 D,过点 D作 DE，AB交CB延长线于点E,垂足为点F.(1)判断DE与。O的位置关系，并说明理由;(2)若。O的半径R=5, tanC=L；

15、,求EF的长.【答案】(1)解：DE是。的切线，理由如下：如图，连接 OD, BD,. AB 是。的直径，/ ADB=/ 90 °, .1.BDXAC. AB=BC, .1.AD=DC. / OC=OB, ，OD/ BA, / DE± BC, . . DEL OD,，直线 DE 是。的 切线.(2)解：过 D 作 DHL BC 于 H, OO 的半径 R=5, tanC=& , . . BC=10,设 BD=k,CD=2k, .-.BC= "" k=10, . k=2 3 , . BD=2 " , CD=4，. DH= 川 =4, .

16、OH=25 l/d个源一次f =3,DE± OD, DHXOE, . OD2=OH?OE, . . OE= ? , . . BE= 3 , DEX AB, .BF/OD,ABFEAODE, ,加Bk而.BF=2, EF="城-丽BF 3【解析】【分析】(1) DE是。的切线，理由如下：如图，连接 OD, BD,根据直径所对 的圆周角的直角得出 /ADB=/ 90°,根据等腰三角形的三线合一得出AD=DC,连接三角形两边中点的线段是三角形的中位线，又三角形的中位线平行于第三边，得出OD/ BA,又DE± BC,根据平行线的性质得出 DEL OD,从而得出结

17、论：直线 DE是。的切线；(2)过D作DHLBC于H,根据正切函数的定义，由 tanC三，可以设 BD=k, CD=2k,根据 勾股定理表示出 BC,再卞!据BC=1Q列出方程，求解得出 k的值，进而得出 CD,BD的长， 根据面积法即可算出 DH的长，再根据勾股定理算出 OH的长，然后判断出 AODH与ODE 相似，根据相似三角形对应边成比例即可得出OD2=OH?OE,根据等积式算出 OE,的长，从而根据线段的和差算出BE的长，再判断出 BFaODE,根据相似三角形对应边成比例BF Bb得出值出,根据比例式即可算出 BF,最后根据勾月定理算出 FE的长。5.如图，已知二次函数y=ax2+ 士

18、 x+c的图象与y轴交于点 A (0, 4),与x轴交于点 B、C,点C坐标为(8, 0),连接A® AC.(1)请直接写出二次函数y=ax2+ L x+c的表达式；(2)判断4ABC的形状，并说明理由;(3)若点N在x轴上运动，当以点 A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标；(4)若点N在线段BC上运动(不与点 B、C重合)，过点 N作NM / AC,交AB于点M,当4AMN面积最大时，求此时点 N的坐标.【答案】(1)解：. A (0, 4) , .-.c=4,把点 C坐标(8, 0)代入解析式，得：a=-，二次函数表达式为(2)解：令y=0,则解得，x

19、1=8, x2="-2" , .点B的坐标为(-2, 0),由已知可得，在 RtA AOB 中,AB-2=BO2+AO2=22+42=20 ,在 RtA AOC 中 AC-2=AO2+CC2=42+82=80 ,又 . BC=OB+OC=2+8=10 .在4ABC中 AB-2+ AC-2=20+80=102=BC2 , . 4ABC是直角三 角形；(3)解：由勾股定理先求出AC, AC=J产-网 &万，在x轴负半轴，当 AC=AN时，NO=CO=8,.此时 N (-8, 0);在 x 轴负半轴，当 AC=NC 时，NC=AC=/号 , ,. CO=8, NO= A%

20、 -8,.此时 N (8-入万，0);在x轴正半轴，当 AN=CN时，设 CN=x,则 AN=x, ON=8-x,在 RtA AON 中，斟 +出-3： =.，解得：x=5, . ON=3, 此时N (3, 0);在x轴正半轴，当 AC=NC时，AC=NC=./1 , . ON=入0+ 8,此时 N (人万+ 8,0);综上所述：满足条件的N点坐标是(-8,0)、(8-八那，0)、(3,0)、(8+ A0 0);(4)解：设点 N的坐标为(n, 0),则BN=n+2,过M点作MDx轴于点D,雄WM!)BA .MD/OA, . BMDsbao,3* 0A, /MN /AC,. SA贸,.OABC

21、,J 1. OA=4 , BC=10 , BN=n+2 , MD= 5( n+2 ) ,Saamn= Saabn- Sabmn =/1112-BN L QA -BNW -X(n * 2) X 4-二X:伪子如 X (n * 2)9(J少jfT(n - 3A -1+5,- d <0,，n=3时，S有最大值，当AAMN面积最大时，N点坐标 为(3, 0).【解析】【分析】(1)用待定系数法可求二次函数的解析式；(2)因为抛物线交 x轴于 曰C两点，令y=0,解关于x的一元二次方程可得点B的坐标，然后计算 AB、BC AC的长，用勾股定理的逆定理即可判断；(3)由(2)可知AC的长，由题意可知

22、有 4种情况：在x轴负半轴，当 AC=AN叱 在x轴负半轴，当 AC=NC时； 在x轴正半轴，当 AN=CN时； 在x轴正半轴， 当AC=NC时；结合已知条件易求解； BMDsBAO,于是有比(4)设点N的坐标为(n, 0),则BN=n+2,过M点作MDx轴于点D,由平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似可得例式阅 0A ,根据平行线分线段成比例定理可得BA BC ,所以，M 将已知线段代S»A AMN= S»A ABN- SabMN =入比例式可将 MD用含n的代数式表示出来，根据三角形的构成可得 .? BN?OA-tBN?MD,将BN、MD代入可得

23、关于n的二次函数，配成顶点式根据二次函数的 性质即可求解。6.如图，4ABC内接于OO,且AB= AC.延长BC到点D,使CD= CA,连接AD交。O于点E.(1)求证：ABECDE;(2)填空： 当/ABC的度数为 时，四边形 AOCE是菱形； 若AE= 6, BE=8,贝U EF的长为.【答案】 (1)证明：AB=AC, CD=CA ，/ABC=/ ACB, AB=CD.四边形 ABCE是圆内接四边形，/ECD=Z BAE, / CED=/ ABC. / ABC=/ACB=/AEB, . / CED=/AEB, . .AABEACDE (AAS)g(2) 60; 上【解析】【解答】解：(2

24、)当/ABC的度数为60°时，四边形AOCE是菱形; 理由是：连接 AO、OC.四边形ABCE是圆内接四边形，/ABC+/ AEC=180.° . /ABC=60, . . /AEC=120 = Z AOC. . OA=OC,/ OAC=Z OCA=30 : . AB=AC, ABC是等边三角形，/ ACB=60 ,° / ACB=Z CAD+Z D. . AC=CD,/ CAD=Z D=30 ；/ ACE=180 - 120 - 30 =30 ；/ OAE=Z OCE=60四边形AOCE是平行四边形.OA=OC,，？AOCE 是菱形;由（1）得：ABECDE,

25、.BE=DE=8 AE=CE=6 . . / D=/EBC. /CED=Z ABC=Z ACB, ECD CFB,E / AFE=Z BFC, / AEB=Z FCB, AEFs BCF,g故答案为：60° ;【分析】(1)由题意易证/ ABC=Z ACB, AB=CD ;再由四点共圆和已证可得/ABC=/ ACB=Z AEB, / CED=Z AEB,贝环用 AAS可证得结论；(2) 连接AO、CO.宪政 ABC是等边三角形，再证明四边形AOCE是平行四边形，又AO=CO可得结论； 先证ECACFB,可得 EC: ED=CF BC=6:8;再证AEFBCF,贝U AE: EF=BC

26、 CF,从而求出EF.7.已知在矩形 ABCD中，AB=2, AD=4. P是对角线 BD上的一个动点(点 P不与点B、D 重合)，过点 P作PF±BD,交射线 BC于点F,联结AP,画/FPE=Z BAP, PE交BF于点 E.设 PD=x, EF=y.D AD AD(1)当点A、P、F在一条直线上时，求 ABF的面积；(2)如图1,当点F在边BC上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域;(3)联结PC,若/FPC=Z BPE,请直接写出 PD的长.【答案】(1)解：如图，矩形 ABCD,.)五抄.A、P、F在一条直线上，且 PF± BD,. ABPA =%.|上旭

27、。皿二加tmZBAF - AB 2AB 2 乙期出-AD 1Saasf -二挹BF = - X 2 X 1 = 1(2)解： PFXBP,. |上用斗.VpFBN用F = 90° , -，- I/必=/。.,又. / BAP =Z FPEZPBFZABP = 90。.| JH好s AFPE. AD/BC , . . ADB 啊,7t.anzf/W, -PF 1即回-J(3)解:/CPF士 BP。 Z FPE之 BAP, Z DPC=Z BAP, . AB/CD, Z ABD=Z CDB, .PABACPD, ，PB: CD=AB: PD, .PBPD=CDAB,.x ( N5 - x

28、 .x=h七 ± i ；则有 PC: PM=CH: MH,Z BPF=Z DPF=90，Z BPC=Z DPM,Z BPE土 CPF, Z BPE=Z EPE. /BAP=/FPE Z BAP=Z DPM,Z ABD=Z BDC,APABAMPD, .PB: MD=AB: PD,由 PD=x, tan Z PDM=tan Z PFC=Z 、后易得：DN= 5, PN= J , CN=2- 5',- 5xPH=2x, FH= , CH=2-V； x,由PB: MD=AB: PD可得MD= 二 ,从而可得MN,在RtA PCN中利用勾股定理可得 PC,由 PC: PM=CH: M

29、H 可得 PM,在在RtA PMN中利用勾股定理可得关于 x的方程，解得x= 5,a/j -773综上：PD的长为：/土，或|5 I【解析】【分析】(1)要求三角形 ABF的面积，由题意只须求出BF的长即可。根据同角AB BF 1的余角相等可得 Z BAF=Z ADB,所以tan / PBF=tan/ADB= 协 AB 2,结合已知即可求得 1BF的长，三角形 ABF的面积=-'AB * BF;(2)要求 y与x之间的函数关系式，由题意只须证得 ABAD A FPf从而得出比例AB Bi式;丘一应，现在需求出PF的长，代入比例式即可得 y与x的关系式。(3)由已知条件过点 P作PF&#

30、177; BD,交射线BC于点F可知，点F可能在线段 CE上，也可 在CE的延长线上，所以分两种情况求解即可。8.如图，四边形 ABCD内接于。O, AB是。O的直径，AC和BD相交于点 E,且 DC2 =CE CA.(1)求证：BC= CD;(2)分别延长 AB, DC交于点巳若PB= OB, CD=氏讨，求。的半径.【答案】（1）证明：DC2=CECA, DC CA 凝一万， / DCE土 ACD, .CDE幺 CAD, / CDE土 CAD, 又 / CBD叱 CAD, / CDE土 CBD, .CD=CB.(2)解：连结OC (如图)，设。的半径为r,由（1）知 CD=CB ，弧 CD

31、=M CB,/ CDB=Z CBD=Z CAB=Z CAD= / BAD, / BOC=2Z CAB,Z BOC=Z BAD, .OC/ AD,PC. 法PC .PB=OB, . PB=OB=OA=r; PO=2r,.=2=2/'=2,.CD="，.PC=4,PD=PC+CD=6后又 / PCB=Z CDB+Z CBD, / PAD=Z PACB+Z CAD,/ PCB=Z PAD, / CPB=Z APD, .PCB- PAD,PC Pb石而, ?42 f即3T -妣解得：r=4.即。的半径为4.【解析】【分析】(1 )根据相似三角形的判定：两边对应成比例及夹角相等可得 C

32、DE幺CAD,再由相似三角形的性质：对应角相等，等量代换可得/CDE=/ CBD,根据等腰三角形的性质即可得证.(2)连结OC,设。的半径为r,根据圆周角定理可得 /BOC=Z BAD,由平行线的判定得PC PLOC/ AD,根据平行线所截线段成比例可得 s;=2,从而求得 pc PD长，再根据相似PC PB三角形的判定可得 PCB/ PAD,由相似三角形的性质可得 PA PL,从而求得半径.9.已知：A、B两点在直线l的同一侧，线段 AO, BM均是直线l的垂线段，且 BM在AO 的右边，AO=2BM,将BM沿直线l向右平移，在平移过程中，始终保持/ABP=90不变，BP边与直线l相交于点P

33、.(1)当P与O重合时(如图2所示)，设点 C是AO的中点，连接 BC.求证：四边形OCBM是正方形；AB/(2)请利用如图1所示的情形，求证： 五' =加；(3)若AO=2 ,且当MO=2PO时，请直接写出 AB和PB的长.【答案】(1)解：-2BM=AO, 2CO=AO,.BM=CO,1. AO/ BM ,，四边形OCBM是平行四边形， / BMO=90 °, .?OCBM是矩形，/ ABP=90 ,° C是 AO 的中点，.OC=BC矩形OCBM是正方形(2)解：连接 AP、OB,?2 V / ABP=Z AOP=90 ,° A、B、O、P四点共圆，

34、由圆周角定理可知：/ APB=Z AOB,1. AO/ BM ,/ AOB=Z OBM,/ APB=Z OBM,.APBAOBM,AB Ok.PB Eh(3)解：当点P在O的左侧时，如图所示,过点B作BDLAO于点D,易证PE8 4BED,PO Oh丽一应易证：四边形DBMO是矩形, .BD=MO, OD=BM,.MO=2PO=BD,OE 1： , .AO=2BM=2 卜,.BM=卜, .OE= , DE= , 易证ADBsABE, .ab2=ad?ae, ，ad=do=dm=., 56 .AE=AD+DE=.AB=., 声由勾股定理可知：BE= , 易证：APEOAPBM,BE 0曲 2.

35、丽一瓦.PB= ;当点P在O的右侧时，如图所示,过点B作BDLOA于点D, ,.MO=2PO, 点P是OM的中点，设 PM=x, BD=2x, . /AOM=/ABP=90,° a、o、p、B四点共圆，.四边形aopb是圆内接四边形,/ BPM=Z A, .ABDAPBM,AD PhBD 回,又易证四边形ODBM是矩形，AO=2BM, .AD=BM= k'6 ,6 T瓦季,解得：x= ,4,BD=2x=2 .由勾股定理可知： AB=3 " , BM=3【解析】【分析】(1)根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形OCBM是平行四边形，根据有一个角是直角的

36、平行四边形是矩形得出？OCBM是矩形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出OC=BC根据有一组邻边相等的矩形是正方形得出结论；(2)连接 AP、OB,根据/ABP=/ AOP=90,判断出 A、B、O、P四点共圆，由圆周角定理可知：/APB=/ AOB,根据二直线平行内错角相等得出ZAOB=Z OBM,根据等量代换得AB 0A出/APB=/ OBM,从而判断出APBsOBM,根据相似三角形对应边成比例得出幽 刑;(3)当点P在O的左侧时，如图所示，过点 B作BD± AO于点D,易证APEOABED,P0 佻根据相似三角形对应边成比例得出 面一防,易证:四边形 DBMO是矩形，

37、根据矩形的性质得出 BD=MO, OD=BM,故 MO=2PO=BD,进而得出 BM,OE,DE 的长，易证ADBsABE, 根据相似三角形对应边成比例得出AB2=AD?AE,从而得出AE,AB的长，由勾股定理可得 BF的长，易证：APEOAPBM ,根据相似三角形对应边成比例得出 BE : PB=OM : PM=2 : 3 ,根据比例式得出 PB的长；当点P在。的右侧时，如图所示， 过点B作BD± OA于点 D,设 PM=x, BD=2x,由/ AOM= / ABP=90 ,得出四边形 AOPB是 圆内接四边形，根据圆内接四边形的性质得出/BPM=/A,从而判断出 ABDsPBM,

38、根据相似三角形对应边成比例得出AD : BD=PM : BM,根据比例式得出 x的值，进而得出BD, AB, BP 的长。10.问题提出;S F C 君 尸。 C 5 图1图2图3(1)如图1,矩形ABCD, AB= 4, BC= 8,点E为CD的中点，点 P为BC上的动点，CP= 时， APE的周长最小.(2)如图2,矩形 ABCD, AB= 4, BC= 8,点E为CD的中点，点 P、点Q为BC上的动 点，且PQ= 2,当四边形APQE的周长最小时，请确定点 P的位置(即BP的长) 问题解决；(3)如图3,某公园计划在一片足够大的等边三角形水域内部(不包括边界)点 P处修一 个凉亭，设计要

39、求 PA长为100米，同时点 M, N分别是水域 AB, AC边上的动点，连接 P、M、N的水上浮桥周长最小时，四边形 AMPN的面积最大，请你帮忙算算此时四边形 AMPN面积的最大值是多少？(2)解：点A向右平移2个单位到 M,点E关于BC的对称点F,连接MF ,交BC于Q, 此时MQ+EQ最小，,. PQ=3, DE= CE= 2, AE= 2 6，要使四边形APQE的周长最小，只要 AP+EQ最小就行,即 AP+EQ= MQ+EQ,过 M 作 MNBC于 N, .MN / CD .MNQs"CQ .NQ=4 .BP= BQ- PQ= 4+2- 2=4(3)解:如图，作点 P关于

40、AB的对称点 G,作点P关于AC的对称点H,连接GH,交AB, AC于点M, N,此时 APMN的周长最小.-.AP = AG= AH=100 米，/GAM=/PAM, Z HAN = Z PAN, / PAM+Z PAN= 60 °,/ GAH= 120 ；且 AG= AH,/ AGH= ZAHG= 30 °,过点A作AOXGH, .AO=50 米，HO= GO=50米，.GH= 100米，口 Saagh= - GH X AO 2500平方米，- S 四边形 ampn= Saagm+Sa anh= Skagh Saamn , Saamn的值最小时，S四边形ampn的值最大

41、，.MN = GM=NH=3 时2500 $00虱平方米. S四边形ampn = Saagh- Saamn = 2500 ' -3=【解析】【解答】（1） 四边形ABCD是矩形，/ D= 90 = ZABC , AB=CA4, BC=AD=8, .E为CD中点, .DE=CE= 2,在RtADE中，由勾股定理得： AE= J庐。俎=）出* 即 APE的边AE的长一定，要 APE的周长最小，只要 AP+PE最小即可，延长AB至ij M ,使BM = AB= 4,则A和M关于BC对称，3连接EM交BC于P ,此时AP+EP的值最小, 四边形ABCD是矩形， .AB/ CD ,.,.ecfa

42、mbp ,CE C/.正一行2 CP7 一 8 .CP=故答案为:【分析】（1）延长AB至ij M ,使BM=AB,则A和M关于BC对称，连接 EM交BC于P, 此时AP+EP的值最小，根据勾股定理求出AE长，根据矩彩f质得出AB/ CD,推出 ECFAMBP,得出比例式，代入即可求出 CP长；（2）点A向右平移2个单位到 M, 点E关于BC的对称点F,连接 MF,交BC于Q,要使四边形 APQE的周长最小，只要 AP+EQ最小就行，证 MNQsFCQ即可求BP的长；（3）作点P关于AB的对称点 G, 作点P关于AC的对称点H,连接GH,交AB, AC于点M, N,此时 PMN的周长最小.S四 边形AMPN=SAGM+SANH=SzAGH-S AMN , 即SA AMN的值最小时， S四边形AMPN的值最大.11.如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（20, 0）和（0, 15）,动点P从点A出发在线段 AO上以每秒2cm的速度向原点 。运动，动直线 EF从x轴开始以每秒 1cm的速度向上平行移动（即 EF/ x轴），分别与y轴、线段AB交于点E、F,连接EP、FP,设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为 t秒.（1）求t=9时，4PEF的面积；（2）直线EF、点P在运