备战人教版2020年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题26应用AD=xAB+yAC解题探秘

1、的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a都可被这个平面的一组基底ei, e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的.ur uu1、平面向量基本定理：若平面上两个向量0,为不共线，则对平面上的任一向量均存在唯一确定的(其中rurur ur uu1, 2 R),使得a 1e12e2.其中e,e2称为平面向量的一组基底(1)不共线的向量即可作为一组基底表示所有的向量rir(2)唯一性：若a 13ur r2金且air13uu 12。，则 12、“爪”字型图及性质:uuu(1)已知AB, AC为不共线的两个向量，则对于向量AD ,必存在x,y,使得LUUT ADuuuuuirxAB yAC

2、 .则 B,C,Duuur uur uuur专题26应用AD xAB yAC解题探秘【热点聚焦与扩展】.常以平面图形为载体，借助于向量的坐标高考对平面向量基本定理的考查，往往以选择题或填空题的形式出现 形式等考查共线、垂直等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现.用平面向量基本 定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形只要两个向量不共线，就可以作为平面法则进行向量的加减运算和数乘运算.要特别注意基底的不唯一性21点共线1,则D与A位于BC同侧，且D位于A与BC之间1,则D与A位于BC两侧1时,当x 0, y 0 ,

3、则D在线段BC上；当xy0 ,则D在线段BC延长线上(2)已知D在线段BC上，且BD : CDuuurm: n,则 ADn uur m uuur AB AC m n m n3、uuir uuu uuurx,yAD xAB y AC中x, y确定方法(1)在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定uuur uur uuur(2)若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程AD xAB yAC,可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于 x,y的方程，再进行求解(3)若所给图形比较特殊(矩形，特殊梯形等)，则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于x,y的方程，再进行

4、求解【经典例题】uuruuur uuurm例 1.在梯形 ABCM, AD/ BC 已知 AA 4, BC= 6,若 CD mBA nBC (m , nCR),则一=()A. -3 B. -1 C. - D. 3 33【答案】A i-i i-tii lut【解析】过点4作AE"CD,交0c于点Ej则= CE=4,所以mN；十n4C= CD = EA = EB十BA 1 LUILIB1 UH LLH加-BC+BA-BC+BA,所以一二7 33n答案：立【点睛】当向量等式中的向量系数含参时，可通过对两边作同一向量的数量积运算便可得到关于系数的方程.若要解出系数，则可根据字母的个数确定构造

5、方程的数量uuu 例2.12017课标3,理12】在矩形ABC珅，AB=1, AD=2,动点P在以点C为圆心且与 BD相切的圆上.若AP 二uuiruurAB + AD ,则 +的最大值为()A. 3B. 2 2C 5D. 2【答案】A【解析】如图,所示，建立平面直角坐标系设 2f(0J)a 5(0,0)0),2)(2al)a P(x. y),21r 4根据等面积公式可得圆的半径/=定, 即圆c的方程是（尤2另+ /=2 , 或=（为产L）.石 =（01）,石 =（2,0 若满足万=工商十/L历，所以才+以=:一¥十1，设1=3 a+1 ¥即一 + 1N=0j点F（羽田）在

6、圆（工一2? +产=，上?i上-J所以圆心到直线的距离d41解得I大4九所以上的最大值是3即工+以的最大值是力敌选儿【名师点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减 或数乘运算.（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式, 再通过向量的运算来解决.例3.12019届安徽省淮南市高三第一次（2月）模拟】已知（G是血&HC的重心，过点G作直线.M加与凶B,入？交于 点以制，且4川=戈北?，AN = yC, （x.y>0）,则:Jh+j1的最小值是（）A.空 B. - C. 3

7、D. -3沙233D【解析】如图:越,叭6三点共线，：MG二肥N,A6 AM = A (AN AG)j = G是占 ABC的重心,h -h L.h h-1Sk 11a AG =-(AB +AO -vAB = A (yAC- (45 + 40),口口Jp一二-A.Jat :,解得，(3X-1) (3y-l) =15结合图象可知:玄工至L-Ay-A12K a J a令3xl=tn> 5y- 1 = n； ( - <m<23 - <n< 2)； 3iw故报片=L14-m故.一 一 一 - _ -当且仅当m =巴靠=潟等号成立故选D-uuv例4.12019届北京市朝阳区一

8、模】在平面直角坐标系xOy中，已知点A V3,0 , B 1,2，动点P满足OPuuv uuvOA OB,其中，0,1,1,2，则所有点P构成的图形面积为（）A. 1 B. 2 C. .3 D. 2.3【答案】Cuuuvuuvuuv【解析】设P x,y ,则OPOAOB_y 3 x - 2，2 y3 x yx -32.3,2 x,y0 y 1_ 20 y 20 3 x -10 2x y 273，所32_2.3 2x/3 1 y 4.31 y x y 22 32有点P构成图形如图所示（阴影部分），s 1 73 2 Q,故选c.2.属于难题.转化与划【方法点睛】本题主要考查平面向量基本定理以及线性

9、规划的应用及数学的转化与划归思想 归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透,这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握例5.【2019年4月湖南G10教育联盟高三联考】平行四边形ABCD中，AB 3, AD 2,并应用于解题当中.本题中，把向量问题转化为线性规划问题解答是解题的关键BAD 120 ,)uuv uuv uuuvP是平行四边形 ABCD内一点，且AP 1,如AP xAB y

10、AD ,则3x 2y的最大值为(A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】Buuu uuu uuur【解析】AP xAB yAD ,uuu 2 uur uuur 21AP = xAB yAD9x2 4y2 2xy 3 2 (),_、22 3 _ _ _ , 2 12(3x 2y)2-3?3x?2y (3x 2y)- (3x 2y2 =1 (3x 2y)2; 44TEB 1又 AP 二 L即,式3x+2尸产£1,4所以3,十2尸42,当且仅当3兀=2>,印卡 > 产时: 323工+ 2y取得最大值2.故选：B.例6.【2019届四川省雅安市三诊】在直角梯形 AES, A

11、B_LAD, DC/AB, AD = DC=1,AB = 2,E, F分别为AE, BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧DEM上变动(如图所示).而=扁十 靛,其中尢jieR,则2A-U的取值范围是()A.一 B. .- C. . D. 1- *£ 后【答案】A【解析】建立如图所示的坐标系:DC贝以10期，E(ltt),P(cD5ct sina)C-j< a ,即泰三(cos1或峭，而=TD,篇=短， AP = AED + uAF(cosa, sina)=入(一工)+呢;/.rasa = -X + tUj sin口 =1 十;u 4 */A = (Jsina - co

12、sa) f p = (cosft 4- sina)/.2X - u sina - cosa = V?sin(ti -.«一 ° 一 工 .-< tr <-*A37r _ w 霏霆.MEE 一 一二一44-2 £ 遽星祖(tr 2) £ 1故选A.例7.在VABC中，D为BC边的中点，H为AD的中点，过点H作一直线MN分别交AB,AC于点M ,N ,若 uuuu uuu uur uuurAM xAB ,AN yAC ,则x 4 y的最小值是().3 D.A. 9B.2C.4 【答案】【解析】x 4y的最值，则需从条件中得到x,y的关系。由M ,

13、H,N共线可想到uuiruujuruuur“爪”字型图，所以 AH mAM nAN ,其中m n 1,下面考虑将m,n的关系转为x,y的关系。利用条件uuur中的向量关系：AH1 uuur uur 1 uuu AD 且 AD AB 22uuur uuir 1 uurAC，所以 AH AB 4uur uuuuAC ,因为AMuur uuur uuurxAB,AN yAC ,uuiruur所以AH mxABuuurnyAC ,由平面向量基本定理可得:1 mx 一41 ny -41 m 4x .,所以m n 11 n 4y11 1,4x 4y所以x 4y x 4y114x 4y1 ( , 4y x4

14、y14 一，而一4 x yx? 2 ") 4,所以 x 4y 9 y . x y4答案：A例8.12017天津，文理】在 ABC中，/ Auuruur60 , AB 3, AC 2.若 BD 2DCuuir，AEuuir uuuAC AB( R),uuur uur且AD AE 4 ,则 的值为,3【答案】-11 i z【解析】AB AC=3tAD = -ABAC，则33i2j n jj 11【名师点睛】根据平面向量的基本定理，利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一向量，利用向量的uuu uuur定比分点公式表示向量，计算数量积，选取基底很重要，本题的AB, AC已知模和夹角，

15、选作基底易于计算数量积.例9.【2019年衡水金卷调研卷三1如图所示，已知在ABC 中,uuuv 2 uuuvuuuv 1 uuvAE -AC , BD BC , BE 交 AD 于33uuuvuuvuuuv点 F , AFABAC ,则【答案】67uuv【解析】设ADuuu/uuuvkAF k 0 , ADuuv uuuv uuvAB BD AB1 uuuv uuv 一AC AB 32 uuuv 1 uur -AB - AE , 32uuuv 2 uuv 1uuiruuv2uuv 1uur2即 kAF -AB AE，二 AFz.AB AE ,由F、B、E三点共线，得323k2k3k7 uuu

16、v2uuuv 1uur4 uuuv3 uur4 uuv 2 unr解得k .又AFAB AE-AB-AE-AB -AC63k2k7777427,7612k例10.12019届江西省吉安一中、九江一中等八所重点中学高三4月联考】点 M为 ABC所在平面内一动点,uuuv 1 uuv 2且M满足：AM AB 1 33面积为Y3,则BC 2uuvAC , AC 3, A若点M的轨迹与直线AB,AC围成封闭区域的 3uuiv 1 uuv【解析】设AD -AB ,3uuv 2 uuivAE -AC ,则 AE 2.3uuv 1 uuv 2 uuv' M 满足：AM - AB - 1 AC 33I

17、XLB LU>LLO+(1-4)XE，材，D?刊三点共线，时点轨迹为直线D匹;点时的轨迹与直线 皿/C围成封闭区域的面积为 包 2，皿¥小扇二餐,即子和|.2而g =AD 1 ,即 AB 3.AB ACABC为等边三角形BC 3故答案为3. uuuv 1 uuv 2 uuuv点睛：本题考查学生的是三角形面积公式与向量的交汇处，属于中档题目.由AM - AB - 1 AC为突33uuuv uuv uuv破点，构造出 AM AD 1AE是解题的关键，由系数和为 1得出三点共线，可得 M的轨迹为直线，结合三角形面积公式即可.【精选精练】1.【2019届辽宁省朝阳市普通高中一模】在 出

18、4EC中，G为出16C的重心，过G点的直线分别交工3,44于P,。两 点，且和肛= 则"冷（）A. 3 B. : C. 三 D. 三【答案】A【解析】因为G为三角形的重心,所以前以布=;丽，获=:亚，觎而=抬而 jlJl JiL；+ ：=心抽选a.2.12019届河北省武邑中学高三下期中】已知在nULUv UUV ULUv点，且 DAB 600 ,设 AD AB ACA. 2- B. 立 C. 3 D.2 .333【答案】A【解析】分析：建立平面直角坐标系，分别写出*获+就）= ；（而十就' 又而=谅，而=尢就，所而，因为凡Q1G三点共线，所以;= 1，故Rt ABC中，两直

19、角边 AB 1, AC 2, D是 ABC内一R ,则一（）B C点坐标，由于/ DAB=60 ,设 D点坐标为（m, J3m ）,由平面向量坐标表示，可求出入和.详解：如图以A为原点，以AB所在的直线为x轴，以AC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则 B点坐标为 （1, 0）, C点坐标为（0, 2）,因为/ DAB=60 ,设 D点坐标为（RJ3m）,uuvuuvuuv3ADABAC = X( 1, 0)+w( 0, 2)=(入，2科)？入土 m,2故选A.3.【2019届衡水金卷】在平面直角坐标系中，。为坐标原点，,AB = （2.0） ,BC - BA = （l.-l）,设PQe.

20、y）, AP mAB 4-nC,若m3。，n之0,且?n +书三1,则主+ 2y的最大值为（）A. 7 B. 10 C. 8 D. 12【答案】B【解析已知蒜= (*Q)j 5C-BA = (t-l), # =4) = ?n蓊+嬴得到x = 2m 4- n:y =4汽rm =+ y 4)= 4 - y任+ u 42E)因为m之口产北之凡颉 4 -y > 0Lz y -F 2 < 0有不等式组表示出平面区域是封闭的三角形区域.，当目标函数过点,办时取得最大值，为1。故笞案为；B.点睛：利用线性规划求最值的步骤：（1）在平面直角坐标系内作出可行域；（2）考虑目标函数的几何意义，将目标函

21、数进行变形.常见的类型有截距型（ 成 + by型）、斜率型（崇型）和距离型（6+底尸+0+阶工型）；（3）确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解；（4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值；注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形4.【2019届安徽省安庆市二模】 在 ABC中，点。是边BC上任意一点，M是线段AD的中点，若存在实数uuuuuuvuuv和，使得BMABAC ,则A. - B. -2 C. 2 D. 222【答案】B【解析】因为点。在边方C上所以存在eRmy mv jiuv mr.使得 AD =出因为时是线段功的中点，所以mr 1 mr. 1 , mr

22、BM = _qBA + RD）= _-AB 22-uuuv 又BMuuvuuu/AB AC ,所以it所以1-.故选B.25.12019届北京市九中十月月考】如图，半径为J3的扇形AOB的圆心角为120°,点C在AB上，且 COB 30o,uuuvuuvuuv若 OCOAOB ,则（）A.、,3 B. C.4D. 2.333【答案】A【解析】如图所示，建立直角坐标系QZBOC =30t QC =湎C（48s3£ 百就沿叫,即3 月 百3C ： .芋 QZBOA = 12/ 二1(gooD20°s&H 20°) * 即；一芋_33,J3 ,故选 A

23、.2 33【方法点睛】本题主要考查向量的坐标运算、相等向量以及平面向量基本定理，属于难题.向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（1）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（2）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何或者三角函数问题解答A0AE是边长为1的正三角形，若点P满足6.【2019年辽宁省部分重点中学协作体高三模拟】已知0P = (2- t)OA +1OB(t E R),则的最小值为()A.二 B. 1 C. - D. 【答案】C【解析】分析：以。为原点，以0B为墓

24、轴，建立坐标系，可得第二加一近三出4号-张）阿二而XT, 利用配方法可得麻I的最小值.详解：以。为原点，以0B为冗轴，建立坐标系,A0AB为边长为i的正三角形，人4 住野用口期DP = (2-t)OA + tOB =(1+丸第一争),AP = OP - 0A =|AP| =1 1,2t + I点睛：本题主要考查向量的模与平面向量的坐标运算，属于难题.向量的运算有两种方法，一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（1）平行四边形法则；（2）三角形法则；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与求范围问题往往运用坐标运算来解答）7.12019届衡水金卷二】已

25、知在 中,口为边上的点，2M + CD = 0,若森二断血+期就白m £比），贝U的=.【解析】因为2丽+而=0,所以2而=茄，所以而=三筋；所以屈=南斗五5 = 忘+亍靛=同+/?一 殉=三五不则正，所以衽故答案为土8.【2019届四川省德阳市二诊】如图，在三角形QPQ中，M、N分别是边。尸、。的中点，点R在直线M川上，且OR = xOP +y0（? （x,y e R）,则代数式J迎+y口 一式一 1y + ：的最小值为 .【答案】-【解析】因为点R、M、W共线，所以由族二疝+而，有W+m = 1j又因为M、*分别是边叫的中点，所以- -上2川+ v = " + 

26、7;= j原题转化为；净+产：时,求,；+尸-巳一# + ：的最小值问题y = | 占J/£1T占'遥结合二次酶的性宸可知，当工二：时，取得最小值为日故答案为R【点睛】本题主要考查了平面向量的应用，解题的关键是向量共线定理的应用及结论“点R M、N共线，由族二血十而，有斗四=1”的应用9.12019届四川省高三“联测促改”活动】在平面向量中有如下定理：设点 O、P、Q、R为同一平面内的点, uuv uuv uuv则P、Q、R三点共线的充要条件是：存在实数t,使OP 1 t OQ tOR.试利用该定理解答下列问题：如图，在 ABC中，点E为AB边的中点，点F在AC边上，且CF

27、2FA, BF交CE于点M,设 uuuv uuv uuuvAM xAE yAF，则 x y .5【解析】 B,M ,F三点共线,答案:510.12019届北京市北京166中高10月考】如图,在矩形OABC中，点E、F分别在线段 AB、BC上，且满足，存在实数和使得/W=(lm my TUT 1 TTTVyAB = 2AEzAF = -AC runin I mr皿=20-r)/百+与也又瓦MC三点共线,min nn a Tm i nn,二放= 2(l-f) AE+tAF =:空 + ； *43一,y 一557uuv uuv uuv R MOA OB OE,5uuvuuivuuuvAB 3AE, BC 3CF,若 OB OE OF,3【答案】034uuu uuu uur【解析】QOA EB, OAuuu uurOB OEuuu uuuOA EB0.uuuOAQ AB 3AE, BC 3CF ,uuuOBuurOEuuurOFuuu 1 uur