2020-2021备战中考数学一模试题分类汇编——圆的综合综合含答案

1、2020-2021备战中考数学一模试题分类汇编一一圆的综合综合含答案一、圆的综合1 .如图，O O是4ABC的外接圆，点 E为4ABC内切圆的圆心，连接 AE的延长线交 BC于 点F,交。O于点D；连接BD,过点D作直线DM,使/ BDM=Z DAC.(1)求证：直线DM是。的切线；(2)若DF=2,且AF=4,求BD和DE的长.【答案】(1)证明见解析(2) 2 J3【解析】【分析】(1)根据垂径定理的推论即可得到ODLBC,再根据/ BDM=/DBC,即可判定 BC/ DM,进而彳#到ODLDM ,据此可得直线 DM是。O的切线；(2)根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到/BED=ZE

2、BD,即可得出DB=DE,再判定ADB。 DAB,即可得到 DB2=DF?DA,据此解答即可.【详解】(1)如图所示，连接OD.点 E 是 4ABC 的内心，./ BAD=/CAD,bd =CD， 0D，BC.又. / BDM=/DAC, /DAC=/DBC, . / BDM=/DBC, . BC/ DM,ODXDM.又 OD为。O半径，直线DM是。的切线.(2)连接 BE.E 为内心，/ ABE=Z CBE. / BAD=/CAD, / DBG/CAD, / BAD=/DBC, / BAE+/ABE=/CB&/DBC,即 /BED=/DBE, BD=DE.又. / BDF=ZADB (公共角

3、)，.DBFs DAB,，DF = DB ,即 DB2=DF?DA.DB DA- DF=2, AF=4, DA=DF+AF=6, . . DB2=DF?DA=12, . . DB=DE=2J3 .本题主要考查了三角形的内心与外心，圆周角定理以及垂径定理的综合应用，解题时注 意：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；三角形的内心 到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.2.如图，4ABC是。的内接三角形，点 D在C上，点E在弦AB上(E不与A重 合)，且四边形 BDCE为菱形.(1)求证：AC=CE(2)求证：BC2 - AC2=AB?AC；(

4、3)已知。O的半径为3.AB 5若=-,求BC的长；AC 3AB当为何值时，AB?AC的值最大?AC3【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)BC=4衣；一2【解析】分析：(1)由菱形知/ D=/BEC,由 /A+/D=/BEC+Z AEC=180 可得 / A=/AEC,据此得 证；(2)以点C为圆心，CE长为半彳5作。C,与BC交于点F,于BC延长线交于点G,则 _ .BE BG ndCF=CG=AC=CE=CDffi ABEF BGA 得=,即 BF?BG=BE?AB 将 BF=BC-CF=BC-BF BAAG BG=BC+CG=BC+A伏入可得；(3)设 AB=5k、AC=3

5、k,由 BC2-AC2=AB?AC知 BC=276 k,连接 ED交 BC于点 M,1RtA DMC 中由 DC=AC=3k MC=aBC=V6k 求得 DM= Jcd2 _cm 2 =T3k,可知 OM=OD-DM=3-k,在 RtCOM 中，由 OM2+MC2=OC2可得答案. 设 OM=d ,则 MD=3-d , MC2=OC2-OM2=9-d2,继而知 BC2= (2MC) 2=36-4d2、AC2=DC2=DM2+CM2= (3-d) 2+9-d2,由(2)得AB?AC=bC-AC2,据此得出关于d的二次函数，利用二次函数的性质可得答案.详解：(1)二.四边形EBDC为菱形， ./

6、D=Z BEC四边形ABDC是圆的内接四边形， . A+Z D=180 ,又/ BEC-+Z AEC=180,A=Z AEC, .AC=CEG,则(2)以点C为圆心，CE长为半彳5作。C,与BC交于点F,于BC延长线交于点CF=CGA,ft由(1)知 AC=CE=CD .CF=CG=AC四边形AEFG是。C的内接四边形,.G+Z AEF=180 ,又 / AEF+Z BEF=180,/ G=Z BEF, / EBF=Z GBA,BE BG,即 BF?BG=BE?AB . BED BGA,BF BA BF=BC- CF=BO AC BG=BC+CG=BC+AC BE=CE=AC ( BC- AC

7、) ( BC+AC =AB?AC,即 BC2 - AC2=AB?AC；(3)设 AB=5k、AC=3k, . BC2-AC2=AB?AC,BC=26 k,连接ED交BC于点M, 四边形BDCE是菱形， DE垂直平分BC,则点E、O、M、D共线， 在 RtA DMC 中,DC=AC=3k MC=1 BC=76 k2， DM= JcD2 -cm 2 =0k，.OM=OD- DM=3 -百 k,在 RtACOM 中，由 OM2+MC2=OC2得(3一百4 2+ (而 k) 2=32,解得：k=2舟或k=o (舍)，3 .BC=2, 6 k=4,2 ；设 OM=d,则 MD=3 - d, MC2=OC

8、2 - OM2=9 - d2, ，BC2= (2MC) 2=36- 4d2,AC2=DC?=DM2+CM2= (3-d) 2+9-d2, 由(2)得 AB?AC=BCAC2 =-4d2+6d+182+81,43当 d=,即43一 OM=_时，AB?AC最大，最大值为481一,4.DC2=27 , 2 .AC=DC=3 6 , 2,AB=9_i6 ,此时4ABAC点睛：本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆的有关性质、圆内接四边形的性 质及菱形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识点.JBA作A QI AB,如图1,判断A西半圆O的位置关系，并说明理=15时,过点3.图1和图

9、2,半圆O的直径AB=2,点P （不与点A, B重合）为半圆上一点，将图形延BP折叠，分别得到点 A,。的对称点A, O,设/ ABP=(1)由.(2)(3)如图2,当g =当线段BO与半圆时；BA与半圆O相切.当a=时，。点O落在9上.。只有一个公共点 B时，求a的取值范围.【答案】（1） A右半圆。相切；理由见解析；（2）45；30；（3）0a 30或45 0,由(2)可知当“增大到30。时，点O在半圆上，. 当0 a 30时点。在半圆内，线段 BO与半圆只有一个公共点B;当a增大到450时BA与半圆相切，即线段 BO与半圆只有一个公共点 B.当“继续增大时，点 P逐渐靠近点B,但是点P,

10、 B不重合， a 90,当45。8 90。线段BO与半圆只有一个公共点 B.综上所述 0 a30或 45 Wq90.考点：圆的综合题.过点D作4 .如图，在|_ABC中，/ACB=900, /BAC的平分线AD交BC于点D, DE _L AD交AB于点E,以AE为直径作L O .(1)求证：BC是|_0的切线；(2)若 AC =3, BC =4,求 tanZEDB 的值.1【答案】(1)见解析；(2) tan/EDB.2【解析】【分析】(1 )连接0D,如图，先证明 OD/ /AC ,再利用AC _L BC得至OD .L BC , 的判定定理得到结论；(2 )先利用勾股定理计算出 AB = 5

11、,设l_ O的半径为r,则OA = OD = r,15再证明|_BDOs|_BCA ,利用相似比得到r： 3 = (5 r)： 5,解得r= 8然后根据切线OB = 5-r,接着利用勾531股定理计算BD =-,则CD = 3 ,利用正切定理得tan/ 1 = 3 ,然后证明/ 1 = / EDB ,从而得到tan/ EDB的值.【详解】(1 )证明：连接OD,如图,A AD 平分 /BAC , 1 =22, ：OA=OD, ，/2=N3,J./1 =/3, , OD /AC , ?AC .LBC , 二 OD _LBC , ,BC是L O的切线;(2)解：在 RACB 中，AB =M +42

12、 =5,设 L。的半径为 r,则 OA=OD =r , OB=5 r ,：OD / /AC ,-，Lbdo sBCA,158, OD ： AC = BO ： BA,即 r： 3 = (5 r ) 5,解得 r1525，OD =,OB =,88在 rodb 中，bd = Job2 OD2 =5, :.CD =BC -BD =?,1，2在RACD中，x 八 CD tan 1 二ACA AE为直径，二/ADE =900 ,EDB ADC =90：,+NADC =90 ,1 =2EDB ,1tan EDB =一2【点睛】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆 的

13、切线垂直于经过切点的半径.判定切线时连圆心和直线与圆的公共点”或过圆心作这条 直线的垂线”；也考查了圆周角定理和解直角三角形.5 .如图1,在RtABC中，AC=8cm, BC=6cm, D、E分别为边 AB、BC的中点，连结 DE, 点P从点A出发，沿折线 AD-DE运动，到点E停止，点P在AD上以5cm/s的速度运 动，在DE上以1cm/s的速度运动，过点 P作PQLAC于点Q,以PQ为边作正方形 PQMN.设点P的运动时间为t (s).BS图1图2(1)当点P在线段DE上运动时，线段 DP的长为 cm.(用含t的代数式表示)(2)当正方形PQMN与 ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形

14、的面积为S (cm2),求S与t的函数关系式，并写出 t的取值范围.(3)如图2,若点O在线段BC上，且CO=1,以点。为圆心，1cm长为半径作圆，当点 P 开始运动时，O。的半径以0.2cm/s的速度开始不断增大，当。 。与正方形PQMN的边所 在直线相切时，求此时的 t值.【答案】(1) tT; ( 2) S=- 3t2+3t+3 (1 vttT, t0,t- 10,解得：t1,1t4.DN AC 8 4 DFNs ABC,=FN BC DN=PN- PD,DN=3 ( t T).，FM=3-3(ld2 =31, 44S=S 梯形FMHD+S矩形DHQP,.S=-2x(3t二+3) X (

15、4-t) +3 (t- 1) =- 3t2+3t+3 (1vt/2bD (3)如图3中，易知A、B、C、D四点共圆，当点 D在线段AB的垂直平分线上且在 AB 的右侧时，4ABD的面积最大.图3此时DG，AB, DB=DA,在DA上截取一点 H,使得CD=DH=1,则易证 CH = AH = J2，BD = AD =五 1-【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质以及图形的应用，正确作辅助线和熟悉图形特性是解题的关键 .12.如图，在RtABC中，点O在斜边AB上，以。为圆心，OB为半径作圆，分别与BC, AB相交于点D, E,连接AD,已知/ CAD= / B.(1)求证：

16、AD是。的切线；(2)若 CD= 2, AC= 4, BD= 6,求。的半径.工详见解析；(2) 3112【解析】【分析】(1)解答时先根据角的大小关系得到/1 = / 3,根据直角三角形中角的大小关系得出ODLAD,从而证明AD为圆O的切线；(2)根据直角三角形勾股定理和两三角形相似可以 得出结果【详解】(1)证明：连接OD,AC.OB=OD, ./ 3=/ B,. Z B= / 1,，/ 1 = / 3,在 RtACD中，/ 1 + /2=90,4=180- (/ 2+/3) =90,ODXAD,则AD为圆O的切线；(2)过点O作OF, BC,垂足为F,.OFXBD1 DF= BF= -B

17、D= 32 . AC=4, CA2, /ACA90 AD= Jac2 +cd2 =2而 / CAD= / B, / OFB= / ACA 90.BF8 ACD,BF OB =AC AD即 3=OB4 2,5.OB= 3-2 .o o的半径为3石.2【点睛】此题重点考查学生对直线与圆的位置关系，圆的半径的求解，掌握勾股定理，两三角形相 似的判定条件是解题的关键13.如图，已知 AB为。的直径，AB=8,点C和点D是。O上关于直线 AB对称的两个点，连接OC AC,且/ BOC 90。，直线BC和直线AD相交于点E,过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点 F,与直线AD相交于点G,且/ GAF

18、= / GCE(1)求证：直线CG为。的切线；(2)若点H为线段OB上一点，连接 CH,满足CB= CH,川81 OBC求OH+HC的最大值【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；5.【解析】分析：(1)由题意可知：/ CAB=Z GAF,由圆的性质可知：/ CAB=Z OCA,所以/ OCA=Z GCE,从而可证明直线 CG是。O的切线；(2)由于CB=CH所以/ CBH=Z CHB,易证/ CBH=Z OCB,从而可证明 CBIH OBC;一, BC HB由CBHAOBC可知：=OC BCBC2,所以hb=2 ,由于bc=hc所以4BC2OH+HC=4-1+BC,利用二次函数的性质即可

19、求出详解：（1）由题意可知：/ CAB=Z GAF, .AB是。的直径，/ ACB=90OH+HC的最大值. .OA=OC, .Z CAB=Z OCA, / OCA+Z OCB=90 , / GAF=/ GCE / GCE+Z OCB=Z OCA+Z OCB=90 , OC是。O的半径， 直线CG是。的切线；(2)CB=CH/ CBH=Z CHB, .OB=OC, ./ CBH=Z OCB, . CBIH OBC由CBHMAOBC可知:BC HB=OC BC,.AB=8, BC2=HB?OC=4HB一 一 BC2 .OH=OB-HB=4-bc4.CB=CHBC2.OH+HC=4-+BC,当 /

20、 BOC=90 , 此时BC=4,2 / BOC 90,-0BC 4近,令 BC=x贝U CH=x2BH= 41 212OH HC = -x x 4 = x-2544当x=2时，.OH+HC可取得最大值，最大值为 5点睛：本题考查圆的综合问题，涉及二次函数的性质，相似三角形的性质与判定，切线的判定等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所知识.14.如图，等边4ABC内接于。O, P是弧AB上任一点(点P不与A、B重合)，连 AP, BP,过C作CM / BP交PA的延长线于点 M ,(1)求证：4PCM为等边三角形；(2)若PA= 1, PB= 2,求梯形PBCM的面积.【答案】(1)见解析；

21、(2) 15734【解析】【分析】(1)利用同弧所对的圆周角相等即可求得题目中的未知角，进而判定PCM为等边三角形；(2)利用上题中得到的相等的角和等边三角形中相等的线段证得两三角形全等，进而利用 PCM为等边三角形，进而求得 PH的长，利用梯形的面积公式计算梯形的面积即可.【详解】(1)证明：作PHI CM于H,.ABC是等边三角形， ./ APC=Z ABC=60 ,/ BAC=Z BPC=60,. CM / BP,/ BPC=Z PCM=60 ,. PCM为等边三角形；(2)解：ABC是等边三角形， 4PCM为等边三角形， / PCA+Z ACM=Z BCP+Z PCA, ./ BCP=

22、Z ACM,在 BCPAACM 中，BC = ACkBCP =/ACM ,CP =CM . BCP ACM (SAS),，PB=AM, . CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3在 RtA PMH 中，/ MPH=30 ,.PH=3B2.S梯形 pbcm=1 (PB+CM) XPHx(2+3)x33 =1573 .2224【点睛】本题考查圆周角定理、等边三角形的判定、全等三角形的性质及梯形的面积计算方法，是 一道比较复杂的几何综合题. 一 .一 3 ,15.如图，在ZXABC中，AC=BC=10, cosC =,点P是BC边上一动点（不与点 A,C 5重合），以PA长为半彳的P与

23、边AB的另一个交点为 D ,过点D作DE _L CB于点E.（1 ）当L P与边BC相切时，求L P的半径;（2 ）联结BP交DE于点F ,设AP的长为x , PF的长为y ,求y关于x的函数解析式， 并直接写出x的取值范围；（3加（2 ）的条件下，当以PE长为直彳5的1_、与1 P相交于AC边上的点G时，求相交 所得的公共弦的长.【答案】（1）；（2） y = 5x&2 _8x8（0xM10）； （3）10-27597 3x 20【解析】【分析】3 一（1）设。P与边BC相切的切点为 H,圆的半径为 R,连接HP,则HP BC, cosC= ,则5sinC=4, sinC=HP=R =4,即可求角军; 5 CP 10-R 5EB BF(2) PD/ BE,贝U 一= 一 ,即:PD PF4 2-5x 收-8x+80 -y ,即可求解;(3)证明四边形PDBE为平行四边形，贝U AG=G