备战高考数学一轮复习(热点难点)专题08函数的最值与值域的妙解

1、专题08函数的最值与值域的妙解考纲要求：1、考查求函数单调性和最值的基本方法；求函数值域或最值.常用方法有：单调性法、图象法、基本不等式法、导数法、换元法.2、会求一些简单函数的定义域和值域.基础知识回顾函数的最值前提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数 M满足条件对于任意x C I ,都有f (x)<M;对于任意x C I ,都有f (x)”存在Xo I ,使得f (Xo)=M存在XoC I ,使得f ( Xo) = m结论M为最大值m为最小值应用举例：招数一：换元法与配方法【例1M2017山东省枣庄八中高三月,考】函数f(x) =logS logQx)的最小值为 .J1【答案

2、】14解析依题意得.fW口司JT (Z-F2J。新工)=(J啄e：+J。器T= 10叱+33且仅兰i1恪尸227 441 -aj21即后学寸等W成立，因此函数仪5的最小值为二【例2】【2017浙江省宁波市高三入学考试】求函数y=x-y/l-2x的值域。1【答案】y|yw2.，一 . J 一 一 1 t2 一一 1 t212 ，一【解析】令 W -2x=t ,则 t >0 且 x = 2-,于是 y = 2-t = -2(t+ 1) + 1,由于 t >0,-1 ，一，1所以y<2，故函数的值域是y|yw2.【例3】函数y sin2x 4sinx 5的值域为()A 1, B 1

3、, C 2,10 D 1,10【答案】C【解析】令，=4叫，曰则原式变为/(?)=/射+5/二(t-2)十 1 在-1递遍，/(-1) = 101/(1) = 2值域为2呵本题选捺c选项.招数二：图像法【例4】.【2017届山西省实验中学高三 3月联考】x .设函数a(x 0),若存在唯一的xo,使得1 cos,x 1, f x 2xJ1_可得f x的取小值为0,取大值为2； g x x - a(x 0) 2Jx a 2 a, x-x当且仅当x 1取得最小值2 a ,由存在唯一的x0,使得h x为h % ,可得2 a 0,解得a 2 ,故选A.【例5】【2017福建省福州市高三模拟考试】设函数

4、g(x) = x2 2(x e r ,0 x 1,h x min f x , g x 的最小值为h x0 ,则实数a的取值范围为()Aa 2Ba2Ca1D. a 1【答案】Ax1 cos x 1【解析】作出函数f x 1 cos 2 ,x 1,的图象，x2,0 x 1,-14 -min f x , g x 的值g(x) x 4,x g(x)f (x)，则f(x)的值域是()g(x) x,x g(x)B. 0, +oo)C-9 c，A ,0 U (1 , +oo49)D. ,0 U(2 , +oo)4【解析】f (x)x< g(x)可得x< 1 或 x>2,x>g(x),

5、即一1W x<2 时,2 x2 xx 2,xx 2, x(,1) (2,1,2,如图，由f(x)得图像可得：当 xv1或x>2一 1、 一 一时，f (-) <f (x) <f (2) ?2时，f (x) >2;当一1W x<29 一一 9-<f (x) < 0,所以 f (x)的域为,044【例6】【2017浙江省金华、丽水、衢州市十二校联考】设min x, yy,x y ,若定义域x,x y为R的函数f(x), g(x)满足f(x) g(x)2xx2 8则 min f x ,g的最大值为【解析】设min f x , g x m , . m m

6、f(x) g(x)2mf(x) g(x)8当且仅x然，当m取到取大值时，x 0 ,x2 8f(x) g(x)当x 8 xx 0时等号成立，即 m的最大值是 Y2 ,故填：Y288【名师点睛】一是在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱,化成立 的条件，如“同向不等式”才可相加、“同向且两边同正的不等式”才可相乘 .【例7】【2017河北省武安一中高三月考】求函数 y log3x 10gx3 1的值域.【答案】(一巴3 U 1 , +8).【解析】图数定义域为闻xE此 口 且Xl).当 JT>1 时n于是方旭Jr+J152JlDgd X- -1 =1 I，口Ik>g

7、aX当 O<JT<1 时，于是 JP= 1 0给7"1= -k>gq x+() 1 -2 1= 3.iQgk-k)gaz故函数的值域是(8, -3U17 +8葭招数四：单调性法x 2 x 5 【例8】设x 2 ,则函数y 的最小值是 x 128 ymin3(1 , e,所以当x=1时，f(x)取得Xi(0 , 十°°)上的函数f(x)满足f X2，-4 _ 一一【解析】令x 1 t,则y t 5,t3,.该函数是3, 上的增函数，则t【例9】函数f(x) = 1nxx在区间(0 , e上的最大值为()A. 1eB. 1C. eD. 0【答案B【解

8、析】因为 f' (x) =11 = 1x,当 x (0,1)时，f' (x)>0；当 x (1 , e时，f' (x) x x<0,所以f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是最大值ln 1- 1 = - 1.【例10】【2017山东烟台市高三摸底考试】已知定义在区间= f(x1) -4(X2),且当 x>1 时,f(x)<0.若 f(3) =1,求 f(x)在2,9上的最小值.【答案】2.一 ，一 ,一一一.X1.【解析】任取 X1, X2(E (0 , 十0°),且X1>X2,则一>1,由于当x>1时，f

9、 (x)<0 ,X2所以 f Xi <0,即 f( Xi) f (X2)<0 ,因此 f(Xi)<f(X2),所以函数f(X)在区间(0 , +8)上是单调递减函数.f (X)在2,9上的最小值为f(9).，一 Xi9由 f = f (Xi) f(X2)得，f = f (9) f (3),而 f (3) = 1,所以 f (9) = 2. X231 1x>0),.f(X)在2,9上的最小值为2.【例11】【2017贵州省贵阳市一中高三月考】已知函数求证：f (X)在(0 , +°°)上是增函数;心，1八，一 1八 ，(2)若f(x)在-,2上的

10、值域是2, 2 ,求a的值.2【答案】(1)略；(2) a=-5【解析】(1)证明；任取贝！ fUJ 1f(总)=1工+ a jf| a心0.邛一4MJ,斯齿M一汽抵)0/艮口打加)丹的)1，£丘)在9, +8)上是增但数.由可知爪力在、4h为增函数,右)一一2二3丹幻一一；二2,解得产招数五：导数法【例12】函数f (X) =x33x1,若对于区间3,2上的任意X1, X2,都有| f (X1) f (X2)| w t, 则实数t的最小值是()A. 20B. 18C. 3D. 0【答案】A【解析】因为 f ' (x) = 3x23=3(x1)( x+ 1),令 f '

11、; (x) =0,得 x=± 1,所以1,1 为函 数的极值点.又 f( 3) = 19,f ( 1) =1, f (1) = 3, f(2) = 1,所以在区间3,2上 f (X)max =1, f(x)min= 19.又由题设知在区间3,2上 f(x)max f ( X) min W t ,从而 t>20,所以 t 的 最小值是20.【例13】【三湘名校教育联盟.2017届高三第三次大联考】已知函数f Xax33 a X在 1,1上的最大值为3,则实数a的取值范围是()A 3 3 B,3 12 C 3,3 D 3,122 '2，【答案】B【解析】f xax33 a

12、x在 1,1上的最大值为3 f x 3对x 1,1恒成立且取到等号，因为fl 3,所以只需考虑fx 3对x 1,1恒成立，一八3 c33八，f x 3 ax 3 a x 3 a x x 3 1 x ax x 13,1 x x 10即x 0, 1时，f x3恒成立；ax x13a3x x 1x 1时,321 x 2，所以0 x 1时单调递增,.T -3-3rliME - x。时，闻#包一。会而”存厂产在卜引上-4遑瓶，在上递增，不篇所以0,12.综上：实数口的取值范围是-打斗点晴：本题主要考查函数导数与不等式，恒成立问题.本题的关键是 f 1 3,所以_3-一 -_、 一f x ax 3 a x

13、在 1,1上的取大值为3 f x 3对x 1,1恒成立，利用变重分离，分xx1 0, x x 1 0, x x 1 0三种情况讨论，然后根据 3在不同情况下对应的值域求得 a的取值范围，最后取交集即可.方法、规律归纳：1、函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，研究函数问题必须树立“定义域优先”的观念.求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴.2、函数的值域是由其对应关系和定义域共同决定的.常用的求解方法有：(1)基本不等式法，此时要注意其应用的条件；(2)配方法，主要适用于可化为二次函数的函数，此时要特别注意自变

14、量的范围;(3)图象法，对于容易画出图形的函数最值问题可借助图象直观求出；(4)换元法，用换元法时一定要注意新变元的范围；(5)单调性法，要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别是闭区间上的函数的最值问题;(6)导数法求函数f(x)在a, b上的最大值和最小值 3步骤求函数在(a, b)内的极值；求函数在区间端点的函数值f(a), f(b);将函数f(x)的极值与f(a), f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.实战演练：1.12017届安徽省池州市东至县高三12月联考】在锐角 位达中，sin4 = 2EmBsinC ,则的.最小值为 【解析】疝1(8 + Q = Sjii

15、L5sinC ,即 smfcusC + co2fsinC = ZsinBsm C t 所以两边同时除以 cosBcasC ?可得tand 4 tan。= 2tanBtmC;谩taufi = c?那么有占卜 s = ZWj tan/1 =-b Q =taiLB 4-tanC b +垢1taiLBtiBM1bc,那 2tam4taii5UnC =三庄J?C- -XXDXC =Mt* _ 工 _ 富、O如一】一意卷一一【上芋W故最小值为日，【点睛】本题的综合性比较强，三角函数的恒等变形和函数求最值的问题相结合,血洌=血(曰+ £)是解三角形的问题中用的比较多的一个公式，这样帮助我们消元，同

16、时还要根据公式 鬻=而&变形为正切关系,这样统一了角,统一了三角函数名称,才能转化为函数关系求最值2.【重庆市2017届高三4月调研测试】 设函数f xlog 21 2一 x3,x2一，x3区间m,4的值域为 1,2 ,则实数m的取值范围为8. 1【解析】由题意，可以考虑采用数形结合法，作出函数f x的图象，当x 1时，函数.x一1,则令log2-2 ,解得x 8,2f x log2 x单调递减，且最小值为 f 12当x 1时，函数f x-x2 -x 2在 1,2上单调递增，在 2,上单调递减,3332 1则最大值为2,且f4 2,f 1 -,综上得所求实数 m的取值为 8, 1 .3

17、 3点睛：此题主要考查对数函数、二次函数、分段函数的值域，以及函数单调性、最值、数形结合法等有关方面的知识，属于中高档题型，也是高频考点.用数形结合的方法解决解析几何 问题时，一方面要发挥图形的直观、形象的作用；另一方面则要注意画图的准确性，完整性和对图口形观察的细致，并注意结合数学运算来完成.3.【河南省息县第一高级中学2017届高三下学期第一次适应性测试】2 cos 1 x sin 1 x(4 x 0),则f x的最大值为，一一44已知函数 f x 2x 4x 5由于分子分母都是正数,目分母在，=/处取得最小11，分子在苏=2处取的最大肉故力在、=2处取得最大值为(-2)=2十也4 .【四

18、川省遂宁市 2017届高三三诊】函数 f x 2x Jx 1的值域是【答案】2,n解析】因为函数y 2x, y jxi在区间1, 上都是单调递增函数，所以函数f x 2x Jx 1在区间1, 上也是单调递增函数，fx f 12,即函数f x 2x Vxl的值域是2,应填答案 2,。5.【2017年全国普通高等学校招生统一考试数学浙江卷】已知a R,函数4 ，一一 一，一f x x a a在区间1,4上的取大值是5,则a的取值氾围是 x4【解析】工印,4口+士中处分解讨论:44当。之5E寸, /(工)=。一工一一 +。= 2口一工一一，国额的最丈值上口4 = 5： n = ?舍去；244当口 4

19、时/(幻=工+ 口+ s=x+ <“此时命题成立;b J XX当 4<a<5E寸>7(x) =max 1|4a|+as 5a +aj ,贝U；4一口 +口 >5-a +a4« +4=5或1|4a| + <7 < 5 a +a|5 一口 +g = 5；解得：4=2或22综上可得,实投门的取值范围是(ft【名师点睛】本题利用基本不等式，由符号的处理，进行有效的分类讨论： m 4x 1,4 ,得x 4,5 ,通过对解析式中绝对值xa 5；a 4；4 a 5,问题的难点在于对分界点的确认及讨论上，属于难题.解题时，应仔细对各种情况逐一进行讨论.6.【

20、河南省南阳市第一中学2018届高三实验班第一次考试】已知函数2f x x 2ax 5 a 1若f x的定义域和值域均是1, a,求实数a的值;f x2 | 4 ,求实数a的取值范围(2)若对任意的x1,x21, a 1 ,总有f x1即12a + 521+5 = 1【答案】（1） a 2;（2）1 a 3【解析】试题分析：（1）先将函数进行配方得到对称轴，判定出函数f （x）在1 , a上的单调性，然后根据一定义域和值域均为1 , a建立方程组，解之即可；（2）将a与2进行比较，将条件“对任意的X1,X2C 1 ,a+1，总有|f（x。-f（X2）|W4”转化成对任意的x1,X26 1 , a

21、+1,总有 f (x) maxf (x) minw4 恒成立即可.试题解析：ar/(x) =(x af + 5 1(* > 1)，%)=1，力在L司上是减函数，又定义域和值域均为L4(2)若口皂2,a E L,a + 1 旦(a+1) 口 11“皿=/。)=6-船，=/g)=5-心:对任意的孙巧el,a+l,总有)-/(与)|<4,"(必一*"4,即(6-2可-(5-吗W4,解得TW,y.a>2, ：.2<a<3 ,若 Iva <2,兀孤(力=4+1)="储,>/(xL =。)=5-4显演立，综上> 1 <*a

22、 <3.7.【河南省息县第一高级中学2017届高三下学期第二次阶段测试】已知函数2x 1x32 f xn的最大值为 M ,最小值为 m,则M m等于()2|x1A0 B.2 C4 D8【答案】C2 2x 2 x3 x3【解析】因为f x 2 2 - 2 x 2 一一3，所以 F x f x 2 Fx 2M 1是奇函数,则由奇函数的性质Fmax xFmin x 0 ,又3一.一 x x因为 Fmax x f max x 2-ix-2n13F minx f min3xF max x M 2 x21xF minx m 2 x2x 1，故 M m 4 0,即 Mm 4,应选答案C2凶 12x 1点睛：解答本题的关键是理解奇函数的一个性质：由于奇函数的图像关于坐标原点成中心对所以最大值与称，因此若该函数若有最大值，则必存在最小值，且在对称点处取得最小值 最小值之和为零。利用这一性质，先将函数解析式进行变形构造奇函数，再运用奇函数的性质进行求解，使得问题获解。8 .【2017年天津市十重点中学高毕业班联考 （）】若函数ax b是偶函数，则f x的最小值为（）9 B.411C.9D.11【解析】由已知/口）=Y+g+i）f+（。+。-2）+9-3卜一处，力为偶函数，贝式口? 二?， b